2018届二轮复习立体几何中的外接球问题的分析与解学案（全国通用）

2018届二轮复习立体几何中的外接球问题的分析与解学案（全国通用）

‎【试题研究】立体几何中的外接球问题的分析与解（原创）‎ ‎1.问题呈现 题目 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面,若,则球的表面积为 .‎ ‎2.分析与解 分析：根据球的对称性，画出球和平面的截面圆，构建利用勾股定理求出球的半径.‎ 图1‎ 解：如图1所示，设 的外接圆的圆心为，由题可知,则,所以球心在的正上方，且，所以外接球的半径，所以球的表面积为 ‎3.举一反三 题1 已知四棱锥的顶点都在球上，底面是矩形，平面平面，为正三角形，,则球的表面积为 A. B. C. D.‎ 解 如图2，将四棱锥补为一个三棱柱,因为为正三角形，,所以的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以球的表面积为 图2‎ 题2 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为，则该球的体积为 .‎ 解 如图3所示，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，设球的半径为,底面边长为，所以,在中，,即,所以，所以球的体积 ‎ 图3‎ 题3 在半径为5的球面上有不同的四点,若,则平面被球所截得图形的面积为 .‎ 解法1 如图4所示，过点作平面的垂线,连接,设所在截面的半径为，因为,所以在中，由余弦定理知：‎ ‎,所以,所以，在中，，所求面积 图4‎ 解法2 如图4所示，过点作平面的垂线,连接,设所在截面的半径为，.‎ 在中，,则，解得，所求面积