2011年昌平区初三数学一模试题及答案

2011年昌平区初三数学一模试题及答案

昌平区2010—2011学年第二学期初三年级第一次统一练习 ‎ 　　　 数　学　 2011．4‎ 考生须知 ‎1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．4的相反数是 A．4 B．4 C． D．‎ ‎2．据昌平交通局网上公布，地铁昌平线（一期）2011年1月4日出现上班运营高峰，各站进出站约47600人次. 将47 600用科学记数法表示为 A． B． C． D．‎ ‎3． 在一个不透明的笔袋中装有两支黑色笔和一支红色笔，除颜色不同外其他都相同，随机从其中摸出一支黑色笔的概率是 A． B． C． D．1‎ ‎4．+= 0，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎5． 函数y=中，自变量x的取值范围是 A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1 ‎ ‎6．在“爱的奉献”为地震灾区捐款活动中，某班以小组为单位的捐款额（单位：元）分别为10，20，15，15，21，15，在这组数据中，众数及中位数分别是 A．15，10 B．15，‎15 ‎C．15，20 D．15，16‎ ‎7.如图，已知，AB是⊙的直径，点C，D在⊙上，‎ ‎∠ABC=50°，则∠D为 A．50° B．45° C．40° D． 30°‎ ‎８．已知：如图，在等边三角形ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，D是MN上任意一点，CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E，若 ，则等边三角形ABC的边长为 A. B. C. D.1‎ 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）‎ ‎9．若分式的值为0，则的值为 ．‎ ‎10．分解因式：= ．‎ ‎11．如图，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，则菱形ABCD的面积为 .‎ ‎12．如图，在函数（x＞0）的图象上，有点，，，…，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为2，过点，，，…，，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，…，，则= ， +++…+= ．（用n的代数式表示，其中，≥1，且为整数）‎ 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式：≤，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎15．解分式方程．‎ ‎16．已知线段与相交于点，连结，为的中点，为的中点，连结（如图所示）．若∠A=∠D，，求证：AB=DC．‎ ‎17．当时 ，求的值.‎ ‎18．列方程（组）解应用题 国家的“家电下乡”政策激活了农民购买能力，提高了农民的生活水平。“家电下乡”的补贴标准是：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户．‎ 李大叔购买了一台彩电和一台洗衣机，从乡政府领到了390元补贴款． 若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，求彩电和洗衣机的售价各是多少元．‎ 四、解答题（共4道小题，每小题均5分，共20分）‎ ‎19．在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，BC=‎2cm.‎ ‎(1)求∠CBD的度数；‎ ‎(2)求下底AB的长. ‎ ‎20．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．‎ ‎（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．‎ ‎21．为保证“每天一小时校园体育活动”的实施，某班同学利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．‎ 项目选择情况统计图: 训练前定时定点投篮测试进球数统计图: ‎ ‎ ‎ 训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表: ‎ 进球数（个）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎2‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 请你根据图表中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）请把选择立定跳远训练的人数占全班人数的百分比填写在项目选择情况统计图相应位置上，该班共有同学 人；‎ ‎（2）补全“训练前篮球定时定点投篮测试进球数统计图；‎ ‎（3）训练后篮球定时定点投篮人均进球数 .‎ ‎22． 现场学习题 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．‎ 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．‎ ‎(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上．________‎ 思维拓展：‎ ‎(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、 ，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的△ABC，并求出它的面积是： ．‎ 探索创新：‎ ‎(3)若△ABC三边的长分别为、、 ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为： ．‎ 五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）‎ ‎23． 已知二次函数．‎ ‎（1）二次函数的顶点在轴上，求的值；‎ ‎（2）若二次函数与轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当为整数时，求A、B两点的坐标.‎ ‎24． ‎ 图1‎ 已知， 点P是∠MON的平分线上的一动点，‎ 射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针 旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°.‎ ‎（1）利用图1，求证：PA=PB；‎ ‎（2）如图2，若点是与的交点，当 图2‎ 时，求PC与PB的比值；‎ ‎（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON于点，且满足且，‎ 请借助图3补全图形，并求的长.‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎25.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 昌平区2010-2011学年第二学期初三年级第一次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准 2011.4‎ 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）‎ ‎1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）‎ ‎ 9. 4 10.a（x+2）（x-2） 11. 24 12. 6，‎ 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13.解: ‎ ‎= ……………………………………4分 ‎= ……………………………………5分 ‎14.解：≤ ……………………………………1分 ‎ ≤ ……………………………………2分 ‎ ≤ ‎ ‎≥ ……………………………………3分 ‎…………………………5分 ‎15.解：去分母，得：‎ ‎2（x-1）=x（x+1）-（x+1）（x-1）……………………………………….2分 ‎2x-2=x+x- x+1……………………………………………………………3分 x=3……………………………………………………………………………4分 经检验x=3是原方程的解……………………………………………………5分 ‎16．证明：∵‎ ‎∴OB=2OE，OC=2OF. …………………………1分 ‎∵‎ ‎∴OE=OF. ………………………………………2分 ‎∴OB=OC. ………………………………………3分 ‎∵‎ ‎∴△AOB≌△DOC. ………………………………4分 ‎∴AB=DC. ………………………………………5分 ‎17.解：‎ ‎ = ……………………………………2分 ‎ = ……………………………………3分 ‎ ∵=0‎ ‎ ∴ ……………………………………4分 ‎∴原式== ……………………………………5分 ‎18.解: 设彩电每台售价元，洗衣机每台售价元. ……………………………………1分 ‎ 依题意得：｛ ……………………………………………3分 ‎ 解方程组得｛ ……………………………………………………4分 答：彩电、洗衣机每台售价分别为2000元和1000元. ………………………5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎19．解：∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.………………………………1分 ‎∵∥CD,‎ ‎∴ .……………………2分 ‎∵BC=CD,‎ ‎∴. ……………………3分 ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴梯形ABCD是等腰梯形. …………………4分 ‎∴AD=BC=2.‎ 在中，，，‎ ‎∴AB=2AD=4. ………………………………5分 ‎20.（1）答：BD和⊙O相切.‎ 证明：∵OD⊥BC,‎ ‎ ∴∠OFB=∠BFD =90°, ‎ ‎ ∴∠D+∠3=90°. ‎ ‎ ∵∠4=∠D=∠2,　　　　　……………………………1分 ‎ ∴∠2+∠3=90°,‎ ‎ ∴∠OBD=90°,‎ ‎ 即OB⊥BD.‎ ‎ ∵点B在⊙O上，‎ ‎ ∴BD和⊙O相切. ……………………………2分 ‎ (2) ∵OD⊥BC,BC=8,‎ ‎ ∴BF=FC=4. ……………………………3分 ‎∵ AB=10,‎ ‎ ∴OB=OA=5.‎ 在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,‎ ‎∵OB=5,BF=4,‎ ‎∴OF=3. ……………………………4分 ‎∴tan∠1=.‎ 在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,‎ ‎∵tan∠1=, OB=5,‎ ‎∴. ……………………………　5分 ‎21．（1）‎ ‎……………………………　1分 ‎ ‎ ‎ 全班同学人数：40人． ……………………………　2分 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎……………………………　3分 ‎（3）训练后篮球定点投篮人均进球个数为：5 ……………………………　5分 ‎22题：‎ ‎（1） ． 　　　　　　　　　　　　 ……………………………　1分 ‎（2） ‎ ‎　　‎ ‎……………………………　2分 ‎ 面积：． 　　　　　　　　　　……………………………　3分 ‎（3）‎ ‎……………………………　4分 ‎ ‎ 面积：3mn． 　　　　　　　　 ……………………………　5分 五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）‎ ‎23.解：（1）方法一∵二次函数顶点在轴上，‎ ‎∴，且 ……………………1分 即，且 ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………3分 ‎（2）∵二次函数与轴有两个交点，‎ ‎∴，且．　　　　　　　　　　　　 ……………………４分 即，且． ‎ 当且时，即可行．‎ ‎∵、两点均为整数点，且为整数 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎……………………5分 当时，可使，均为整数，‎ ‎∴当时，、两点坐标为和……………………6分 ‎24.解：（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，‎ ‎∵OP平分∠MON，‎ ‎∴∠MOP=∠NOP．‎ 又∵OA=OD，OP=OP，‎ ‎∴△AOP≌△DOP．　　　……………1分 ‎∴PA=PD，∠1=∠2．‎ ‎∵∠APB+∠MON=180°，‎ ‎∴∠1+∠3=180°．‎ ‎∵∠2+∠4=180°，‎ ‎∴∠3=∠4．‎ ‎∴PD=PB．‎ ‎∴PA=PB．　　　…………… 2分 ‎（2）∵PA=PB，‎ ‎∴∠3=∠4．‎ ‎∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°，‎ ‎∴∠1+∠2=∠3+∠4．‎ ‎∴∠2=∠4．‎ ‎∵∠5=∠5，‎ ‎∴△PBC∽△POB． 　 ‎ ‎∴． 　…………… 5分 ‎（3）作BE⊥OP交OP于E，‎ ‎∵∠AOB=600，且OP平分∠MON，‎ ‎ ∴∠1=∠2=30°．‎ ‎∵∠AOB+∠APB=180°，‎ ‎∴∠APB=120°．‎ ‎∵PA=PB，‎ ‎∴∠5=∠6=30°．‎ ‎∵∠3+∠4=∠7，‎ ‎∴∠3+∠4=∠7=(180°30°)÷2=75°．‎ ‎∵在Rt△OBE中，∠3=600，OB=2‎ ‎∴∠4=150，OE=，BE=1‎ ‎∴∠4+∠5=450，‎ ‎∴在Rt△BPE中，EP=BE=1‎ ‎∴OP= 　…………… 8分 ‎25.解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°‎ ‎ ∴∠AOD=∠DOC=45°‎ ‎ ∵在矩形ABCD中，‎ ‎∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3‎ ‎∴△AOD是等腰Rt△ ………………………………1分 ‎∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°‎ ‎∴∠AOE=∠BCD ‎∴△AED≌△BDC ‎∴AE=DB=1‎ ‎∴D(2,2),E(0,1),C(3,0) …………………………2分 则过D、E、C三点的抛物线解析式为： ……………3分 ‎（2）DH⊥OC于点H,‎ ‎∴∠DHO=90°‎ ‎∵矩形 ABCD 中, ∠BAO=∠AOC=90°‎ ‎∴四边形AOHD是矩形 ‎ ‎∴∠ADH=90°.‎ ‎∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°‎ ‎∴∠1=∠3‎ ‎∵AD=OA=2，‎ ‎∴四边形AOHD是正方形.‎ ‎∴△FAD≌△GHD ‎∴FA=GH ………………………………4分 ‎∴设点 G（x，0），‎ ‎∴OG=x，GH=2-x ‎∵EF=2OG=2x，AE=1，‎ ‎∴2-x=2x-1，‎ ‎∴x=1.‎ ‎∴G(1,0) ……………………………………………5分 ‎ (3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形 ‎ 1）当点P为顶点，既 CP=GP时，‎ 易求得P1（2,2），既为点D时，‎ 此时点Q、与点P1、点D重合，‎ ‎∴点Q1(2,2) ……………………………………………6分 ‎ 2) 当点C为顶点，既 CP=CG=2时, 易求得P2(3,2)‎ ‎∴直线GP2的解析式：‎ 求交点Q: ‎ 可求的交点（）和（-1，-2）‎ ‎∵点Q在第一象限 ‎∴Q2（） ……………………………………………7分 ‎3)当点G为顶点，既 GP=CG=2时, 易求得P3(1,2)‎ ‎∴直线GP3的解析式：‎ 求交点Q:‎ 可求的交点（）‎ ‎∴Q3（） ……………………………………………8分 所以，所求Q点的坐标为Q1(2,2)、Q2（）、Q3（）．‎