江苏省南通市如皋市2021届高三数学上学期期中试卷（Word版附答案）

江苏省南通市如皋市2021届高三数学上学期期中试卷（Word版附答案）

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高三（上）期中数学试卷 一、单项选择题（共 8小题）. 1．已知 a为正实数，复数 1+ai（i为虚数单位）的模为 2，则 a的值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 2．已知集合 M＝{1，2}，集合 N满足 M∪N＝{0，1，2}，则集合 N的个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．已知 ，b＝log25，c＝log37，则 a，b，c的大小顺序是（ ） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（ ） A．30 B．60 C．120 D．240 5．在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，双曲线 的右焦点为 F，则以 F为 圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（ ） A．x2+y2+4x+1＝0 B．x2+y2+4x+3＝0 C．x2+y2﹣4x﹣1＝0 D．x2+y2﹣4x+1＝0 6．正三棱锥 S﹣ABC中，SA＝2， ，则该棱锥外接球的表面积为（ ） A． B．4π C．12π D．6π 7．将函数 的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以 得到如图所示的图象（ ） A． B． C． D． 8．函数 y＝tan2x﹣2tanx 的最大值为（ ） A． B．3 C．0 D．﹣3 二、多项选择题（共 4小题） 9．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，若 E，F分别为 B1B，B1C1的中点，则（ ） A．直线 A1E∥平面 ACD1 B．直线 B1D⊥平面 ACD1 C．平面 A1EF∥平面 ACD1 D．平面 A1B1CD⊥平面 ACD1 10．下列关于函数的描述正确的是（ ） A．函数 y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是 f（0）＝0 B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么， “两面派”函数一定有无数个 C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数 D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数 11．已知 A＝B＝{1，2，3}，分别从集合 A，B中各随机取一个数 a，b，得到平面上一个点 P（a，b），事件“点 P（a，b）恰好落在直线 x+y＝n上”对应的随机变量为 X，P（X ＝n）＝Pn，X的数学期望和方差分别为 E（X），V（X），则（ ） A．P4＝2P2 B． C．E（X）＝4 D． 12．已知抛物线 C：y2＝4x，其焦点为 F，P为直线 x＝﹣2 上任意一点，过 P作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，斜率分别为 k1，k2，则（ ） A． B．|k1﹣k2|＝2 C．AB过定点（2，0） D．AF•BF的最小值为 8 三、填空题（共 4小题） 13．已知正三角形 ABC的边长为 3， ， ，则 ＝ ． 14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则 a0+a3＝ ． 15．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则 ac的最大值为 ；实数λ满足 ，则λ取值范围为 ． 16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月 之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…， 生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道 一老年公寓共有 20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位 百岁老人（均不到 110岁），他们的年龄相差一岁；其余 18位老人的年龄也恰好依次相 差一岁，则 20位老人中年龄最小的岁数为 ． 四、解答题（共 6小题，总分 70分） 17．已知锐角三角形 ABC的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，b＝2，c＝3，三 角形 ABC的面积为 ． （1）求 BC边上的高； （2）求 sin（A﹣C）． 18．数列{an}的前 n项的和为 Sn，a1＝1， ． （1）证明数列{an}是等比数列，并求通项 an； （2）若等差数列{bn}的各项均为正数，且 ，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列， 求数列{anbn}的前 n项和 Tn． 19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为 2正三角形，侧面 ACC1A1是菱 形，且平面 ACC1A1⊥平面 ABC，E，F分别是棱 A1C1，BC的中点， ． （1）证明：EF∥平面 ABB1A1； （2）若①三棱锥 C1﹣ABC的体积为 1；②C1C与底面所成的角为 60°；③异面直线 BB1 与 AE所成的角为 30°． 请选择一个条件求平面 EFG与平面 ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值． 20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20名同学的胸围 x（cm） 与肺活量 y（mL）的样本，计算平均值 ， ，并求出线性回归方程为 ． 高一男生胸围与肺活量样本统计表 胸围 70 75 80 85 82 73 77 73 85 72 肺活 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 3800 4400 3500 量 胸围 70 83 78 91 81 74 91 76 104 90 肺活 量 3600 4500 3700 4100 4700 3700 4600 4000 4700 3700 （1）求 a的值； （2）求样本 y与 x的相关系数 r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无 99%把握认 为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到 0.001）； （3）将肺活量不低于 4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生 大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取 4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率． （参考公式及数据： ， ， ， ．） 附：相关性检验的临界值表 n﹣2 检验水平 0.05 0.01 16 0.468 0.590 17 0.456 0.575 18 0.444 0.561 19 0.433 0.549 20 0.423 0.537 21．已知椭圆 E： ＝1（a＞b＞0），点（1，e）和 都在椭圆 E上，其 中 e为椭圆 E的离心率． （1）求椭圆 E的方程； （2）设椭圆 E的左、右顶点分别为 A，B，过点 Q（﹣2，2）的直线 l与椭圆 E分别交 于点 M，N，直线 OQ与 BM交于点 T，试问：直线 AT与 BN是否一定平行？请说明理 由． 22．已知函数 f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx． （1）当 时，求 y＝f（x）零点的个数； （2）当 x∈[0，2π]时，求 y＝f（x）极值点的个数． 参考答案 一、单项选择题（共 8小题）. 1．已知 a为正实数，复数 1+ai（i为虚数单位）的模为 2，则 a的值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【分析】根据模的定义即可求出． 解：a为正实数，复数 1+ai（i为虚数单位）的模为 2， 则 1+a2＝4， 解得 a＝ ， 故选：A． 2．已知集合 M＝{1，2}，集合 N满足 M∪N＝{0，1，2}，则集合 N的个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．7 【分析】根据题意可看出 N一定含元素 0，可能含元素 1，2，从而可得出集合 N的个数． 解：∵M＝{1，2}，M∪N＝{0，1，2}， ∴N一定含元素 0，可能含元素 1，2， ∴集合 N的个数为：22＝4． 故选：B． 3．已知 ，b＝log25，c＝log37，则 a，b，c的大小顺序是（ ） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【 分 析 】 根 据 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 ，然后即可得出 a，b，c的大小顺序． 解：∵ ，log25＞log24＝2，1＝log33＜log37＜log39＝2， ∴b＞c＞a． 故选：D． 4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（ ） A．30 B．60 C．120 D．240 【分析】根据题意，先计算“5人排成一排”的排法数目，又由其中“甲排在乙左边”与 “甲排在乙右边”的数目是一样的，分析可得答案． 解：根据题意，将 5人排成一排，有 A55＝120种排法， 其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的， 则甲排在乙左边的排法有 ×120＝60种， 故选：B． 5．在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，双曲线 的右焦点为 F，则以 F为 圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（ ） A．x2+y2+4x+1＝0 B．x2+y2+4x+3＝0 C．x2+y2﹣4x﹣1＝0 D．x2+y2﹣4x+1＝0 【分析】求得双曲线的 a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式 可得圆的半径，即有圆的标准方程，化为一般式方程可得结论． 解：双曲线 的 a＝1，b＝ ，c＝ ＝2， 则 F（2，0），双曲线的渐近线方程为 x±y＝0， 由题意可得 F到渐近线的距离为 d＝ ＝ ， 即有圆 F的半径为 ，圆心为（2，0）， 则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝3， 化为 x2+y2﹣4x+1＝0， 故选：D． 6．正三棱锥 S﹣ABC中，SA＝2， ，则该棱锥外接球的表面积为（ ） A． B．4π C．12π D．6π 【分析】首先判断 SA，SB，SC两两垂直，再将三棱锥补为正方体，运用正方体的对角 线即为其外接球的直径，求得半径，再由球的表面积公式可得所求值． 解：由正三棱锥 S﹣ABC中，SA＝2， ， 且 22+22＝（2 ）2，可得 SA，SB，SC两两垂直， 以 SA，SB，SC为正方体的三条相邻的棱，将正四棱锥扩展为正方体， 可得正方体的对角线即为该棱锥外接球的直径， 设球的半径为 R，可得 2R＝2 ，即 R＝ ， 可得球的表面积为 S＝4πR2＝12π， 故选：C． 7．将函数 的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以 得到如图所示的图象（ ） A． B． C． D． 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可 得函数的解析式．再利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 解：根据 函数的图象可得 A＝1.5﹣1＝0.5， ＝4﹣0，ω＝ ， 结合五点法作图，φ＝0，故所给的图为 y＝ sin（ x）+1的图象， 故将函数 的图象向右平移 个单位后， 再进行周期变换可以得到如图所示的图象， 故选：B． 8．函数 y＝tan2x﹣2tanx 的最大值为（ ） A． B．3 C．0 D．﹣3 【分析】利用二倍角公式化简函数 y＝tan2x﹣2tanx，再利用换元法求出分母的最小值， 即可求出 y的最大值． 解：当 ＜x＜ 时，tanx＞1， 函数 y＝tan2x﹣2tanx＝ ﹣2tanx＝ ＝ ， 设 t＝ ，t∈（0，1）； 则 f（t）＝t3﹣t， 所以 f′（t）＝3t2﹣1； 令 f′（t）＝0，解得 t＝ ； 当 t∈（0， ）时，f′（t）＜0，函数 f（t）单调递减； 当 t∈（ ，1）时，f′（t）＞0，函数 f（t）单调递增； 所以 t＝ 时，f（t）取得最小值为 f（ ）＝ ﹣ ＝﹣ ， 所以 y的最大值为 ＝﹣3 ． 故选：A． 二、多项选择题（共 4小题，每小题有多个选项符合要求，每小题 5分） 9．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，若 E，F分别为 B1B，B1C1的中点，则（ ） A．直线 A1E∥平面 ACD1 B．直线 B1D⊥平面 ACD1 C．平面 A1EF∥平面 ACD1 D．平面 A1B1CD⊥平面 ACD1 【分析】利用反证法思想说明 A与 C错误；证明直线与平面垂直判断 B；再由平面与平 面垂直的判定判断 D． 解：如图， 取 CC1 的中点 G，连接 D1G，EG，可证 A1D1＝EG，A1D1∥EG， 得四边形 A1EGD1 为平行四边形，则 A1E∥D1G， 若直线 A1E∥平面 ACD1，则 D1G∥平面 ACD1或 D1G⊂平面 ACD1，与 D1G∩平面 ACD1 ＝D1矛盾， 故 A错误； 由正方体的结构特征可得 A1B1⊥平面 AA1D1D，则 A1B1⊥AD1， 又 AD1⊥A1D，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面 DA1B1，得 AD1⊥B1D， 同理可证 AC⊥B1D，又 AD1∩AC＝A，∴直线 B1D⊥平面 ACD1，故 B正确； 而 B1D⊂平面 A1B1CD，∴平面 A1B1CD⊥平面 ACD1，故 D正确； 连接 A1C1，A1B，BC1，由 A1A∥C1C，A1A＝C1C，可得四边形 AA1C1C为平行四边形， 则 A1C1∥AC，∵A1C1⊂平面 A1BC1，AC⊄平面 A1BC1，∴AC∥平面 A1BC1， 同理 AD1∥平面 A1BC1，又 AC∩AD1＝A，∴平面 A1BC1∥平面 ACD1， 若平面 A1EF∥平面 ACD1，则平面 A1EF与平面 A1BC1 重合，则 EF⊂平面 A1BC1， 与 EF∥平面 A1BC1矛盾，故 C错误． 故选：BD． 10．下列关于函数的描述正确的是（ ） A．函数 y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是 f（0）＝0 B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么， “两面派”函数一定有无数个 C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数 D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数 【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，函数 y＝f（x）是奇函数，若其定义域步包含 0，f（0）＝0一定不成立，反之若 f（0）＝0，即函数图象过原点，函数 f（x）不一定为奇函数， 故 f（0）＝0是函数 y＝f（x）是奇函数的既不充分又不必要不充分条件，A错误； 对于 B，“两面派”函数既是奇函数又是偶函数，可以为 x轴关于原点对称的一部分， 其定义域有无数种情况，即两面派”函数一定有无数个，B正确； 对于 C，若 f（x）为奇函数且在其定义域内可导，函数 f（x）的图象关于原点对称，则 其图象任意一点的切线斜率必定关于 y轴对称，即其导函数必为偶函数，C正确； 对于 D，f（x）＝ ，其导数 f'（x）＝ ，是奇函数，但 f（x） 不是偶函数，D错误； 故选：BC． 11．已知 A＝B＝{1，2，3}，分别从集合 A，B中各随机取一个数 a，b，得到平面上一个点 P（a，b），事件“点 P（a，b）恰好落在直线 x+y＝n上”对应的随机变量为 X，P（X ＝n）＝Pn，X的数学期望和方差分别为 E（X），V（X），则（ ） A．P4＝2P2 B． C．E（X）＝4 D． 【分析】求出对应的点 P，从而求出对应的 X的可能取值为 2，3，4，5，6，推导出 P （X＝2）＝ ，P（X＝3）＝ ，P（X＝4）＝ ，P（X＝5）＝ ，P（X＝6）＝ ，由 此能求出结果． 解：由题意得对应的点 P有： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）， （3，3）， ∴对应的 X的可能取值为 2，3，4，5，6， P（X＝2）＝ ，P（X＝3）＝ ，P（X＝4）＝ ，P（X＝5）＝ ，P（X＝6）＝ ， 对于 A，p4＝P（X＝4）＝ ≠2P2＝ ，故 A错误； 对于 B，P（3≤X≤5）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝ ＝ ，故 B正确； 对于 C，E（X）＝ ＝4，故 C正确； 对于 D，V（X）＝（2﹣4）2× +（3﹣4）2× +（4﹣4）2× +（5﹣4）2× +（6﹣4） 2× ＝ ，故 D正确． 故选：BCD． 12．已知抛物线 C：y2＝4x，其焦点为 F，P为直线 x＝﹣2 上任意一点，过 P作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，斜率分别为 k1，k2，则（ ） A． B．|k1﹣k2|＝2 C．AB过定点（2，0） D．AF•BF的最小值为 8 【分析】设 P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则 y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线 的方程两边对 x求导，可得切线的斜率，切线的方程，联立两切线方程求得 P的横坐标， 可判断 A； 由切线的斜率相减，化简可判断 B；求得 AB的直线方程，结合恒过定点，可判断 C；由 抛物线的定义和基本不等式可判断 D． 解：由题意可得 F（1，0），抛物线的准线方程为 x＝﹣1， 设 P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 y12＝4x1，y22＝4x2， 对 y2＝4x两边对 x同时求导，可得 2yy′＝4，即 y′＝ ， 所以过 A的切线的方程为 x﹣x1＝＝ （y﹣y1），化为 x＝ y﹣ ①， 同理可得过 B的切线方程为 x＝ y﹣ ②， 由①②解得 x＝ ，由 P的横坐标为﹣2，即 ＝﹣2，则 y1y2＝﹣8，k1k2＝ ＝﹣ ，故 A正确； 因为|k1﹣k2|＝| |＝| |不为定值，故 B错误； 因为 AB的直线方程为 y﹣y1＝ （x﹣ ），即 y＝y1+ x﹣ ， 即 y＝ （x﹣2），所以 AB恒过定点（2，0），故 C正确； 将|AF|，|BF|转化为到准线的距离，即|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝ +1+（ + ） ＝5+（ + ）≥5+2 ＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号， 所以|AF|•|BF|的最小值为 9，故 D错误． 故选：AC． 三、填空题（共 4小题，每小题 5分） 13．已知正三角形 ABC的边长为 3， ， ，则 ＝ ﹣ ． 【分析】利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求 解即可． 解：正三角形 ABC的边长为 3， ， ， 可得 ＝ ， ＝ ， 则 ＝（ ）•（ ） ＝ ﹣ + • ＝ ﹣ + ﹣ ＝﹣ ． 故答案为：﹣ ． 14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则 a0+a3＝ ﹣39 ． 【分析】把（1﹣2x）5按照二项式定理展开，可得 a0和 a3的值，从而得到 a0+a3的值． 解：∵（1﹣2x）5（1+x）＝（1﹣10x+40x2﹣80x3+80x4﹣32x5）•（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+… +a6x6， 则 a0+a3＝1+（﹣80+40）＝﹣39， 故答案为：﹣39． 15．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则 ac的最大值为 ；实数λ满足 ，则λ取值范围为 [2 ，+∞） ． 【分析】题意可知 a+b+c＝1（ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0），△＝b2﹣ 4ac＝ 0，所以 ，进而得到 ，再利用基本不等式即可求出 ac的最大值， 由已知条件可得λ＝2 + ﹣2， 利用基本不等式结合 0＜a＜1，即可求出λ取值范围． 解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1）， ∴a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0）， ∵开口向上且值域为[0，+∞）， ∴△＝b2﹣4ac＝0， ∴b＝2 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴1＝ ，即 ，当且仅当 a＝c＝ 时，等号成立， ∴ ，即 ac ，当且仅当 a＝c＝ 时，等号成立， ∴ac的最大值为 （当且仅当 a＝c＝ 时最大）， ∵ ＝1﹣b＝a+c＝a+（1﹣ ）2＝2a﹣2 +1， ∴λ＝2 ﹣2+ ＝2 + ﹣2， ∵a+c＝2a﹣2 +1＝1﹣b＜1，即 2a﹣2 ＜0， ∴a﹣ ＜0， ∴a﹣ ＝ ＜0，∴0 ， ∴0＜a＜1， ∴ ＝2 ，当且仅当 即 a＝ 时，等号成立， 又∵a→0时， →+∞， ∴λ∈[2 ，+∞）， 故答案为： ，[2 ，+∞）． 16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月 之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…， 生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道 一老年公寓共有 20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位 百岁老人（均不到 110岁），他们的年龄相差一岁；其余 18位老人的年龄也恰好依次相 差一岁，则 20位老人中年龄最小的岁数为 77 ． 【分析】设最小者年龄为 n，年龄最大的两位老人年龄为 m，m﹣1，由题意可知 n+（n+1） +……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，得到 m＝798﹣9n，再根据 100＜m＜110求出 n的取 值范围，进而得到 n的值． 解：由题意可知，20位老人的年龄之和为 1748， 设最小者年龄为 n，年龄最大的两位老人年龄为 m，m﹣1， 则有 n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748， 整理得：m＝798﹣9n， ∴100＜798﹣9n＜110， ∴76.4＜n＜77.5， ∴n＝77， 即 20位老人中年龄最小的岁数为 77岁． 故答案为：77． 四、解答题（共 6小题，总分 70分） 17．已知锐角三角形 ABC的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，b＝2，c＝3，三 角形 ABC的面积为 ． （1）求 BC边上的高； （2）求 sin（A﹣C）． 【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求 sinA的值，结合 A为锐角，可得 A＝ ， 由余弦定理可得 a的值，根据三角形的面积公式即可求解 BC边上的高． （2）由余弦定理可求 cosC的值，根据同角三角函数基本关系式可求 sinC的值，根据两 角差的正弦公式即可求解 sin（A﹣C）的值． 解：（1）因为 b＝2，c＝3，三角形 ABC的面积为 ＝ bcsinA＝ sinA， 解得 sinA＝ ， 因为 A为锐角，可得 A＝ ， 由余弦定理可得 a＝ ＝ ＝ ， 设 BC边上的高为 h，则 ah＝ ×h＝ ， 解得 h＝ ． 即 BC边上的高为 ． （2）因为 cosC＝ ＝ ＝ ， 可得 sinC＝ ＝ ， sin（A﹣C）＝sinAcosC﹣cosAsinC＝ × ﹣ ＝﹣ ． 18．数列{an}的前 n项的和为 Sn，a1＝1， ． （1）证明数列{an}是等比数列，并求通项 an； （2）若等差数列{bn}的各项均为正数，且 ，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列， 求数列{anbn}的前 n项和 Tn． 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用已知条件求出数列 ，进一步利用乘公比错位相减法 的应用求出数列的和． 解：（1）数列{an}的前 n项的和为 Sn，a1＝1， ①， 当 n≥2时， ②， ①﹣②得： ， 整理得 an+1＝3an，即 （常数）， 所以数列{an}是以 a2＝3为首项，3为公比的等比数列． 所以 （首项符合通项）， 所以 ． （2）设公差为 d的等差数列{bn}的各项均为正数，且 ， 即 b1+b2+b3+b4＝24， 已知 a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列， 所以 ， 故 ，解得 或 （舍去）， 故 bn＝2n+1， 所以 ， 故 ①， ②， ①﹣②得：﹣2Tn＝3+2（3+9+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n ＝ ， 整理得： ． 19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为 2正三角形，侧面 ACC1A1是菱 形，且平面 ACC1A1⊥平面 ABC，E，F分别是棱 A1C1，BC的中点， ． （1）证明：EF∥平面 ABB1A1； （2）若①三棱锥 C1﹣ABC的体积为 1；②C1C与底面所成的角为 60°；③异面直线 BB1 与 AE所成的角为 30°． 请选择一个条件求平面 EFG与平面 ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值． 【分析】（1）取 A1B1的中点 M，连接 ME，MB，易证四边形 MEFB为平行四边形，从 而有 EF∥MB，故而得证； （2）过点 C1作 C1O⊥AC于 O，连接 OB，由平面 ACC1A1⊥平面 ABC，推出 C1O⊥平面 ABC．选择条件①：先求得 OC＝1，可证 OB⊥AC，故以 O为原点，OB、OC、OC1分 别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次得平面 ACC1A1和平面 EFG的法向量 与 ， 再由 cos＜ ， ＞＝ ，得解；选择条件②：易知∠C1CO＝60°，从而得 OC＝1，接下来同①；选择条件③：易知∠A1AE＝30°，从而有∠C1CO＝60°，接下 来同②中． 【解答】（1）证明：取 A1B1的中点 M，连接 ME，MB， 则 ME∥B1C1∥BF，ME＝ B1C1＝ BC＝BF， ∴四边形 MEFB为平行四边形， ∴EF∥MB， ∵EF⊄平面 ABB1A1，MB⊂平面 ABB1A1， ∴EF∥平面 ABB1A1． （2）解：过点 C1作 C1O⊥AC于 O，连接 OB， ∵平面 ACC1A1⊥平面 ABC，平面 ACC1A1∩平面 ABC＝AC， ∴C1O⊥平面 ABC， 选择条件①： 三棱锥 C1﹣ABC的体积 V＝ •C1O•S△ABC＝ •C1O• ×2× ＝1，∴C1O＝ ， 在 Rt△C1OC中，OC＝ ＝1， ∴点 O为 AC的中点，∴OB⊥AC， 故以 O为原点，OB、OC、OC1分别为 x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 B （ ，0，0），E（0，﹣1， ），F（ ， ，0），G（0， ， ）， ∴ ＝（ ， ，﹣ ）， ＝（0， ， ）， ∵OB⊥AC，平面 ABC∩平面 ACC1A1＝AC，OB⊂平面 ABC， ∴OB⊥平面 ACC1A1， ∴平面 ACC1A1的一个法向量为 ＝（ ，0，0）， 设平面 EFG的法向量为 ＝（x，y，z），则 ，即 ， 令 y＝1，则 x＝ ，z＝ ，∴ ＝（ ，1， ）， ∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 故平面 EFG与平面 ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值为 ． 选择条件②： ∵C1C与底面所成的角为 60°，∴∠C1CO＝60°，∴OC＝1， ∴点 O为 AC的中点，∴OB⊥AC， 下面的过程同条件①中的步骤． 选择条件③： ∵BB1∥AA1， ∴∠A1AE即为异面直线 BB1与 AE所成的角，即∠A1AE＝30°， ∵AA1＝2，A1E＝1， ∴∠AA1E＝60°，即∠C1CO＝60°， 下面的过程同条件②中的步骤． 20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20名同学的胸围 x（cm） 与肺活量 y（mL）的样本，计算平均值 ， ，并求出线性回归方程为 ． 高一男生胸围与肺活量样本统计表 胸围 70 75 80 85 82 73 77 73 85 72 肺活 量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 3800 4400 3500 胸围 70 83 78 91 81 74 91 76 104 90 肺活 量 3600 4500 3700 4100 4700 3700 4600 4000 4700 3700 （1）求 a的值； （2）求样本 y与 x的相关系数 r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无 99%把握认 为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到 0.001）； （3）将肺活量不低于 4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生 大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取 4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率． （参考公式及数据： ， ， ， ．） 附：相关性检验的临界值表 n﹣2 检验水平 0.05 0.01 16 0.468 0.590 17 0.456 0.575 18 0.444 0.561 19 0.433 0.549 20 0.423 0.537 【分析】（1）把样本点的中心坐标代入线性回归方程，即可求得 值； （2）由已知数据及相关系数公式求得 r值，结合临界值表得结论； （3）求出全校高一男生大肺活量的概率，再由二项分布的概率计算公式求解． 解：（1）由已知可得 ， ＝4030， 则样本点的中心的坐标为（80，4030），代入 ， 得 4030＝32.26×80.5+a，即 a＝1433.07； （2）假设 H0：变量 x，y不具有线性相关关系， 由参考公式 ， ， 得 r＝ ＝ ， 由相关性检验临界值表知，r0.01＝0.561，而 0.601＞0.561， ∴有 99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的； （3）从统计表中可知，20个样本中不低于 4500ml的有 5个， ∴全校高一男生大肺活量的概率为 ， 设从本校高一年级任意抽取 4名男同学恰有 2名男生是大肺活量的概率为 p， 则 p＝ ． 故从本校高一年级任意抽取 4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率是 ． 21．已知椭圆 E： ＝1（a＞b＞0），点（1，e）和 都在椭圆 E上，其 中 e为椭圆 E的离心率． （1）求椭圆 E的方程； （2）设椭圆 E的左、右顶点分别为 A，B，过点 Q（﹣2，2）的直线 l与椭圆 E分别交 于点 M，N，直线 OQ与 BM交于点 T，试问：直线 AT与 BN是否一定平行？请说明理 由． 【分析】（1）根据题意可得 ，解得 a2，b2，即可得椭圆 E的方程． （2）根据题意设直线 l的方程为 x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直 线 l的方程与椭圆的方程，消去 x，可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，结合韦达 定理得 y1+y2，y1y2，写出直线 BM 方程与 OQ 的方程，联立解得 T（ ，﹣ ），记直线 AT，BN的斜率分别为 k1，k2，再作差 k2﹣k1＝0，即可得证． 解：（1）将（1，e）和 代入椭圆 E方程得： ，解得 a2＝4，b2＝1， 所以椭圆 E的方程为 ＝1． （2）AT∥BN． 理由如下：依题意，A（﹣2，0），B（2，0），直线 l不与 x轴平行， 设直线 l的方程为 x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程组 ，消去 x可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0， 所以△＞0，且 y1+y2＝ ，y1y2＝ ， 直线 BM的方程为 y＝ （x﹣2）， 直线 OQ的方程为 y＝﹣x， 联立方程组 ，解得 ， 即 T（ ，﹣ ）， 记直线 AT，BN的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝ ＝﹣ ，k2＝ ， 所以 k2﹣k1＝ + ＝ ， 由于 x1y2+x2y1+2y1y2﹣2（y1+y2） ＝[ty1﹣2（t+1）]y2+[ty2﹣2（t+1）]y1+2y1y2﹣2（y1+y2） ＝2（t+1）y1y2﹣2（t+2）（y1+y2） ＝2（t+1）× ﹣2（t+2）× ＝0， 所以 k1＝k2， 所以 AT∥BN． 22．已知函数 f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx． （1）当 时，求 y＝f（x）零点的个数； （2）当 x∈[0，2π]时，求 y＝f（x）极值点的个数． 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的零点个数即可； （2）求出函数的导数，通过讨论 x的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值 点的个数． 解：（1）由题意 f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx， ， f′（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx， 由于 ≤x≤π，cosx≤0，又 sinx≤1， ∴f′（x）≥0，f（x）在[ ，π]上单调递增， ∵f（ ）＝﹣3＜0，f（π）＝π﹣1＞0， ∴函数 f（x）在[ ，π]上有唯一零点； （2）由题意 f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx，x∈[0，2π]， 则 f′（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx， 令 h（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx，h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx， ①当 0≤x≤ 时，∵cosx≥ ，1﹣2cosx＜1﹣2× ＝1﹣ ＜0， ∴f′（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx＝（1﹣2cosx）﹣sinx﹣xcosx＜0， ∴函数 f（x）在[0， ]上无极值点， ②当 ＜x＜π时，h（ ）＝0， 当 ＜x＜π时，∵cosx＜0，∴h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx＞0， ∴h（x）在[ ，π]上递增，h（x）＞h（ ）＝0，即 f′（x）＞0， 当 ＜x＜ 时，sinx＞cosx， ∴h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx＝2（sinx﹣cosx）+xsinx＞0， ∴h（x）在（ ， ）递增，h（x）＜h（ ）＝0即 f′（x）＜0， ∴ 是 f（x）在（ ，π）上的极小值点， ③当π＜x≤ 时，sinx＜0，cosx≤0，则 f′（x）＞0，f（x）无极值点， ④当 ＜x≤2π时，cosx＞0，sinx＜0， ∴h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx＜0， ∴h（x）在（ ，2π）上递减，且 h（ ）＝2＞0，h（2π）＝﹣2π﹣1＜0， ∴h（x）在（ ，2π）上有唯一零点 x2， 当 ＜x＜x2时，f′（x）＞0，当 x2＜x＜2π时，f′（x）＜0， 故 x＝x2是函数 f（x）的一个极大值点， 综上，函数 f（x）存在 2个极值点．