四川省成都市树德中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测数学文科试题

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高二数学（文科）2020-10 阶考 第 1 页 共 2 页 树德中学高 2019 级高二上学期 10 月阶段性测试数学（文科）试题 一、选择题：（共大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．若 2 2 2 0x y x y k     是圆的方程，则实数 k 的取值范围是（ ） A．k<5 B．k< 5 4 C．k< 3 2 D．k> 3 2 2．若 (2, 1)P  为圆 2 2( 1) 25  x y 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ） A．2 5 0x y   B．2 3 0x y   C． 1 0x y   D． 3 0x y   3．我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆 2 2: ( 2) ( 1) 2C x y    ，直线 2 2: 1 0l a x b y   ，若圆C 上任一点关于直线 l 的对称点仍在圆C 上，则点  ,a b 必在（ ） A．一个离心率为 1 2 的椭圆上 B．一条离心率为 2 的双曲线上 C．一个离心率为 2 2 的椭圆上 D．一条离心率为 2 的双曲线上 4．过圆 2 2 4x y  外一点 (4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为 ,A B，则 ABP△ 的外接圆的方程为（ ） A． 2 2( 4) ( 2) 1x y    B． 2 2( 2) 4x y   C． 2 2( 2) ( 1) 5x y    D． 2 2( 2) ( 1) 5x y    5．已知平面上两定点 A，B，且  1,0A  ，  10B , ，动点 P 与两定点连线的斜率之积为-1，则动点 P 的 轨迹是（ ） A．直线 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 6．已知离心率为 2 的双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     与椭圆 2 2 1 8 4 x y   有公共焦点，则双曲线的方程 为（ ） A． 2 2 1 4 12 x y   B． 2 2 1 12 4 x y   C． 2 2 1 3 y x   D． 2 2 1 3 x y  7．如图所示，已知椭圆方程为   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     ， A为椭圆的左顶点，B C、 在椭圆上，若四边 形OABC为平行四边形，且 45OAB  ，则椭圆的离心率为（ ） A． 2 2 B． 3 3 C． 6 3 D． 2 2 3 8． 直角坐标系中，O是原点，   2 cos , 2 sinOQ R        ，动点 P 在直线 3x  上运动，若 从动点 P 向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值是（ ） A． 26 B．4 C．5 D． 2 6 9．设 1F ， 2F 分别为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 1 2 3PF PF b  ， 1 2 9 4 PF PF ab  ，则该双曲线的离心率为（ ） A． 4 3 B． 5 3 C． 9 4 D．3 10．设 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 2 2 : 1 x y C a b   （ 0a b  ）的左、右焦点，过 1F 的直线 l 交椭圆于 ,A B两点， l 在 y 轴上的截距为 1，若 1 13AF F B ，且 2AF x 轴，则此椭圆的长轴长为（ ） A． 3 3 B．3 C． 6 D．6 11．已知圆     2 2 : 1 2 2C x y    ，若直线 4y kx  上总存在点 P ，使得过点 P 的圆C 的两条切线 互相垂直，则实数 k 的取值范围是（ ） A． 4 3 k   或 0k  B． 3 4 k   C． 3 4 k   或 1k D． 1k 12.点 A、 B 为椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     长轴的端点，C 、D为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足 2 MA MB  ，若 MAB 面积的最大值为 8， MCD 面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为 A． 2 3 B． 3 3 C． 2 2 D． 3 2 高二数学（文科）2020-10 阶考 第 2 页 共 2 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知点  4,0 是椭圆 2 23 1kx ky  的一个焦点，则 k  ______． 14．已知双曲线C ： 2 2 1 9 3 x y   ，O为坐标原点， F 为C 的右焦点，过 F 的直线与C 的两条渐近线的 交点分别为M ､N .若 OMN 为直角三角形，则 | |MN ________. 15. 已知圆 1C ： 2 2 22 4 0x y ax a     ，（ a R ）与圆 2C ： 2 2 22 1 0x y by b     ，（b R ）只有 一条公切线，则 a+b 的最小值为______. 16. 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     与双曲线 2 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C m n m n     有相同的焦点 1 2,F F ，其中 F1 为左焦点．点 P 为两曲线在第一象限的交点，e1、e2 分别为曲线 C1、C2 的离心率，若△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，则 e2﹣e1 的取值范围为_____． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 如图，圆 C 与 x 轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的右方），与 y 轴相切 于点  0,1M ，已知 2 3AB  . （1）求圆 C 的标准．．方程； （2）求圆 C 在点 A 处的切线 l 的方程. 18．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的离心率为 3 ，点 ( 3,0) 是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线 的方程；(2)经过双曲线右焦点 F2 作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A，B，求 AB . 19.已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b     ,其中一个焦点坐标是 3,0 ，长轴长是短轴长的 2 倍 （1）求E的方程； （2）设直线 : 2l y kx  与 E交于 A， B 两点，若 2OA OB  ，求 k 的值. 20. 设椭圆M ：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的离心率与双曲线 2 2 1x y  的离心率互为倒数，且椭圆的长轴 长为 4. （1）求椭圆M 的方程； （2）若直线 2x y m  交椭圆M 于 A， B 两点，  21P ，为椭圆M 上一点，求 PAB 面积的最大 值． 21．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0) y x a b a b     的下、上焦点分别为 1F 、 2F ，直线 3 3 0x y   恰经过椭 圆C 的一个顶点和一个焦点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设 (0,1)P ，A，B 是椭圆C 上关于 y 轴对称的任意两个不同的点，连接 AP 交椭圆C 于另一点D， 求证：直线 BD与 y 轴相交于某定点. 22.已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b     的右焦点为 (3,0)F 、 2 4 a c  ，直线 : 4l x  .过点F 作与坐标轴 都不垂直的直线与椭圆E 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为M ，O为坐标原点，且直线OM 与直线 l 交于点 N . （1）求椭圆E的标准方程； （2）若 2OM MN ，求直线 AB 的方程； （3）是否存在实数，使得 | | | |AN FA FN  恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明 理由. 高二数学（文科）2020-10 阶考 第 3 页 共 2 页 树德中学高 2019 级高二上学期 10 月阶段性测试数学（文科）试题参考答案 1~12 BDCDB CCDBD AD 13. 1 24 14. 3 3 15. 2 16. 2 ( , ) 3  17. （1）所求圆方程为： 2 2( 2) ( 1) 4x y    . （2）令方程 2 2( 2) ( 1) 4x y    中的 0y  可得 A 点坐标为 (2 3,0)A  因为  2,1C ，所以   1 0 3 32 2 3 ACk      所以 3lk   所以圆 C 在点 A 处的切线 l 的方程为： 3 3 2 3 0x y    18.(1) 3 3 c a a      解得 3, 6c b  ，所以双曲线的方程为 2 2 1 3 6 x y   (2)双曲线 2 2 1 3 6 x y   的右焦点为 2 (3,0)F 所以经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30°的直线的方程为 3 ( 3) 3 y x  ． 联立   2 2 1 3 6 3 3 3 x y y x          得 25 6 27 0x x   .设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 2 6 27 , 5 5 x x x x     .所以 2 1 6 27 16 3 1 4 3 5 5 5 AB                    19.（1）解：由题意得， 2a  ， 1b  ， 所以椭圆E的标准方程为 2 2 1 4 x y  . （2）解：设 A， B 的坐标为  1 1,x y ，  2 2,x y ，依题意得， 联立方程组 2 2 1 4 2 x y y kx        消去 y ，得  2 21 4 16 12 0k x kx    .     2 216 48 1 4 0k k     ， 2 3 4 k  ， 1 2 2 16 1 4 k x x k     ， 1 2 2 12 1 4 x x k   ， 1 2 1 2OA OB x x y y     1 2 1 22 2x x kx kx       2 1 2 1 21 2 4k x x k x x      2 2 2 12 16 1 2 4 1 4 1 4 k k k k k          2 2 12 20 4 1 4 k k     ， ∵ 2OA OB  ，∴ 2 2 12 20 4 2 1 4 k k     ， 2 7 3 6 4 k   所以， 42 6 k   . 20. （1）由题可知，双曲线的离心率为 2 ，则椭圆的离心率 2 2 c e a   ，由2 4a  ， 2 2 c a  ， 2 2 2b a c  ，得 2a  ， 2c  ， 2b  ，故椭圆M 的方程为 2 2 1 4 2 x y   . （2）不妨设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，联立方程组 2 2 4 2 2 1 x y m yx         ，得 2 24 2 2 4 0y my m    ， 由     2 22 2 16 4 0m m     ，得 2 2 2 2m   . 且 1 2 2 1 2 2 2 4 4 y y y y m m          ， 所以 1 21 2AB y y     2 1 2 1 23 4yy yy    2 21 3 4 2 m m    2 3 4 2 m    .又 P 到直线 AB 的距离为 3 m d  ， 高二数学（文科）2020-10 阶考 第 4 页 共 2 页 所以 21 3 4 2 2 2 3 PAB mm S AB d         2 2 2 21 1 4 8 2 2 2 2 m m m m            2 281 2 22 2 m m     . 当且仅当  2 2 2,2 2m     时取等号，所以   max 2PABS  . 21.（1）椭圆C 的标准方程为 2 2 1 4 y x  （2）由题意直线 AP 的斜率存在且不为 0,设直线 AP 的方程为 1( 0)y kx k   , 代入到 2 2 1 4 y x  中得：  2 24 2 3 0k x kx    ,设  1 1,A x y ，  2 2,D x y 则 1 2 2 2 4 k x x k     ， 1 2 2 3 4 x x k    ∵ A与 B 关于 y 轴对称 ∴  1 1,B x y ∴直线 BD的方程为  2 1 1 1 2 1 y y y y x x x x      令 0x  得  1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 x y y x y x y y y x x x x             1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 = +1 x kx x kx kx x x x kx x x x x x x x           2 2 3 2 4= 1 4 2 4 k k k k        , 则直线 BD与 y 轴相交于定点  0,4 . 22. （1）由已知可得： 2 2 2 2 3 4 c a c a b c        ，解得： 2 3, 3a b  椭圆E的标准方程为： 2 2 1 12 3 x y   . （2）由 2OM MN 可知： 2OM MN 即    , 2 ,M M N M N Mx y x x y y   ，可得： 2 8 = 3 3 M Nx x ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，直线 AB 的方程为 ( 3)y k x  ， 联立 2 2 ( 3) 1 12 3 y k x x y        ，得：  2 2 2 21 4 24 36 12 0k x k x k     ， M 为线段 AB 的中点，则 1 2 2 Mx x x  ，即 2 2 24 16 1 4 3 k k   ，解得： 2k   ， 所以直线 AB 的方程为 2( 3)y x   . （3）设 0 0( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 3 3( , )M x y ， 0 2 32x x x  ， 0 2 32y y y  ， 0 2 3 0 2 3 y y y x x x    ，由 2 2 0 0 2 2 2 2 1 12 3 1 12 3 x y x y         ， 两方程相减得 2 2 2 2 0 2 0 2 0 12 3 x x y y    ，即 0 2 0 2 0 2 0 2 ( )( ) 1 ( )( ) 4 y y y y x x x x       ，∴ 0 2 3 0 2 3 1 4 y y y x x x      ，即 1 4 AB OMk k   ， 又 0 0 3 AB AF y k k x    ，∴ 0 0 3 4 OM x k y    ，∵ 4Nx  ，∴ 0 0 3 N x y y    ，即 0 0 3 (4, ) x N y  ， 0 0 0 0 3 (4 , ) x AN x y y     ， 0 0( 3, )FA x y  ， 0 0 3 (1, ) x FN y   ， 0 0 0 0 3 ( 2, ) x FA FN x y y      ， 2 2 2 2 20 02 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 (4 ) ( ) 6 10 ( ) 1 3 3 ( 2) ( ) 6 10 ( ) x x x y x x y AN y y x x FA FN x y x x y y y                       ， 高二数学（文科）2020-10 阶考 第 5 页 共 2 页 ∴ 1 AN FA FN     ．∴存在满足题意的，且 1  ．