天津市静海区大邱庄中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

天津市静海区大邱庄中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

大邱庄中学2019—2020学年度第一学期第一次月考 高三年级数学试卷 一、选择题。‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A. B. 或}‎ C. D. 或}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A中不等式的解集，找出两集合的交集即可 ‎【详解】由题意可得，，所以.故选C.‎ ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件 ‎【详解】要使函数有意义，应满足 则，且 所以的定义域为 故选 ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零．‎ ‎3.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为(　　)‎ A. 0.85 B. 0.819 ‎2 ‎C. 0.8 D. 0.75‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率 ‎4.已知向量，，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量的数乘和减法运算，求出的坐标，结合向量垂直的条件可求m.‎ ‎【详解】根据题意，得，由，得.解得或故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查数学运算能力.‎ ‎5.函数减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可.‎ ‎【详解】令，求得，‎ 故函数的定义域为，且递增，‎ 只需求函数在定义域内的减区间．‎ 由二次函数的性质求得在定义域内的减区间为，‎ 所以函数的减区间是，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.‎ ‎6.将函数的图象上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图像变换规则对函数的解析式进行变换即可，由题设条件本题的变换涉及到了平移变换，周期变换，振幅变换 ‎【详解】由题意函数的图像上各点向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短为原来的一半，得到，纵坐标伸长为原来的4倍，得到 故选A ‎【点睛】本题考查三角函数图像变换，属于一般题．‎ ‎7.已知函数是定义在上的奇函数，且，当，则等于（ ）‎ A. B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过，确定函数周期，因此，故求对应项即可.‎ ‎【详解】由于，故函数，又是定义在上的奇函数，所以，又因为当，所以，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的基本性质：周期性，奇偶性.意在考查学生的逻辑推理能力和分析能力，难度不大.‎ ‎8.某医院治疗一种疾病的治愈率为，在前2个病人都未治愈的情况下，则第3个病人的治愈率为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 医院治疗每个病人的治愈与否是相互独立的，所以每个病人的治愈率相同，都为.‎ ‎【详解】因为医院治疗每个病人的治愈与否是相互独立的，所以每个病人的治愈率相同，都为，‎ 所以在前2个病人都未治愈的情况下，则第3个病人的治愈率为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了相互独立事件，属于容易题.‎ ‎9.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当x=0时，原式恒成立；‎ 当时，原式等价于恒成立；‎ 当时，原式等价于恒成立；‎ 令，，令，即，，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.‎ 考点：不等式恒成立问题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题.‎ ‎10.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，并且是第二象限的角，得．所以．‎ ‎11.曲线在处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，将代入导数得到斜率，再代入原函数得到切点，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时， ‎ 当时， 切线方程为： ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题查看了切线的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12.的展开式中项的系数为8，则__________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用参数表示出的系数，根据条件得出的值．‎ ‎【详解】解：的展开式中第为：‎ ‎，‎ 故当时，，‎ 因为项的系数为8，‎ 所以，解得．‎ ‎【点睛】本题考查了二项式展开式的知识，熟练运用公式是解题的关键．‎ ‎13.若为数列的前项和，且，则等于________．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和关系得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案.‎ ‎【详解】当时，，得，‎ 当时，，，‎ 两式作差可得：，则：，‎ 据此可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 其前6项和为．‎ 故答案为63．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的前N项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.‎ ‎14.已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为当直线与函数图象有个交点时，求实数的取值范围，并作出函数的图象，考查当直线与曲线相切以及直线与直线平行这两种临界位置情况，结合斜率的变化得出实数的取值范围．‎ ‎【详解】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围．‎ 作出函数的图象如下图所示：‎ 先考虑直线与曲线相切时，的取值，‎ 设切点为，对函数求导得，切线方程为，‎ 即，则有，解得.‎ 由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，若转化为直线（不恒与轴垂直）与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题．‎ ‎15.如图，在△ABC中，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，，，则BE＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴‎ ‎，∴，故答案为.‎ 三、简答题。‎ ‎16.在中，内角的对边分别是，已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理可得，从而可求出.‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理可计算出，再利用同角的三角函数的基本关系式可求，利用二倍角公式可求的正弦与余弦，最后利用两角和的正弦公式可求.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由正弦定理，，‎ ‎∴，∵， ∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴.‎ ‎∵是三角形内角 ，∴，∴，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎17.现有2位男生，3位女生去参加一个联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. ‎ ‎（Ⅰ）为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.求这5人中恰好有3人去参加甲项目联欢的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从这5人中随机选派3人去参加甲项目联欢，设表示这3个人中女生的人数，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析；数学期望 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用二项分布可求5人中恰好有3人去参加甲项目联欢的概率.‎ ‎（Ⅱ）利用超几何分布可求的分布列，再利用公式可求其数学期望.‎ ‎【详解】（Ⅰ）依题意，这5个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，‎ 去参加乙项目联欢的概率为. ‎ 设“这5个人中恰有3人去参加甲项目联欢”为事件,‎ 则.‎ ‎（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3‎ 所以的分布列 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．‎ ‎18.已知函数（，是常数且）.‎ ‎（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若在内存在单调递减区间，求实数取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用可求的值，注意检验.‎ ‎（Ⅱ）考虑的图像在上有一部分在轴的下方， 根据对称轴的不同位置讨论函数的图像后可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ ‎= ‎ ‎∵ ,∴ ,∴ ‎ 当时，，‎ ‎∵在附近，时，；时，‎ ‎∴是函数的极值点，∴ 即为所求.‎ ‎（Ⅱ）因为在内存在单调递减区间，‎ 故的图像在上有一部分在轴的下方，‎ 令，‎ 若即，则，解得，‎ 若，则，故，解得，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎（2）另外函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点．注意，函数在给定范围上存在单调减区间可等价转化为导函数的图像有一段在轴下方，不能简单地转化为函数在给定范围上为增函数.‎ ‎19.已知等差数列满足：，．的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得 解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，‎ 解得，所以，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即数列的前项和.‎ 考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和 ‎20.已知等比数列的首项为1，公比为，依次成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）当时，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用基本量法可求的值.‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法可求.‎ ‎（Ⅲ）利用裂项相消法可求得，利用不等式的性质可知原不等式成立.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵依次成等差数列，∴.‎ ‎∵是首项为1的等比数列，∴. ‎ ‎∵， ∴ ，∴或.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，∴ .‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 上式减下式得： ‎ ‎,∴. ‎ ‎（Ⅲ）∵，∴，∴,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎