2013届人教A版文科数学课时试题及解析（53）直线与圆锥曲线的位置关系A

2013届人教A版文科数学课时试题及解析（53）直线与圆锥曲线的位置关系A

课时作业(五十三)A　[第53讲　直线与圆锥曲线的位置关系]‎ ‎ [时间：45分钟　分值：100分]‎ ‎1．过点P(－1,0)的直线l与抛物线y2＝5x相切，则直线l的斜率为(　　)‎ A．± B．± C．± D．± ‎2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．1或2 D．0‎ ‎3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则双曲线的离心率是(　　)‎ A. B．‎2 C. D. ‎4．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．‎ ‎5．直线y＝x＋m与抛物线x2＝2y相切，则m＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D. ‎6．“≤a”是“曲线Ax＋By＋C＝0与＋＝1(a>b>0)有公共点”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎7．抛物线x2＝16y的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积是(　　)‎ A．16 B．‎8 C．4 D．2 ‎8．椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B.－‎1 C. D.－1‎ ‎9． 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)‎ A．2 B．‎2 C．4 D．4 ‎10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(p,0)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于M、N两点，l1的斜率为k，某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为，则弦MN的中点坐标为________．‎ ‎11．若直线y＝(a＋1)x－1与y2＝ax恰有一个公共点，则a＝________.‎ ‎12． 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．‎ ‎13． 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.‎ ‎14．(10分) 已知动圆P过点F且与直线y＝－相切．‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．‎ ‎15．(13分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4.‎ ‎(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆焦点坐标；‎ ‎(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．‎ ‎16．(12分)已知圆C1的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．‎ 课时作业(五十三)A ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] 显然斜率存在不为0，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入抛物线方程消去x得ky2－5y＋5k＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k2＝0，得k＝±.故选C.‎ ‎2．A　[解析] 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.‎ ‎3．C　[解析] 设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′＝2x0，依题意有＝2x0.又y0＝x＋1，解得x0＝±1，所以＝2x0＝2，b＝‎2a，所以e＝＝.故选C.‎ ‎4．m<且m≠0　[解析] 首先m≠0，m≠1，根据已知，m2<(m－1)2，即m2－(m2－‎2m＋1)<0，‎ 解得m<.所以实数m的取值范围是m<且m≠0.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．A　[解析] 将直线方程代入抛物线方程，得x2－2x－‎2m＝0，由Δ＝4＋‎8m＝0，得m＝－.故选A.‎ ‎6．B　[解析] 如果两曲线有公共点，可得椭圆中心到直线的距离d＝≤a；反之不一定成立．故选B.‎ ‎7．A　[解析] 抛物线的准线为y＝－4，双曲线的两条渐近线为y＝±x，这两条直线与y＝－4的交点是A(－4，－4)，B(4，－4)，故围成三角形的面积为 S＝|AB|×4＝×8×4＝16.故选A.‎ ‎8．D　[解析] 依题意直线y＝2x与椭圆的一个交点坐标为(c,‎2c)，所以＋＝1，消去b整理得a2－‎2ac－c2＝0，所以e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±.又e∈(0,1)，所以e＝－1.故选D.‎ ‎9．B　[解析] 双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－＝－2，即p＝4.又∵＋a＝4，∴a＝2，将(－2，－1)代入y＝x得b＝1，　‎ ‎∴c＝＝＝，∴‎2c＝2.‎ ‎10．(k2p＋p，－kp)　[解析] 因为两直线互相垂直，所以直线l2的斜率为－，只需将弦PQ中点坐标中的k替换为－，就可以得到弦MN的中点坐标，于是得弦MN的中点坐标为(k2p＋p，－kp)．‎ ‎11．0或－1或－　[解析] 由得(a＋1)y2－ay－a＝0.当a≠－1时，令Δ＝a2＋‎4a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－；当a＝－1时，方程仅有一个根y＝－1，符合要求．所以a＝0或－1或－.‎ ‎12.－＝1　[解析] 椭圆方程为＋＝1，则c2＝a2－b2＝7，即c＝，又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍，所以双曲线的离心率为e＝，又c＝，所以a＝2，所以b2＝c2－a2＝7－4＝3，所以双曲线方程为－＝1.‎ ‎13．2　[解析] 抛物线的准线方程为x＝－，过点M的直线方程为y＝(x－1)，所以交点A.因为＝，所以点M是线段AB的中点，由中点公式得B.又点B在抛物线上，于是32＝2p×，即p2＋4p－12＝0，解得p＝－6(舍去)或p＝2.‎ ‎14．[解答] (1)由已知，点P到点F的距离等于到直线y＝－的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C为抛物线，其方程为x2＝y.‎ ‎(2)证明：设A(x1，x)，B(x2，x)．‎ ‎∵y＝x2，∴y′＝2x，‎ ‎∴AN，BN的斜率分别为2x1,2x2，‎ 故AN的方程为y－x＝2x1(x－x1)，‎ BN的方程为y－x＝2x2(x－x2)，‎ 即 两式相减，得xN＝.‎ 又xM＝，‎ 所以M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴．‎ ‎15．[解答] (1)由b＝得b＝，‎ ‎∴又‎2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2，‎ c2＝a2－b2＝2，‎ ‎∴两个焦点坐标为(，0)，(－，0)．‎ ‎(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，‎ 不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，‎ M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，故有＋＝1，＋＝1，两式相减得：＝－.‎ 由题意它们的斜率存在，则kPM＝，kPN＝，‎ kPM·kPN＝·＝＝－，‎ 则－＝－，由a＝2得b＝1，‎ 故所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] 由e＝，得＝，得a2＝‎2c2，b2＝c2.‎ 设椭圆C2方程为＋＝1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由圆心为(2,1)，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.‎ 又＋＝1，＋＝1，‎ 两式相减，得＋＝0.‎ 所以＝－＝－1，‎ 所以直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，‎ 即x＋y－3＝0.‎ 将上述方程代入＋＝1，‎ 得3x2－12x＋18－2b2＝0，(*)‎ 又直线AB与椭圆C2相交，所以Δ＝24b2－72>0.‎ 且x1，x2是方程(*)的两根，‎ 所以x1＋x2＝4，x1x2＝6－.‎ 由|AB|＝|x1－x2|＝ ‎＝2×，‎ 得×＝2×.‎ 解得b2＝8，故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎ ‎