广东省佛山市禅城区2020届高三统一调研测试卷（一）数学（理）试题

广东省佛山市禅城区2020届高三统一调研测试卷（一）数学（理）试题

禅城区2020届高三统一调研测试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.‎ ‎【详解】因为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.复数的共轭复数是( )‎ A. B. ｉ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.‎ ‎【详解】，故其共轭复数.所以选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.方程的根所在的一个区间是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程的根所在的一个区间转化为函数的零点所在的区间，再利用函数的单调性及特殊值所对应的函数值的符合确定零点所在区间即可.‎ ‎【详解】解:设,‎ 则函数为增函数,‎ 又,,‎ 由零点定理可得方程的根所在的一个区间是,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点定理，重点考查了方程与函数的相互转化，属基础题.‎ ‎4.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ Sn＝＝＝＝3－2an.‎ ‎5.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，f（x）＝|sinx|，为偶函数，不符合题意；‎ 对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝lnlnf（x），为奇函数，‎ 设t1，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，‎ 则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；‎ 对于C，f（x）（ex﹣e﹣x），有f（﹣x）（e﹣x﹣ex）（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）（ex+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；‎ 对于D，f（x）＝ln（x），其定义域为R，‎ f（﹣x）＝ln（x）＝﹣ln（x）＝﹣f（x），为奇函数，‎ 设tx，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，‎ 则f（x）＝ln（x）在R上为减函数，不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎7.平面向量，满足，，且，则向量，的夹角为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的数量积运算可得，再由向量的夹角公式得，再由夹角的范围为，求即可得解.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 又，，‎ 则，‎ 设向量，的夹角为，‎ 则，‎ 即，‎ 又，‎ 即，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积及向量夹角的求法，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎8.已知数列是等差数列，，其中公差 .若是和的等比中项，则( )‎ A. 398 B. 388 C. 189 D. 199‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可得 设公差为，‎ ‎ 代入数据可得 ，‎ 解得 ‎ 故选C．‎ ‎9.函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即，求出，比较可得.‎ ‎【详解】函数的图象向右平移个单位后得到.‎ 此函数图象关于原点对称，所以.所以.‎ 当时，．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位.‎ ‎10.若函数满足，且时，，函数 ‎，则函数在内的零点个数为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可得是周期为2的周期函数，，即，再在同一坐标系中作时，与的图像，由图像可得解.‎ ‎【详解】解：由题意可得，是周期为2的周期函数，‎ 由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系可得，函数的零点个数 即为与，的图像的交点个数，‎ 在同一坐标系中，与的图像如图所示，‎ 故在区间上，与的图像有8个交点，‎ 故函数在内的零点个数为8，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.‎ ‎11.西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有，，，，‎ 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（ ）‎ A. 今天是周四 B. 今天是周六 C. 车周三限行 D. 车周五限行 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先考查选项A，利用推理的方法找到符合题意的选项之后即可排除其余的选项.‎ ‎【详解】首先考查选项A：‎ 若今天周四，，，，，五辆车分别在周一，周三，周二，周五，周四，满足题意，‎ 据此可排除B，C，D，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，特殊值法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.已知函数若成立，则的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 不妨设，，故，令，，易知在上是增函数，且 ‎，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选B.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，向量，，若，则____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标运算得到，即，再由二倍角公式得到.‎ ‎【详解】因为 所以，即，‎ 所以.因为，所以,所以,‎ 所以,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量的坐标运算，以及向量平行的坐标运算，是基础题.‎ ‎14.在中，，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知两边一夹角，可利用余弦定理求对边，即,再利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】解：因为在中，，，，‎ 由余弦定理 可得：，‎ 由正弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，重点考查了解斜三角形，属基础题.‎ ‎15.已知命题，，命题，，若为假命题，则实数的取值范围为_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】若为假命题，则、均为假命题，则，与，均为真命题．‎ 根据，为真命题可得，‎ 根据，为真命题可得，‎ 解得或．‎ 综上，．‎ ‎16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．‎ ‎【答案】①②⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．‎ ‎【详解】当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，‎ 当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，‎ 当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，‎ 当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，‎ ‎∴函数的周期是4．‎ 因此最终构成图象如下：‎ ‎①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；‎ ‎②，由图象即分析可知函数的周期是4．‎ 即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；‎ ‎③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，‎ 故③错误；‎ ‎④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；‎ ‎⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dxπ•（）21×1π×12，‎ 故⑤正确．‎ 故答案为：①②⑤．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.锐角的内角、，的对边分别为，，，.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式可得，再由，为锐角三角形，可求角的大小；‎ ‎(2)由三角形的面积公式，求出，再结合余弦定理可得，则可求得，然后可得解.‎ ‎【详解】解：(1)因为，‎ 则由正弦定理得，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又为锐角三角形，‎ 又，‎ 故； ‎ ‎ (2)在中，，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，主要考查了解斜三角形，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎18.‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，两条曲线交于两点.‎ ‎(1) 求直线与曲线交点的极坐标；‎ ‎(2) 已知为曲线 (为参数)上的一动点，设直线与曲线的交点为，求的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）把极坐标方程化为直角坐标方程为，，解方程组可得直线与曲线交点为，化为极坐标为．（2）由（1）可得，故当点到直线的距离最小时，的面积最小．故可设点 ‎，则点到直线的距离为 (其中），可得，从而得面积的最小值为．‎ 试题解析：‎ ‎（1)由，得，‎ 又，‎ 所以，‎ 由，得，‎ 又, ‎ 所以，‎ 由，解得或 ．‎ 所以直线与曲线交点的极坐标为．‎ ‎(2)由（1)知直线与曲线交点的直角坐标为，‎ 所以，‎ 因此当的面积最小时，点到直线的距离也最小． ‎ 设点，则点到直线的距离为 ‎ (其中 ‎）‎ 故当时，取得最小值，且，‎ 所以面积的最小值为．‎ ‎19.已知函数在 与 处都取得极值．‎ ‎（1）求函数的解析式及单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）；单调增区间是，减区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)，即可求出函数的解析式,再利用导数求函数的单调区间.(2)比较函数的极值和端点函数值的大小即得函数 在区间的最大值与最小值．‎ ‎【详解】（1）因为，所以,‎ 由，‎ ‎ ,‎ ‎,‎ 令或，， ‎ 所以单调增区间是 减区间是.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大 递减 极小 递增 极小值 ，极大值 而，‎ 可得.‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数研究函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数在闭区间上的最值，只要比较极值和端点函数值的大小.‎ ‎20.已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据前n项和与通项间的关系得到，，，两式做差即可得到数列，数列为常数列，，即 ‎；（2）根据第一问得到，裂项求和即可.‎ 详解】（1）当时，，即， ‎ 当时， ①， ②‎ ‎，得，即，所以，且， 所以数列为常数列，，即．‎ ‎（2）由（1）得，所以，‎ 所以，．‎ ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎21.某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：‎ 如果：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率.‎ ‎(1)从产品中随机抽取件，合格品的个数为，求的分布列与期望：‎ ‎(2)为了提高产品合格率，现提出，两种不同的改进方案进行试验，若按方案进行试验后，随机抽取件产品，不合格个数的期望是：若按方案试验后，抽取件产品，不合格个数的期望是，你会选择哪个改进方案?‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）应选择方案，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 先由频率分布直方图，可以推出产品为合格品的概率，再求出随机变量的分布列及期望；‎ ‎ (2) 方案随机抽取产品与方案随机抽取产品都为相互独立事件，服从二项分布，由不合格个数的期望分别求出不合格的概率即可得出较好的方案.‎ ‎【详解】（1）由直方图可知抽出产品为合格品的率为 即推出产品为合格品概率为，‎ 从产品中随机抽取件.合格品的个数的所有可能取值为0，1，2，3，4，‎ 且，，，‎ ‎，.‎ 所以的分布判为 的数学期望.‎ ‎（2）方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数：‎ 按方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数 依题意，，‎ 解得，‎ 因为，‎ 所以应选择方案.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图，随机变量的分布列与期望及二项分布，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎22.已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，证明时， .‎ ‎【答案】(1) ;函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）得 根据由，整理得，‎ 设，转化为函数的最值，即可作出证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题得，函数的定义域为， ，‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以解得.‎ 令，得，‎ 当时， ， 在区间内单调递减；‎ 当时， ， 在区间内单调递增.‎ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）由（1）得， .‎ 由，得，即.‎ 要证，需证，即证，‎ 设，则要证，等价于证： .‎ 令，则，‎ ‎∴在区间内单调递增， ,‎ 即，故.‎ ‎ ‎