高考试题文科数学分类汇编立体几何

高考试题文科数学分类汇编立体几何

‎2012年高考试题分类汇编：立体几何 ‎ 一、选择题 ‎1.【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎2.【2012高考新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 ‎ ‎（A）π （B）4π （C）4π （D）6π ‎【答案】B ‎3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱中 ，，，为的中点，则直线与平面的距离为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）‎ ‎8.【答案】B.‎ ‎5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A． B‎.5 C.4 D. ‎ ‎【答案】D ‎6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ‎【答案】D ‎7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 图1‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 ‎ A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 ‎ ‎【答案】D.‎ ‎9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎ 【答案】A ‎ ‎10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 A‎.1cm3 B‎.2cm3 C.3cm3 D‎.6cm3‎ ‎【答案】C ‎11.【2012高考浙江文5】 设是直线，a，β是两个不同的平面 A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β ‎【答案】B ‎12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎ 【答案】C ‎13.【2012高考四川文10】如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ‎（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎15.【2012高考四川文14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。‎ ‎【答案】‎ ‎16.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎17.【2012高考湖北文15】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎18.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.‎ ‎【答案】12+π ‎【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。‎ ‎19.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质，棱锥的体积。‎ ‎20.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎21.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体 积 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎22.【2012高考安徽文12】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______。 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎23.【2012高考山东文13】如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.‎ ‎【答案】‎ ‎24.【2012高考安徽文15】若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则______(写出所有正确结论编号)。 ‎ ‎①四面体每组对棱相互垂直 ‎②四面体每个面的面积相等 ‎③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于 ‎④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分 ‎⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 ‎【答案】②④⑤‎ ‎25.【2012高考全国文16】已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.‎ ‎ 【答案】‎ 三、解答题 ‎26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）‎ 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）如果=2，=，,，求 的长。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) ‎ 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。‎ ‎（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。‎ 命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎229.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ ‎）小问8分）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为 ‎（Ⅱ）：由故 面 ，从而 ，故 为所求的二面角的平面角。‎ 因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此得 从而 所以在中，由余弦定理得 ‎【2012高考上海文19】本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：‎ ‎（1）三棱锥的体积 ‎（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎30.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.‎ ‎（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；‎ ‎（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；‎ ‎（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。‎ ‎【答案】‎ ‎31.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点 ‎(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC ‎（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.‎ C B A D C1‎ A1‎ ‎【答案】‎ ‎32.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）‎ ‎ 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎ [中国^教*~育出#版%‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为 又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，‎ 而平面PAC，所以.‎ ‎（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.‎ 由BD平面PAC，平面PAC，知.‎ 在中，由，得PD=2OD.‎ 因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，‎ 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形ＡＯＤ中，‎ 所以 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积.‎ ‎33.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)‎ 如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，‎ 求证：∥平面.‎ ‎【答案】(19)(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知 ，，‎ 又已知，所以平面OCE.‎ 所以，即OE是BD的垂直平分线，‎ 所以.‎ ‎(II)取AB中点N，连接，‎ ‎∵M是AE的中点，∴∥，‎ ‎∵△是等边三角形，∴.‎ 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，‎ 所以ND∥BC，‎ 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.‎ ‎34.【2012高考湖北文19】（本小题满分12分）‎ 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B‎1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B‎2C2D2。‎ A． 证明：直线B1D1⊥平面ACC‎2A2；‎ B． 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查.‎ ‎35.【2012高考广东文18】本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，，求三棱 锥的体积；‎ ‎（3）证明：平面.‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）证明：因为平面，‎ 所以。‎ 因为为△中边上的高，‎ 所以。‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以平面。‎ ‎（2）连结，取中点，连结。‎ ‎ 因为是的中点，‎ ‎ 所以。‎ ‎ 因为平面，‎ 所以平面。‎ 则，‎ ‎ 。‎ ‎（3）证明：取中点，连结，。‎ ‎ 因为是的中点，‎ 所以。‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以。‎ 因为，‎ ‎ 所以。‎ 因为平面，‎ ‎ 所以。‎ ‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 所以平面。‎ ‎36.【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1F⊥CD，如图2。‎ ‎(I)求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎(II)求证：A‎1F⊥BE；‎ ‎(III)线段A1B上是否存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ？说明理由。‎ ‎ 【答案】‎ ‎37.【2012高考浙江文20】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B‎1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B‎1C1E与直线AA1的交点。‎ ‎（1）证明：（i）EF∥A1D1；‎ ‎（ii）BA1⊥平面B‎1C1EF；‎ ‎（2）求BC1与平面B‎1C1EF所成的角的正弦值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】（1）（i）因为， 平面ADD‎1 A1，所以平面ADD‎1 A1.‎ 又因为平面平面ADD‎1 A1=，所以.所以.‎ （ii） 因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 在矩形中，F是AA的中点，即.即 ‎，故.‎ 所以平面.‎ ‎(2) 设与交点为H，连结.‎ 由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得 ‎，所以BC与平面所成角的正弦值是.‎ ‎38.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）‎ 直三棱柱ABC- A1B‎1C1中，AB=A A1 ，=‎ ‎（Ⅰ）证明;‎ ‎（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥 的体积 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎39.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) ‎ 如图，直三棱柱，，AA′=1，点M，N分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的体积。‎ ‎（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。‎ ‎40.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。‎ ‎41.【2102高考福建文19】（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。‎ （1） 求三棱锥A-MCC1的体积；‎ （2） 当A‎1M+MC取得最小值时，求证：B‎1M⊥平面MAC。‎ ‎42.【2012高考江西文19】（本小题满分12分）‎ 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.‎ （1） 求证：平面DEG⊥平面CFG；‎ （2） 求多面体CDEFG的体积。‎ ‎ 【答案】‎ ‎ ‎