百师联盟2020届高三上学期期中考试联考山东卷数学试题

百师联盟2020届高三上学期期中考试联考山东卷数学试题

百师联盟2020届高三期中联考　山东卷 数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎(本试题满分120分，考试时间150分钟)‎ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集，，则的值等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集的定义求集合，的公共部分即可.‎ ‎【详解】，，所以．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查集合交集的运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数，则（　　）‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，再分别计算其模长即可.‎ ‎【详解】．‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查复数模长的计算，属于简单题.‎ ‎3.若倾斜角为的直线与直线平行，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据直线斜率，解得，，再代入正弦二倍角公式计算即可.‎ ‎【详解】因为，所以为锐角，‎ ‎，，‎ 所以．‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率，同时考查了正弦二倍角公式，属于简单题.‎ ‎4.设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则（　　）‎ A. -5 B. ‎-7 ‎C. 5 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据在上的奇函数，得到，再由奇函数的性质计算即可.‎ ‎【详解】因为在上的奇函数，所以，即，‎ 则.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质，熟练掌握奇函数的性质为解题的关键，属于简单题.‎ ‎5.某护卫舰发现远处有一目标海盗船，已知它靠近目标‎200米、‎100米、‎50米的概率分别为0.6、0.4、0.2．又护卫舰在‎200米、‎100米、‎50米时击中目标的概率分别为0.6、0.7、0.8．那么目标被击中的概率为（　　）‎ A. 0.6 ‎B. ‎0.7 ‎C. 0.9 D. 0.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算海盗船在‎200米、‎100米、‎50米击中的概率，再相加即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查概率的加法公式，属于简单题.‎ ‎6.在中，内角所对的边分别为，且，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据正弦定理的边角互化得到，利用两角和公式得到，，再求即可.‎ ‎【详解】由可得： ‎ ‎，‎ ‎， .‎ 因为，，所以.‎ ‎，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的边角互化，同时考查了两角和公式，属于简单题.‎ ‎7.已知在上为单调递增函数，则的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求导，将题意转化为在，恒成立，即在上恒成立.再利用基本不等式求出的最大值即可.‎ ‎【详解】，‎ 因为在上为单调递增，等价于恒成立.‎ 即在上恒成立.‎ 因为，当时，取“”，‎ 所以，即的范围为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.‎ ‎8.函数，，，若的最大值为，最小值为，则的值为（　　）‎ A 0 B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先构造，并判断为奇函数，再根据奇函数的性质即可得到的值.‎ ‎【详解】令，‎ 所以为奇函数，所以在上的图像关于原点对称，‎ 故，即，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质，构造函数为奇函数为解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（　　）‎ A. 992 B. ‎1022 ‎C. 1007 D. 1037‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出的通项公式，算其中间项即可.‎ ‎【详解】将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.‎ 即，‎ 当，，‎ 当，，‎ 故……，数列共有项．‎ 因此数列中间项为第项，.‎ 故答案为：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎10.已知点在双曲线(，)的右支上，，分别是双曲线的左右焦点，且满足，且是与的等差中项，则该双曲线离心率为（　　）‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据已知得到，设，，，根据等差中项的性质和勾股定理得到，，即可解得，，再根据双曲线的性质即可得到离心率的值.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 由，可知，‎ 设，，，‎ 由条件得：，，‎ 得，解得，‎ 将代入得到：.‎ 因为，所以.‎ 故答案为：A ‎【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意列出等式找到的关系为解题的关键，属于中档题.‎ 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．‎ ‎11.已知向量，，则下列命题正确的是（　　）‎ A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若取得最大值时，则 D. 的最大值为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断A正确，B不正确.对于C，根据，，即可得到，所以C正确，对于D，根据的最大值为，即可判断D正确.‎ ‎【详解】A选项，若，则，即，故A正确．‎ B选项，若，则，则，故B不正确．‎ C选项，，其中.‎ 当取得最大值时，，即，‎ ‎，故C正确.‎ D选项，，‎ 当时，取得最大值为，‎ 所以的最大值为，故D正确.‎ 故答案为：ACD ‎【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，同时考查了三角函数的最值问题，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，则下面结论正确是（　　）‎ A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为2 D. 在上单调递增 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将化简为，选项A，的定义域为，，故A正确。根据的周期和最值可判断B正确，C不正确。根据可判定D正确。‎ ‎【详解】，‎ 选项A，的定义域为，‎ ‎，故A正确。‎ B选项，的最小正周期为，故B正确。‎ C选项，，故C不正确。‎ D选项， 由的图像， ‎ 由图可知：在上单调递增，故D正确。‎ 故选ABD ‎【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属于中档题。‎ ‎13.下列命题中不正确的是（　　）‎ A. 设为直线，为平面，且；则“”是“”的充要条件 B. 设随机变量，若，则 C. 若不等式()恒成立，则的取值范围是 D. 已知直线经过点，则的取值范围是 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A选项，画出图形即可判定A错误.B选项，根据正态分布的对称性即可判断B正确.C选项，首先利用基本不等式得到，再解不等式即可判断C不正确.选项D，首先根据题意得到，再利用基本不等式即可判断D正确.‎ ‎【详解】A选项，如图所示：‎ ‎，，，不一定，‎ 因此不是充要条件，故A错误.‎ B选项，对称轴为，由对称性可知：.‎ 故B正确 C选项，由，可得，所以的范围为，‎ 故C不正确.‎ 选项D，由直线经过点，可得，‎ 则，当且仅当等号成立， 所以取值范围是，‎ 故D正确．‎ 故答案为：AC ‎【点睛】本题主要考查了充要条件，同时考查了正态分布和基本不等式求最值问题，属于中档题.‎ 三、填空题：本大道共4小题，每小题4分，共16分．15题每空2分．‎ ‎14.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中各数位中有两个奇数的四位数有__________个．‎ ‎【答案】378‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论含和不含的情况，再相加即可.‎ ‎【详解】第一类：含的四位数：，‎ 第二类：不含的四位数：，所以共有个．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合，分类讨论是解题的关键，属于中档题.‎ ‎15.已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为______，则点到圆上动点的距离最大值为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆的方程为，根据相切与垂径定理列出方程组，求解即可；设圆外一点P距圆心距离为d，则点P距圆上动点的距离最大值为，最小值为.‎ ‎【详解】设圆的方程为 由题意可得，解得，‎ 所以圆的方程为；‎ 设点到圆心的距离为，‎ 则点到圆上动点的距离最大值为.‎ 故答案为：；8‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，垂径定理，圆外点到圆上动点的距离的最值，属于基础题.‎ ‎16.已知三棱柱侧棱垂直底面，且所有顶点都在同一个球面上，，，，，则球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用正弦定理求出 所在圆面的半径，构造直角三角形求出球的半径，代入球的面积公式即可得解.‎ ‎【详解】设的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，‎ 在中，，则，‎ ‎ 球心与所在面的圆心的连线OD垂直于所在面，易知,‎ 在中，，‎ 球的面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直三棱柱的外接球问题，难点在于找到球心，构造直角三角形求出球的半径，考查空间想象能力，涉及正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题.‎ ‎17.已知当时，有，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分别求出和的值域，根据，且，得到，，再根据二次函数的单调性求的范围即可.‎ ‎【详解】由题意可知：当时，，值域为.‎ 当时，，值域为.‎ 因为，且，‎ 所以，.‎ ‎，‎ 因为，所以 ‎【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，同时考查了二次函数的单调性和值域，属于中档题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18.在中，内角所对的边分别为，函数，将的图像向左平移个单位得到函数的图像，且，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先化简得到，根据题意得到，再根据，即可得到.‎ ‎（1）首先根据得到，即，再根据两角差公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）由题意得，‎ 因为，可得，即或，‎ 或（舍去），所以.‎ ‎（2）又由，‎ 可得，‎ 由正弦定理得，‎ 即，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查了特殊角的三角函数值，第二问考查了余弦定理，属于中档题.‎ ‎19.已知等差数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的取值范围；‎ ‎（3）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）且；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据题意列出方程，解方程组再求即可.‎ ‎（2）首先计算，再解不等式即可.‎ ‎（3）首先得到，再利用裂项法即可得到前项和的值.‎ ‎【详解】（1）由题意得，解得 所以．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 因为，即.‎ 解得或，‎ 因为且，所以的取值范围为且.‎ ‎（3）因为，‎ 所以 ‎【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前项和的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.‎ ‎20.如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，且，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离；‎ ‎（3）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先取的三等分点，连结，，根据题意得到，，即四边形是平行四边形，所以.再根据线面平行的判定即可证明平面.‎ ‎（2）首先证明平面，再分别以，，为轴轴轴，建立空间坐标系，求出，平面法向量，代入点到面的距离公式即可.‎ ‎（3）分别求出平面和平面的法向量，代入二面角公式即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 取的三等分点，连结，，则．‎ 又因为，所以. ‎ 因为，所以，四边形是平行四边形.‎ 所以，‎ 又平面平面，平面PAD，‎ 所以平面.‎ ‎（2）设点到平面的距离为．‎ 因为，，所以，‎ 所以，因为，，‎ 所以平面.‎ 分别以，，为轴轴轴，建立空间坐标系，‎ ‎，，，，，.‎ ‎，，.‎ 设平面法向量，‎ 因为，所以，‎ 点到平面的距离，‎ 点到平面的距离为．‎ ‎（3），，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，即，‎ 所以，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查点到面的距离，第三问考查二面角的求法，属于中档题.‎ ‎21.为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200请客，其中游戏水平分为高级和非高级两种．‎ ‎（1）根据题意完善下列列联表，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？‎ 性别 高级 非高级 合计 女 ‎40‎ 男 ‎140‎ 合计 ‎（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；‎ 若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率；‎ 设抽取的3名选手中女生的人数为，求的分布列和期望．‎ 附表：，其中．‎ ‎0.010‎ ‎0.05‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关，‎ ‎（2），分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意完善列联表，再计算，对照临界值得出结论即可.‎ ‎（2）从人中抽取人共有个基本事件，甲为参赛选手共有个基本事件，再利代入古典概型公式即可.首先用分层抽样得到抽取的男、女生人数，得到女生的人数的所有取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，再列出分布列，计算数学期望即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 性别 高级 非高级 合计 女 ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ 男 ‎60‎ ‎140‎ ‎200‎ 合计 ‎100‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎，所以没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关 ‎（2）甲入选3人名单的概率为；‎ 根据分层抽样的特征10人中男女各5人，女生的人数的所有取值为0，1，2，3；‎ ‎，，‎ ‎，；‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 期望.‎ ‎【点睛】本题第一问考查独立性检验，第二问考查古典概型和离散型随机变量的分布列及数学期望，属于中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知圆过定点，且在轴上截得的弦长，设动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交曲线于两点，问在曲线上是否存在一点，使得点在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在点满足题设.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先设圆心，作于点，由题知得到，化简即可得到点的轨迹方程.‎ ‎（2）首先设出直线方程，联立抛物线方程得到，‎ ‎.假设存在，满足题设，得到，计算即可得到点坐标.‎ ‎【详解】（1）由题知：‎ 设圆心，作于点.‎ 由题知 所以，即点的轨迹抛物线.‎ ‎（2）设直线方程为，，，‎ 联立得，，‎ ‎，，.‎ ‎，.‎ 假设存在一点，满足题设，则，.‎ ‎，.‎ ‎.‎ 解得，代入，得到点满足题意.‎ 综上：存在，使得点在以为直径的圆上.‎ ‎【点睛】本题第一问考查抛物线的轨迹方程，第二问考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.‎ ‎23.设函数，.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）是函数的极值点，求函数的单调区间；‎ ‎（3）在（2）的条件下，，若，，使不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数，再求出，，由导数得几何意义知切线的斜率为且过点，即可写出直线的点斜式方程；(2)由是函数的极值点可知，求出，令结合定义域即可求出函数的单调区间；(3)令，则题意等价于，利用分析的单调性从而求出最小值为4，所以使得函数，由在有解即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，时，，，‎ ‎，，所以切线方程为，即.‎ ‎（2），‎ 是函数的极值点，，可得，‎ 所以，令，即，‎ 解得，结合定义域可知在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（3）令，，，‎ 使得恒成立，等价于，‎ ‎，‎ 因为，所以，，即，‎ 所以在上单调递增，，‎ 即使得函数，即转化为在有解，‎ ‎，所以，.‎ ‎【点睛】本题考查函数切线的求法，利用导数分析函数的单调性及求函数的最值，根据函数的极值点求参数，涉及二次函数的图像与性质，属于较难题.‎