数学（理）卷·2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末考试（2017

数学（理）卷·2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末考试（2017

‎2016-2017学年度第一学期高三毕业班期终考试 理科数学试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则满足的集合的个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎2.如果复数，则（ ）‎ A．的共轭复数为 B．的实部为1 C． D．的虚部为 ‎3.已知向量的夹角为，，若，则为（ ）‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知函数在处取得最大值，则函数是（ ）‎ A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 ‎ C.奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点 对称 ‎7.已知点是圆内的一点，则该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为（ ）‎ A． B． C. D．不确定 ‎8.已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.下列五个命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎（1）对于命题，使得，则，均有；‎ ‎（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；‎ ‎（3）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为；‎ ‎（4）已知正态总体落在区间的概率是，则相应的正态曲线在时，达到最高点；‎ ‎（5）曲线与所围成的图形的面积是.‎ A．2 B．3 C.4 D．5‎ ‎10.某企业拟生产甲、乙两产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在、两种设备上加工，在每台设备、每台设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h，设备每天使用时间不超过4h，设备每天使用时间不超过5h，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ）‎ A．18万元 B．12万元 C.10万元 D．8万元 ‎11.数列满足，，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，设，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.为抛物线上任意一点，在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为 ．‎ ‎14.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于49的概率为 ．‎ ‎15.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 的三个内角依次成等差数列.‎ ‎（1）若，试判断的形状；‎ ‎（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 一个口袋中装有大小形状完全相同的个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余个乒乓球上均标有数字3，若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和，求的分布列和数学期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 过点的直线交直线于，过点的直线交轴于 点，，.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上且，求实数的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）讨论关于的方程的根的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；‎ ‎（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）当且时，解关于的不等式.‎ 怀仁一中2016-2017学年度第一学期期终考试 高三数学（理科）考试题答案 一、选择题 ‎1-5:CDCCA 6-10:BBDBD 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴，‎ ‎∵依次成等差数列，∴，，‎ 由余弦定理得，，∴，‎ ‎∴为正三角形.‎ ‎（2）‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，.‎ ‎∴代数式的取值范围是.‎ ‎18.解：（1）由题设，即，解得.‎ ‎（2）取值为2，3，4，6，9.‎ 则，，，，.‎ 的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）连接，，在中，‎ ‎∵是中点，∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量，‎ ‎，‎ 令，则，，∴，∴，‎ ‎∴平面.‎ ‎（3）设平面的法向量为，，‎ ‎，‎ 令，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 所求二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：由题意，直线的方程是，∵，∴的方程是，‎ 若直线与轴重合，则，若直线不与轴重合，可求得的方程是，‎ 与直线的方程联立消去得，因不经过点，故动点的轨迹的方程是.‎ ‎（2）设，直线的方程为，于是两点的坐标满足方程组 由方程消去并整理得，‎ 由得，从而，设的中点为，则，‎ 以下分两种情况：①当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴，于是，，由得：.‎ ‎②当时，线段的垂直平分线方程是，令，得 ‎，∵，∴.‎ 由，‎ 解得：且，∴.‎ 当时，；‎ 当时，，∴且；‎ 综上所述：且.‎ ‎21.解：（1）是奇函数，则恒成立，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）由（1）知，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 且对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∵在上恒成立，‎ ‎∴，‎ 即对恒成立，‎ 令，则，‎ ‎∴，而恒成立，‎ ‎∴.‎ ‎（3）由（1）知，∴方程为，‎ 令，，‎ ‎∵，‎ 当时，，∴在上为增函数；‎ 当时，，∴在上为减函数；‎ 当时，，而，‎ ‎∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，‎ ‎∴①当，即时，方程无解；‎ ‎②当，即时，方程有一个根；‎ ‎③当，即时，方程有两个根.‎ ‎22.解：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线.‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数，），故经过点，若直线经过点，则.‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）‎ 代入，得，‎ 设对应的参数分别为，则，，‎ ‎∴.‎ ‎23.解：（1）由得，‎ 所以，解得为所求.‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，‎ 当时，不等式①恒成立，即；‎ 当时，不等式或或 解得或或，即；‎ 综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.‎