广东省高考数学试题理科试卷分析含小题详细答案

广东省高考数学试题理科试卷分析含小题详细答案

绝密★启用前 试卷类型：A ‎2012年普通高等学校招生全国统一试卷（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 1. 整体分析：‎ 试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。本试卷大大加强了对二次函数分类讨论的考查，即20题、21两题。本试卷计算量不大，仅最后一题讨论稍花时间，平时基础不错的学生，时间足够。‎ 2. 题目分析：‎ （1） 填空、选择相对较易，但第8题保持了广东卷近几年一贯传统，是一个创新题，得分率可能不高。‎ （2） 三角函数、概率统计、立体几何三道大题按正常的顺序出题，难度相比平时的模拟训练难度都小很多。‎ （3） 数列前两问比较正统，数列不等式考查放缩法，有些难度，但和去年高考数列题有很大相似之处，如有联想，可以迎刃而解。若数列放缩到等比数列比较熟练也可很快处理。‎ （4） 解析几何第一问主要考查二次函数值域，注意对称轴和区间；‎ 第二问同2011广州二模理科（文科也有）题相似，但难度低了很多。‎ （5） 函数与导数主要考查二次函数的分类讨论，入手容易，但想完全不失分还是需要很好的功底。‎ （6） 本卷出题较易，拉分点除了以上所提的陷阱以外，要注意解题步骤的严密性、字迹等问题，本次改卷从严的可能性较大。‎ 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：柱体体积公式，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。‎ 锥体体积公式，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设i是虚数单位，则复数 ‎ A．　　　 B． C． D．‎ ‎2．设集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎3．若向量，向量，则 A． B． C． D．‎ ‎4．下列函数，在区间上为增函数的是 A． B． C． D．‎ ‎5．已知变量满足约束条件，则的最大值为 A．12 B．‎11 C．3 D．‎ ‎6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 图1 ‎ 正视图 ‎ 俯视图 ‎ 侧视图 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，‎ a与b的夹角，且和都在集合中，则 A． B．‎1 ‎‎ ‎C． D． ‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9~ 13题）‎ ‎9．不等式的解集为 ． ‎ ‎10．中的系数为 ．（用数字作答） ‎ ‎11．已知递增的等差数列满足，，则 ．‎ ‎12．曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为 ．‎ ‎ ‎ 图2 ‎ ‎（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线与的参数方程分别为 ‎（t为参数）和（为参数），则曲线 与的的交点坐标为 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆中的半径为1，‎ A、B、C是圆周上的三点，满足，过 点A作圆的切线与 O C 的延长线交于点P，则 图3 ‎ ‎ ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分分）‎ 已知函数（其中）的最小正周期为．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）设，，，求的值．‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的 图4 ‎ x ‎ ‎ ‎ 人数记为，求的数学期望．‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 如图5所示，在四棱锥中，底面ABCD 为矩形， 平面ABCD，点 E 在线段 PC 上， ‎ 平面BDE．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎ （2）若，求二面角的 正切值．‎ 图5 ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前n项和为，满足，且成等差数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有．‎ ‎20．（本小题共14分） ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率，且 椭圆C上的点到点的距离的最大值为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相 交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的 的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设，集合，，．‎ ‎（1）求集合D（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数在D内的极值点．‎ 试题解析 ‎ 全卷相较于去年广东高考数学题难度下降了很多，多数为基础题，而且几乎都是常见题型，没有新意，试题区分度不够，这意味着会有很多高分出现。试题考查的主干知识依然不变，三角函数和向量、立体几何、函数和导数、解析几何、数列和不等式、概率与统计占据了全卷大部分题目，而且强调对考生的基础知识和基本技能的考查，难题不多，利于考生发挥水平．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 D ‎ C A A B C D ‎ C ‎1、解析：，所以选D．‎ ‎2、解析：求集合M在U中的补集，即删掉集合U中属于M的元素：，选C．‎ ‎3、解析：，所以选A．‎ ‎4、解析：是定义域在上的增函数，在上当然也是增函数，正确答 案是A；选项B中是上的减函数，选项C中是R上的减函数，而选项D中在上是减函数，在上是增函数．‎ ‎5、解析：线性规划题，不等式的解即可行域为右图中 阴影部分所示。要求的最大值，则求经过阴影部分 的直线在y轴上的截距的最大值，从而易知如图 ‎ 所示的直线时取得最大值，最大值为11，选B．‎ ‎6、解析：该几何体是一个圆锥放置在一个圆柱上，其中圆柱和圆 第5题图 ‎ 锥的底面直径均为6，圆柱的高为5，圆锥的母线长为5，从 而圆锥的高为，于是该几何体的体积为：‎ ‎ ．‎ ‎7、解析：个位数与十位数之和为奇数，则个位数和十位数上是一个奇数和一个偶数，从而个位数和十位数之和为奇数的两位数有：，其中个位数为0的有：个，于是 个位数为0的概率为．‎ ‎8、解析：易得，由可得：，‎ 从而有：，‎ 又因为，从而，即，‎ ‎ 于是，‎ ‎ 又因为，从而，则，‎ 又由于，则有，选C．‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎（一）必做题（9 ~ 13题）‎ ‎9、 10、20 11、 12、 13、8‎ ‎9、解析：方法一：分类讨论，当时，原不等式化为：，显然不成立；‎ ‎ 当时，原不等式化为：，解得：，于是；‎ ‎ 当时，原不等式化为：，不等式恒成立．‎ ‎ 综上可得，原不等式的解集为．‎ ‎ 方法二：表示数轴上求数轴上的点x，使得x到的距离与到原点的距离之差小于等于1．画图不难求得，当时，满足条件．‎ ‎10、解析：的展开式中一般项为 ，那么当时就是含的项，即，其系数为20．‎ ‎11、解析：，解得：，．‎ ‎12、解析：，曲线在处的切线的斜率为，从而切线方程为 ‎ ，即．‎ ‎13、解析：根据运算法则可得如下表格：‎ 起始 第一次运算 第二次运算 第三次运算 结束 ‎ 从而可知，最后的输出结果为．‎ ‎（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14、 15、‎ ‎14、解析：曲线即：，曲线即：，联立方程求解可得：‎ ‎ ，或（舍去），从而，与的交点坐标为．‎ ‎15、解析：如右图所示，连结OA，易知，‎ ‎ 而由圆周角定理可知：，‎ ‎ 于是，‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16、（本题满分12分）‎ 解：（1）由，可得：；‎ ‎（2）由（1）得：，‎ ‎，，‎ 又∵，则．‎ 而，，‎ 又∵，则．‎ 从而 ‎17、（本题满分13分）‎ 解：（1）由图可得：，解得：；‎ ‎ （2）成绩在80分以上（含80分），低于90分的学生一共有： 人 ‎ 成绩在90分以上（含90分）的学生一共有：人 ‎ 于是成绩不低于80分的学生一共有：9 + 3 = 12人．‎ ‎ 从而可能的取值为0,1,2；‎ ‎ ； ； ‎ ‎；‎ ‎ 的数学期望．‎ ‎18、（本题满分13分）‎ 解：（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴‎ ‎ 又∵平面BDE，平面BDE，∴‎ ‎ 而平面，平面，且，‎ ‎ ∴平面 ‎（2）∵平面，平面 ‎ ∴，于是矩形ABCD是正方形 ‎ ，‎ ‎ 由平面BDE，平面BDE，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ 于是是二面角的平面角，‎ ‎ 又平面，平面，，‎ ‎ 从而．‎ ‎ 易知，在中有：，‎ ‎ 在中，，‎ ‎ 于是，从而二面角的平面角的正切值为3．‎ ‎19、（本题满分14分）‎ 解：（1）依题意有：，即， ①‎ ‎ 由成等差数列，则有， ②‎ ‎① - ②得：， ；‎ ‎（2）由得： ‎ ‎，即 从而有：，‎ 于是是首项为3，公比为3的等比数列，从而，‎ ‎，‎ ‎（3）当时，，不等式成立；‎ ‎ 当时，有：，即，则，‎ 从而有，于是有：‎ ‎ ‎ ‎20、（本题满分14分）‎ 解：（1），，即，‎ 于是椭圆方程为，‎ 设椭圆C上任意一点P的坐标为，则 从而 ‎①当即,当时，PQ取得最大值3，即，解得：；‎ ‎②当即,当时，PQ取得最大值3，即得（舍）‎ 从而，椭圆C的方程为：．‎ ‎（2）法一：‎ 当，取最大值，‎ 点O到直线距离∴‎ 又∵解得：‎ 所以点M的坐标为 的面积为 法二：‎ 设点与直线与圆相交于不同的两点A、B，‎ ‎ 则有：圆O到直线l的距离，‎ ‎ 而，‎ ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时取等号．‎ ‎ 而点在椭圆C上，则有：‎ ‎ 从而当，时，取得最大值，‎ ‎ 此时点M的坐标为：．‎ ‎21、（本题满分14分）‎ 解：（1）设，‎ ‎ 判别式，‎ ① 当时，即，的解集为R，‎ 从而；‎ ② 当时，，的解集为 ‎，‎ 当时， ，‎ ‎，‎ 从而；‎ 而当时，‎ 于是有：，‎ 从而．‎ ‎（2）‎ ‎ ① 当时，，‎ ‎ 在处取得极大值，在处取得极小值；‎ ② 当时，，‎ ‎∵ ‎ 由可得：‎ 从而没有极值点；‎ ‎ ③ 当时，，‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ 而 对于 由可得：‎ ‎ ‎ 从而可得：‎ ‎ 于是，在处取得极大值．‎