数学卷·2018届湖北省武汉外国语学校高二上学期期中数学试卷 (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届湖北省武汉外国语学校高二上学期期中数学试卷 (解析版)

‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二(上)期中数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本题12小题,每小题5分,共60分,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.圆(x+1)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为(  )‎ A.内切 B.外切 C.相交 D.相离 ‎2.下列说法中,正确的是(  )‎ A.命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题 B.命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 C.命题“∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是:“∀x∈R,x2﹣x≤0”‎ D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 ‎3.已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的离心率是,则E的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x ‎4.若点A(m,1)在椭圆+=1的内部,则m的取值范围是(  )‎ A.﹣<m< B.m<﹣或m> C.﹣2<m<2 D.﹣1<m<1‎ ‎5.已知两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a=(  )‎ A.﹣1 B.2 C.0或﹣2 D.﹣1或2‎ ‎6.动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切,则圆心M的轨迹方程是(  )‎ A.y2=8x B.y2=﹣8x C.y2=16x D.y2=﹣16x ‎7.抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MFO的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,F1,F2分别为C的左右焦点,A为双曲线上一点,若|F1A|=3|F2A|,则cos∠AF2F1=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知抛物线y2=4x,圆F:(x﹣1)2+y2=1,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则|AB|•|CD|的值正确的是(  )‎ A.等于1 B.最小值是1 C.等于4 D.最大值是4‎ ‎10.设P,Q分别为圆x2+(y﹣6)2=2和椭圆+=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(  )‎ A.5 B. + C.2+ D.6‎ ‎11.已知A,B,P是双曲线上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆C上异于顶点的任一点P作圆O:x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A,B,若直线AB与x,y轴分别交于M,N两点,则+的值为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设命题p:若a>b,则<;命题q:<0⇔ab<0.给出下面四个复合命题:①p∨q;②p∧q;③(¬p)∧(¬q);④(¬p)∨(¬q).其中真命题的个数有  个.‎ ‎14.过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=5的弦,其中最短弦的长为  .‎ ‎15.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为2,则p的值为  .‎ ‎16.圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F,其中T为切点,M为切线与双曲线右支的交点,P为MF的中点,则|PO|﹣|PT|=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.写出命题“若x2+x﹣2≤0,则|2x+1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.‎ ‎18.已知命题p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.‎ ‎19.已知圆 M:x2+(y﹣2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.‎ ‎(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;‎ ‎(2)若|AB|=,求直线MQ的方程.‎ ‎20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C异于O的两点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若直线OA,OB的斜率之积为﹣,求证:直线AB过x轴上一定点.‎ ‎21.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,O为坐标原点,点M(,)在双曲线上.‎ ‎(1)求双曲线C的方程.‎ ‎(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且•=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.‎ ‎22.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点,过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.‎ ‎(ⅰ)设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,证明为定值;‎ ‎(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本题12小题,每小题5分,共60分,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.圆(x+1)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为(  )‎ A.内切 B.外切 C.相交 D.相离 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定.‎ ‎【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径,判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:圆C(x+1)2+y2=4的圆心C(﹣1,0),半径r=2;‎ 圆M(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的圆心M(2,1),半径 R=3.‎ ‎∴|CM|==,R﹣r=3﹣2=1,R+r=3+2=5.‎ ‎∴R﹣r<<R+r.‎ ‎∴两圆相交.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.下列说法中,正确的是(  )‎ A.命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题 B.命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 C.命题“∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是:“∀x∈R,x2﹣x≤0”‎ D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 ‎【考点】复合命题的真假;命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】写出命题的逆命题,判断真假即可;利用或命题判断真假即可;利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断真假即可;利用充要条件的判定方法判断即可.‎ ‎【解答】解:对于A,命题“若am2<bm2,则a<b”( a,b,m∈R)的逆命题是“若a<b,则am2<bm2”( a,b,m∈R),由于当m=0时,am2=bm2;故A是假命题;‎ 对于B,命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”至少有一个是真命题,∴B不正确;‎ 对于C,命题“∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是:“∀x∈R,x2﹣x≤0”符合命题的否定性质,∴C正确;‎ 对于D,x∈R,则“x>1”不能说“x>2”,但是“x>2”可得“x>1”,∴D不正确;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的离心率是,则E的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率,求出=即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵双曲线的离心率是,‎ ‎∴e==,即==1+()2=,‎ 即()2=﹣1=,则=,‎ 即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.若点A(m,1)在椭圆+=1的内部,则m的取值范围是(  )‎ A.﹣<m< B.m<﹣或m> C.﹣2<m<2 D.﹣1<m<1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】利用已知条件列出不等式,求解即可.‎ ‎【解答】解:点A(m,1)在椭圆+=1的内部,‎ 可得,解得:﹣<m<.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.已知两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a=(  )‎ A.﹣1 B.2 C.0或﹣2 D.﹣1或2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】由两直线平行,且直线的斜率存在,所以,他们的斜率相等,解方程求a.‎ ‎【解答】解:因为直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0的斜率存在,‎ 又∵l1∥l2,‎ ‎∴,‎ ‎∴a=﹣1或a=2,两条直线在y轴是的截距不相等,‎ 所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎6.动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切,则圆心M的轨迹方程是(  )‎ A.y2=8x B.y2=﹣8x C.y2=16x D.y2=﹣16x ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求出双曲线的焦点,根据动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切,可得M到(﹣4,0)的距离等于M到直线x=4的距离,利用抛物线的定义,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:双曲线x2﹣=1左焦点为(﹣4,0),则 ‎∵动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切,‎ ‎∴M到(﹣4,0)的距离等于M到直线x=4的距离,‎ ‎∴M的轨迹是以(﹣4,0)为焦点的抛物线,‎ ‎∴圆心M的轨迹方程是y2=﹣16x.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MFO的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】利用抛物线的定义,根据抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,可得M的坐标,即可求得△OFM的面积.‎ ‎【解答】解:∵抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,‎ ‎∴x+=,∴x=2,‎ ‎∴x,2时,y=±2‎ ‎∴△OFM的面积为=.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,F1,F2分别为C的左右焦点,A为双曲线上一点,若|F1A|=3|F2A|,则cos∠AF2F1=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2,即有b=2a,再求c=a,运用双曲线的定义和条件,解得三角形AF2F1的三边,再由余弦定理,即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:由于双曲线的一条渐近线y=x与直线x+2y+1=0垂直,‎ 则一条渐近线的斜率为2,‎ 即有b=2a,c=a,‎ ‎|F1A|=3|F2A|,且由双曲线的定义,可得|F1A|﹣|F2A|=2a,‎ 解得,|F1A|=3a,|F2A|=a,‎ 又|F1F2|=2c,由余弦定理,可得 cos∠AF2F1==.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.已知抛物线y2=4x,圆F:(x﹣1)2+y2=1,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则|AB|•|CD|的值正确的是(  )‎ A.等于1 B.最小值是1 C.等于4 D.最大值是4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=xA,同理可得:|CD|=xD,要分l⊥x轴和l不垂直x轴两种情况分别求值,当l⊥x轴时易求,当l不垂直x轴时,将直线的方程代入抛物线方程,利用根与系数关系可求得.‎ ‎【解答】解:∵y2=4x,焦点F(1,0),准线 l0:x=﹣1.‎ 由定义得:|AF|=xA+1,‎ 又∵|AF|=|AB|+1,∴|AB|=xA,‎ 同理:|CD|=xD,‎ 当l⊥x轴时,则xD=xA=1,∴|AB|•|CD|=1 ‎ 当l:y=k(x﹣1)时,代入抛物线方程,得:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,‎ ‎∴xAxD=1,∴|AB|•|CD|=1‎ 综上所述,|AB|•|CD|=1,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.设P,Q分别为圆x2+(y﹣6)2=2和椭圆+=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(  )‎ A.5 B. + C.2+ D.6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径,设出Q的坐标,由两点间的距离公式列式,化为关于Q的纵坐标的函数,配方求得Q到圆心的距离的最大值,即可求P,Q两点间的距离的最大值.‎ ‎【解答】解:如图,由圆x2+(y﹣6)2=2,得圆心坐标为C(0,6),半径为.‎ 设Q(x,y)是椭圆+=1上的点,‎ ‎∴|QC|==,‎ ‎∵﹣≤y≤,‎ ‎∴y=﹣时,Q与圆心C的距离的最大值为.‎ ‎∴P,Q两点间的距离的最大值为2+.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知A,B,P是双曲线上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】设A,B,P三点的坐标分别为 (x1,y1),(﹣x1,﹣y1),(x2,y2 ),由 可得 ‎=,①又,,可得 ②,‎ 由①②可得 =,故 e2===,从而得到离心率 e=.‎ ‎【解答】解:设A,B,P三点的坐标分别为 (x1,y1),(﹣x1,﹣y1),(x2,y2 ),‎ 由 可得, •== ①.‎ 又,,∴,‎ ‎②,由①②可得 =,∴e2====,‎ 故 离心率 e==,‎ 故选 D.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆C上异于顶点的任一点P作圆O:x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A,B,若直线AB与x,y轴分别交于M,N两点,则+的值为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由椭圆的离心率结合隐含条件求得,设A(xA,yA ),B (xB,yB ),则可得切线PA、PB的方程,即可得到A,B 是xP•x+yP•y=b2 和圆x2+y2=b2 的交点,求出点M(,0),N(0,),从而得到==()•=,答案可求.‎ ‎【解答】解:,∴,得.‎ 设A(xA,yA ),B (xB,yB ),则切线PA、PB的方程分别为 xA•x+yA•y=b2,xB•x+yB•y=b2.‎ 由于点P 是切线PA、PB的交点,‎ ‎∴点P的坐标满足切线PA的方程,也满足切线PB的方程.‎ ‎∴A,B 是xP•x+yP•y=b2 和圆x2+y2=b2 的交点,故点M(,0),N(0,).‎ 又,‎ ‎∴==()•==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设命题p:若a>b,则<;命题q:<0⇔ab<0.给出下面四个复合命题:①p∨q;②p∧q;③(¬p)∧(¬q);④(¬p)∨(¬q).其中真命题的个数有 2 个.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假.‎ ‎【分析】先判断命题p,q的真假,进而根据复合命题真假判断的真值表,可得答案.‎ ‎【解答】解:若a>0>b,则>,故命题p为假命题;‎ ‎<0⇔ab<0,故命题q为真命题,‎ 故①p∨q为真命题;②p∧q为假命题;③(¬p)∧(¬q)为假命题;‎ ‎④(¬p)∨(¬q)为真命题.‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎14.过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=5的弦,其中最短弦的长为 2 .‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】弦长m=知,r为定值,当d取最大值时,m取得最小值.故过点(3,1)的弦中,当以(3,1)为弦中点时,弦长最短.‎ ‎【解答】解:由直线和圆位置关系知,弦过点(3,1),当以(3,1)为弦中点时,弦长最短.‎ 记弦长为m,圆心到弦的距离(圆心与弦中点的距离)为d,圆半径为r,‎ 由题知圆心为(2,2),半径r=.‎ 则m===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为2,则p的值为 2 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】如图所示,F(,0).|由于AB∥x轴,|CF|=2|AF|,|AB|=|AF|,可得|CF|=2|AB|=3p,|CE|=2|BE|.利用抛物线的定义可得xA,代入可取yA,再利用S△ACE=,即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,F(,0).|CF|=3p.‎ ‎∵AB∥x轴,|CF|=2|AF|,|AB|=|AF|,‎ ‎∴|CF|=2|AB|=3p,|CE|=2|BE|.‎ ‎∴xA+=,解得xA=p,‎ 代入可取yA=p,‎ ‎∴S△ACE==2,‎ 解得p=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎16.圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F,其中T为切点,M为切线与双曲线右支的交点,P为MF的中点,则|PO|﹣|PT|= 2﹣3 .‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由双曲线方程,求得c=,根据三角形中位线定理和圆的切线的性质,可知|PO|=|PF′|,|PT|=|MF|﹣|FT|,并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣(|PF|﹣|PF′|)=2﹣3.‎ ‎【解答】解:设双曲线的右焦点为F′,则PO是△PFF′的中位线,‎ ‎∴|PO|=|PF′|,|PT|=|MF|﹣|FT|,‎ 根据双曲线的方程得:‎ a=3,b=2,c=,‎ ‎∴|OF|=,‎ ‎∵MF是圆x2+y2=9的切线,|OT|=3,‎ ‎∴Rt△OTF中,|FT|==2,‎ ‎∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣(|MF|﹣|FT|)=|FT|﹣(|PF|﹣|PF′|)=2﹣3,‎ 故答案为:2﹣3.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.写出命题“若x2+x﹣2≤0,则|2x+1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】根据已知中的原命题,结合四种命题的定义,可写出逆命题、否命题、逆否命题,进而判断其真假.‎ ‎【解答】解:∵x2+x﹣2≤0⇔x∈[﹣2,1],‎ ‎|2x+1|<1⇔x∈(﹣1,0),‎ ‎∴原命题“若x2+x﹣2≤0,则|2x+1|<1”,为假命题 ‎∴逆命题:若|2x+1|<1,则x2+x﹣2≤0,为真命题 否命题:若x2+x﹣2>0,则|2x+1|≥1,为真命题 逆否命题:若|2x+1|≥1,则x2+x﹣2>0,为假命题 ‎ ‎ ‎18.已知命题p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】先解出命题p,q下的不等式,得:命题p:x<﹣2,或x>10,命题q:x<1﹣m,或x>1+m,由p是q的充分不必要条件便得:,解该不等式组即得m的取值范围.‎ ‎【解答】解:解x2﹣8x﹣20>0得x<﹣2,或x>10,解x2﹣2x+1﹣m2>0得x<1﹣m,或x>1+m;‎ ‎∵p是q的充分不必要条件;‎ ‎∴,解得0<m≤3;‎ ‎∴实数m的取值范围为(0,3].‎ ‎ ‎ ‎19.已知圆 M:x2+(y﹣2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.‎ ‎(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;‎ ‎(2)若|AB|=,求直线MQ的方程.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系;圆的切线方程.‎ ‎【分析】(1)设出切线方程,利用圆心到直线的距离列出方程求解即可.‎ ‎(2)设AB与MQ交于点P,求.出|MP|,利用相似三角形,|MB|2=|MP||MQ|,设Q(x,0),通过x2+22=9,求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1,则圆心M到切线的距离为1,‎ ‎∴,∴m=﹣或m=0,‎ ‎∴切线方程为3x+4y﹣3=0和x=1.‎ ‎(2)设AB与MQ交于点P,则MP⊥AB,∵MB⊥BQ,∴|MP|=,‎ 利用相似三角形,|MB|2=|MP||MQ|,∴|MQ|=3,设Q(x,0),x2+22=9,∴x=,‎ 直线方程为:2x+或2x﹣=0.‎ ‎ ‎ ‎20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C异于O的两点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若直线OA,OB的斜率之积为﹣,求证:直线AB过x轴上一定点.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)利用抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),可得抛物线C的方程;‎ ‎(2)分类讨论,设出直线的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合斜率公式,可求直线方程,即可得出结论.‎ ‎【解答】(1)解:因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),‎ 所以=1,所以p=2.‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明:①当直线AB的斜率不存在时,设A(,t),B(,﹣t),‎ 因为直线OA,OB的斜率之积为﹣,所以=﹣,化简得t2=48.‎ 所以(12,t),B(12,﹣t),此时直线AB的方程为x=12.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎②当直线AB的斜率存在时,设直线的方程为y=kx+b,A(xA,yA),B(xB,yB)‎ 联立方程,化简得ky2﹣4y+4b=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 根据韦达定理得到yAyB=,‎ 因为直线OA,OB的斜率之积为﹣,所以得到xAxB+3yAyB=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 得到+2yAyB=0,‎ 化简得到yAyB=0(舍)或yAyB=﹣48.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又因为yAyB==﹣48,b=﹣12k,‎ 所以y=kx﹣12k,即y=k(x﹣12).‎ 综上所述,直线AB过定点(12,0).‎ ‎ ‎ ‎21.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,O为坐标原点,点M(,)在双曲线上.‎ ‎(1)求双曲线C的方程.‎ ‎(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且•=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由渐近线方程可得关于a、b的一个方程,再把点M(,)代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程,将以上方程联立即可解得a、b的值;‎ ‎(2)利用•=0得x1x2+y1y2=0、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可求出.‎ ‎【解答】解:(1)双曲线C的渐近线方程为y=±x,∴b=a,双曲线的方程可设为3x2﹣y2=3a2.‎ ‎∵点M(,)在双曲线上,可解得a=2,∴双曲线C的方程为=1.‎ ‎(2)设直线PQ的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 将直线PQ的方程代入双曲线C的方程,可化为(3﹣k2)x2﹣2kmx﹣m2﹣12=0‎ ‎∴(*)‎ x1+x2=,x1x2=,‎ 由•=0得x1x2+y1y2=0,‎ 把y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,‎ ‎∴(1+k2)•+km•+m2=0,‎ 化简得m2=6k2+6.‎ ‎|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=24+‎ 当k=0时,|PQ|2=24+≥24成立,且满足(*)‎ 又∵当直线PQ垂直x轴时,|PQ|2>24,‎ ‎∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24.‎ ‎ ‎ ‎22.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点,过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.‎ ‎(ⅰ)设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,证明为定值;‎ ‎(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出椭圆的几何量,即可求解椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)设出N的坐标,求出PQ坐标,求出直线的斜率,即可推出结果 ‎(ⅱ)求出直线PM,QM的方程,然后求解B,A坐标,利用AB的斜率求解最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.可得a=2,c=,b=,‎ 可得椭圆C的方程:;‎ ‎(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),设N(﹣t,0)t>0,M是线段PN的中点,则P(t,2m),过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,Q(t,﹣2m),‎ ‎(ⅰ)证明:设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,‎ k==,k′==﹣,‎ ‎==﹣3.为定值;‎ ‎(ⅱ)由题意可得,m2=4﹣t2,QM的方程为:y=﹣3kx+m,‎ PN的方程为:y=kx+m,‎ 联立,可得:x2+2(kx+m)2=4,‎ 即:(1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣4=0‎ 可得xA=,yA=+m,‎ 同理解得xB=,‎ yB=,‎ xA﹣xB=k﹣=,‎ yA﹣yB=k+m﹣()=,‎ kAB===,由m>0,x0>0,可知k>0,‎ 所以6k+,当且仅当k=时取等号.‎ 此时,即m=,符合题意.‎ 所以,直线AB的斜率的最小值为:.‎ ‎ ‎ ‎2017年1月2日
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