2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由直线方程求出直线的斜率，再利用倾斜角的正切值等于斜率即可求得．‎ ‎【详解】‎ 设直线的倾斜角是，．‎ 直线化为，∴，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．‎ ‎2．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）‎ A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面 C．两条相交直线确定一平面 D．两条平行直线确定一平面 ‎【答案】B ‎【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.‎ ‎【详解】‎ 自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.‎ ‎3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，‎ ‎∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，‎ ‎∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的大小的求法，也考查数形结合与数学转化思想方法，属于基础题．‎ ‎4．已知点在圆外，则的取值范围（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出圆的标准方程，结合点与圆的位置关系建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵圆，‎ 圆的标准方程为，‎ ‎∴圆心坐标，半径，‎ 若在圆外，‎ 则满足 ，且，‎ 即且，即 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点和圆的位置关系的应用，求出圆的标准方程是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎5．已知直线及平面，下列命题中错误的是（　　）‎ A．若∥m，l∥n，则m∥n B．若⊥α，n∥α，则⊥n C．若⊥m，m∥n，则⊥n D．若∥α，n∥α，则∥n ‎【答案】D ‎【解析】在A中，由平行公理得m∥n；在B中，由线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥n；在C中，平行线的性质定理得l⊥n；在D中，l与n相交、平行或异面．‎ ‎【详解】‎ 由直线l，m，n及平面，知：‎ 在A中，若l∥m，l∥n，则由平行公理得m∥n，故A正确；‎ 在B中，若l⊥，n∥，则由线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥n，故B正确；‎ 在C中，若l⊥m，m∥n，则平行线的性质定理得l⊥n，故C正确；‎ 在D中，若l∥，n∥，则l与n相交、平行或异面，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，属于中档题．‎ ‎6．圆和圆的位置关系是( )‎ A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 ‎【答案】C ‎【解析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．‎ ‎【详解】‎ 把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，‎ 故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，‎ ‎∵圆心之间的距离，则R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，‎ ‎∴两圆的位置关系是相交．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.‎ ‎7．如图所示，在同一直角坐标系中，正确表示直线与的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用直线斜率与截距的意义即可得出．‎ ‎【详解】‎ 假设，则中的的截距与矛盾，同理也与矛盾．‎ 假设，则中的斜率小于零，与斜率大于零相矛盾，故符合条件．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线斜率与截距的意义，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．‎ ‎8．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）‎ A．6 B．7 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，当侧面AA1B1‎ B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，‎ 设△ABC的面积为S，则S梯形＝S，水的体积V水＝S×AA1＝6S，‎ 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，‎ 则有V水＝Sh＝6S，故h＝6.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．‎ ‎9．若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（ ）‎ A．2 B．1 C．4 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 圆C：（x﹣5）2+（y+1）2＝4是一个以（5，﹣1）为圆心，以2为半径的圆．‎ 圆心到4x+3y﹣2＝0的距离为，‎ 所以圆C：（x﹣5）2+（y+1）2＝4上有1个点到直线4x+3y﹣2＝0的距离为1.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎10．在梯形中，．将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】判断旋转后的几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知旋转后的几何体如图所示：将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的 曲面所围成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查旋转几何体的体积的求法，判断旋转后几何体的形状是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11．如图所示：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，‎ ‎∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，‎ ‎∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，‎ ‎∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．‎ ‎12．如图，四边形中，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列结论正确的是（ ）‎ A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 ‎【答案】B ‎【解析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD平面BCD. ‎ 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，CD∩AD=D，∴AB⊥平面ADC，‎ 又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理，考查逻辑思维能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．在空间直角坐标系中，设，且，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 .‎ ‎14．已知圆，点P在圆C上运动，则OP的中点M的轨迹方程_____．（为坐标原点）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，得代入已知圆的方程，能求出线段的中点的轨迹方程．‎ ‎【详解】‎ 设，∵为坐标原点，且是线段的中点，得，‎ 当点在圆上运动时，把代入圆得：.‎ 整理得线段的中点的轨迹方程为：．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查相关点法、中点坐标公式等基础知识，属于中档题．‎ ‎15．一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积．‎ ‎【详解】‎ ‎∵一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上，‎ ‎∴设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，‎ 设球的半径为，则 ‎∴球的表面积 .‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．‎ ‎16．如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是_____．‎ ‎①∥平面；‎ ‎②平面⊥平面；‎ ‎③三棱锥的体积为定值；‎ ‎④存在某个位置使得异面直线与成角°．‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】在①中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1‎ ‎，从而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，从而三棱锥E﹣ABF的体积为定值；在④中，令上底面中心为O，得到存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°．‎ ‎【详解】‎ 由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，知：‎ 在①中，由EF∥BD，且EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；‎ 在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，‎ 而BE⊂面BDD1B1，BF⊂面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF，‎ ‎∵AC⊂平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正确；‎ 在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，‎ 三棱锥A﹣BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E﹣ABF的体积为定值，故③正确；‎ 在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，‎ 则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝300，‎ 故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确．‎ 故答案为：①②③④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知三个顶点是 ‎（1）求边上的垂直平分线的直线方程；‎ ‎（2）求的面积 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得BC的中点和BC的斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可；‎ ‎（2）由（1）得BC的方程，可得A到BC的距离，再求得BC的长度，代入三角形的面积公式可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，则所求直线的斜率为： ‎ 又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：；‎ ‎（2）直线的方程为：，则点到直线 的距离为：，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的一般式方程和三角形的面积，及点到直线的距离，属于基础题．‎ ‎18．如图所示，在直三棱柱中，,点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）利用为直三棱柱，得，利用，说明，得平面，推出．‎ ‎（2）设，得为的中点，证得，即可证明平面．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在直三棱柱中，底面三边长，，且，‎ ‎，又，平面，平面.‎ 平面 ，平面，；‎ ‎（2）设与的交点为E，连接DE，又四边形为正方形．‎ ‎∵是的中点，是的中点， ‎ 平面平面，平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．‎ ‎19．已知圆及直线，直线l被圆C截得的弦长为.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求过点并与圆C相切的切线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，然后由大于0，得到满足题意的值；（2）把（1）求出的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为，由和设出的写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离，让 等于圆的半径即可列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，把的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.‎ 试题解析：（）根据题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，‎ 由勾股定理可以知道，代入化简得，‎ 解得或，‎ 又，‎ 所以．‎ ‎（）由（）知圆，圆心为，半径，‎ 点到圆心的距离为，故点在圆外，‎ 当切线方程的斜率存在时，设方程为，则圆心到切线的距离，‎ 化简得：，故．‎ ‎∴切线方程为，‎ 即，‎ 当切线方程斜率不存在时，直线方程为与圆相切，‎ 综上，过点并与圆相切的切线方程为或．‎ ‎20．已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，面面，E为CD的中点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）首先利用勾股定理可求得，应用平行垂直关系得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；‎ ‎（2）作出垂线段，求得结果，应用体积公式求得结果.‎ 详解：（1）证明：底面ABCD是正方形，AB//CD 又，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 又 ‎ ‎（2）且， ‎ 又， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 为三棱锥的 高， ‎ ‎= ‎ ‎(另可以以为底，为高计算. )‎ 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定以及椎体体积的求解，在解题的过程中，注意应用勾股定理也是证明线面垂直的方法，再者就是在求三棱锥的体积的时候可以应用顶点和底面转换达到简化求解的目的.‎ ‎21．如图，在四棱锥中， 平面，，，为中点．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)线段上是否存在一点，使平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在一点，且.‎ ‎【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用线面平行的性质定理推证求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）连接，‎ 在中，，‎ 又∵为中点，，‎ ‎∴‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴，∵，∴平面，‎ 又∵平面，∴平面平面 ‎（2）线段上存在一点，且时，平面 证明如下：连接交于点，在平面中过点作，则交于 又∵平面平面 ‎∴平面，‎ ‎∵四边形，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴当时，平面 ‎【考点】面面垂直和线面平行的性质等定理的综合运用．‎ ‎22．已知直线恒过定点，圆经过点和定点，且圆心在直线上．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)已知点为圆直径的一个端点，若另一端点为点，问轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）先求出直线过定点，设圆的一般方程，由题意列方程组，即可求圆的方程；‎ ‎（2）由（1）可知：求得直线的斜率，根据对称性求得点坐标，由在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)直线的方程可化为，由解得 ‎∴定点的坐标为． 设圆的方程为，则圆心 ‎ 则依题意有 解得 ‎ ‎∴圆的方程为； ‎ ‎(2)由(1)知圆的标准方程为,∴圆心，半径.‎ ‎∵是直径的两个端点，∴圆心是与的中点，‎ ‎∵轴上的点在圆外，∴是锐角，即不是直角顶点．‎ 若是的直角顶点，则，得； ‎ 若是的直角顶点，则，得. ‎ 综上所述，在轴上存在一点，使为直角三角形，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于中档题．‎