数学理卷·2017届四川省宜宾市高三第三次诊断性测试（2017

数学理卷·2017届四川省宜宾市高三第三次诊断性测试（2017

高2014级第三次诊断性测试题 数学（理工类）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码；请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）的常数项为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）下列说法正确的个数为 ‎ ①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；‎ ‎ ②命题“”的否定是“”；‎ ‎ ③“且为真”是“或为真”的充分不必要条件；‎ ‎ ④已知直线和平面，若，，则.‎ ‎（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4‎ ‎（6）在2016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为 ‎ （A）216 （B）108 （C）432 （D）120‎ ‎（7）函数的大致图象是 ‎ ‎ ‎（8）执行如右图所示程序框图，若输入的，则输出的 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（10）在中，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于、两点，若，且，则的值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎（13）若随机变量服从正态分布，且，则的值为__________．‎ ‎（14）设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是 ．‎ ‎（15）函数的最小正周期为，若，则函数取得最大值时的=______.‎ ‎（16）已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，，，，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．‎ ‎ （17）（本小题满分12分）‎ 已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）记，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎ （18）（本小题满分12分）‎ ‎《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目。某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ ‎　‎ 喜欢《最强大脑》‎ 不喜欢《最强大脑》‎ 合计 男生 ‎　‎ ‎15‎ ‎　‎ 女生 ‎15‎ ‎　‎ ‎　‎ 合计 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 已知在这人中随机抽取人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为.‎ ‎（I）请将上述列联表补充完整；判断是否有的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；‎ ‎（II）已知在被调查的大学生中有名是大一学生，其中名喜欢《最强大脑》，现从这名大一学生中随机抽取人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 下面的临界值表仅参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：其中）‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED平面ABCD，，.‎ ‎（I）证明: ;‎ ‎（II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线的距离的比值为.‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程;‎ ‎（II）过点F作与轴不垂直的直线交轨迹于两点，在线段OF上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）若函数的图象在处的切线的斜率为，求的极值;‎ ‎（II）当时，的图象恒在轴下方，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.‎ ‎（22）(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数）．‎ ‎（I）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；‎ ‎（II）直线的参数方程为：（其中为参数），直线与曲线分别交于，两点，且，求直线的斜率.‎ ‎ ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（I）当时，解不等式； ‎ ‎（II）当时，恒成立，求的取值范围.‎ 高2014级第三次诊断性测试题数学（理工类）参考答案 说明：‎ ‎ 一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D A C A B C B D D A 二、填空题 ‎13. 14. 4 15. 16. ‎ ‎12.解析：∵过点F作直线AB ，设，则 由，有。‎ 又∵，∴，即 ‎∴（舍）或者。‎ 解析：关键是求球半径，经过分析可知：球半径就是的外接圆半径。‎ 余弦、和正弦定理可以得出，所以有球的表面积为。‎ 三、解答题 ‎17.解：（I）由题得 ……………………………2分 ‎∴，∴， ……………………………………4分 ‎∴ ……………………………………6分 ‎（II）∵，∴ ……………………8分 ‎∴ …………………9分 ‎∴ ……………………………………12分 ‎18. （I）‎ 喜欢《最强大脑》‎ 不喜欢《最强大脑》‎ 合计 男生 ‎45‎ ‎15‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 分 ‎ ‎ 有的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关。 分 ‎（II）可以取 ‎ 分 分布列为：‎ P 分 ‎ 分。‎ ‎19.(1)证明：四边形ABCD为正方形 ‎ ‎ 平面ADE平面ABCD,并且平面ADE平面ABCD=AD CD平面ADE 又 即 …………4分 ‎(2)令AE=1 ,,(在图形中要体现坐标系)‎ ‎ ,‎ 设平面EFBD的法向量为 ‎ 则 ‎ 令，则 即 存在M,当M与E点重合时满足条件。 …………12分 ‎20.解: (1) 设,依题意有:‎ ‎ ‎ ‎ 整理得E的方程为. ………………………………5分 ‎ (2) 假设在线段OF上是否存在点,使得 直线与轴不垂直,‎ 设,,,, ……………………7分 ‎ 由得,‎ ‎, ……………………8分 因为,‎ ‎(说明:此处还可以用PQ与M与PQ的中点连线的斜率成负倒数关系) …9分 ‎ ……………………11分 ‎,‎ 存在点,的取值范围为.…12分 ‎21.解:(1)由已知有 ‎ ,‎ ‎ ……………………2分 ‎ ‎ 令,解得,‎ 令,解得,‎ 故函数在上位增函数,在上为减函数,‎ 因此, ,无极小值. ……………………5分 ‎(2)由上题可知: ‎ 令,则 当时,,有.‎ 若,即时, ,故在区间上单调递减,‎ 则当时, ,即,故在区间上单调递减,‎ 故当时,‎ 故当,时, 的图象恒在轴下方. ……………………8分 若,即时, 令,可得,‎ 故在区间上单调递增,故当时, .‎ 故在区间上单调递增.,‎ 故当时, ‎ 故当,时, 的图象不可能恒在轴下方, ……………………11分 综上可知: 的取值范围是. ……………………12分 ‎22.解：(I)∵由得，即 ………2分 所以曲线的极坐标方程为： ……………………………………4分 ‎(Ⅱ) 直线的参数方程为：（其中为参数）代入，‎ 得，设其方程的两根为，，∴…………………7分 ‎∴，∴即，‎ ‎∴直线的斜率为 ………………………………………………………………10分 ‎23. 解：(I) 时，，即，‎ ‎∴可得，‎ 原不等式解集为 …………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)①当时，, 解得，‎ ‎ ， ………………………………………………………………7分 ‎ ②时，, 解得 ‎ ， ………………………………………………………………9分 综上所述，的取值范围是 …………………………………………………………10分