四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷（解析版）
2019届四川省棠湖中学高三上学期
第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知a,b∈R，复数a+bi=2i1+i，则a+b=
A． -2 B． 1 C． 0 D． 2
2．设集合A={-3,-2,-1,0,1,2}，B={x|x2+2x-3≤0}，则A∩B=
A． {0,1,2} B． {-2,-1,0} C． {-1,0,1} D． {-3,-2,-1,0,1}
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=9，S99-S55=-4，则Sn取最大值时的n为
A． 4 B． 5 C． 6 D． 4或5
4．某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为1的等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积为
A． 3+2 B． 2+2 C． 2+1 D． 13
5．“(12)a<(12)b”是“lga>lgb”的
A． 充分不必要条件 B． 充要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
6．已知随机变量ζ服从正态分布Nμ,σ2，若P(ζ<1)=P(ζ>5)=0.15，则P1≤ζ≤3等于
A． 0.35 B． 0.3 C． 0.5 D． 0.7
7．已知α满足cosα=223，则cos(π4+α)cos(π4-α)=
A． 718 B． 2518 C． -718 D． -2518
8．设奇函数f (x )的定义域为R , 且f(x+4)=f(x), 当x∈[4,6]时f (x)＝2x+1, 则f (x )在区间[-2,0]上的表达式为
A． f(x)=2x+1 B． f(x)=-2-x+4-1
C． f(x)=2-x+4+1 D． f(x)=2-x+1
9．△ABC所在平面上一点P满足PA+PB+PC=AB，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为
A． 2∶3 B． 1∶4 C． 1∶3 D． 1∶6
10．已知两点Aa,0,B-a,0a>0，若曲线x2+y2-23x-2y+3=0上存在点P，使得∠APB=90°，则正实数a的取值范围为
A． 0,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 1,3
11．已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，经过原点的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=2|QF|，且∠PFQ=120°，则椭圆E的离心率为
A． 13 B． 12 C． 33 D． 22
12．已知偶函数f(x)=log4x,0
0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A、B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，∠EAB=90°.
（1）求p的值；
（2）已知点P的纵坐标为-1且在C上，Q、R是C上异于点P的另两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为-1，试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
21．已知函数fx=exsinx.
（Ⅰ）求函数fx的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的x∈0,π2，fx≥kx恒成立，求实数k的取值范围；
（III）设函数Fx=fx+excosx， x∈-2015π2,2017π2，过点Mπ-12,0作函数Fx的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列xn，求数列xn的所有项之和的值.
22．在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+3cosθ)=3.
（Ⅰ）求C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM:θ=θ1(π6≤θ1≤π3)与圆C的交点为O,P与直线l的交点为Q，求|OP|⋅|OQ|的范围．
23．已知a>0，b>0，a2+b2=a+b．证明：
（Ⅰ）(a+b)2≤2(a2+b2)；
（Ⅱ）(a+1)(b+1)≤4．
2019届四川省棠湖中学高三上学期
第二次月考数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．D
【解析】
分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值．
详解：因为2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i=a+bi，
所以a=1,b=1，
即a+b=2.故选D．
点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力．
2．D
【解析】
【分析】
根据二次函数不等式的解法得到集合B，再根据集合交集的概念得到结果.
【详解】
集合A={-3,-2,-1,0,1,2},B=xx2+2x-3≤0= x|-3≤x≤1，则A∩B={-3,-2,-1,0,1}.
故答案为：D.
【点睛】
高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．
3．B
【解析】
由{an}为等差数列，所以S99-S55=a5-a3=2d=-4，即d=-2，
由a1=9，所以an=-2n+11，
令an=-2n+11<0，即n>112，
所以Sn取最大值时的n为5，
故选B．
4．B
【解析】
如图，由三视图可知，四棱锥即为边长为1的正方体上的四棱锥S-ABCD，
则四棱锥S-ABCD的表面积为2+2，
故选B．
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
5．C
【解析】
【分析】
根据条件得到“(12)a<(12)b”，当a和b小于0时，不能推导出lga>lgb，反之根据函数的单调性由lga>lgb一定能得到(12)a<(12)b.
【详解】
由“(12)a<(12)b”构造函数y=(12)x是减函数，当a和b小于0时，不能推导出lga>lgb；反之lga>lgb，则一定有a>b,函数y=(12)x是减函数，一定有“(12)a<(12)b,故“(12)a<(12)b”是“lga>lgb”的必要不充分条件.
故答案为：C.
【点睛】
判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
6．A
【解析】
【分析】
由已知可得P（1≤ζ≤5）=1﹣P（ζ<1）﹣P（ζ>5）=0.70，再由对称性可得P（1≤ζ≤3）的值．
【详解】
由随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ζ<1）=P（ζ>5）=0.15，
可得μ=3，且P（1≤ζ≤5）=1﹣P（ζ<1）﹣P（ζ>5）=1﹣0.15﹣0.15=0.70，
∴P（1≤ζ≤3）=12P（1≤ζ≤5）=0.35．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．A
【解析】
【分析】
根据两角和差的余弦公式得到原式可化为12cosα-sinαcosα+sinα=12(cos2α-sin2α)，代入余弦值求解即可.
【详解】
根据两角和差的余弦公式得到cos(π4+α)cos(π4-α)= 12cosα-sinαcosα+sinα=12(cos2α-sin2α)，因为cosα=223,得到sinα=13或-13代入得到结果为718.
故答案为:A.
【点睛】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosxcsinx+dcosx,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tanπ4等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
8．B
【解析】
【分析】
由f（x+4）=f（x），可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围[﹣2，0]转化到[4,6]上，则f （x ）在区间[-2,0]上的表达式可求．
【详解】
当x∈[-2,0]时，﹣x∈[0，2]，
∴﹣x+4∈[4，6]，
又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，
∴f（﹣x+4）=2﹣x+4+1．
又∵f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为T=4，
∴f（﹣x+4）=f（﹣x），
又∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=2﹣x+4+1，
∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣2﹣x+4﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题综合考查函数的周期性、奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内.
9．C
【解析】
试题分析：由已知得，PA+PB+PC=AB=AP+PB，解得PC=2AP，所以|PC|=2|AP|，作图如下：
设点h到线段的距离是，所以.
考点：向量的线性运算
10．D
【解析】
分析：由∠APB=90°可以得到P在圆x2+y2=a2，此圆与题设中的圆至少有一个公共点，所以两圆位置关系是相交或相切，利用圆心距小于等于半径之和且大于等于半径之差的绝对值可得a的取值范围．
详解：因为∠APB=90°，所以点P在圆x2+y2=a2，
又点P还在圆x-32+y-12=1，故a-1≤2≤a+1，
解不等式有1≤a≤3，故选B．
点睛：此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果A,B为定点，且动点M满足MA=λMBλ≠1，则动点M 的轨迹为圆；
（2）如果ΔABC中，BC为定长，A为定值，则动点A的轨迹为一段圆弧．
11．C
【解析】
在ΔPQF中，设PF=2QF=2t, P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点E,由椭圆的对称性，知PFQE是平行四边形，所以在ΔPEF中，由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2,PF+QF=2a=3t,t=23a,e=33，选C.
【点睛】
本题的关键是要看到椭圆的对称性把ΔPQF，转化到焦点ΔPEF中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。
12．A
【解析】
依题意，当4122=14知，
当05.024，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足的区域为{5≤x≤76≤y≤8（如图所示）
设事件A为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x>y，
∴由几何概型P(A)=12×1×12×2=18，即乙比甲先解答完的概率为18.
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C82=28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C62=15种，恰有一人被抽到有C21⋅C61=12种，两人都被抽到有C22=1种.
∴X可能取值为0，1，2，P(X=0)=1528，
P(X=1)=1228=37，
P(X=2)=128，
X的分布列为：
X
0
1
2
P
1528
1228
128
∴E(X)=0×1528+1×1228+2×128=12.
19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）267
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接BD，BD∩AC=F，连接EF，可证得EF是中位线，从而得EF//PB，进而得证；
（Ⅱ）先证得PQ⊥AB，PQ⊥CQ，得PQ⊥平面ABCD，由VC-PAE=VE-ACP=12VD-ACP=12VP-ACD即可得解.
试题解析：
（Ⅰ）
证明：如图，连接BD，BD∩AC=F，连接EF，
∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，
∴ F为BD中点，又∵E是DP中点，
∴在△BDP中，EF是中位线，∴EF//PB，
又∵EF⊂平面ACE，而PB⊄平面ACE，∴PB//平面ACE．
（Ⅱ）解：如图，取AB的中点Q，连接PQ，CQ，
∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴ △ABC为正三角形，∴CQ⊥AB，
∵AP=PB=2，AB=PC=2，∴CQ=3，且△PAB为等腰直角三角形，即∠APB=90°，
PQ⊥AB，且PQ=1，∴PQ2+CQ2=CP2，∴PQ⊥CQ，
又AB∩CQ=Q，∴PQ⊥平面ABCD，
∴VC-PAE=VE-ACP=12VD-ACP=12VP-ACD=12 · 13 · 12 · 2 · 3 · 1=36．
20．（1）2.（2）(-74,-3).
【解析】
试题分析：1）由题意及抛物线定义，△AEF为边长为4的正三角形，|AF|=|EF|=|AE|=4，p=12|AE|。（2）设直线QR的方程为x=my+t，点Q(x1,y1)，R(x2,y2).由点差法得kPQ+kPR=4y1-1+4y2-1=-1，结合韦达，得到m与t的关系，代入直线方程可求到定点。
试题解析：（1）由题意及抛物线定义，|AF|=|EF|=|AE|=4，△AEF为边长为4的正三角形，设准线l与x轴交于点D，|AD|=p=12|AE|=12×4=2.
（2）设直线QR的方程为x=my+t，点Q(x1,y1)，R(x2,y2).
由x=my+ty2=4x，得y2-4my-4t=0，则Δ=16m2+16t>0，y1+y2=4m，y1⋅y2=-4t.
又点P在抛物线C上，则kPQ=yP-y1xP-x1=yp-y1yP24-y124 =4yP+y1=4y1-1，同理可得kPR=4y2-1.
因为kPQ+kPR=-1，所以4y1-1+4y2-1= 4(y1+y2)-8y1y2-(y1+y2)+1 =16m-8-4t-4m+1=-1，解得t=3m-74.
由Δ=16m2+16t>0t=3m-7414≠m×(-1)+3m-74，解得m∈(-∞,-72)∪(12,1)∪(1,+∞).
所以直线QR的方程为x=m(y+3)-74，则直线QR过定点(-74,-3).
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
21．（1）增区间为2kπ-π4,2kπ+3π4k∈Z；减区间为2kπ+3π4,2kπ+7π4k∈Z
（2）k∈-∞,1（3）S=1008π
【解析】
试题分析：(1)求出函数的导函数,由导函数大于0求其增区间,导函数小于0求其减区间;
(2)构造辅助函数g(x)=f(x)-kx,把问题转化为求x∈[0,π2]时g(x)min≥0
,然后对k的值进行分类讨论,求k在不同取值范围内时的g(x)的最小值,由最小值大于等于0得到k的取值范围;
(3)把f(x)的解析式代入F(x)=f(x)+excosx ,求出函数F(x)的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于π2对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列{xn}的所有项之和S的值.
试题分析：⑴∵f'(x)=ex(sinx+cosx)=2exsin(x+π4)
∴f(x)的增区间为[2kπ-π4,2kπ+3π4] (k∈Z)；减区间为[2kπ+3π4,2kπ+7π4] (k∈Z).
⑵令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,要使f(x)≥kx恒成立，只需当x∈[0,π2]时，g(x)min≥0
∵g'(x)=ex(sinx+cosx)-k,令h(x)=ex(sinx+cosx)，则h'(x)=2excosx≥0对x∈[0,π2]恒成立
∴h(x)在[0,π2]上是增函数，则h(x)∈[1,eπ2]
①当k≤1时，g'(x)≥0恒成立，g(x)在[0,π2]上为增函数∴g(x)min=g(0)=0，∴k≤1满足题意；
②当1
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