优化高考数学试题计算量的五种方法

优化高考数学试题计算量的五种方法

优化高考数学试题计算量的五种方法 计算能力是思维能力和运算技能的结合，是高考数学考查的四大能力之一，在 代数、三角、立体几何、解析几何等内容中都有体现，高考中有 70%以上的试题 都具有一定的计算量，所以通过研究试题特点、了解算理、改进计算方法，减少高 考试题的计算是赢得考试成功的重要途径。本文结合近几年的高考试题和自己的解 题教学体会揭示如何优化高考数学中的计算量，给高三复习提供帮助。 一、 巧思妙解，避免计算 高考试题一般都有多种解法，最多的甚至有近二十种方法，这些方法有繁有简， 所以要通过对试题进行分析和联想，用化归、构造或类比等方法寻求最佳解题策略。 例 1（2003 全国新课程卷试题）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在 同一球面上，则此球的表面积为（ ） A．3π B．4π C． π D．6π 解析：很多考生在考试时由于图形难画，计算量大而无可奈何的放弃，但本题 如果采用构造法则可以避免计算，由于连结正方体六个面的六条对角线，可以构成 一个正四面体，所以这个四面体可以看成是棱长为 1 的正方体面的对角线构成的， 这时正方体内接于球，球的直径就是正方体的对角线长. 易知球的直径是 ，故 球的表面积为 3 ． 评析：由正四面体联想到正方体突破了寻找球心和半径的障碍，避免了复杂计 算，使解题快速准确。 例 2（2003 全国新课程卷试题）已知长方形四个顶点 A（0，0），B（2，0）， C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4（入射角等于反射 角）.设 P4 的坐标为（x4，0）.若 1< x4<2，则 tanθ的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：依题意可记各点的坐标如下： ， ， ， ， ，由反射原理依次求得 、 、 后，再由 可得到结果。但这个方法不仅计算量相当大、容易出错，而且 2 33 3 π )1,3 1( )3 2,3 1( )2 1,5 2( )3 2,5 2( )0,1(0P )tan,2(1 θP )1,( 22 xP ),0( 33 yP )0,( 44 xP 2x 3y 4x 21 4 << x O (A) x y P0 P2 P4 P1 P3 B CD 图 1 浪费时间。但如果小题巧做，根据选择题特点可用特殊值检验，取 ，则 P1、P2、P3、P4 依次是各边中点，因此 不属于所求的范围，从而排除选项 A、B、 D 选 C。 评析：恰当地利用选择题的命制特点和考查功能，有助将解题建构在较高水平 上，避免计算。 二、 数形结合，以图助算 “数形结合”是中学数学最重要的思想方法之一，也是高考考查的重要方面， 利用数形结合，可以有效地增加解题过程的直观性，大大地减少计算量。 例 3（2004 天津市高考卷试题）若过定点 且斜率为 的直线与圆 在第一象限内的部分有交点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：本题很容易这样考虑，先设出直线的方程，解圆与直线组成的方程组， 得到交点后，令交点的横坐标和纵坐标都大于 0，从而求得 的范围，但这样计 算量大，费时费力。如果借助于图形就非常直观。如图 2 所示，在圆的方程 中，令 得 ，即 ，这时 。易知如果点 N 在第 一象限，则 ，故选 A。 三、 大胆取舍，进行估算 高考除要求考生能够根据题设条件精算外还要能够对数据进行估计，并能进行 近似计算。 例 4（2003 全国高考卷试题）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 解析：在公式不够熟悉和计算不熟练的情况下由于选项的设置非常相近，极易 出错，而如果利用已知条件进行估算又是另一番情景了，由 ， 得 ，从而 ，则 ，故选 D。 5±=y 2 1tan =θ 2 1 )0,1(M − k 054 22 =−++ yxx k 50 << k 05 <<− k 130 << k 50 << k k 054 22 =−++ yxx 0=x )5,0(N 5=MNk 50 << k )0,2( π−∈x 5 4cos =x =x2tan 24 7 24 7− 7 24 7 24− )0,2( π−∈x 5 4cos =x 64 ππ −<<− x 322 ππ −<<− x 32tan −y 124000≈ }{ na n nS =1a 2 3 1=d 2)(2 kk SS = k }{ na k 2)(2 kk SS = dnnnaSn 2 )1( 1 −+= 2)(2 kk SS = 2 1 22 1 2 2 )1( 2 )1(      −+=−+ dkkkadkkak 2)(2 kk SS = 2,1=k    = = 2 24 2 11 )( )( SS SS    +=+ = (2))2(64 (1))( 2 11 2 11 dada aa 01 =a 11 =a 01 =a 0=d 6=d 01 =a 0=d 0=nS 2)(2 kk SS = 01 =a 6=d ， ，则 ；③若 ， ，则 ， 成立；④若 ， ， ，则 ， 成立。综上，共 3 个满足条件的无穷等差数列，即 、 、 。 评析：由上面解析可见第二种方法注意推理，把繁杂的计算在推理中弱化了， 这类经过推理可以弱化计算的试题在高考卷中比比皆是，特别是在立体几何和代数 推理问题。在高考有限的时间内不能仅仅做到埋头苦算，更要注意推理，增加解答 过程的“含理量”。 五、 注重算理，精打细算 在考试中面对直接计算较为复杂的试题，必须要注意算理，小心地选取运算路 径，合理地选择运算方法，甚至对试题中看起来不重要的参量都加以精算，以此得 到启发，从而找准运算目标。 例 7（2004 年福建省高考试题）如图 3—1， 地在 地的正东方向 4 km 处， 地在 地的北偏东 30º方向 2 处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点到 的距离比到 的距离远 2 现要在曲线 上选一处 建一座码头，向 、 两地转运货物。经测算，从 到 、 两地修建公路的费用分别是 万元 、 2 万元 ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A．(2 -2) 万元 B．5 万元 C．(2 +1) 万元 D．(2 + ) 万元 解析：如图 3—2，以线段 AB 所在的直线为 轴，AB 的中垂线为 轴，建立 平面直角坐标系，由双曲线的第一定义知 的方程为： .由题意可得: ,两条公路总的费用为 .如果设 ，试图计算 183 =S 2169 =S 2 33 )(2 SS ≠ 11 =a 0=d nSn = 2)(2 kk SS = 11 =a 2=d 12 −= nan 2nSn = 2)(2 kk SS = 0=na 1=na 12 −= nan B A C B km PQ A B km PQ M B C M B C a km/ a km/ 7 a a 7 a 3 3 a x y PQ 13 2 2 =+ yx )3,3(C MCaMBa 2+ ),( 00 yxM 东 西 A B Q M C P 图 3—1 A B Q M CD 图 3—2 O y x 最小值，几乎是不可能的事。其实这里需要我们精算：双曲线的离心 率为 2，这样 转化为两倍的 到准线距离，且右准线方程为： ，过 作 垂直于右准线于 点，交曲线 于 点，则 为所求的点。这时， 。 评析：本题利用双曲线的第二定义实现线段长的转化，就是符合算理的选择， 通过对离心率的计算从而发现能够转化，则是精打细算的体现。 例 8 （ 2002 年 新 课 程 卷 试 题 ） 已 知 ， ， 求 的值。 解析：在考试中很多同学试图从解方程组的角度求出 、 ，再求出 、 代入 的展开式。这样计算量非常大，也有部分同学发 现如下关系： ，但同样遇到求 、 障碍，这些都不 符合算理，还需要进一步细算。再往下分析还可以发现： ， 这个关系虽然看起来较繁，但 、 容易求得， ； 。 故 。 评注：本题的解法称为“变角法”，也叫“凑角法”，解题的关键是寻找已知 角和所求角这间的关系，同时还要注意后续解题过程的简洁性。 高考对计算能力的考查是多角度、多层次的，尤其重视对算理的考查，很多 试题需要根据不同的情况灵活处理，平时在训练中一定要注意运算的方法，能避免 计算的就避免，不能避免的计算一定要注意运算的合理性、简捷性和准确性，这样 才能在高考中提高效益，立于不败之地。 MCMB 2+ MB M 2 1=x C CD D PQ M M =+ MCaMBa 2 aaDCaMCMDa 5)2 13(22)(2 =−==+ 5 3)4cos( =+ πα 2 3 2 παπ <≤ )42cos( πα + αsin αcos α2sin α2cos )42cos( πα + )4(42 πααπα ++=+ αsin αcos 4)22(42 ππαπα −+=+ α2sin α2cos =α2sin =+− )22cos( πα 25 71)4(cos2 2 =++− πα 25 24)4cos()4sin(2)22sin(2cos −=++=+= παπαπαα 25 231)2sin2(cos2 2 4sin2sin4cos2cos)42cos( −=−=−=+ ααπαπαπα