河北省石家庄二中雄安校区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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石家庄二中雄安校区·河北安新中学 ‎2019—2020学年第一学期期中考试数学试题 一、单选题(每个小题只有一个正确答案,请把正确答案填涂在答题卡上,每小题5分,共60分)‎ ‎1.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是 A. 7，11，19 B. 7，12，‎17 ‎C. 6，13，17 D. 6，12，18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要计算各层抽取的人数，按照分层抽样的规则，求出答案即可.‎ ‎【详解】由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1:2:3‎ 所以抽取人数 老年人： ‎ 中年人：‎ 青年人：‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题目考查了分层抽样，属于基础题.‎ ‎2.已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果.‎ ‎【详解】解：由题意知，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ ‎∴，‎ 又因为焦点在轴上，‎ ‎∴椭圆方程：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程即可，属于基础题型.‎ ‎3.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．‎ ‎【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，‎ 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，‎ 所以，‎ 若，则，不合题意；若，则，不合题意；‎ 若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样.‎ ‎4.“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是 A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题间的充分必要性即可求解.‎ ‎【详解】解：不等式对恒成立，‎ 则，解得，‎ 则“” 的一个必要不充分条件是，‎ 选项A为充要条件，‎ 选项C为充分不必要条件，‎ 选项D为既不充分也不必要条件，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，属基础题.‎ ‎5.直线3x+4y-3=0与圆的位置关系是：()‎ A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d>r，故直线与圆相离．‎ ‎【详解】由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r＝1，‎ 所以圆心到直线3x+4y﹣3＝0的距离d3>r，‎ 则直线与圆的位置关系为相离．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．其中直线与圆的位置关系的判定方法为：当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．‎ ‎6.下列命题错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若 ，则”‎ B. 若为假命题，则均为假命题 C. 对于命题：，使得，则：，均有 D. “”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原命题与逆否命题的关系即可判断A；由复合命题的真值表即可判断B; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C；根据充分必要条件的定义即可判断D；．‎ ‎【详解】A．命题：“若p则q”的逆否命题为：“若￢q则￢p”，故A正确；‎ B．若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故B错．‎ C．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正确；‎ D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞‎2”‎是“x2﹣3x+2＞‎0”‎的充分不必要条件，即D正确 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．‎ ‎7.在区间上随机取两个数,则事件“”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 在区间上随机取两个数点构成的区域为边长为1的正方形及其内部，事件“”构成的区域为圆及其内部，所以概率 ‎8.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+‎2”‎选课方案．该方案中“‎2”‎指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2‎ 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.‎ ‎【详解】设两门至少有一门被选中，则两门都没有选中}，包含1个基本事件，‎ 则，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎9.点是直线上的动点，点是圆上的动点，则线段长的最小值为（　　）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系，即可得到答案．‎ ‎【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ 则线段长最小值为；‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，其中根据圆的性质合理转化求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎10.为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，|F1P|+|PF2|＝＝，|F‎1F2|＝4，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF‎1F2的面积．‎ ‎【详解】∵椭圆，∴＝，b＝2，c＝2．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，‎ 且F1、F2为左右焦点，由椭圆的定义得|F1P|+|PF2|＝＝，|F‎1F2|＝4，‎ ‎∴|F‎1F2|2＝|PF1|+|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos60°‎ ‎=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°‎ ‎＝32﹣3|F1P|•|PF2|‎ ‎＝16‎ ‎∴|F1P|•|PF2|＝，∴＝|PF1|•|PF2|sin60°＝××＝．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质，考查了余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎11.已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．‎ ‎【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.‎ ‎∵圆的圆心，，‎ 圆心到直线：的距离，‎ 则．‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎12.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系,‎ ‎ 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题“，使得成立.”的否定是__________．‎ ‎【答案】，使得成立.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由特称命题的否定是全称命题即可得出．‎ ‎【详解】根据特称命题否定是全称命题，得“，使得成立”的否定是：，使得成立.‎ 故答案为，使得成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．‎ ‎14.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中位数和平均数定义可得x，y的值，计算可得结果．‎ ‎【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；‎ 由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，‎ 乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，‎ ‎∴x+y=5．‎ 故答案为5．‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．‎ ‎15.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为＝0.95－0.15.由以上信息，得到下表中c的值为________.‎ 天数x(天)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 繁殖个数y(千个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ c ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ 分析：根据回归方程必过样本中心点，代入x和y的平均值即可计算c.‎ 详解：代入已知方程可得c=9‎ 点睛：考查回归方程的结论，属于基础题.‎ ‎16.已知椭圆的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆可求出c，再根据椭圆的几何性质，可确定椭圆方程，进而得解．‎ ‎【详解】∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，‎ ‎∴圆心坐标为(3，0)，∴c＝3.又b＝4，‎ ‎∴‎ ‎∵椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆的左顶点为(－5，0).‎ 三、解答题(17题10分,18——22题，每小题12分，共70分)‎ ‎17.学生会有共名同学,其中名男生名女生,现从中随机选出 名代表发言.求：‎ 同学被选中的概率；‎ 至少有名女同学被选中的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;‎ ‎(2)利用对立事件的概率公式即可求得.‎ ‎【详解】解：选两名代表发言一共有,,‎ 共种情况,‎ 其中.被选中的情况是共种.‎ 所以被选中的概本为.‎ 不妨设四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:‎ 共种,‎ 则至少有一名女同学被选中的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题.‎ ‎18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图的的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎（3）估计居民月用水量的中位数.‎ ‎【答案】(1) ； (2)36000；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，‎ 解得a=0.30.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎19.已知命题p:，不等式恒成立；：方程表示焦点在轴上的椭圆．‎ ‎（1）若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或．（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由为假命题，则为真命题，转化为 恒成立，即可求解；‎ ‎（2）分别求得命题都为真命题时实数的取值范围，在根据为真命题，为假命题，分类讨论，即可求解．‎ ‎【详解】（1）若为假命题，则为真命题．若命题真，‎ 即对 恒成立，则，所以 ‎（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，或．‎ 为真命题，且为假命题，、一真一假 ‎①如果真假，则有，得；‎ ‎②如果假真，则有，得．‎ 综上实数的取值范围为或．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中合理转化，以及正确求解命题为真命题时实数的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20.某种产品的宣传费（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）求线性回归方程.‎ ‎（2）试预测宣传费为10万元时，销售额为多少？‎ 参考数值：，‎ ‎【答案】（1）（2）82.5万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合线性回归方程的计算公式可得其线性回归方程；‎ ‎(2)利用回归方程的预测作用即可求得其销售额.‎ ‎【详解】（1）计算得，，又，，‎ 得，‎ 则,所以回归方程为.‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，，‎ 故销售额为82.5万元.‎ ‎【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎21.已知离心率为的椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长.‎ ‎【详解】（1），又，‎ ‎，即椭圆方程，‎ 代入点,‎ 可得，‎ 椭圆方程是.‎ ‎（2）设 ‎ 直线方程是，联立椭圆方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入可得.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题.‎ ‎22.已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件.‎ ‎【详解】（1）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，‎ 由，即圆心坐标为 又半径，故圆的方程为.‎ ‎（2）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.‎ 圆心到直线距离.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 此时圆心到直线距离为1，符合题意.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为 整理，则圆心到直线距离为，‎ 解得，直线方程为，‎ 综上①②，所求直线方程为或.‎ ‎ ‎ ‎ ‎