数学卷·2019届浙江省温州中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学卷·2019届浙江省温州中学高二上学期期中考试（2017-11）

机密★考试结束前 温州中学 2017 学年第一学期高二期中考试 数学试题 2017.11 命题：董玲臣、林月蕾 校 稿：赵大藏 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷 共 4 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题 部分 2 至 4 页。满分 100 分，考试时 间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、 写在答题纸上。 参考公式： 柱体的体积公式：V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式：V=1 3Sh 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 台体的体积公式 V=1 3(S1++S2)h 其中 S1，S2 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体 的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=4 3πR3 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设 a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既 不充分又不必要条件 2．设 a，b，c 是非零向量，已知命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0，命题 q：若 a ∥b，b∥c，则 a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p∨q B．p∧q C．(￢p)∧(￢q) D．p∨(￢q) 3．下面四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点， 能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( )． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 4．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上，且 AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为 m，n，那么 m＋n＝( ) A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图 1 所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、 CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE、AF 及 EF 把这 个正方形折成一个四面体，使 B、C、D 三点重合，重 合后的点记为 H，如图 2 所示，那么，在四面体 AEFH 中必有( )． A．AH⊥△EFH 所在平面 B．AG⊥△EFH 所在平面 C．HF⊥△AEF 所在平面 D．HG⊥△AEF 所在平面 6．椭圆 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围 是 [－2，－1]，那么直线 PA1 斜率的取值范围是( ) A．3 4 B．3 4 C． 1，1 D． 3，1 7．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上 的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．5 －4 B． －1 C．6－2 D． 8．已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥 S-ABC 的体积为( )． A．3 B．2 C． D．1 9．已知点 A(1,3)，B(－2，－1)．若直线 l：y＝k(x－2)＋1 与线段 AB 相交，则 k 的取值 范围是( )． A．k≥1 2 B．k≤－2 C．k≥1 2或 k≤－2 D．－2≤k≤1 2 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点 Q 满足OQ → ＝(a ＋b)．曲线 C＝{P|OP → ＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R， r＜R}．若 C∩Ω为两段分离的曲线，则( ) A．1＜r＜R＜3 B．1＜r ＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3 ＜R 非选择题部分（共 60 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，每空 3 分，共 21 分。 11．若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4 有且只有一个是正确的， 则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 12．一个儿何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的 体积为________m3． 13．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角 形； ②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是 平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的个数是________． 14．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，将△ABD 沿对角线 BD 折 起到△A′BD 的位置，使点 A′在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落在 BC 边上，则异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为________． 15．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给出下列 命题： ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则 l⊥γ； ③若直线 l 与平面α内的无数条直 线垂直，则直线 l 与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β． 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 16．已知1 a＋1 b＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线 x－2y－a＝0 的距离的最小值为________． 17．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点 A(0，－1)，B(0,1)．P 是圆 C 上的动点，当|PA|2 ＋|PB|2 取最大值时，点 P 的坐标是________． 三、解答题：本大题共 4 小题，共 39 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（8 分）已知，如图一个空间几何体的三视图． （1）该空间几何体是如何构成的？ （2）画出该几何体的直观图； （3）求该几何体的表面积和体积． 19．（9 分）已知与圆 C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切的直线 l 交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，|OA| ＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)． （1）求证：(a－2)(b－2)＝2； （2）求线段 AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值． 20．（10 分）三棱锥 A BCD 及其侧视图、俯视图如图 14 所示．设 M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，P 为线段 BC 上的点，且 MN⊥NP． （1）证明 ：P 是线段 BC 的中点； （2）求二面角 A NP M 的余弦值． 21．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1，0)的距离比它到 y 轴的距离多 1．记 点 M 的轨迹为 C． （1）求轨迹 C 的方程； （2）设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(－2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、 两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围． 机密★考试结束前 温州中学 2017 学年第一学期高二期中考试 数学试题 2017.11 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1-5 CAAAA 6-10 BACDA 二、填空题：本大题共 7 小题，每空 3 分，共 21 分。 11． 6 12． 20π 3 13． 1 14． 90° 15．①② 16． 10 5 17． 24 5 三、解答题：本大题共 4 小题，共 39 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18． (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为 2，高为 1 的长 方体，上半部分是一个底面各边长为 2，高为 1 的正四棱锥． (2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图． (3)由题意可知，该几何体是由长方体 ABCD－A′B′C′D′与正四棱 锥 P－A′B′C′D′构成的简单几何体． 由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取 A′B′中点 Q，连接 PQ， 从而 PQ＝＝＝，所以该几何体表面积 S＝1 2(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋ AB·AD＝4＋12. 体积 V＝2×2×1＋1 3×2×2×1＝16 3 . 19． (1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为x a＋y b＝1，即 bx＋ay－ab＝0， 圆心到该直线的距离 d＝|a＋b－ab| a2＋b2 ＝1， 即 a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即 a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0， 即 ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2. (2)设 AB 中点 M(x，y)，则 a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2， 得(x－1)(y－1)＝1 2(x>1，y>1)． (3)由(a－2)(b－2)＝2 得 ab＋2＝2(a＋b)≥4， 解得≥2＋(舍去≤2－)， 当且仅当 a＝b 时，ab 取最小值 6＋4，所以△AOB 面积的最小值是 3＋2. 20．解：(1)如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO. 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD 为正三角形， 所以 AO⊥BD，OC⊥BD. 因为 AO，OC ⊂ 平面 AOC，且 AO∩OC＝O， 所以 BD⊥平面 AOC. 又因为 AC ⊂ 平面 AOC，所以 BD⊥AC. 取 BO 的中点 H，连接 NH，PH. 又 M，N，H 分别为线段 AD，AB，BO 的中点，所以 MN∥BD，NH∥AO， 因为 AO⊥BD，所以 NH⊥BD. 因为 MN⊥NP，所以 NP⊥BD. 因为 NH，NP ⊂ 平面 NHP，且 NH∩NP＝N，所以 BD⊥平面 NHP. 又因为 HP ⊂ 平面 NHP，所以 BD⊥HP. 又 OC⊥BD，HP ⊂ 平面 BCD，OC ⊂ 平面 BCD，所以 HP∥OC. 因为 H 为 BO 的中点，所以 P 为 BC 的中点． (2)方法一：如图所示，作 NQ⊥AC 于 Q，连接 MQ. 由(1)知，NP∥AC，所以 NQ⊥NP. 因为 MN⊥NP，所以∠MNQ 为二面角 A NP M 的一个平面角． 由(1)知，△ABD，△BCD 为边长为 2 的正三角形，所以 AO＝OC＝. 由俯视图可知，AO⊥平面 BCD. 因为 OC ⊂ 平面 BCD，所以 AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC 中，AC＝. 作 BR⊥AC 于 R 因为在△ABC 中，AB＝BC，所以 R 为 AC 的中点， 所以 BR＝AC 2 ＝10 2 . 因为在平面 ABC 内，NQ⊥AC，BR⊥AC， 所以 NQ∥BR. 又因为 N 为 AB 的中点，所以 Q 为 AR 的中点， 所以 NQ＝BR 2 ＝10 4 . 同理，可得 MQ＝10 4 . 故△MNQ 为等腰三角形，所以在等腰△MNQ 中， cos∠MNQ＝2＝4＝10 5 . 故二面角 A NP M 的余弦值是10 5 . 21．解：(1)设点 M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1， 化简整理得 y2＝2(|x|＋x)． 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2＝4x，x≥0， 0，x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)． 依题意，可设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)． 由方程组y－1＝k（x＋2）， y2＝4x， 可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① 当 k＝0 时，y＝1.把 y＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x＝1 4. 故此时直线 l：y＝1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 1，1. 当 k≠0 时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0，0) ，则由 y－1＝k(x＋2)，令 y＝0，得 x0＝－2k＋1 k .③ (i)若 Δ<0， x0<0，由②③解得 k<－1 或 k>1 2. 即当 k∈(－∞，－1)∪ 1，＋∞时，直线 l 与 C1 没有公共点，与 C2 有一个公共点．故此时直 线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点． (ii)若Δ＝0， x0<0，或 Δ>0， x0≥0，由②③解得 k∈1 2或－1 2≤k<0. 即当 k∈1 2时，直线 l 与 C1 只有一个公共点． 当 k∈ 1，0时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 没有公共点． 故当 k∈ 1，0∪1 2时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． (iii)若 Δ>0， x0<0，由②③解得－1

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