中考数学压轴题真题分类汇编三角形

中考数学压轴题真题分类汇编三角形

‎2013年中考数学压轴题真题分类汇编：三角形 六、三角形 ‎1．（北京）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．‎ ‎（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；‎ ‎（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；‎ ‎（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．‎ 图2‎ A B C Q P M 图1‎ A B C Q M ‎(P)‎ ‎2．（北京模拟）已知，点P是∠MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．‎ ‎（1）求证：PA＝PB；‎ ‎（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当S△POB ＝3S△PCB 时，求 的值；‎ ‎（3）若∠MON＝60°，OB＝2，直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．‎ M T N O M T N O 备用图 M T N O 备用图 ‎ ‎ ‎3．（北京模拟）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；‎ ‎（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；‎ ‎（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点G．若∠DCF＝30°，求 及 的值．‎ A B C D E F 图2‎ A B C D E F 图3‎ G A B C D E F 图1‎ ‎4．（上海模拟）如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．‎ ‎（1）当点F在射线CA上时 ‎①求证：PF＝PE．‎ ‎②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．‎ ‎（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．‎ A C B P D 备用图 A C B F P D G E ‎5．（上海模拟）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝ ．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．‎ ‎（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；‎ ‎（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；‎ ‎（3）如图③，当PQ经过△ABC的重心G时，求BP的长．‎ A D C B P Q 图③‎ G A D C B P Q 图①‎ A D C B P Q 图②‎ E ‎6．（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F．‎ ‎（1）设BE＝x，DC＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当△ADF是直角三角形时，求BE的长；‎ ‎（3）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长 ‎（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？若能，求BE的长；若不能，说明理由．‎ A B C A B C D E F ‎7．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°，连接EF．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）设AE的长为x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系式；‎ C B A D 备用图 C B A D E F C B A D 备用图 ‎（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，请说明理由．‎ ‎8．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，D是BC边上一点，CD＝3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE∥BC交AD于点E．‎ ‎（1）设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D能否相切？若能，求tan∠DPE的值；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C，当∠ACE＝∠BCB′ 时，求AP的长．‎ A D C B P E A D C B 备用图 ‎9．（上海模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是边AB上的一个动点，连接CP ‎，过点B作BD⊥CP，垂足为点D.‎ ‎（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：△BCD∽△ABC；‎ ‎（2）如图2，若BC＝‎2厘米，cotA＝2，点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是 厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积．‎ C A P B DDD 图2‎ C A P B DDD 图1‎ C A B 备用图 ‎10．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝ ．点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式及定义域；‎ ‎（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求∠PE的长；‎ ‎（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．‎ A B P C Q E A B C E 备用图 A B C E 备用图 ‎11．（上海模拟）如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°，动点M和N分别在线段AB和AC边上．‎ ‎（1）求证：△AOB∽△COA，并求cosC的值；‎ ‎（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；‎ ‎（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ A O N E C B M 图2‎ A O N C B M 图1‎ ‎12．（上海模拟）把两块边长为4的等边三角板ABC和DE如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M．把三角板ABC固定不动，将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点Q（如图2）．‎ ‎（1）当0°＜α＜60°时，求AM·CN的值；‎ ‎（2）当0°＜α＜60°时，设AM＝x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式并确定自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当BM＝2时，求两块三角板重叠部分的面积．‎ A B C D E F M 图2‎ N A B C D E F M 图1‎ A B C 备用图 ‎13．（上海模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF＝60°．设AE＝x，BF＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）△BDF能否成为等腰三角形？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．‎ A F B C D E ‎14．（上海模拟）如图，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和等边△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．‎ ‎（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；‎ ‎（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求此时 的值；‎ ‎（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD 2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，请说明理由．‎ D A C B P E 备用图 D A C B P E A B C D E F G H ‎15．（上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是AC边的中点，E是BC边上一动点（不与端点重合），EF∥BD交AC于F，交AB延长线于G，H是BC延长线上的点，且CH＝BE，连接FH．设BE＝x，CF＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）连接AE，当以GE为半径的⊙G和以FH为半径的⊙F相切时，求tan∠BAE的值；‎ ‎（3）当△BEG与△FCH相似时，求BE的长．‎ A B C D 备用图 A B C D 备用图 ‎16．（上海模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N．‎ ‎（1）当∠CMF＝120° 时，求BM的长；‎ ‎（2）设BM＝x，y＝ ，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；‎ D A C B N O F M B1‎ ‎（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求BM的长．‎ ‎17．（上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，cosB＝ ，点D在射线AB上，DE∥BC交射线AC于点E，点F在AE的延长线上，且EF＝ AE，以DE、EF为邻边作□DEFG，连接BG．‎ ‎（1）当EF＝FC时，求△ADE的面积；‎ ‎（2）设AD＝x，□DEFG与△ABC重合部分的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（3）当△DBG是等腰三角形时，求AD的长．‎ A B C 备用图 A B D E C G F ‎18．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos∠BAC＝ ，点O在AB上，且CA＝CO＝6．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，且C′ 落在CO的延长线上，连接BB′ 交CO的延长线于点D，‎ A B O B′‎ D C C′‎ ‎（1）求证：△COA∽△BOD ‎（2）求BD的长．‎ ‎19．（安徽）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c．‎ ‎（1）求线段BG的长；‎ ‎（2）求证：DG平分∠EDF；‎ ‎（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．‎ D A B C G F E 图2‎ D A B C G F E 图1‎ ‎20．（浙江金华、丽水）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝ ．如图，把△ABC的一边 BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝ ，AC与y轴交于点E．‎ ‎（1）求AC所在直线的函数解析式；‎ ‎（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；‎ x O y A B C E F 备用图 x O y A B C G E F ‎（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（浙江义乌）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．‎ ‎（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC‎1A1的度数；‎ ‎（2）如图2，连接AA1、CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；‎ ‎（3）如图3，点D为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段DP1长度的最大值与最小值．‎ A B C C1‎ A1‎ 图2‎ A B C C1‎ A1‎ 图1‎ A B C P1‎ D C1‎ A1‎ P 图3‎ ‎22．（浙江模拟）如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．‎ ‎（1）用含x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（1）设BP＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式；‎ C A D F B E G P ‎（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．‎ ‎23．（江苏淮安）‎ 阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．‎ A B C B1‎ 图3‎ B2‎ A1‎ A B C B1‎ 图2‎ A B C B1‎ B2‎ Bn Bn+1‎ A1‎ A2‎ An 图1‎ ‎…‎ 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．‎ 探究发现 ‎（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________（填“是”或“不是”）．‎ ‎（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．‎ 根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为________________．‎ 应用提升 ‎（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．‎ 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．‎ ‎24．（江苏宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC（0°＜∠CBE＜ ∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按顺时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′ 处），连接DE′．求证：DE′＝DE．‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE 2＝AD 2＋EC 2．‎ A B C E′‎ 图1‎ E D A B C 图2‎ E D ‎25．（江苏镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．‎ ‎（1）求证：AM＝AN；‎ ‎（2）设BP＝x．‎ ‎①若BM＝ ，求x的值；‎ ‎②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；‎ ‎③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD＝15°？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．‎ A B C E D P M N 图2‎ G H A B C E D P M N 图1‎ B M Q O P N A y x ‎26．（江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与端点重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON，设OQ＝t．‎ O A y x 备用图 ‎（1）求tan∠BON的值；‎ ‎（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；‎ ‎（3）是否存在点P，使以B、M、N为顶点的三角形与△MON相似，若存在，请求出B点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎27．（江苏模拟）在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A（t，0）是x轴上一动点，M是线段AC的中点．把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．‎ ‎（1）若t＝3，则点B的坐标为____________，若t＝－3，则点B的坐标为____________；‎ ‎（2）当t为何值时，△BCD的面积等于6 ？‎ B E A O M D C y x O C y x 备用图 ‎（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．‎ C A B D E F ‎28．（江苏模拟）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，∠BAE＝135°，AC＝2，AD＝1，F为BE的中点．‎ ‎（1）求CF的长；‎ ‎（2）将△ADE绕点A旋转一周，求点F运动路径的长．‎ ‎29．（江苏模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝‎10cm，BC＝‎12cm，点D为AC边上一点，且AD＝‎8cm．动点E从点B出发，以‎1cm/s的速度沿线段BC向终点C运动，F是射线CA上的动点，且∠DEF＝∠B．设运动时间为t s，CF的长为y cm．‎ ‎（1）求y与t之间的函数关系式及点F运动路线的长；‎ ‎（2）当以点B为圆心，BE长为半径的⊙B与以点C为圆心，CF长为半径的⊙C相切时，求t的值；‎ ‎（3）当△CEF为等腰三角形时，求t的值．‎ F E D C A B O D C A B O 备用图 ‎30．（江苏模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝8，tanC＝ ，BD＝CD，E、F分别是线段BC、BDC上的动点（点E与点B、C不重合），且∠DEF＝∠ADB．设CE＝x，DF＝y．‎ ‎（1）求BC和BD的长；‎ A B C DM EM FM ‎（2）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当△DEF为等腰三角形时，求x的值．‎ A B F E D C G ‎31．（江苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE＝45°．‎ ‎（1）求证：BD·BC＝BG·BE；‎ ‎（2）求证：AG⊥BE；‎ ‎（3）若E是AC的中点，求 的值．‎ ‎32．（河北）如图1，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．‎ ‎（1）AE和ED的数量关系为______________，‎ AE和ED的位置关系为______________；‎ ‎（2）在图中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图2和图3．‎ ‎①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1 : 2，H是EC的中点．‎ 求证：GH＝HD，GH⊥HD．‎ ‎②在图3中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k : 1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．‎ B E A D C 图1‎ B E A D C 图3‎ G F H B E A D C 图2‎ G F H ‎33．（河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝ ．‎ 探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝__________，AC＝__________，△ABC的面积S△ABC ＝__________．‎ 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与A重合时，我们认为S△ABD ＝0）‎ ‎（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD 及S△CBD ；‎ ‎（2）求( m＋n )与x的函数关系式，并求( m＋n )的最大值和最小值；‎ ‎（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．‎ 发现 请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．‎ A C H B 图1‎ A C E B 图2‎ D F ‎34．（河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，在△ABC中，BC＝2AB，点B的坐标为（－4，0），点D是BC的中点，且tan∠ACB＝ ．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）点P从C点出发，沿线段CB以每秒5个单位的速度向终点B匀速运动，过点P作PE⊥AB，垂足为E，PE交直线AC于点F，设EF的长为y（y≠0），点P的运动时间为t秒，求y与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点O作OQ∥AC交AB于Q点，连接DQ．是否存在这样的t值，使△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ O C B A x y D 备用图 O C B A x y D 备用图 O C B A x y D E F P ‎35．（山西模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（2，0），B（0，）两点，将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′．‎ ‎（1）求直线l的解析式；‎ ‎（2）若OA′⊥AB，垂足为D，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°，A′B′ 与直线l相交于点F，点E为x轴上一动点．试探究：是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似．若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y B F l A x O B′‎ A′‎ 图2‎ y B D l A x O B′‎ A′‎ 图1‎ ‎36．（陕西）如图，正三角形ABC的边长为3＋．‎ ‎（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′ 的面积最大（不要求写作法）；‎ ‎（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′ 的边长；‎ ‎（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．‎ B C A 图②‎ E F M N P D H B C A 图①‎ E F P N ‎37．（陕西模拟）（1）如图1，△ABC在平面坐标系内，点A（0，3），B（－3，0），C（2，0）．一动点由点A沿y轴向下运动，运动到线段OA上的G点时，再沿GC到达C．若由A到G方向的速度是G到C方向的速度的2倍，要使动点由A－G－C所用的时间最短，求点G的坐标；‎ ‎（2）如图2，A、B两村相距‎10千米，且tanA＝ ，现计划修一条公路把A、B两村连接起来，由于A、B两村之间有些重要的建筑物不能直接经过，故计划先沿水平AC方向修到某处M，再由M处沿山坡修到B村．‎ ‎①若由A到M的速度是M到B的速度的 倍，要尽快完成任务，求AM的长；‎ ‎②若由A到M的速度是M到B的速度的3倍，要尽快完成任务，求AM的长；‎ ‎③若由A到M的速度是M到B的速度的n倍，要尽快完成任务，直接写出AM的长．‎ O C B A y 图1‎ x M C A 图2‎ B ‎38．（新疆乌鲁木齐）如图，已知点A（－12，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝90°．‎ O B A y x C D ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式；‎ ‎（3）在l上求出满足S△PBC ＝ S△ACB的点P的坐标；‎ ‎（4）已知点M在l上，在平面内是否存在点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎39．（内蒙古赤峰）如图所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是‎3km、‎4km（即AC＝‎3km，BE＝‎4km），AB＝x km，现设计两种方案；‎ 方案一：如图①所示，AP⊥l于点P，泵站修建在P处，该方案中管道长度a1＝AB＋AP；‎ C A B E l 方案二：如图②所示，点A′ 与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2＝AP＋BP ‎（1）在方案一中，a1＝____________km（用含x的式子表示）；‎ ‎（2）在方案二中，a2＝____________km（用含x的式子表示）；‎ ‎（3）请你分析要使铺设的输气管道最短，应选择方案一还是方案二．‎ P A B l 图②‎ C P A B l 图①‎ ‎(C)‎ ‎40．（黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，直线y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y＝－x＋m经过点C，交x轴于点D．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH＝∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．‎ O A y x 备用图 B C D O A y x B C D ‎41．（黑龙江哈尔滨）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．‎ ‎（1）如图l，求证：PC＝AN；‎ ‎（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE＝∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP＝2，PC＝3，CK : CF＝2 : 3，求DQ的长．‎ Q A P B C M N ‎（图1）‎ Q A P B C M N ‎（图2）‎ K D E N F ‎42．（哈尔滨模拟）已知△ABC中，∠ACB＝2∠BAC，点E在边AC上，且AE＝BE，CD平分∠ACB交AB于点D，连接DE．‎ ‎（1）如图1，求证：BD＝ED；‎ B D A C P E Q B′‎ 图2‎ ‎（2）设线段CD、BE相交于点P，将∠BAC沿直线AC翻折得到∠B′AC（如图2），射线AB′ 交BE延长线于点Q，连接CQ．若DE : BC＝2 : 3，求∠ACQ的正切值．‎ B D A C P E 图1‎ ‎43．（哈尔滨模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，点P、D分别在边AB、AC上，且PC＝PD．‎ ‎（1）如图1，若tanB＝1，请写出线段CD与线段PB的数量关系；‎ ‎（2）如图2，若tanB＝2，求证：2BC＝AD＋ PB．‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，若点B关于直线CP的对称点E恰好落在边AC上，连接PE、BD分别交PE、CP于M、N两点，且AD＝2，求线段MN的长．‎ P B A C E 图3‎ D M N P B A C D 图2‎ P B A C D 图1‎ ‎44．（哈尔滨模拟）已知△ABC中，∠ACB＝2∠ABC，AD为∠BAC的平分线，E为线段AC上一点，过E作AD的垂线交直线AB于F．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求证：BF＝DE；‎ A B D N C E F M 图2‎ A B D C F 图1‎ ‎(E)‎ ‎（2）如图2，连接BE交AD于点N，M是BF的中点，连接DM．若DM⊥BF，DC＝4，S△ABD : S△ACD＝3 : 2，求DN的长．‎ ‎45．（辽宁沈阳）已知，如图①，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝4，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．‎ ‎（1）求AP的长；‎ ‎（2）求证：点P在∠MON的平分线上；‎ ‎（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．‎ ‎①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；‎ ‎②若CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．‎ A P B O M N 图②‎ C D E F A P B O M N 图①‎ ‎46．（辽宁抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．‎ ‎（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；‎ ‎（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；‎ ‎（3）若AC＝3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E 为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．‎ B A C 备用图 B D A C E 图②‎ B D A C E 图①‎ ‎47．（辽宁模拟）A B P G C E F H Q M N R S D 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝6，AD＝4．矩形EFGH内接于△ABC（FG在BC边上），正方形PQMN内接于△AEH（QM在EH边上），PN、EH分别交AD于点R、S．设AE＝x．‎ ‎（1）试用x的代数式表示线段PN、EH的长；‎ ‎（2）设S＝S正方形PQMN ＋ S矩形EFGH ‎①求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎②当x取何值时，S有最大值？‎ ‎（3）连接FH，当△HFC是等腰三角形时，求x的值．‎ ‎48．（四川成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝a，CQ＝ a时，P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．‎ A P F B Q C E 图②‎ D A P F B Q C E 图①‎ D ‎49．（四川南充）在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．‎ ‎（1）求证：MA＝MB；‎ M P Q O A B ‎（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎50．（四川攀枝花）如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP＝y，PE＝x．‎ ‎（1）当x＝ EF时，求S△DPE : S△DBC 的值；‎ ‎（2）当CQ＝ CE时，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）①当CQ＝ CE时，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎②当CQ＝ CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．‎ A C B P F E D Q ‎（2）‎ A C B P F E D Q ‎（1）‎ ‎51．（四川宜宾）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF．将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．‎ A C B F E D M ‎（1）求证：△ABE∽△ECM；‎ ‎（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．‎ ‎52．（四川某校自主招生）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是高和角平分线，若△BCE的面积为15，△CDE的面积为3，求△ABC的面积．‎ E A F D B C ‎53．（四川模拟）已知三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．折叠纸片，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．‎ ‎（1）当D是BC的中点时，求EF的长；‎ ‎（2）当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求EF的长；‎ ‎（3）△BDE能否成为以DE为腰的等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，说明理由．‎ ‎54．（湖南娄底）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D在边BC上，E在线段DC上，DE＝4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．‎ ‎（1）求证：△BMD∽△CNE；‎ ‎（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？‎ A C B F D E M N ‎（3）设BD＝x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．‎ ‎55．（湖南邵阳）如图所示，直线y＝－ x＋b与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）设点P为线段CA上的一个动点（点P与点A、C不重合），连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM＝∠BAC．‎ ‎①求证：△PBC∽△MPA；‎ ‎②是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A C B O x y 备用图 A P M C B O x y ‎56．（湖南岳阳）‎ ‎（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．‎ ‎（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）深入探究：‎ Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′ 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．‎ Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．‎ B C 图③‎ A D F F′‎ B C 图②‎ A D F B C 图①‎ A D F B C 图④‎ A D F F′‎ ‎57．（湖北武汉）在锐角三角形ABC中，BC＝5，sinA＝ ．‎ ‎（1）如图1，求△ABC的外接圆的直径；‎ ‎（2）如图2，点I为△ABC的内心，若BA＝BC，求AI的长．‎ B C A 图2‎ I B C A 图1‎ ‎58．（湖北武汉）已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝6．‎ ‎（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；‎ ‎（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．‎ ‎①请你在所给的网格中画出格点△A1B‎1C1，使得△A1B‎1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）‎ ‎②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．‎ 图2‎ B C A M 图1‎ ‎59．（湖北黄石）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B‎1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．‎ ‎（1）请你探究： ＝ ， ＝ 是否都成立？‎ ‎（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 ＝ 一定成立吗？并证明你的判断．‎ ‎（3）如图（2）所示：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝ ，E为AB上一点且AE＝5，CE交其内角角平分线AD于F，试求 的值．‎ C C1‎ D B A B1‎ 图（1）‎ C D EB A B 图（2）‎ F ‎60．（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田）△ABC中，AB＝AC，D为BC边中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B．‎ ‎（1）如图（1），当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；‎ ‎（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；‎ N A D C B E 图（1）‎ M N A D C B E 图（2）‎ M F N A D C B E 备用图 M F ‎（3）在图（2）中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当△DEF的面积等于△ABC面积的 时，求线段EF的长．‎ ‎61．（湖北某校自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC．‎ ‎（1）如图1，当∠APB＝90°时，‎ ‎①求证：PC平分∠ACB；②若PC＝6，求BC的长；‎ ‎（2）如图2，当∠APB＝60°，PC＝5 时，求BC的长．‎ A C B P 图1‎ A C B P 图2‎ ‎62．（湖北某校自主招生）在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝ x平行，AB长为8，若点P是直线l上的动点，求△PAB的内切圆面积的最大值．‎ A B O y x l ‎63．（湖北某校自主招生）已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．过点C作直线l∥AB．点D在线段BC上，点E在直线l上．若∠ADE＝120°，CE＝1，求DC的长．‎ ‎64．（湖北模拟）图1是边长分别为4 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′ 叠放在一起（C与C′ 重合）．‎ ‎（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′ 绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD，BE，CE的延长线交AB于F（图2）．‎ 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；‎ ‎（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）．‎ 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．‎ C A E B ‎(C′)‎ 图2‎ D F C A E′‎ B D′‎ ‎(C′)‎ 图1‎ C A Q B 图3‎ F P R ‎65．（湖北模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．‎ ‎（1）如图1，若∠BAC＝30°，30°＜m ＜180°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；‎ ‎（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m ＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值________________________；‎ ‎（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使 ＝，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．‎ A B D C 图2‎ A B D C 图1‎ A B D C 图3‎ E ‎66．（广西桂林）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．‎ ‎（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；‎ ‎（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△FED的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．‎ A B C D E F 图2‎ A B C D E F 图1‎ ‎67．（福建龙岩）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．‎ ‎（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为__________；‎ ‎（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；‎ ‎（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC＝‎2a，那么，BC边上的高AD＝_________，‎ 正方形EFGH的对角线长为__________．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ A B D C B D ‎(A)‎ E F C E F H D G A B C ‎68．（福建南平）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1＝∠B＝∠C．‎ A B C D E ‎1‎ ‎（1）由题设条件，请写出三个正确结论；（要求：不再添加其它字母和辅助线，找结论过程中添加的字母或辅助线不能出现在结论中，不必证明）‎ 答：结论一：________________________；‎ 结论二：________________________；‎ 结论三：________________________．‎ ‎（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与点B、C重合），‎ A B C ‎（备用图）‎ ‎①求CE的最大值；‎ ‎②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．‎ ‎（注意：在第（2）小题求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）‎ ‎69．（福建莆田）‎ ‎（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB 2＝AD·AC；‎ ‎（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．若 ＝ ＝1，求 的值；‎ B F A C E D B A C D 图①‎ 图②‎ ‎（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若 ＝ ＝n，请探究并直接写出 的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．‎ ‎70．（福建宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：‎ 如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．‎ ‎（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；‎ ‎（2）当0°＜α ≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD 2＋CE 2＝DE 2．‎ 同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：‎ 小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；‎ 小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．‎ 请你从中任选一种方法进行证明；‎ ‎（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α ＜135°且α≠90°时，等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α ＜180°时（如图4），等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．‎ A B C 图4‎ A B C D E G 图3‎ A B C D E F 图2‎ A B C D E M 图1‎ ‎71．（福建模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点（不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′ 处，连接BA′ ．设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当x取何值时，以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；‎ ‎（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形？‎ ‎（4）当x取何值时，△A′DB是等腰三角形？‎ A C B 备用图 A C B E D A′‎ ‎72．（福建模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是射线CA上的一个动点（不与C、A重合），DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FG⊥直线AB于G点，连接EF，设AD＝x．‎ ‎（1）①若点D在AC边上，求FG的长（用含x的式子表示）；‎ ‎②若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．‎ ‎（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP＋FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明．‎ A G F B E D C A B C 备用图