走向高考高三数学二轮专题复习专题综合检测五Word有详解答案

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走向高考高三数学二轮专题复习专题综合检测五Word有详解答案

专题综合检测五 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(文)(2013·泗县双语中学模拟)若直线2tx+3y+2=0与直线x+6ty-2=0平行,则实数t等于(  )‎ A.或-       B. C.- D. ‎[答案] B ‎[解析] 由条件知,=≠,∴t=.‎ ‎(理)(2013·吉大附中二模)若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为(  )‎ A.x+4y+3=0 B.x+4y-9=0‎ C.4x-y+3=0 D.4x-y-2=0‎ ‎[答案] D ‎[解析] y′=4x,直线x+4y-8=0的斜率k=-,令4x=4得x=1,‎ ‎∴切点(1,2),∴切线l:y-2=4(x-1),‎ 即4x-y-2=0,故选D.‎ ‎2.(2013·眉山二诊)抛物线y=4x2的焦点坐标是(  )‎ A.(1,0) B.(0,1)‎ C.(0,) D.(0,)‎ ‎[答案] C ‎[解析] y=4x2化为x2=y,∴2p=,∴p=,‎ ‎∴焦点F(0,).‎ ‎3.(文)(2013·北京理,6)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为(  )‎ A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎[答案] B ‎[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质.‎ 因为离心率e=,所以c=a,∴b2=c2-a2=2a2,∴b=a,因为双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±x.选B.‎ ‎(理)(2013·北京文,7)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是(  )‎ A.m> B.m≥1‎ C.m>1 D.m>2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 双曲线离心率e=>,‎ 所以m>1,选C.‎ ‎4.(2013·天津理,5)已知双曲线-=1(a>0,b ‎>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A、B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵e==2,∴b2=c2-a2=3a2,∴=,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A(-,),B(-,-),则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,∴p2=4,又p>0,∴p=2.‎ ‎5.(2013·哈六中二模)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,直线l与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若=,·=36,则抛物线的方程为(  )‎ A.y2=6x B.y2=3x C.y2=12x D.y2=2x ‎[答案] D ‎[解析] ∵F(,0),设A(x0,y0),y0>0,则C(-,y0),B(p-x0,-y0),由条件知p-x0=-,∴x0=,∴y=2p·=3p2,∴y0=p,∴B(-,-p),A(,p),C(-,p),∴·=(2p,2p)·(0,2p)=12p2=36,∴p=,‎ ‎∴抛物线方程为y2=2x.‎ ‎6.(2013·江西八校联考)若圆锥曲线C是椭圆或双曲线,其中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过A(-2,2),B(,-),则(  )‎ A.曲线C可为椭圆,也可为双曲线 B.曲线C一定是双曲线 C.曲线C一定是椭圆 D.这样的曲线C不存在 ‎[答案] B ‎[解析] 设曲线为mx2+ny2=1,∵A、B在曲线C上,‎ ‎∴∴ ‎∴曲线方程为x2-=1,故选B.‎ ‎7.(2013·江西师大附中、鹰潭一中模拟)已知等边△ABC中,D、E分别是CA、CB的中点,以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2,则下列关于e1、e2的关系式不正确的是(  )‎ A.e2+e1=2 B.e2-e1=2‎ C.e2e1=2 D.>2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 设正三角形的边长为2,椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c,双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距长分别为a′、b′、c′,则2c′=2c=|AB|=2,∴c′=c=1,2a=|DB|+|DA|=+1,2a′=|DB|-|DA|=-1,∴e1===-1,e2==‎ eq r(3)+1,故选A.‎ ‎8.(2013·苍南求知中学月考)过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为2的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且=2,则双曲线M的离心率是(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 由条件知A(-1,0),∴l:y=2(x+1),双曲线渐近线方程为y=±bx,∵=2,∴B在A,C之间,∴由得B(-,),‎ 由得C(,),‎ 再由=2得b=4,∴e=.‎ ‎9.(2013·天津和平区质检)若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A、B,则p的取值范围是(  )‎ A.(-,0) B.(0,)‎ C.(0,) D.(-∞,0)∪(,+∞)‎ ‎[答案] C ‎[解析] 设直线AB:y=x+b,代入y2=2px中消去x得,y2-2py+2pb=0,∴y1+y2=2p,x1+x2=y1+y2-2b=2p-2b ‎,由条件知线段AB的中点(,),‎ 即(p-b,p)在直线x+y-1=0上,∴b=2p-1,Δ=4p2-8pb=4p2-8p(2p-1)=-12p2+8p>0,∴00),代入y2=4x中消去x得,y2=-4,由Δ=-16=0及k>0得k=1,∴PA:y=x+1,P(1,2),|PA|=2,|PB|=2,‎ ‎∴==.‎ ‎[点评] 也可以不用判别式法,用导数法求解.‎ ‎(理)(2013·北京东城区模拟)已知点A(2,1),抛物线y2=4x的焦点是F,若抛物线上存在一点P,使得|PA|+|PF|最小,则P点的坐标为(  )‎ A.(2,1) B.(1,1)‎ C.(,1) D.(,1)‎ ‎[答案] D ‎[解析] 过P作PB与准线垂直,垂足为B,则|PF|=|PB|,∴P点在抛物线弧内,∴当P、A、B共线时,|PA|+|PF|取最小值,此时yP=yA=1,∴xP=,‎ 即P(,1).‎ ‎11.(文)(2013·保定二模)双曲线-=1(b>a>0)与圆x2+y2=(c-)2无交点,c2=a2+b2,则双曲线的离心率e的取值范围是(  )‎ A.(1,) B.(,)‎ C.(,2) D.(,2)‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由条件知c-1,∴1a,∴c2-a2>a2,∴e>,∴0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O,A两点,若△AOF的面积为b2,则双曲线的离心率等于(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] D ‎[解析] ∵A在以OF为直径的圆上,∴AO⊥AF,‎ ‎∴AF:y=-(x-c)与y=x联立解得x=,y=,∵△AOF的面积为b2,‎ ‎∴·c·=b2,∴e=.‎ ‎12.(2013·大兴区质检)抛物线y=x2(-2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是(  )‎ A.1 B.2‎ C.2 D.4‎ ‎[答案] B ‎[解析] 当x=2时,y=4,‎ 设正方体的棱长为a,由题意知(a,4-a)在抛物线y=x2上,∴4-a=a2,∴a=2.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填写在题中横线上.)‎ ‎13.(2013·天津六校联考)已知直线ax+by=1(其中a,b为非零实数)与圆x2+y2=1相交于A,B两点,O为坐标原点,且△AOB为直角三角形,则+的最小值为________.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] ∵△AOB为等腰直角三角形,⊙O的半径为1,∴O到直线ax+by-1=0的距离为,即=,∴2a2+b2=2,∴+=(+)()=2++≥4,等号在=,‎ 即b2=2a2=1时成立,∴所求最小值为4.‎ ‎14.(文)(2013·黄埔区模拟)已知点P(2,-3)是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点,双曲线两个焦点间的距离等于2,则该双曲线方程是________.‎ ‎[答案] x2-=1‎ ‎[解析] 由条件知, 解之得,a2=1,b2=3,∴双曲线的方程为x2-=1.‎ ‎(理)(2013·天津十二区县联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,它的一条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线交点的纵坐标为6,则正数p的值为________.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] 由条件知=,·=6,‎ 由=得=10,∴=3,∴p=4.‎ ‎15.(文)(2013·西城区模拟)抛物线y2=2x的准线方程是________;该抛物线的焦点为F,点M(x0,y0)在此抛物线上,且|MF|=,则x0=________.‎ ‎[答案] x=- 2‎ ‎[解析] 由2p=2得p=1,∴准线方程为x=-;‎ ‎∵|MF|=x0-(-)=,∴x0=2.‎ ‎(理)(2013·苍南求知中学月考)过抛物线y2=4x的焦点F作一条倾斜角为α,长度不超过8的弦,弦所在的直线与圆x2+y2=有公共点,则α的取值范围是________.‎ ‎[答案] [,]∪[,]‎ ‎[解析] F(1,0),直线AB:y=tanα(x-1),由条件知,圆心(0,0)到直线AB的距离d=≤,∴-≤tanα≤.(1)‎ 将y=k(x-1)代入y2=4x中消去y得,[来源:Zxxk.Com]‎ k2x2-(2k2+4)x+k2=0,‎ ‎∴x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=,‎ ‎∴AB的中点坐标为P(,),‎ ‎∵|AB|≤8,∴P到准线的距离+1≤4,‎ ‎∴|k|≥1,∴|tanα|≥1,(2)‎ 由(1)(2)得≤α≤或≤α≤.‎ ‎16.(文)已知椭圆+=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且·=0,|-|=2|-|,则椭圆的方程为________.‎ ‎[答案] +y2=1‎ ‎[解析] ∵|-|=2|-|,‎ ‎∴||=2||,‎ 又·=0,∴⊥.‎ ‎∴△AOC为等腰直角三角形.‎ ‎∵||=2,∴点C的坐标为(1,1)或(1,-1),‎ ‎∵点C在椭圆上,‎ ‎∴+=1,又a2=4,‎ ‎∴b2=,故所求椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(理)(2013·湖南理,14)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设点P在C的右支上,F1为左焦点,F2为右焦点,则|PF1|-|PF2|=2a,又已知|PF1|+|PF2|=6a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,又在双曲线中c>a,‎ ‎∴|F1F2|>|PF2|,故在△PF1F2中,最小内角为∠PF1F2=30°,‎ 在△PF1F2中,由余弦定理得,‎ ‎|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos30°,‎ 即4a2=16a2+4c2-2×4a×2c×,‎ ‎∴3a2+c2-2ac=0,‎ 两边同除以a2得,e2-2e+3=0,‎ ‎∴e=.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)(2013·重庆一中月考)(1)已知直线l1:mx+2y+1=0与直线l2:2x-4m2y-3=0垂直,求直线l1的方程;(结果要求用一般式)‎ ‎(2)若直线l1:mx+2y+1=0被圆C:x2+y2-2x+2y-2=0所截得的线段长为2,求直线l1的方程.(结果要求用一般式)‎ ‎[解析] (1)∵l1⊥l2⇒m·2+2·(-4m2)=0⇒m=0或m=,所以直线l1的方程为:2y+1=0或x+8y+4=0.‎ ‎(2)由圆的方程得:(x-1)2+(y+1)2=4,所以圆心为C(1,-1),半径r=2,由题意知,()2+3=4⇒(m-1)2=m2+4⇒m=-,‎ ‎∴l1的方程为:-x+2y+1=0,即l1:3x-4y-2=0.‎ ‎18.(本小题满分12分)(文)‎ 如图,直角三角形ABC的顶点坐标A(-2,0),直角顶点B(0,-2),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.‎ ‎(1)求BC边所在直线方程;‎ ‎(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;‎ ‎(3)若动圆N过点P且与圆M相切,求动圆N的圆心N的轨迹方程.‎ ‎[解析] (1)∵kAB=-,AB⊥BC,∴kCB=,‎ ‎∴BC边所在直线方程为y=x-2.‎ ‎(2)在BC边所在直线方程中,令y=0,得C(4,0),‎ ‎∴圆心M(1,0).又∵|AM|=3,‎ ‎∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9.‎ ‎(3)∵P(-1,0),M(1,0),‎ 圆N过点P(-1,0),∴PN是该圆的半径.‎ 又∵动圆N与圆M内切,‎ ‎∴|MN|=3-|PN|,即|MN|+|PN|=3,‎ ‎∴点N的轨迹是以M、P为焦点,长轴长为3的椭圆.‎ ‎∴a=,c=1,b==,‎ ‎∴轨迹方程为+=1.‎ ‎(理)‎ 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(2,0)作直线与抛物线y2=4x相交于A、B两点,如图,设动点A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ ‎(1)求证:y1y2为定值;‎ ‎(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点,求△ADB面积的最小值.‎ ‎(3)求证:直线l:x=1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值.‎ ‎[解析] (1)当直线AB垂直于x轴时,y1=2,y2=-2,因此y1y2=-8.‎ 当直线AB不垂直于x轴时,‎ 设直线AB的方程为y=k(x-2),‎ 由,得ky2-4y-8k=0,∴y1y2=-8.‎ 因此有y1y2=-8为定值.‎ ‎(2)∵C(2,0),∴C点关于原点的对称点D(-2,0),‎ ‎∴DC=4,S△ADB=DC·|y1-y2|.‎ 当直线AB垂直于x轴时,S△ADB=×4×4=8;‎ 当直线AB不垂直于x轴时,‎ 由(1)知y1+y2=,因此 ‎|y1-y2|==>4,‎ ‎∴S△ADB=×4×|y1-y2|>8.‎ 综上,△ADB面积的最小值为8.‎ ‎(3)AC中点E(,),‎ AC=,‎ 因此以AC为直径的圆的半径 r=AC==,‎ AC中点E到直线x=1的距离d=|-1|=,‎ ‎∴所截弦长为2=2 ‎=2(定值).‎ ‎19.(本小题满分12分)(文)(2013·江西八校联考)在平面直角坐标系xOy上取两点A1(-2,0)、A2(2,0),再取两个动点N1(0,m)、N2(0,n),且mn=3.‎ ‎(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;‎ ‎(2)过点O作两条互相垂直的射线,与曲线M分别交于A、B两点.证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.‎ ‎[解析] (1)依题意知直线A1N1的方程为:‎ y=(x+2),①‎ 直线A2N2的方程为:y=-(x-2),②‎ 设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2的交点,‎ ‎①×②得y2=-(x2-4).③‎ 将mn=3代入③整理得+=1,‎ ‎∵N1、N2不与原点重合,‎ ‎∴点A1(-2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上,‎ ‎∴轨迹M的方程为+=1(y≠0).‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆 +=1联立消去y并化简得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,‎ 由根与系数的关系得:‎ x1+x2=-,‎ x1x2=.‎ ‎∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,‎ ‎∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.‎ 即:(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,‎ ‎∴(k2+1)-+m2=0,‎ 整理得7m2=12(k2+1),‎ 所以O到直线AB的距离:‎ d===.‎ 若直线AB的方程为x=t,易得O到直线AB的距离也为.‎ 故点O到直线AB的距离为定值.‎ ‎∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB,‎ 当且仅当OA=OB时取“=”号.‎ 由直角三角形面积公式得:‎ d·AB=OA·OB,‎ ‎∵OA·OB≤,∴d·AB≤,‎ ‎∴AB≥2d=,‎ 即当OA=OB时,弦AB的长度的最小值是.‎ ‎(理)(2013·苍南求知中学月考)已知点M是圆C:x2+y2=2上的一点,且MH⊥x轴,H为垂足,点N满足=,记动点N的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的最大值.‎ ‎[解析] (1)设N(x,y),M(x′,y′),则由已知得,x′=x,y′=y,‎ 代入x2+y2=2得,x2+2y2=2.‎ 所以曲线E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形,则弦AB不能与x轴垂直,故可设直线AB的方程为y=kx+m,‎ 由消去y并整理得,‎ ‎(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 又Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,‎ 所以x1+x2=-,x1x2=,‎ 因为|AB|=2,‎ 所以=2,‎ 即(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]=4,‎ 所以(1+k2)[(-)2-]=4,‎ 即m2=,‎ 因为k2≥0,所以≤m2<1.‎ 又点O到直线AB的距离h=,‎ 因为S=|AB|·h=h,‎ 所以S2=h2==.‎ 令S2=u,1+k2=t,则t≥1,∴1+2k2=2t-1,‎ ‎∴S2=,即u=,u′=≤0,‎ ‎∴u=在[1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴t=1时,umax=,‎ 即S2≤,∴00,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和点B(a,0)的直线与原点的距离为.‎ ‎(1)求双曲线方程;‎ ‎(2)直线y=kx+m(k≠0)与该双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求m的取值范围.‎ ‎[解析] (1)∵e=,∴=,‎ 直线AB方程为:-=1,即bx-ay-ab=0,‎ ‎∴=,∴ab=,‎ 又c2=a2+b2,∴a=,b=1,‎ ‎∴双曲线方程为:-y2=1.‎ ‎(2)联立消去y可得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,‎ 由1-3k2≠0及Δ=36k2m2-4(1-3k2)(-3m2-3)>0,‎ 得m2+1>3k2,且3k2≠1,‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点E(x0,y0),‎ ‎∴x1+x2=,∴x0=,y0=,‎ 由题意知AE垂直平分CD,‎ ‎∴kAE·k=-1,即·k=-1,∴3k2=4m+1,‎ 代入m2+1>3k2得m2+1>4m+1,∴m<0或m>4,‎ 这时3k2≠1,又∵4m+1=k2>0,∴m>-,‎ ‎∴m的取值范围是(-,0)∪(4,+∞).‎ ‎21.(本小题满分12分)(文)(2013·全国大纲理,21)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为 ‎ ‎(1)求a、b;‎ ‎(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.‎ ‎[解析] (1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2.‎ 所以C的方程为8x2-y2=8a2.‎ 将y=2代入上式,求得x=±.‎ 由题设知,2=,解得a2=1.‎ 所以a=1,b=2.‎ ‎(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为 ‎8x2-y2=8    ①‎ 由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|<2,代入①并化简得,‎ ‎(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1·x2=.‎ 于是|AF1|===-(3x1+1),‎ ‎|BF1|===3x2+1.‎ 由|AF1|=|BF1|得,-(3x1+1)=3x2+1,‎ 即x1+x2=-,故=-,‎ 解得k2=,从而x1·x2=-.‎ 由于|AF2|===1-3x1,‎ ‎|BF2|===3x2-1.‎ 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,‎ ‎|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.‎ 因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.‎ ‎(理)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2,设l1与轨迹C相交于点A、B,l2与轨迹C相交于点D、E,求·的最小值.‎ ‎[解析] ‎ ‎(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有 -|x|=1.‎ 化简得y2=2x+2|x|.‎ 当x≥0时,y2=4x;‎ 当x<0时,y=0.‎ 所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).‎ ‎(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.‎ 因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.‎ 设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得 x3+x4=2+4k2,x3x4=1.‎ 故·=(+)·(+)‎ ‎=·+·+·+· ‎=||·||+||·||‎ ‎=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)‎ ‎=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1‎ ‎=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1‎ ‎=8+4(k2+)≥8+4×2=16.‎ 当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.‎ ‎22.(本小题满分14分)(文)(2013·德阳市二诊)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(1,e),其中e为椭圆的离心率.F1、F2是椭圆的两焦点,M为椭圆短轴端点且△MF1F2为等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,第一象限内的点P(1,m)在椭圆上,直线OP平分线段AB,求:当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程.‎ ‎[解析] (1)∵椭圆+=1经过(1,e),‎ ‎∴+=1,‎ 又e=,∴+=1,解之得b2=1,‎ ‎∴椭圆方程为+y2=1.‎ 又△MF1F2为等腰直角三角形,‎ ‎∴b=c=1,a=,‎ 故椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)由(1)可知椭圆的方程为+y2=1,‎ 故P(1,),‎ 由题意,当直线l垂直于x轴时显然不合题意.‎ 设不经过原点的直线l的方程y=kx+t(t≠0)交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由消去y得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,‎ Δ=(4kt)2-4(1+2k2)·(2t2-2)=16k2-8t2+8>0,‎ ‎∴x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=,‎ x1x2=,‎ 直线OP方程为y=x且OP平分线段AB,‎ ‎∴=×,解得k=-.‎ ‎∴|AB|=· ‎=,‎ 又∵点P到直线l的距离d==h,‎ ‎∴S△PAB=|AB|h=.‎ 设f(t)=(-t)2(4-2t2)‎ ‎=-2t4+4t3-8t+8,‎ 由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得-b ‎>0)的左、右焦点,M,N分别为其短轴的两个端点,且四边形MF1NF2的周长为4,设过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AB|=.‎ ‎(1)求|AF2|·|BF2|的最大值;‎ ‎(2)若直线l的倾斜角为45°,求△ABF2的面积.‎ ‎[解析] (1)因为四边形MF1NF2为菱形,又其周长为4,故a=1.‎ 由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4,‎ 又因为|AB|=,所以|AF2|+|BF2|=,‎ 所以|AF2|·|BF2|≤()2=,‎ 当且仅当|AF2|=|BF2|=时,等号成立.‎ ‎(此时AB⊥x轴,故可得A点坐标为(-,),代入椭圆E的方程x2+=1,‎ 得b=<1,即当且仅当b=时|AF2|=|BF2|=),‎ 所以|AF2|·|BF2|的最大值为.‎ ‎(2)因为直线l的倾斜角为45°,所以可设l的方程为y=x+c,其中c=,‎ 由(1)知椭圆E的方程为x2+=1.‎ 所以,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 因为直线l的斜率为1,所以|AB|=|x1-x2|,‎ 即=|x1-x2|,所以=(x1+x2)2-4x1x2,‎ =-,得b2=,b=,‎ 所以c=,l的方程为:y=x+,‎ F2到l的距离d=1,‎ 所以S△ABC=|AB|×1=××1=.‎ 一、选择题 ‎1.(文)(2012·浙江台州调研)“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] C ‎[解析] 若a=2,则直线ax+2y=0平行于直线x+y=1,反之也成立,即“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件,故应选C.‎ ‎(理)若直线l1:x-ay+1=0与直线l2:(a+4)x+(2a-1)y-5=0互相垂直,则直线l1的倾斜角为(  )‎ A.45° B.135°‎ C.60° D.45°或135°‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵l1⊥l2,∴1×(a+4)-a(2a-1)=0,‎ ‎∴a=-1或2,‎ ‎∴l1的方程为x+y+1=0或3x-3y+5=0,‎ ‎∴l1的倾斜角为135°或45°.‎ ‎2.(文)已知圆O的方程是x2+y2-8x-2y+10=0,则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是(  )‎ A.x+y-3=0 B.x-y-3=0‎ C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0‎ ‎[答案] A ‎[解析] 圆O的方程是x2+y2-8x-2y+10=0,即(x-4)2+(y-1)2=7,‎ 圆心O(4,1),设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l,∵kOM=1,∴kl=-1,‎ ‎∴l的方程为:y=-1·(x-3),即x+y-3=0.‎ ‎(理)(2012·北京海淀期末)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y=-1相切,若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点,则圆C的面积(  )‎ A.有最大值为π B.有最小值为π C.有最大值为4π D.有最小值为4π ‎[答案] D ‎[解析] 如图所示,由圆C经过点F(0,1),并且与直线y=-1相切,可得点C的轨迹为抛物线x2=4y,显然以抛物线x2=4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x-4y+20=0相交,且此圆可无限大,即圆C的面积不存在最大值,设圆C与3x-4y+20=0相切于点A,其圆心为(x0,y0),则由AC=PC可得d==y0+1(点C在直线3x-4y+20=0的右方),即=x+1,解得x0=-2或x0=(舍去),当x0=-2时,圆心C面积为(-2,1),此时圆C的半径为2,即可得圆C的面积的最小值为4π,故应选D.‎ ‎3.(2013·山东文,11)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 抛物线焦点A(0,),双曲线右焦点为B(2,0),双曲线渐近线方程为y=±x,直线AB方程为px+4y-2p=0,由得M点横坐标为xM=,‎ 又y′=x,∴xM=,‎ 即=,即=+p,‎ 又p>0,平方可解得p=.‎ ‎4.(文)以双曲线-=1的离心率为半径,右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切,则m的值为(  )‎ A. B. C.1 D. ‎[答案] D ‎[解析] 以双曲线-=1的离心率为半径,右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切,‎ ‎∴=,解得m=,故选D.‎ ‎(理)(2012·山东文,11)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(  )‎ A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y ‎[答案] D ‎[解析] 本题考查双曲线离心率、抛物线方程等.‎ 由双曲线离心率为2知=4,即b2=3a2,‎ ‎∴b=a,∴双曲线的渐近线方程y=±x,‎ 由抛物线焦点F(0,)到双曲线渐近距离为2知,‎ =2,∴p=8,∴抛物线方程为x2=16y.‎ ‎5.“-30),方程表示的曲线为抛物线的一部分.‎ ‎8.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为(  )‎ A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x ‎[答案] B ‎[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,则,两式相减可得2p=×(y1+y2)=kAB×2=2,即可得p=1,∴抛物线C的方程为y2=2x,故应选B.‎ ‎9.(2012·河南桐柏实验中学期末)半径不等的两定圆O1、O2没有公共点,且圆心不重合,动圆O与定圆O1和定圆O2都内切,则圆心O的轨迹是(  )‎ A.双曲线的一支 B.椭圆 C.双曲线的一支或椭圆 D.双曲线或椭圆 ‎[答案] C ‎[解析] 设⊙O1,⊙O2,⊙O的半径分别为r1,r2,R,且r1>r2>0,当⊙O1与⊙O2外离时,由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O,∴|OO1|=R-r1,|OO2|=R-r2,∴|OO2|-|OO1|=r1-r2,0r2,∴r1-r2>|O1O2|,∴点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆,故选C.‎ ‎10.(文)(2013·吉大附中二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点A在双曲线上,且AF2⊥x轴,若=,则双曲线的离心率等于(  )‎ A.2    B.3    C.    D. ‎[答案] A ‎[解析] 设|AF2|=3x,则|AF1|=5x,‎ ‎∴|F1F2|=4x,∴c=2x,‎ 由双曲线的定义知,2a=|AF1|-|AF2|=2x,‎ ‎∴a=x,∴e==2.‎ ‎(理)(2013·德阳市二诊)已知P点是x2+y2=a2+b2与双曲线C:-=1(a>0,b>0)在第一角限内的交点,F1、F2分别是C的左、右焦点,且满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率e为(  )‎ A.2 B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 设|PF2|=x,则|PF1|=3x,‎ ‎∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=10x2=4c2,‎ ‎∴c=x,‎ 由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2x,‎ ‎∴a=x,∴e==,故选C.‎ ‎11.(文)过原点O作直线l交椭圆+=1(a>b>0)于点A、B,椭圆的右焦点为F2,离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2,且sin∠ABF2=e,则e=(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 记椭圆的左焦点为F1,依题意得|AB|=2c,四边形AF1BF2为矩形,sin∠ABF2===e,|AF2|=2ce,|AF1|2=(2a-|AF2|)2=(2a-2ce)2,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,(2a-2ce)2+(2ce)2=(2c)2,由此解得e=,选B.‎ ‎(理)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率是,过椭圆上一点M作直线MA、MB分别交椭圆于A、B两点,且斜率分别为k1、k2,若点A、B关于原点对称,则k1·k2的值为(  )‎ A. B.- C. D.- ‎[答案] D ‎[解析] 设点M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1),则y2=b2-,y=b2-,所以k1·k2=·==-=-1=e2-1=-,即k1·k2的值为-.‎ ‎12.(文)(2013·辽宁文,11)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为(  )‎ A.    B.    C.    D. ‎[答案] B ‎[解析] 如图,由余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|BF|·|AB|cos∠‎ ABF=64+100-160×=36,即|AF|=6,‎ 又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB||BF|cos∠ABF=64+25-80×=25,即|OF|=5,由椭圆的对称性知:‎ ‎|AF|+|BF|=2a=14,∴a=7,|OF|=5=c,所以e=,故选B.‎ ‎(理)(2013·北京理,7)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于(  )‎ A. B.2‎ C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 依题意,l的方程为y=1,它与抛物线相交弦的长为4,所求的面积S=4-2dx=4-2(|)=.选C.‎ 二、填空题 ‎13.(2013·天津六校联考)如下图,ABCD 是边长为4的正方形,动点P在以AB为直径的圆弧APB上,则·的取值范围是________.‎ ‎[答案] [16,32]‎ ‎[解析] 设AB的中点为O,则由条件知=,‎ +=2,0≤·≤8,·=0,‎ ‎∴·=(+)·(+)‎ ‎=·+·+·+· ‎=·(+)+||2‎ ‎=·2+16∈[16,32].‎ ‎14.(文)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有公共焦点,且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1,则该双曲线的离心率为________.‎ ‎[答案] 2‎ ‎[解析] ∵抛物线y2=8x的焦点为(2,0),∴双曲线-=1(a>0,b>0)中c=2,‎ 又a=1,∴e==2.‎ ‎(理)过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足恰好落在曲线+=1上,则双曲线的离心率为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0),(c>0),一条渐近线方程为y=x,由得垂足的坐标为(,),把此点坐标代入方程+=1,得+=1,化简,并由c2=a2+b2得a=b,∴e==.‎ ‎15.(2013·福建理,14)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.‎ ‎[答案] -1‎ ‎[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解.‎ 如图,由题意易知F1M⊥F2M且|MF1|=c,|MF2|=c,∴2a=(+1)c,∴==-1.‎ ‎16.设抛物线x2=4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则||+||=________.‎ ‎[答案] 10‎ ‎[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1+x2=2,且x=4y1,x=4y2,两式相减整理得,==,所以直线AB的方程为x-2y+7=0,将x=2y-7代入x2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由抛物线定义得||+||=y1+y2+2=10.‎ 三、解答题 ‎17.(文)(2012·河北郑口中学模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(,1),且离心率为,F为椭圆的右焦点,M、N两点在椭圆C上,且=,定点A(-4,0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)求证:⊥.‎ ‎[解析] (1)由椭圆离心率为e==,即 =,可得=.‎ 又椭圆C过点P(,1),∴+=1.‎ 解得a2=6,b2=2,∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),又F(2,0),‎ ‎∴=(2-x1,-y1),=(x2-2,y2),‎ ‎∵=,∴,∴,‎ 由M、N在椭圆上得,+=1,+=1,两式相减得:(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,‎ ‎∴x1=x2,∴=(x2-x1,y2-y1)=(0,-2y1),=(6,0),∴·=0,∴⊥.‎ ‎(理)已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足+=0(O为坐标原点),·=0.若椭圆的离心率等于.‎ ‎(1)求直线AB的方程;‎ ‎(2)若△ABF2面积等于4,求椭圆的方程.‎ ‎[解析] (1)由+=0知,直线AB经过原点,‎ 又由·=0,知AF2⊥F1F2.‎ 因为椭圆的离心率等于,所以=,b2=a2,‎ 故椭圆方程可以写为x2+2y2=a2.‎ 设点A的坐标为(c,y),代入方程x2+2y2=a2,得y=a,‎ 所以点A的坐标为(a,a),‎ 故直线AB的斜率k=,‎ 因此直线AB的方程为y=x.‎ ‎(2)连接AF1、BF1,由椭圆的对称性可知 S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2,‎ 所以·2c·a=4,解得a2=16,b2=16-8=8,‎ 故椭圆方程为+=1.‎ ‎18.(2013·泗县双语中学模拟)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.‎ ‎(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部,求实数m的取值范围.‎ ‎[解析] (1)∵x2+y2-2x-4y+m=0表示圆,‎ ‎∴(-2)2+(-4)2-4m>0,∴m<5.‎ ‎(2)由消去x得,5y2-16y+m+8=0,‎ 由Δ=162-20(m+8)=96-20m>0得,m<.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,‎ 于是x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=16-8×+4×=,‎ ‎∵O在以MN为直径的圆的外部,∴·>0,‎ ‎∴x1x2+y1y2>0,∴+>0,∴m>,‎ 综上知,m∈(,).‎ ‎19.(2013·陕西文,20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.‎ ‎(1)求动点M的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A、B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.‎ ‎[解析] (1)设M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|,由此得|4-x|=2,‎ 化简得+=1,‎ 所以,动点M的轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,‎ 其中,△=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,‎ 由根与系数的关系得,x1+x2=-,①‎ x1x2=.②[来源:Zxxk.Com]‎ 又因为A是PB的中点,故x2=2x1,③‎ 将③代入①,②,得 x1=-,x=,可得()2=,且k2>,‎ 解得k=-或k=,所以,直线m的斜率为-或.‎ ‎20.曲线C是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线,已知它的一个焦点F的坐标为(2,0),一条渐近线的方程为y=x,过焦点F作直线交曲线C的右支于P、Q两点,R是弦PQ的中点.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)当点P在曲线C右支上运动时,求点R到y轴距离的最小值.‎ ‎[解析] (1)设所求双曲线C的方程为-=1,(a>0,b>0)‎ 由题意得:解得 所以,所求曲线C的方程为x2-=1.‎ ‎(2)若弦PQ所在直线斜率k存在,则设其方程为y=k(x-2)‎ 由,‎ 消去y得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,‎ 设点P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则解得k2>3,‎ 此时点R到y轴的距离|xR|=||==2+,‎ 而当弦PQ所在直线的斜率不存在时,点R到y轴的距离为2,‎ 所以,点R到y轴距离的最小值为2.‎ ‎21.(文)(2013·北京西城区模拟)如图,已知椭圆+=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.‎ ‎(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率;‎ ‎(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明你的理由.‎ ‎[解析] (1)依题意,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1).‎ 将其代入+=1中消去y整理得,(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=.‎ 故点G的横坐标为=.‎ 依题意得,=-,‎ 解之得k=±.[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x轴,y 轴垂直.‎ 由(1)可得G(,).‎ ‎∵DG⊥AB,∴×k=-1,‎ 解得xD=,∴D(,0).‎ ‎∵△GFD∽△OED,‎ ‎∴S1=S2⇔|GD|=|OD|.‎ ‎∴=.‎ 整理得8k2+9=0.‎ 因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1=S2.‎ ‎(理)(2013·吉大附中二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,且与抛物线y2=4x有共同的一个焦点,椭圆C的左顶点为A ‎,右顶点为B,点P是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AP、BP与直线y=3分别交于G,H两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)求线段GH的长度的最小值;‎ ‎(3)在线段GH的长度取得最小值时,椭圆C上是否存在一点T,使得△TPA的面积为1,若存在求出点T的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎[解析] (1)由已知得,抛物线的焦点为(,0),则 c=,又b=1,由a2-b2=c2,可得a2=4.‎ 故椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)直线AP的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AP的方程为y=k(x+2),从而G(-2,3).‎ 由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.‎ 设P(x1,y1),则(-2)x1=,‎ 所以x1=,从而y1=.‎ 即P(,),‎ 又B(2,0),则直线PB的斜率为-.‎ 由得 所以H(-12k+2,3).‎ 故|GH|=|-2+12k-2|=|+12k-4|.‎ 又k>0,+12k≥2=12.‎ 当且仅当=12k,即k=时等号成立.‎ 所以当k=时,线段GH的长度取最小值8.‎ ‎(3)由(2)可知,当GH的长度取最小值时,k=.‎ 则直线AP的方程为x-2y+2=0,此时P(0,1),|AP|=.‎ 若椭圆C上存在点T,使得△TPA的面积等于1,则点T到直线AP的距离等于,‎ 所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上.‎ 设直线l:y=x+t.‎ 则由得x2+2tx+2t2-2=0.‎ Δ=4t2-8(t2-1)≥0.即t2≤2.‎ 由平行线间的距离公式,得=,‎ 解得t=0或t=2(舍去).‎ 可求得T(,)或T(-,-).‎ ‎22.(文)(2013·天津和平区质检)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点,设P ‎(-4,0),连接PA交椭圆C于另一点E,求证:直线BE与x轴相交于定点M;‎ ‎(3)设O为坐标原点,在(2)的条件下,过点M的直线交椭圆C于S、T两点,求·的取值范围.‎ ‎[解析] (1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),‎ 抛物线x2=4y的焦点为(0,),‎ 依题意,解得.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)证明:由题意可知直线PA的斜率存在,设直线PA的方程为y=k(x+4).‎ 由消去y得,‎ ‎(4k2+3)x2+32k2x+64k2-12=0.①‎ 设点A(x1,y1),E(x2,y2),则B(x1,-y1),‎ 直线BE的方程为y-y2=(x-x2).‎ 令y=0,得x=x2-.‎ 将y1=k(x1+4),y2=k(x2+4)代入上式并整理,‎ 得x=.②‎ 由①得x1+x2=-,x1x2=,将其代入②,整理得x==-1.‎ ‎∴直线BE与x轴相交于定点M(-1,0).‎ ‎(3)当过点M的直线ST的斜率存在时,‎ 设直线ST的方程为y=m(x+1),且S(xS,yS),T(xT,yT)在椭圆C上,‎ 由,得(4m2+3)x2+8m2x+4m2-12=0,‎ 则Δ=(8m2)2-4(4m2+3)(4m2-12)=144(m2+1)>0.‎ 故有xS+xT=-,xSxT=,从而 ySyT=m2(xS+1)(xT+1)‎ ‎=m2[(xS+xT)+xSxT+1]=-.‎ ‎∴·=xSxT+ySyT ‎=-=--.‎ 由m2≥0,得·∈[-4,-).‎ 当过点M的直线ST的斜率不存在时,‎ 直线ST的方程为x=-1,S(-1,),T(-1,-),此时·=-,‎ ‎∴·的取值范围是[-4,-].‎ ‎(理)(2013·江西八校联考)设椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2-1与y轴的交点为B,且经过F1,F2点.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)设M(0,-),N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值.‎ ‎[解析] (1)由题意可知B(0,-1),则A(0,-2),故b=2.‎ 令y=0得x2-1=0即x=±1,则F1(-1,0),F2(1,0),故c=1.‎ 所以a2=b2+c2=5,‎ 于是椭圆C1的方程为:+=1.‎ ‎(2)设N(t,t2-1),由于y′=2x知直线PQ的方程为:‎ y-(t2-1)=2t(x-t).‎ 即y=2tx-t2-1.‎ 代入椭圆方程整理得:4(1+5t2)x2-20t(t2+1)x+5(t2+1)2‎ ‎-20=0,‎ Δ=400t2(t2+1)2-80(1+5t2)[(t2+1)2-4]‎ ‎=80(-t4+18t2+3),‎ x1+x2=,x1x2=,‎ 故|PQ|=|x1-x2|‎ ‎=· ‎=.‎ 设点M到直线PQ的距离为d,则 d==.‎ 所以,△MPQ的面积S=|PQ|·d ‎= · ‎== ‎≤=.‎ 当t=±3时取到“=”,经检验此时Δ>0,满足题意.‎ 综上可知,△MPQ的面积的最大值为.‎
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