山东省青岛天龙中学2020届高三第一次模拟考试数学试题

山东省青岛天龙中学2020届高三第一次模拟考试数学试题

山东省2020届青岛天龙中学高三第一次模拟考试 数学 本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.‎ 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A. （1，3） B. （1，4） C. （2，3） D. （2，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解法，可得集合，然后根据交集的概念，可得结果.‎ ‎【详解】由 所以，所以 又，所以 故选：C ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，记住口诀“大于取两边，小于取中间”，还考查集合之间的运算，属基础题.‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数为单位，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以，，所以，故选A.‎ 考点：复数的概念与运算.‎ ‎3.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．‎ ‎4.已知菱形的边长为，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.‎ 考点：向量的数量积的运算.‎ ‎5.若“”是真命题，则实数的最小值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“”是真命题，即可求出参数的范围.‎ ‎【详解】“”是真命题,即对任意，恒成立.‎ 所以，又在上单调递增.即 所以，实数的最小值为1‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查根据命题为真求参数，考查恒成立问题，属于基础题.‎ ‎6.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．‎ 考点：外接球表面积和椎体的体积．‎ ‎7. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．‎ 考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．‎ ‎8.已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值 范围是（　　　）‎ A. [0,) B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，所以，选A.‎ 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.‎ 二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，漏选得3分，错选0分，全选对5分）‎ ‎9.函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称轴心 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象先求出的表达式，再对选项进行逐一判断，即可得到答案.‎ ‎【详解】由函数的图象有,则，即，所以，则A正确.‎ 由图象可得，， ‎ 所以，即,由，‎ 所以，即,所以B不正确.‎ 所以函数的对称轴为：，即 当时，是函数的一条对称轴，所以C正确.‎ 所以函数的对称中心满足：，即 所以函数的对称轴心为，，所以D正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】本题考查根据图象求余弦型函数的解析式，考查余弦型函数的对称性等，属于中档题.‎ ‎10.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出3个球，下列事件是互斥事件是（ ）‎ A. 摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件 B. 恰好有一黑球事件和都是黑球事件 C. .至少一个黑球事件和至多一个白球事件 D. 至少一个黑球事件和全是白球事件 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件的定义，对选项进行逐一判断是否互斥，得到答案.‎ ‎【详解】从口袋中摸出3个球，‎ 摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件，不可同时发生，是互斥事件.‎ 恰好有一黑球事件和都是黑球事件, 不可同时发生，是互斥事件.‎ 至少一个黑球事件和至多一个白球事件,若恰好2个黑球和1个白球，则两个事件同时发生，所以不是互斥事件.‎ 至少一个黑球事件和全是白球事件, 不可同时发生，是互斥事件.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查互斥事件的判断，考查互斥事件的定义，属于基础题.‎ ‎11.下列命题正确的是（ ）‎ A. 平行于同一直线的两条直线互相平行.‎ B. 垂直于同一平面的两个平面互相平行.‎ C. 若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行.‎ D. 若直线垂直于同一平面，则平行.‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一分析，可得答案.‎ ‎【详解】A. 平行于同一直线的两条直线互相平行. 所以正确.‎ B. 垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，故不正确.‎ C. 若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行,可能相交，可能异面，所以不正确.‎ D. 若直线垂直于同一平面，则平行.所以正确.‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于基础题.‎ ‎12.已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有.则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. 在上有5个零点 C. D. 直线是函数图象的一条对称 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得是以2为周期的周期函数，当且时，有，得函数在上单调递减，根据函数性质对每一个选项进行分析，得出答案.‎ ‎【详解】对都有成立,则是以2为周期的周期函数.‎ 当且时，有，则在上单调递减.‎ 由函数是定义在R上的奇函数有………①，‎ 又是以2为周期的周期函数，有…………②，‎ 所以①②可得，所以A正确.‎ 由，则，‎ 为奇函数，则，又是以2为周期的周期函数，则.‎ 又在上单调递减且，则时.‎ 由为奇函数，所以则时.‎ 根据是以2为周期的周期函数 ，则时，时 所以在上有，有5个零点,故B正确 由是以2为周期的周期函数有，故C正确.‎ ‎ 由上可知，当时，时，则其图象不可能关于对称，故D不正确.‎ 故选：ABC ‎【点睛】本题考函数的奇偶项、单调性、周期性等函数的基本性质，属于中档题.‎ 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．‎ 考点：二项式定理．‎ ‎14.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．‎ ‎【答案】2；‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由可得，‎ 即，‎ 故填2.‎ 考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.‎ ‎15.已知函数的定义域和值域都是，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；‎ 若，则在上为减函数,所以，解得，所以.‎ 考点：指数函数的性质.‎ ‎16.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,‎ 解方程组得：，所以点的坐标为,‎ 抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心，所以,‎ 所以，.‎ 所以，.‎ 考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17.已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.‎ 由，得，即.由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.‎ 解得.‎ ‎【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和.‎ ‎【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎ ‎18.设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求 面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（Ⅱ）面积的最大值为 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；‎ ‎（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意知 由可得 由可得 所以函数的单调递增区间是；‎ 单调递减区间 ‎（Ⅱ）由得 由题意知为锐角，所以 由余弦定理：‎ 可得：‎ 即：当且仅当时等号成立 因此 所以面积的最大值为 考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.‎ ‎19.如图，在三棱台中，分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面,，‎ ‎，求平面与平面所成角（锐角）的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）思路一：连接，设，连接，先证明，从而由直线与平面平行的判定定理得平面；思路二：先证明平面平面，再由平面与平面平行的定义得到平面.‎ ‎（Ⅱ）思路一：连接，设，连接，证明两两垂直, 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作于点，作于点，连接，证明 即为所求的角，然后在三角形中求解.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证法一：连接，设，连接，‎ 在三棱台中，‎ 为的中点 可得 所以四边形为平行四边形 则为的中点 又为的中点 所以 又平面平面 所以平面．‎ 证法二：‎ 在三棱台中，‎ 由为的中点 可得 所以四边形为平行四边形 可得 在中，为的中点，为的中点，‎ 所以 又，所以平面平面 因为平面 所以平面 ‎（Ⅱ）解法一：‎ 设，则 在三棱台中，‎ 为的中点 由，‎ 可得四边形为平行四边形，‎ 因此 又平面 所以平面 在中，由，是中点，‎ 所以 因此两两垂直,‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 所以 可得 故 设是平面一个法向量，则 由可得 可得平面的一个法向量 因为是平面的一个法向量，‎ 所以 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为 解法二：‎ 作于点，作于点，连接 由平面，得 又 所以平面 因此 所以即为所求的角 在中,‎ 由∽‎ 可得 从而 由平面平面 得 因此 所以 所以平面与平面所成角（锐角）的大小为.‎ 考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.‎ ‎20.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．‎ 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．‎ ‎(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；‎ ‎(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎【答案】(1) 125，135，145，235，245，345；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；‎ ‎（2）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为 随机变量X的取值为：0，-1，1，因此 ‎,,‎ 所以X的分布列为 X ‎ ‎0 ‎ ‎-1 ‎ ‎1 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因此.‎ ‎21.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆，P为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.求的值；‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)运用椭圆的离心率公式和的关系，可求得，从而得到椭圆方程.‎ ‎(2) 设点,,求得点的坐标，分别代入椭圆的方程，化简整理，即可得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.‎ 设这两圆的交点为,则 所以，则 又，，可得，‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）由（1）知椭圆的方程为 设点，，由题意知 因为，又，‎ 即，所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程和性质，考查点在椭圆上的应用，属于中档题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若在上存在一点，使得成立，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增,在上单调递减. （2）实数a的取值范围是或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) ,则分和两种情况结合定义域讨论函数的定义域. (2) 若在上存在一点，使得成立，即在上有，由（1）中的单调性，得出的最小值，解不等式，得到参数的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ 当即时，在上，所以函数在上单调递增.‎ 当即时，在上，在上 所以函数在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎（2）若在上存在一点，使得成立，即，.‎ ‎①由（1）可知，当时，函数在上单调递增，‎ ‎，即 ‎②时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 当即时，函数在上单调递减，‎ ‎，即.‎ 因为，所以.‎ 当即时，函数在上单调递增，‎ ‎，即（舍）‎ 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递减.‎ 此时，则，所以 即，所以无解.‎ 综上所以：实数a的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查含参数的单调性的讨论，考查不等式能成立问题，属于中档题. ‎