专题7-2+一元二次不等式及解法（测）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测
全品教学网 2018 年高考数学讲练测【新课标版文】【测】【来.源：
全,品…中&高*考*网】第七章 不等式
第 02 节 一元二次不等式及解法
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符
合题目要求的.）
1. 【2018 山西忻州第一中学模拟】已知关于 的不等式 对任意 恒成
立，则有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 对任意 恒成立，令 ，
的对称轴为 ， 在 单调递减， 当 时取到最小值为 ， 实数
的取值范围是 ，故选 A.
2. 关于 x 的不等式
（x－a）（x－b）
x－c ≥0 的解为{x|－1≤x＜2 或 x≥3}，则点 P(a＋b，c)
位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】由不等式的解集可知－1，3 是方程的两个根，且 c＝2，不妨设 a＝－1，b＝3，∴
a＋b＝2，即点 P(a＋b，c)的坐标为(2，2)，位于第一象限，选 A.
x 2 4x x m− ≥ ( ]0,1x∈
3m ≤－ 3m ≥－ 3 0m≤ <－ 4m ≥－
2 4x x m− ≥ [ ]0,1x∈ ( ) [ ]2 4 , 0,1f x x x x= − ∈ ( )f x
2x = ( )f x∴ [ ]0,1 ∴ 1x = 3− ∴
m 3m ≤－
3. 正数 a，b 满足
1
a＋
9
b＝1，若不等式 a＋b≥－x2＋4x＋18－m 对任意实数 x 恒成立，则实
数 m 的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.(－∞，6] D.[6，＋∞)
【答案】 D
【解析】a＋b＝(a＋b)(1
a＋
9
b )＝10＋(b
a＋
9a
b )≥10＋2
b
a·
9a
b ＝16.当且仅当
b
a＝
9a
b 且
1
a＋
9
b＝
1，
即 b＝3a＝12 时取“＝”.【来.源：全,品…中&高*考*网】
∴－x2＋4x＋18－m≤16，
即 x2－4x＋m－2≥0 对任意 x 恒成立.
∴Δ＝16－4(m－2)≤0，∴m≥6.
4. 若命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )
A.[－1，3)
B.(－1，3)
C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】由∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0 得 Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1
0 的解集为{x|－2 a
133 4a− < < 13 13
4 4a− < <
3 3a− < < 13 34 a− < <
x 23 | |x a x− − > 23x a x− < − 23 0x− >
画出 和函数 的图象，当函数 的图象则左支经过点 时，求
得 ，当函数 的图象则右支和 图象相切时，方程组 有唯
一的解，即 有唯一的解，故 ，解得 ，所以
实数 的取值范围是 ，故选 D．
填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.）
13．【2018 江苏淮安调研】已知函数 （ ）的值域为 ，
若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为__________．
【答案】
【解析】由于函数 （ ）的值域为 ，
所以△=0，即 a2+4b=0，b= ．
∵关于 x 的不等式 f（x）＞c﹣1 的解集为（m﹣4，m+1），
∴方程 f（x）=c﹣1 的两根分别为：m﹣4，m+1，
即方程：﹣x2+ax =c﹣1 两根分别为：m﹣4，m+1，
∵方程：﹣x2+ax =c﹣1 根为： ，
23y x= − y x a= − y x a= − (0,3)
3a = y x a= − 23y x= −
23
y x a
y x
= −
= −
2 2 0x x a+ − − = 1 4( 3) 0a∆ = − − − = 13
4a = −
a 13( ,3)4
−
( ) 2f x x ax b= − + + ,a b R∈ ( ],0−∞
x ( ) 1f x c> − ( )4, 1m m− + c
21
4
−
( ) 2f x x ax b= − + + ,a b R∈ ( ],0−∞
2
4
a−
2
4
a−
2
4
a− x 1 c2
a= ± −
∴两根之差为：2 =（m+1）﹣（m﹣4），c=
故答案为： ．
14．对于实数 x，规定[x]表示不大于 x 的最大整数，那么不等式 4[x]2－36[x]＋45<0 的
解集为________.
【答案】[2，8)
【解析】 由题意解得
3
2<[x]<
15
2 ，又[x]表示不大于 x 的最大整数，所以[x]的取值为 2，3，
4，5，6，7，故 2≤x<8.
15．【2018 广东阳春第一中学模拟】已知函数 ，若 恒
成立，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由图知实数 的取值范围是 ，其中 为直线 与 y=
相 切 时 的 值 ， 即
16．设 对任意 恒成立，其中 是整数，则 的取值的
集合为________．
【答案】
1 c− 21
4
−
21
4
−
( )
2
, 0{
4 , 0
x xf x
x x x
>=
− ≤
( ) 1f x ax≥ −
a
[ ]6,0−
a [ ]1,0k 1k y 1ax= − 2 4 , 0x x x− ≤
a ( )2 21 4 4 1 0 0, 0 6ax x x x a x a a− = − ⇒ − + + = ⇒ ∆ = < ⇒ = −
0))(3( 2 ≤−+ bxax ),0[ +∞∈x ba, ba +
{ 2,8}−
解答题 （本大题共 4 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解关于 x 的不等式 ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R).
【解析】原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.
(1)当 a＞0 时，原不等式可以化为 a(x－2)(x－
1
a )＜0，根据不等式的性质，这个不等式等
价于(x－2)·(x－
1
a )＜0.因为方程(x－2)(x－
1
a )＝0 的两个根分别是 2，
1
a，所以当 0＜a＜
1
2
时，2＜
1
a，则原不等式的解集是{x|2＜x＜
1
a}；当 a＝
1
2时，原不等式的解集是∅；当 a＞
1
2时，
1
a＜2，则原不等式的解集是{x|1
a＜x＜2}.
(2)当 a＝0 时，原不等式为－(x－2)＜0，解得 x＞2，
即原不等式的解集是{x|x＞2}.
(3)当 a＜0 时，原不等式可以化为 a(x－2)(x－
1
a )＜0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·(x－
1
a )＞0，
由于
1
a＜2，故原不等式的解集是{x|x＜
1
a或x＞2}.
综上所述，当 a＜0 时，不等式的解集为{x|x＜
1
a或x＞2}；
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x＞2}；当 0＜a＜
1
2时，不等式的解集为{x|2＜x＜
1
a}；当 a＝
1
2时，不等式的解集为∅；当 a＞
1
2时，不等式的解集为{x|1
a＜x＜2}.
18．已知函数 f(x)＝
x＋b
1＋x2为奇函数．
(1)证明：函数 f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
(2)解关于 x 的不等式 f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)>0.
【解析】(1)证明：∵函数f(x)＝
x＋b
1＋x2为定义在 R 上的奇函数，f(0)＝0，即 b＝0，∴f(x)＝
x
x2＋1(经检验满足题意)，
∴f′(x)＝
x2＋1－x·2x
x2＋12 ＝
1－x2
x2＋12.
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数 f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
19．已知函数푓(푥) = 푥2 ―(푎 + 1)푥 + 푏．
（1）若푓(푥) < 0的解集为( ― 1,3)，求푎,푏的值；
（2）当푎 = 1时，若对任意푥 ∈ 푅,푓(푥) ≥ 0恒成立，求实数푏的取值范围；
（3）当푏 = 푎时，解关于푥的不等式푓(푥) < 0（结果用푎表示）．
（3）当푏 = 푎时，푓(푥 < 0)即푥2 ― (푎 + 1)푥 + 푎 < 0，
所以(푥 ― 1)(푥 ― 푎) < 0，
当푎 < 1时，푎 < 푥 < 1；
当푎 = 1时，푥 ∈ 휙；
当푎 > 1时，1 < 푥 < 푎．
综上，当푎 < 1时，不等式푓(푥) < 0的解集为{푥|푎 < 푥 < 1}；
当푎 = 1时，不等式푓(푥) < 0的解集为휙；
当푎 > 1时，不等式푓(푥) < 0的解集为{푥|1 < 푥 < 푎}．
20．已知函数 ．
（1）求函数 的最小值；
>+
∈≤≤−+
−<−−
=
)2
1(15
))(2
12(3
)2(1
)(
xx
Rxxx
xx
xf
)(xf
（2）已知 ，命题 ：关于 的不等式 对任意 恒成立；
：函数 是增函数，若“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，求实数 的取值范
围．
【解析】（1）作出函数 的图象，可知函数 在 上单调递减，在
上单调递增，故 的最小值为 ．
（2）对于命题 ： ，故 ；
对于命题 ： ，故 或 ．
由于“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，则
①若 真 假，则 ，解得 ．
②若 假 真，则 ，解得 或 ．
故实数 的取值范围是 ．
Rm∈ p x +≥ 2)( mxf 22 −m Rm∈
q xmy )1( 2 −= p q p q m
)(xf )(xf )2,( −−∞ ),2( +∞−
)(xf 1)2()( min =−= fxf
p 1222 ≤−+ mm 13 ≤≤− m
q 112 >−m 2>m 2−−<
−<>
22
31
mm
mm
或
或
3−m
m ,2(]1,2[)3,( −−−∞ )∞+
