高考四川文科数学试题及答案word解析版

高考四川文科数学试题及答案word解析版

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2016年四川，文1，5分】设为虚数单位，则复数（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意，，故选C．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎（2）【2016年四川，文2，5分】设集合，为整数集，则集合中元素的个数是（ ）‎ ‎（A）6 （B）5 （C）4 （D）3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎（3）【2016年四川，文3，5分】抛物线的焦点坐标是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，的焦点坐标为，故选D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．‎ ‎（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎ ‎（C）向上平行移动个单位长度 （D）向下平行移动个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有点向左移个单位，故选A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．‎ ‎（5）【2016年四川，文5，5分】设实数，满足且，实数，满足，则是的 ‎（ ）‎ ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，且，则，而当时不能得出，且．故是的充分不必要条件，故选A．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎（6）【2016年四川卷，文6，5分】已知函数的极小值点，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C）4 （D）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D．‎ ‎【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．‎ ‎（7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：，，)‎ ‎ （A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 ‎【答案】B ‎【解析】设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，，两边取常用对数得，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎（8）【2016年四川，文8，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他 在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所 示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2．则 输出v的值为（ ）‎ ‎（A）35 （B）20 （C）18 （D）9‎ ‎【答案】C ‎【解析】初始值，，程序运行过程如下表所示，，，，‎ ‎，，，，跳出循环，输出，故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行 解答．‎ ‎（9）【2016年四川，文9，5分】已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足 ‎，，则的最大值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，建立直角坐标系．，，．∵满足，‎ ‎∴点的轨迹方程为：，令，，‎ ‎．又，则，∴．‎ ‎∴的最大值是，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎（10）【2016年四川，文10，5分】设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与 垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】解法1：设，易知，，，，则直线：‎ ‎，，与轴的交点为，设 ‎，则交点横坐标为，与轴的交点为，则，故 解法2：特殊值法，若，可算出，，故，排除BC；令，算 出，故选A，故选A．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．‎ 第II卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ‎（11）【2016年四川，文11，5分】 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三角函数诱导公式．‎ ‎【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．‎ ‎（12）【2016年四川，文12，5分】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为，高为1，‎ 三棱锥的体积为．‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．‎ ‎（13）【2016年四川，文13，5分】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为、，则为整数的概 率= ________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，‎ 其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎（14）【2016年四川，文14，5分】若函数是定义上的周期为2的奇函数，当时，，则 _______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数是定义上的周期为2的奇函数，当时，，∴，‎ ‎，则．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．‎ ‎（15）【2016年四川，文15，5分】在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；‎ ‎ 对于②，设曲线关于轴对称，则对于曲线表示同一曲线，其伴随曲 线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为 与的图像关于轴对称，所以正确；对于③，令单位圆 上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于④，直线 上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故错误．所以正确的序号为②③．‎ ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．‎ ‎（16）【2016年四川，文16，12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制 定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 ‎100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，‎ ‎，……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．‎ 说明理由；‎ ‎（3）估计居民月均用水量的中位数．‎ 解：（1）∵，整理得：，解得：．‎ ‎ （2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为万．‎ ‎（3）根据频率分布直方图，得；，‎ ‎，∴中位数应在组内，设出未知数，‎ 令，解得；∴中位数是． ‎ ‎【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积 ‎，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．‎ ‎（17）【2016年四川，文17，12分】如图，在四棱锥中，，，，．‎ ‎（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；‎ ‎（2）证明：平面平面．‎ 解：（1）解法1：‎ 为的中点，直线平面．取的中点，连接，，，‎ 则，∵平面，平面，∴平面．∵，‎ ‎，∴是平行四边形，∴．∵平面，平面，‎ ‎∴平面．∵，∴平面平面，∵平面，∴平面．‎ 解法2：‎ 取棱的中点（平面），点即为所求的一个点．理由如下：因为，，‎ ‎ 所以．所以四边形是平行四边形，从而．又平面，平面．‎ ‎ （说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点）．‎ ‎（2）∵，，与相交，∴平面，∵平面，∴，‎ 由（1）及，可得，∴，∴，∵，‎ ‎∴平面，∵平面，∴平面平面．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎（18）【2016年四川，文18，12分】在中，角所对的边分别是，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求．‎ 解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解为，∵和为三角形内 角 ，∴，则两边同时乘以，可得，‎ 由和角公式可知，，原式得证．‎ ‎（2）由题，根据余弦定理可知，，∵为为三角形内角，，‎ ‎，则，即，由（1）可知，∴，‎ ‎ ∴．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎（19）【2016年四川，文19，12分】已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中 ‎，．‎ ‎（1）若，，成等差数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设双曲线的离心率为，且，求．‎ 解：（1）由已知，，两式相减得到．又由得到，‎ 故对所有都成立．所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列．从而．‎ 由成等差数列，可得，所以，故．所以．‎ ‎（2）由（1）可知，．所以双曲线的离心率．‎ 由解得．所以，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中这一条件．‎ ‎（20）【2016年四川，文20，13分】已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点，点在椭圆上．‎ ‎（1）球椭圆的方程；‎ ‎（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线 与椭圆交于，，证明：．‎ 解：（1）由已知，．又椭圆过点，故，解得．‎ ‎ 所以椭圆的方程．‎ ‎（2）设直线的方程为，，，由方程组，‎ 得 ① 方程①的判别式为，由，即，‎ 解得．由①得，．所以点坐标为，‎ 直线方程为，由方程组，得，．‎ 所以．‎ ‎ 所以．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．．‎ ‎（21）【2016年四川，文21，14分】设函数，，其中，为自 然对数的底数． ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立．‎ 解：（1）．当时，，在内单调递减；当时，‎ 由，由，有．当时，，单调递减；当 时，，单调递增．‎ ‎（2）令，则．当时，，所以，从而．‎ ‎（3）由（2），当时，．当，时，．故当在区 间内恒成立时，必有．当时，．由（1），从而，‎ 所以此时在区间内不恒成立．当时，令．当时，‎ ‎=．因此在区间 单调递增．又因为，所以当时，，即恒成立．‎ 综上，．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．‎