广东省高考数学试题理科试卷分析含小题详细答案

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广东省高考数学试题理科试卷分析含小题详细答案

绝密★启用前 试卷类型:A ‎2012年普通高等学校招生全国统一试卷(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 1. 整体分析:‎ 试卷难度偏易,题型较正统,解答题考查了常见六大板块:三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。本试卷大大加强了对二次函数分类讨论的考查,即20题、21两题。本试卷计算量不大,仅最后一题讨论稍花时间,平时基础不错的学生,时间足够。‎ 2. 题目分析:‎ (1) 填空、选择相对较易,但第8题保持了广东卷近几年一贯传统,是一个创新题,得分率可能不高。‎ (2) 三角函数、概率统计、立体几何三道大题按正常的顺序出题,难度相比平时的模拟训练难度都小很多。‎ (3) 数列前两问比较正统,数列不等式考查放缩法,有些难度,但和去年高考数列题有很大相似之处,如有联想,可以迎刃而解。若数列放缩到等比数列比较熟练也可很快处理。‎ (4) 解析几何第一问主要考查二次函数值域,注意对称轴和区间;‎ 第二问同2011广州二模理科(文科也有)题相似,但难度低了很多。‎ (5) 函数与导数主要考查二次函数的分类讨论,入手容易,但想完全不失分还是需要很好的功底。‎ (6) 本卷出题较易,拉分点除了以上所提的陷阱以外,要注意解题步骤的严密性、字迹等问题,本次改卷从严的可能性较大。‎ 本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。‎ 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。‎ ‎5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:柱体体积公式,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高。‎ 锥体体积公式,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设i是虚数单位,则复数 ‎ A.    B. C. D.‎ ‎2.设集合,,则 A. B. C. D. ‎ ‎3.若向量,向量,则 A. B. C. D.‎ ‎4.下列函数,在区间上为增函数的是 A. B. C. D.‎ ‎5.已知变量满足约束条件,则的最大值为 A.12 B.‎11 C.3 D.‎ ‎6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 图1 ‎ 正视图 ‎ 俯视图 ‎ 侧视图 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.对任意两个非零的平面向量和,定义.若平面向量满足,‎ a与b的夹角,且和都在集合中,则 A. B.‎1 ‎‎ ‎C. D. ‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~ 13题)‎ ‎9.不等式的解集为 . ‎ ‎10.中的系数为 .(用数字作答) ‎ ‎11.已知递增的等差数列满足,,则 .‎ ‎12.曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎13.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出的s的值为 .‎ ‎ ‎ 图2 ‎ ‎(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,曲线与的参数方程分别为 ‎(t为参数)和(为参数),则曲线 与的的交点坐标为 .‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆中的半径为1,‎ A、B、C是圆周上的三点,满足,过 点A作圆的切线与 O C 的延长线交于点P,则 图3 ‎ ‎ .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分分)‎ 已知函数(其中)的最小正周期为.‎ ‎(1)求的值; ‎ ‎(2)设,,,求的值.‎ ‎17.(本小题共13分)‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图4所示,其中成绩分组区间是:‎ ‎.‎ ‎(1)求图中x的值;‎ ‎(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的 图4 ‎ x ‎ ‎ ‎ 人数记为,求的数学期望.‎ ‎18.(本小题共13分)‎ 如图5所示,在四棱锥中,底面ABCD 为矩形, 平面ABCD,点 E 在线段 PC 上, ‎ 平面BDE.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎ (2)若,求二面角的 正切值.‎ 图5 ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设数列的前n项和为,满足,且成等差数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有.‎ ‎20.(本小题共14分) ‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率,且 椭圆C上的点到点的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆相 交于不同的两点A、B,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的 的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 设,集合,,.‎ ‎(1)求集合D(用区间表示);‎ ‎(2)求函数在D内的极值点.‎ 试题解析 ‎ 全卷相较于去年广东高考数学题难度下降了很多,多数为基础题,而且几乎都是常见题型,没有新意,试题区分度不够,这意味着会有很多高分出现。试题考查的主干知识依然不变,三角函数和向量、立体几何、函数和导数、解析几何、数列和不等式、概率与统计占据了全卷大部分题目,而且强调对考生的基础知识和基本技能的考查,难题不多,利于考生发挥水平.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 D ‎ C A A B C D ‎ C ‎1、解析:,所以选D.‎ ‎2、解析:求集合M在U中的补集,即删掉集合U中属于M的元素:,选C.‎ ‎3、解析:,所以选A.‎ ‎4、解析:是定义域在上的增函数,在上当然也是增函数,正确答 案是A;选项B中是上的减函数,选项C中是R上的减函数,而选项D中在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎5、解析:线性规划题,不等式的解即可行域为右图中 阴影部分所示。要求的最大值,则求经过阴影部分 的直线在y轴上的截距的最大值,从而易知如图 ‎ 所示的直线时取得最大值,最大值为11,选B.‎ ‎6、解析:该几何体是一个圆锥放置在一个圆柱上,其中圆柱和圆 第5题图 ‎ 锥的底面直径均为6,圆柱的高为5,圆锥的母线长为5,从 而圆锥的高为,于是该几何体的体积为:‎ ‎ .‎ ‎7、解析:个位数与十位数之和为奇数,则个位数和十位数上是一个奇数和一个偶数,从而个位数和十位数之和为奇数的两位数有:,其中个位数为0的有:个,于是 个位数为0的概率为.‎ ‎8、解析:易得,由可得:,‎ 从而有:,‎ 又因为,从而,即,‎ ‎ 于是,‎ ‎ 又因为,从而,则,‎ 又由于,则有,选C.‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。‎ ‎(一)必做题(9 ~ 13题)‎ ‎9、 10、20 11、 12、 13、8‎ ‎9、解析:方法一:分类讨论,当时,原不等式化为:,显然不成立;‎ ‎ 当时,原不等式化为:,解得:,于是;‎ ‎ 当时,原不等式化为:,不等式恒成立.‎ ‎ 综上可得,原不等式的解集为.‎ ‎ 方法二:表示数轴上求数轴上的点x,使得x到的距离与到原点的距离之差小于等于1.画图不难求得,当时,满足条件.‎ ‎10、解析:的展开式中一般项为 ,那么当时就是含的项,即,其系数为20.‎ ‎11、解析:,解得:,.‎ ‎12、解析:,曲线在处的切线的斜率为,从而切线方程为 ‎ ,即.‎ ‎13、解析:根据运算法则可得如下表格:‎ 起始 第一次运算 第二次运算 第三次运算 结束 ‎ 从而可知,最后的输出结果为.‎ ‎(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14、 15、‎ ‎14、解析:曲线即:,曲线即:,联立方程求解可得:‎ ‎ ,或(舍去),从而,与的交点坐标为.‎ ‎15、解析:如右图所示,连结OA,易知,‎ ‎ 而由圆周角定理可知:,‎ ‎ 于是,‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16、(本题满分12分)‎ 解:(1)由,可得:;‎ ‎(2)由(1)得:,‎ ‎,,‎ 又∵,则.‎ 而,,‎ 又∵,则.‎ 从而 ‎17、(本题满分13分)‎ 解:(1)由图可得:,解得:;‎ ‎ (2)成绩在80分以上(含80分),低于90分的学生一共有: 人 ‎ 成绩在90分以上(含90分)的学生一共有:人 ‎ 于是成绩不低于80分的学生一共有:9 + 3 = 12人.‎ ‎ 从而可能的取值为0,1,2;‎ ‎ ; ; ‎ ‎;‎ ‎ 的数学期望.‎ ‎18、(本题满分13分)‎ 解:(1)∵平面ABCD,平面ABCD,∴‎ ‎ 又∵平面BDE,平面BDE,∴‎ ‎ 而平面,平面,且,‎ ‎ ∴平面 ‎(2)∵平面,平面 ‎ ∴,于是矩形ABCD是正方形 ‎ ,‎ ‎ 由平面BDE,平面BDE,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ 于是是二面角的平面角,‎ ‎ 又平面,平面,,‎ ‎ 从而.‎ ‎ 易知,在中有:,‎ ‎ 在中,,‎ ‎ 于是,从而二面角的平面角的正切值为3.‎ ‎19、(本题满分14分)‎ 解:(1)依题意有:,即, ①‎ ‎ 由成等差数列,则有, ②‎ ‎① - ②得:, ;‎ ‎(2)由得: ‎ ‎,即 从而有:,‎ 于是是首项为3,公比为3的等比数列,从而,‎ ‎,‎ ‎(3)当时,,不等式成立;‎ ‎ 当时,有:,即,则,‎ 从而有,于是有:‎ ‎ ‎ ‎20、(本题满分14分)‎ 解:(1),,即,‎ 于是椭圆方程为,‎ 设椭圆C上任意一点P的坐标为,则 从而 ‎①当即,当时,PQ取得最大值3,即,解得:;‎ ‎②当即,当时,PQ取得最大值3,即得(舍)‎ 从而,椭圆C的方程为:.‎ ‎(2)法一:‎ 当,取最大值,‎ 点O到直线距离∴‎ 又∵解得:‎ 所以点M的坐标为 的面积为 法二:‎ 设点与直线与圆相交于不同的两点A、B,‎ ‎ 则有:圆O到直线l的距离,‎ ‎ 而,‎ ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当,即时取等号.‎ ‎ 而点在椭圆C上,则有:‎ ‎ 从而当,时,取得最大值,‎ ‎ 此时点M的坐标为:.‎ ‎21、(本题满分14分)‎ 解:(1)设,‎ ‎ 判别式,‎ ① 当时,即,的解集为R,‎ 从而;‎ ② 当时,,的解集为 ‎,‎ 当时, ,‎ ‎,‎ 从而;‎ 而当时,‎ 于是有:,‎ 从而.‎ ‎(2)‎ ‎ ① 当时,,‎ ‎ 在处取得极大值,在处取得极小值;‎ ② 当时,,‎ ‎∵ ‎ 由可得:‎ 从而没有极值点;‎ ‎ ③ 当时,,‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ 而 对于 由可得:‎ ‎ ‎ 从而可得:‎ ‎ 于是,在处取得极大值.‎
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