【数学】2018届一轮复习人教A版 二次函数与幂函数 学案
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
②顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
③零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(2)二次函数的图像和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图像
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图像关于x＝－对称
2.幂函数
(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)幂函数的图像比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②幂函数的图像过定点(1,1)；
③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数.( × )
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(4)函数y＝2x是幂函数.( × )
(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ )
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.( × )
1.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A.a>0,4a＋b＝0 B.a<0,4a＋b＝0
C.a>0,2a＋b＝0 D.a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0，故选A.
2.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意知即得a>.
3.如图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，则|OA|·|OB|等于( )
A.
B.－
C.±
D.无法确定
答案 B
解析 |OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝
＝－ (∵a<0，c>0).
4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.
答案 [1,2]
解析 如图，由图像可知m的取值范围是[1,2].
5.已知幂函数y＝f(x)的图像过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减.
答案 y＝x (0，＋∞)
题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.
解 方法一 (利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的图像的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三 (利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数的最大值是8，即＝8.
解得a＝－4，
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(1)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是___________________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
答案 (1)f(x)＝x2－2x＋1 (2)－2x2＋4
解析 (1)依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，
又其图像过点(0,1)，
∴4a－1＝1，∴a＝.
∴f(x)＝(x－2)2－1.
∴f(x)＝x2－2x＋1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，
∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
∴2a2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.
题型二 二次函数的图像与性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]，
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间.
解 (1)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的图像的对称轴为x＝－＝－a，
∴要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
(2)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3
＝
其图像如图所示.
又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2,3]，则函数f(x)的最大值为________.
答案 8
解析 f(x)＝(x－1)2－1，∵－2≤x≤3(如图)，
∴[f(x)]max＝f(－2)＝8.
引申探究
已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值.
解 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－2
1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.
综上，当－21时，ymin＝－1.
命题点3 二次函数中的恒成立问题
例4 (1)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________.
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________.
答案 (1) (2)
解析 (1)由题意得a>－对1.
(2)2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立.
当x＝0时，适合；
当x≠0时，a<2－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是 .
思维升华 (1)二次函数最值问题解法抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路一是分离参数；二是不分离参数.
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2 (a≠0)，
f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－[ax2＋bx＋2]＝4ax＋4a＋2b.
因为f(x＋2)－f(x)＝16x，所以4ax＋4a＋2b＝16x，
解得a＝4，b＝－8.
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)由f(x)>2x＋m，
可得m(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.(－1,2) D.
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解2m＋1≥0，得m≥－；
解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥.
解2m＋1>m2＋m－1，得－10时，f(x)＝ax2－2x图像的开口方向向上，且对称轴为x＝.[3分]
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增.
∴f(x)min＝f()＝－＝－.[6分]
②当>1，
即00)，且f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
答案 C
解析 ∵f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，
∴f(x)的大致图像如图所示.
由f(m)<0，得－10，∴f(m＋1)>f(0)>0.
4.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A.－1 B.1
C.2 D.－2
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或解得a＝1.
5.幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为( )
A.－10，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；
若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；
对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.
7.当0g(x)>f(x)
解析 如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图像，由此可知，h(x)>g(x)>f(x).
8.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________.
答案 －1或3
解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，
所以f(x)min＝1.
又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
9.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).
(1)若函数f(x)的图像过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
解 (1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.
由g(x)的图像知要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，
所以所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞).
10.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
解 要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a).
(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，故此时a不存在.
(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，
故－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，
得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，
综上得－7≤a≤2.
B组 专项能力提升
(时间20分钟)
11.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0f(x2)
D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
答案 B
解析 函数的对称轴为x＝－1，
设x0＝，由01时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)＝xα的图像在y＝x的图像的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图像，由图像可知α<1时满足题意.
13.已知a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，则b＝____，a＋b的值为________.
答案 4 4
解析 设f(x)＝x2－3x＋4，则f(x)的最小值为1，因此a≤1(如果a>1，则a≤f(x)≤b的解集由两个区域构成)，于是有f(a)＝f(b)＝b，而由f(b)＝b，得b＝4或，而函数y＝f(x)图像的对称轴为x＝2，故b＝4，则f(a)＝4，解得a＝0(a＝4舍去)，所以a＋b＝4.
14.设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为_______.
答案 ∪
解析 由8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，
即64sin2α－32(1－2sin2α)≤0，得到sin2α≤.
∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤，
∴0≤α≤或≤α≤π.
即α的取值范围为∪.
15.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围.
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立.
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0].
