走向高考高三数学二轮专题复习专题综合检测五Word有详解答案
专题综合检测五
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2013·泗县双语中学模拟)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于( )
A.或－ B.
C．－ D.
[答案] B
[解析] 由条件知，＝≠，∴t＝.
(理)(2013·吉大附中二模)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )
A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0
C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0
[答案] D
[解析] y′＝4x，直线x＋4y－8＝0的斜率k＝－，令4x＝4得x＝1，
∴切点(1,2)，∴切线l：y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0，故选D.
2．(2013·眉山二诊)抛物线y＝4x2的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(0，) D．(0，)
[答案] C
[解析] y＝4x2化为x2＝y，∴2p＝，∴p＝，
∴焦点F(0，)．
3．(文)(2013·北京理，6)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] B
[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质．
因为离心率e＝，所以c＝a，∴b2＝c2－a2＝2a2，∴b＝a，因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x.选B.
(理)(2013·北京文，7)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
[答案] C
[解析] 双曲线离心率e＝>，
所以m>1，选C.
4．(2013·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b
>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵e＝＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴＝，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.
5．(2013·哈六中二模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝36，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝3x
C．y2＝12x D．y2＝2x
[答案] D
[解析] ∵F(，0)，设A(x0，y0)，y0>0，则C(－，y0)，B(p－x0，－y0)，由条件知p－x0＝－，∴x0＝，∴y＝2p·＝3p2，∴y0＝p，∴B(－，－p)，A(，p)，C(－，p)，∴·＝(2p,2p)·(0,2p)＝12p2＝36，∴p＝，
∴抛物线方程为y2＝2x.
6．(2013·江西八校联考)若圆锥曲线C是椭圆或双曲线，其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(－2，2)，B(，－)，则( )
A．曲线C可为椭圆，也可为双曲线
B．曲线C一定是双曲线
C．曲线C一定是椭圆
D．这样的曲线C不存在
[答案] B
[解析] 设曲线为mx2＋ny2＝1，∵A、B在曲线C上，
∴∴
∴曲线方程为x2－＝1，故选B.
7．(2013·江西师大附中、鹰潭一中模拟)已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则下列关于e1、e2的关系式不正确的是( )
A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2
C．e2e1＝2 D.>2
[答案] A
[解析] 设正三角形的边长为2，椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距长分别为a′、b′、c′，则2c′＝2c＝|AB|＝2，∴c′＝c＝1,2a＝|DB|＋|DA|＝＋1,2a′＝|DB|－|DA|＝－1，∴e1＝＝＝－1，e2＝＝
eq r(3)＋1，故选A.
8．(2013·苍南求知中学月考)过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且＝2，则双曲线M的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由条件知A(－1,0)，∴l：y＝2(x＋1)，双曲线渐近线方程为y＝±bx，∵＝2，∴B在A，C之间，∴由得B(－，)，
由得C(，)，
再由＝2得b＝4，∴e＝.
9．(2013·天津和平区质检)若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是( )
A．(－，0) B．(0，)
C．(0，) D．(－∞，0)∪(，＋∞)
[答案] C
[解析] 设直线AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b
，由条件知线段AB的中点(，)，
即(p－b，p)在直线x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p>0，∴0
0)，代入y2＝4x中消去x得，y2＝－4，由Δ＝－16＝0及k>0得k＝1，∴PA：y＝x＋1，P(1,2)，|PA|＝2，|PB|＝2，
∴＝＝.
[点评] 也可以不用判别式法，用导数法求解．
(理)(2013·北京东城区模拟)已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为( )
A．(2,1) B．(1,1)
C．(，1) D．(，1)
[答案] D
[解析] 过P作PB与准线垂直，垂足为B，则|PF|＝|PB|，∴P点在抛物线弧内，∴当P、A、B共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时yP＝yA＝1，∴xP＝，
即P(，1)．
11．(文)(2013·保定二模)双曲线－＝1(b>a>0)与圆x2＋y2＝(c－)2无交点，c2＝a2＋b2，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(，2)
[答案] B
[解析] 由条件知c－1，∴1a，∴c2－a2>a2，∴e>，∴0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵A在以OF为直径的圆上，∴AO⊥AF，
∴AF：y＝－(x－c)与y＝x联立解得x＝，y＝，∵△AOF的面积为b2，
∴·c·＝b2，∴e＝.
12．(2013·大兴区质检)抛物线y＝x2(－2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是( )
A．1 B．2
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 当x＝2时，y＝4，
设正方体的棱长为a，由题意知(a,4－a)在抛物线y＝x2上，∴4－a＝a2，∴a＝2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)
13．(2013·天津六校联考)已知直线ax＋by＝1(其中a，b为非零实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则＋的最小值为________．
[答案] 4
[解析] ∵△AOB为等腰直角三角形，⊙O的半径为1，∴O到直线ax＋by－1＝0的距离为，即＝，∴2a2＋b2＝2，∴＋＝(＋)()＝2＋＋≥4，等号在＝，
即b2＝2a2＝1时成立，∴所求最小值为4.
14．(文)(2013·黄埔区模拟)已知点P(2，－3)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于2，则该双曲线方程是________．
[答案] x2－＝1
[解析] 由条件知，
解之得，a2＝1，b2＝3，∴双曲线的方程为x2－＝1.
(理)(2013·天津十二区县联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，它的一条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线交点的纵坐标为6，则正数p的值为________．
[答案] 4
[解析] 由条件知＝，·＝6，
由＝得＝10，∴＝3，∴p＝4.
15．(文)(2013·西城区模拟)抛物线y2＝2x的准线方程是________；该抛物线的焦点为F，点M(x0，y0)在此抛物线上，且|MF|＝，则x0＝________.
[答案] x＝－ 2
[解析] 由2p＝2得p＝1，∴准线方程为x＝－；
∵|MF|＝x0－(－)＝，∴x0＝2.
(理)(2013·苍南求知中学月考)过抛物线y2＝4x的焦点F作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2＋y2＝有公共点，则α的取值范围是________．
[答案] [，]∪[，]
[解析] F(1,0)，直线AB：y＝tanα(x－1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d＝≤，∴－≤tanα≤.(1)
将y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得，[来源:Zxxk.Com]
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，
∴AB的中点坐标为P(，)，
∵|AB|≤8，∴P到准线的距离＋1≤4，
∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2)
由(1)(2)得≤α≤或≤α≤.
16．(文)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，则椭圆的方程为________．
[答案] ＋y2＝1
[解析] ∵|－|＝2|－|，
∴||＝2||，
又·＝0，∴⊥.
∴△AOC为等腰直角三角形．
∵||＝2，∴点C的坐标为(1,1)或(1，－1)，
∵点C在椭圆上，
∴＋＝1，又a2＝4，
∴b2＝，故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(理)(2013·湖南理，14)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
[答案]
[解析] 设点P在C的右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a，又已知|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又在双曲线中c>a，
∴|F1F2|>|PF2|，故在△PF1F2中，最小内角为∠PF1F2＝30°，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos30°，
即4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×，
∴3a2＋c2－2ac＝0，
两边同除以a2得，e2－2e＋3＝0，
∴e＝.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2013·重庆一中月考)(1)已知直线l1：mx＋2y＋1＝0与直线l2：2x－4m2y－3＝0垂直，求直线l1的方程；(结果要求用一般式)
(2)若直线l1：mx＋2y＋1＝0被圆C：x2＋y2－2x＋2y－2＝0所截得的线段长为2，求直线l1的方程．(结果要求用一般式)
[解析] (1)∵l1⊥l2⇒m·2＋2·(－4m2)＝0⇒m＝0或m＝，所以直线l1的方程为：2y＋1＝0或x＋8y＋4＝0.
(2)由圆的方程得：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，所以圆心为C(1，－1)，半径r＝2，由题意知，()2＋3＝4⇒(m－1)2＝m2＋4⇒m＝－，
∴l1的方程为：－x＋2y＋1＝0，即l1：3x－4y－2＝0.
18．(本小题满分12分)(文)
如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M相切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
[解析] (1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝，
∴BC边所在直线方程为y＝x－2.
(2)在BC边所在直线方程中，令y＝0，得C(4,0)，
∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，
∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，
圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．
又∵动圆N与圆M内切，
∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3，
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．
∴a＝，c＝1，b＝＝，
∴轨迹方程为＋＝1.
(理)
在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)．
(1)求证：y1y2为定值；
(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．
(3)求证：直线l：x＝1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．
[解析] (1)当直线AB垂直于x轴时，y1＝2，y2＝－2，因此y1y2＝－8.
当直线AB不垂直于x轴时，
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，
由，得ky2－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8.
因此有y1y2＝－8为定值．
(2)∵C(2,0)，∴C点关于原点的对称点D(－2,0)，
∴DC＝4，S△ADB＝DC·|y1－y2|.
当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝×4×4＝8；
当直线AB不垂直于x轴时，
由(1)知y1＋y2＝，因此
|y1－y2|＝＝>4，
∴S△ADB＝×4×|y1－y2|>8.
综上，△ADB面积的最小值为8.
(3)AC中点E(，)，
AC＝，
因此以AC为直径的圆的半径
r＝AC＝＝，
AC中点E到直线x＝1的距离d＝|－1|＝，
∴所截弦长为2＝2
＝2(定值)．
19．(本小题满分12分)(文)(2013·江西八校联考)在平面直角坐标系xOy上取两点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；
(2)过点O作两条互相垂直的射线，与曲线M分别交于A、B两点．证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．
[解析] (1)依题意知直线A1N1的方程为：
y＝(x＋2)，①
直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②
设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，
①×②得y2＝－(x2－4)．③
将mn＝3代入③整理得＋＝1，
∵N1、N2不与原点重合，
∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，
∴轨迹M的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆
＋＝1联立消去y并化简得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由根与系数的关系得：
x1＋x2＝－，
x1x2＝.
∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.
即：(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
∴(k2＋1)－＋m2＝0，
整理得7m2＝12(k2＋1)，
所以O到直线AB的距离：
d＝＝＝.
若直线AB的方程为x＝t，易得O到直线AB的距离也为.
故点O到直线AB的距离为定值．
∵OA⊥OB，∴OA2＋OB2＝AB2≥2OA·OB，
当且仅当OA＝OB时取“＝”号．
由直角三角形面积公式得：
d·AB＝OA·OB，
∵OA·OB≤，∴d·AB≤，
∴AB≥2d＝，
即当OA＝OB时，弦AB的长度的最小值是.
(理)(2013·苍南求知中学月考)已知点M是圆C：x2＋y2＝2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足＝，记动点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．
[解析] (1)设N(x，y)，M(x′，y′)，则由已知得，x′＝x，y′＝y，
代入x2＋y2＝2得，x2＋2y2＝2.
所以曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y＝kx＋m，
由消去y并整理得，
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为|AB|＝2，
所以＝2，
即(1＋k2)[(x2＋x1)2－4x1x2]＝4，
所以(1＋k2)[(－)2－]＝4，
即m2＝，
因为k2≥0，所以≤m2<1.
又点O到直线AB的距离h＝，
因为S＝|AB|·h＝h，
所以S2＝h2＝＝.
令S2＝u,1＋k2＝t，则t≥1，∴1＋2k2＝2t－1，
∴S2＝，即u＝，u′＝≤0，
∴u＝在[1，＋∞)上单调递减，
∴t＝1时，umax＝，
即S2≤，∴00，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和点B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线方程；
(2)直线y＝kx＋m(k≠0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围．
[解析] (1)∵e＝，∴＝，
直线AB方程为：－＝1，即bx－ay－ab＝0，
∴＝，∴ab＝，
又c2＝a2＋b2，∴a＝，b＝1，
∴双曲线方程为：－y2＝1.
(2)联立消去y可得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由1－3k2≠0及Δ＝36k2m2－4(1－3k2)(－3m2－3)>0，
得m2＋1>3k2，且3k2≠1，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD中点E(x0，y0)，
∴x1＋x2＝，∴x0＝，y0＝，
由题意知AE垂直平分CD，
∴kAE·k＝－1，即·k＝－1，∴3k2＝4m＋1，
代入m2＋1>3k2得m2＋1>4m＋1，∴m<0或m>4，
这时3k2≠1，又∵4m＋1＝k2>0，∴m>－，
∴m的取值范围是(－，0)∪(4，＋∞)．
21．(本小题满分12分)(文)(2013·全国大纲理，21)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为
(1)求a、b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
[解析] (1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得x＝±.
由题设知，2＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2.
(2)由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为
8x2－y2＝8 ①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得，
(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得，－(3x1＋1)＝3x2＋1，
即x1＋x2＝－，故＝－，
解得k2＝，从而x1·x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1.
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
(理)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2，设l1与轨迹C相交于点A、B，l2与轨迹C相交于点D、E，求·的最小值．
[解析]
(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有
－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得
x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.
22．(本小题满分14分)(文)(2013·德阳市二诊)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，e)，其中e为椭圆的离心率．F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．
[解析] (1)∵椭圆＋＝1经过(1，e)，
∴＋＝1，
又e＝，∴＋＝1，解之得b2＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
又△MF1F2为等腰直角三角形，
∴b＝c＝1，a＝，
故椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由(1)可知椭圆的方程为＋y2＝1，
故P(1，)，
由题意，当直线l垂直于x轴时显然不合题意．
设不经过原点的直线l的方程y＝kx＋t(t≠0)交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·(2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，
∴x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，
x1x2＝，
直线OP方程为y＝x且OP平分线段AB，
∴＝×，解得k＝－.
∴|AB|＝·
＝，
又∵点P到直线l的距离d＝＝h，
∴S△PAB＝|AB|h＝.
设f(t)＝(－t)2(4－2t2)
＝－2t4＋4t3－8t＋8，
由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得－b
>0)的左、右焦点，M，N分别为其短轴的两个端点，且四边形MF1NF2的周长为4，设过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|＝.
(1)求|AF2|·|BF2|的最大值；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
[解析] (1)因为四边形MF1NF2为菱形，又其周长为4，故a＝1.
由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a＝4，
又因为|AB|＝，所以|AF2|＋|BF2|＝，
所以|AF2|·|BF2|≤()2＝，
当且仅当|AF2|＝|BF2|＝时，等号成立．
(此时AB⊥x轴，故可得A点坐标为(－，)，代入椭圆E的方程x2＋＝1，
得b＝<1，即当且仅当b＝时|AF2|＝|BF2|＝)，
所以|AF2|·|BF2|的最大值为.
(2)因为直线l的倾斜角为45°，所以可设l的方程为y＝x＋c，其中c＝，
由(1)知椭圆E的方程为x2＋＝1.
所以，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
因为直线l的斜率为1，所以|AB|＝|x1－x2|，
即＝|x1－x2|，所以＝(x1＋x2)2－4x1x2，
＝－，得b2＝，b＝，
所以c＝，l的方程为：y＝x＋，
F2到l的距离d＝1，
所以S△ABC＝|AB|×1＝××1＝.
一、选择题
1．(文)(2012·浙江台州调研)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 若a＝2，则直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件，故应选C.
(理)若直线l1：x－ay＋1＝0与直线l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直，则直线l1的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．60° D．45°或135°
[答案] D
[解析] ∵l1⊥l2，∴1×(a＋4)－a(2a－1)＝0，
∴a＝－1或2，
∴l1的方程为x＋y＋1＝0或3x－3y＋5＝0，
∴l1的倾斜角为135°或45°.
2．(文)已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
[答案] A
[解析] 圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，
圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵kOM＝1，∴kl＝－1，
∴l的方程为：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.
(理)(2012·北京海淀期末)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积( )
A．有最大值为π B．有最小值为π
C．有最大值为4π D．有最小值为4π
[答案] D
[解析] 如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x2＝4y，显然以抛物线x2＝4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x－4y＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x－4y＋20＝0相切于点A，其圆心为(x0，y0)，则由AC＝PC可得d＝＝y0＋1(点C在直线3x－4y＋20＝0的右方)，即＝x＋1，解得x0＝－2或x0＝(舍去)，当x0＝－2时，圆心C面积为(－2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π，故应选D.
3．(2013·山东文，11)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 抛物线焦点A(0，)，双曲线右焦点为B(2,0)，双曲线渐近线方程为y＝±x，直线AB方程为px＋4y－2p＝0，由得M点横坐标为xM＝，
又y′＝x，∴xM＝，
即＝，即＝＋p，
又p>0，平方可解得p＝.
4．(文)以双曲线－＝1的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，则m的值为( )
A. B.
C．1 D.
[答案] D
[解析] 以双曲线－＝1的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，
∴＝，解得m＝，故选D.
(理)(2012·山东文，11)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
[答案] D
[解析] 本题考查双曲线离心率、抛物线方程等．
由双曲线离心率为2知＝4，即b2＝3a2，
∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程y＝±x，
由抛物线焦点F(0，)到双曲线渐近距离为2知，
＝2，∴p＝8，∴抛物线方程为x2＝16y.
5．“－30)，方程表示的曲线为抛物线的一部分．
8．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y＝2x2 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
[答案] B
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则，两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故应选B.
9．(2012·河南桐柏实验中学期末)半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．双曲线的一支或椭圆 D．双曲线或椭圆
[答案] C
[解析] 设⊙O1，⊙O2，⊙O的半径分别为r1，r2，R，且r1>r2>0，当⊙O1与⊙O2外离时，由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆，故选C.
10．(文)(2013·吉大附中二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若＝，则双曲线的离心率等于( )
A．2 B．3 C. D.
[答案] A
[解析] 设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x，
∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，
由双曲线的定义知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，
∴a＝x，∴e＝＝2.
(理)(2013·德阳市二诊)已知P点是x2＋y2＝a2＋b2与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)在第一角限内的交点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为( )
A．2 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，
∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，
∴c＝x，
由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，
∴a＝x，∴e＝＝，故选C.
11．(文)过原点O作直线l交椭圆＋＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|＝2c，四边形AF1BF2为矩形，sin∠ABF2＝＝＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝，选B.
(理)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA、MB分别交椭圆于A、B两点，且斜率分别为k1、k2，若点A、B关于原点对称，则k1·k2的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] D
[解析] 设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－，所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.
12．(文)(2013·辽宁文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 如图，由余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF|·|AB|cos∠
ABF＝64＋100－160×＝36，即|AF|＝6，
又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF＝64＋25－80×＝25，即|OF|＝5，由椭圆的对称性知：
|AF|＋|BF|＝2a＝14，∴a＝7，|OF|＝5＝c，所以e＝，故选B.
(理)(2013·北京理，7)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B．2
C. D.
[答案] C
[解析] 依题意，l的方程为y＝1，它与抛物线相交弦的长为4，所求的面积S＝4－2dx＝4－2(|)＝.选C.
二、填空题
13．(2013·天津六校联考)如下图，ABCD
是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则·的取值范围是________．
[答案] [16,32]
[解析] 设AB的中点为O，则由条件知＝，
＋＝2，0≤·≤8，·＝0，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝·(＋)＋||2
＝·2＋16∈[16,32]．
14．(文)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．
[答案] 2
[解析] ∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴双曲线－＝1(a>0，b>0)中c＝2，
又a＝1，∴e＝＝2.
(理)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线＋＝1上，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y＝x，由得垂足的坐标为(，)，把此点坐标代入方程＋＝1，得＋＝1，化简，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝＝.
15．(2013·福建理，14)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
[答案] －1
[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解．
如图，由题意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝(＋1)c，∴＝＝－1.
16．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则||＋||＝________.
[答案] 10
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x＝4y1，x＝4y2，两式相减整理得，＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0，将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得||＋||＝y1＋y2＋2＝10.
三、解答题
17．(文)(2012·河北郑口中学模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(，1)，且离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且＝，定点A(－4，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：⊥.
[解析] (1)由椭圆离心率为e＝＝，即
＝，可得＝.
又椭圆C过点P(，1)，∴＋＝1.
解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又F(2,0)，
∴＝(2－x1，－y1)，＝(x2－2，y2)，
∵＝，∴，∴，
由M、N在椭圆上得，＋＝1，＋＝1，两式相减得：(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴x1＝x2，∴＝(x2－x1，y2－y1)＝(0，－2y1)，＝(6,0)，∴·＝0，∴⊥.
(理)已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝0.若椭圆的离心率等于.
(1)求直线AB的方程；
(2)若△ABF2面积等于4，求椭圆的方程．
[解析] (1)由＋＝0知，直线AB经过原点，
又由·＝0，知AF2⊥F1F2.
因为椭圆的离心率等于，所以＝，b2＝a2，
故椭圆方程可以写为x2＋2y2＝a2.
设点A的坐标为(c，y)，代入方程x2＋2y2＝a2，得y＝a，
所以点A的坐标为(a，a)，
故直线AB的斜率k＝，
因此直线AB的方程为y＝x.
(2)连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知
S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，
所以·2c·a＝4，解得a2＝16，b2＝16－8＝8，
故椭圆方程为＋＝1.
18．(2013·泗县双语中学模拟)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部，求实数m的取值范围．
[解析] (1)∵x2＋y2－2x－4y＋m＝0表示圆，
∴(－2)2＋(－4)2－4m>0，∴m<5.
(2)由消去x得，5y2－16y＋m＋8＝0，
由Δ＝162－20(m＋8)＝96－20m>0得，m<.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
于是x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2＝16－8×＋4×＝，
∵O在以MN为直径的圆的外部，∴·>0，
∴x1x2＋y1y2>0，∴＋>0，∴m>，
综上知，m∈(，)．
19．(2013·陕西文，20)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
[解析] (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.
(2)由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中，△＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0，
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②[来源:Zxxk.Com]
又因为A是PB的中点，故x2＝2x1，③
将③代入①，②，得
x1＝－，x＝，可得()2＝，且k2>，
解得k＝－或k＝，所以，直线m的斜率为－或.
20．曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，已知它的一个焦点F的坐标为(2,0)，一条渐近线的方程为y＝x，过焦点F作直线交曲线C的右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点．
(1)求曲线C的方程；
(2)当点P在曲线C右支上运动时，求点R到y轴距离的最小值．
[解析] (1)设所求双曲线C的方程为－＝1，(a>0，b>0)
由题意得：解得
所以，所求曲线C的方程为x2－＝1.
(2)若弦PQ所在直线斜率k存在，则设其方程为y＝k(x－2)
由，
消去y得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则解得k2>3，
此时点R到y轴的距离|xR|＝||＝＝2＋，
而当弦PQ所在直线的斜率不存在时，点R到y轴的距离为2，
所以，点R到y轴距离的最小值为2.
21．(文)(2013·北京西城区模拟)如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．
(1)若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；
(2)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明你的理由．
[解析] (1)依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋1)．
将其代入＋＝1中消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝.
故点G的横坐标为＝.
依题意得，＝－，
解之得k＝±.[来源:Z§xx§k.Com]
(2)假设存在直线AB，使得S1＝S2，显然直线AB不能与x轴，y
轴垂直．
由(1)可得G(，)．
∵DG⊥AB，∴×k＝－1，
解得xD＝，∴D(，0)．
∵△GFD∽△OED，
∴S1＝S2⇔|GD|＝|OD|.
∴＝.
整理得8k2＋9＝0.
因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1＝S2.
(理)(2013·吉大附中二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且与抛物线y2＝4x有共同的一个焦点，椭圆C的左顶点为A
，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP、BP与直线y＝3分别交于G，H两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求线段GH的长度的最小值；
(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由．
[解析] (1)由已知得，抛物线的焦点为(，0)，则
c＝，又b＝1，由a2－b2＝c2，可得a2＝4.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)直线AP的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，从而G(－2,3)．
由得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
设P(x1，y1)，则(－2)x1＝，
所以x1＝，从而y1＝.
即P(，)，
又B(2,0)，则直线PB的斜率为－.
由得
所以H(－12k＋2,3)．
故|GH|＝|－2＋12k－2|＝|＋12k－4|.
又k>0，＋12k≥2＝12.
当且仅当＝12k，即k＝时等号成立．
所以当k＝时，线段GH的长度取最小值8.
(3)由(2)可知，当GH的长度取最小值时，k＝.
则直线AP的方程为x－2y＋2＝0，此时P(0,1)，|AP|＝.
若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于，
所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上．
设直线l：y＝x＋t.
则由得x2＋2tx＋2t2－2＝0.
Δ＝4t2－8(t2－1)≥0.即t2≤2.
由平行线间的距离公式，得＝，
解得t＝0或t＝2(舍去)．
可求得T(，)或T(－，－)．
22．(文)(2013·天津和平区质检)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P
(－4,0)，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
(3)设O为坐标原点，在(2)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求·的取值范围．
[解析] (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
抛物线x2＝4y的焦点为(0，)，
依题意，解得.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y＝k(x＋4)．
由消去y得，
(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0.①
设点A(x1，y1)，E(x2，y2)，则B(x1，－y1)，
直线BE的方程为y－y2＝(x－x2)．
令y＝0，得x＝x2－.
将y1＝k(x1＋4)，y2＝k(x2＋4)代入上式并整理，
得x＝.②
由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，将其代入②，整理得x＝＝－1.
∴直线BE与x轴相交于定点M(－1,0)．
(3)当过点M的直线ST的斜率存在时，
设直线ST的方程为y＝m(x＋1)，且S(xS，yS)，T(xT，yT)在椭圆C上，
由，得(4m2＋3)x2＋8m2x＋4m2－12＝0，
则Δ＝(8m2)2－4(4m2＋3)(4m2－12)＝144(m2＋1)>0.
故有xS＋xT＝－，xSxT＝，从而
ySyT＝m2(xS＋1)(xT＋1)
＝m2[(xS＋xT)＋xSxT＋1]＝－.
∴·＝xSxT＋ySyT
＝－＝－－.
由m2≥0，得·∈[－4，－)．
当过点M的直线ST的斜率不存在时，
直线ST的方程为x＝－1，S(－1，)，T(－1，－)，此时·＝－，
∴·的取值范围是[－4，－]．
(理)(2013·江西八校联考)设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B(O为坐标原点)，如图．若抛物线C2：y＝x2－1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设M(0，－)，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．
[解析] (1)由题意可知B(0，－1)，则A(0，－2)，故b＝2.
令y＝0得x2－1＝0即x＝±1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，故c＝1.
所以a2＝b2＋c2＝5，
于是椭圆C1的方程为：＋＝1.
(2)设N(t，t2－1)，由于y′＝2x知直线PQ的方程为：
y－(t2－1)＝2t(x－t)．
即y＝2tx－t2－1.
代入椭圆方程整理得：4(1＋5t2)x2－20t(t2＋1)x＋5(t2＋1)2
－20＝0，
Δ＝400t2(t2＋1)2－80(1＋5t2)[(t2＋1)2－4]
＝80(－t4＋18t2＋3)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
故|PQ|＝|x1－x2|
＝·
＝.
设点M到直线PQ的距离为d，则
d＝＝.
所以，△MPQ的面积S＝|PQ|·d
＝ ·
＝＝
≤＝.
当t＝±3时取到“＝”，经检验此时Δ>0，满足题意．
综上可知，△MPQ的面积的最大值为.
