高考数学专题复习练习第十一章 第五节 古典概型[理]

高考数学专题复习练习第十一章 第五节 古典概型[理]

第十一章 第五节 古典概型[理] 课下练兵场 命 题 报 告 　　　　难度及题号 知识点　　 容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 简单的古典概型问题 1、2、5 7、8、9、10 复杂事件的古典概型问题 3 4、6 11、12 一、选择题 1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准 时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的 是 (　　) A．一定不会淋雨　　　　　　 B．淋雨的可能性为3 4 C．淋雨的可能性为1 2 D．淋雨的可能性为1 4 解析：基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未 到”4 种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为1 4. 答案：D 2．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿 3 块分别写有“20”，“08”和“北 京”的字块，如果婴儿能够排成“2008 北京”或者“北京 2008”，则他们就给婴儿奖 励. 假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是 (　　) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 解析：“20”，“08”，“北京”三字块的排法共有“2008 北京”、“20 北京 08”、“0820 北京”、“08 北京 20”、“北京 2008”、“北京 0820”6 种情况，而得到奖励的情况有 2 种，故婴儿能得到奖励的概率为2 6＝1 3. 答案：C 3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＞ 3 2 的概率是 (　　) A. 1 18 B. 5 36 C.1 6 D.1 3 解析：e＝ 1－b2 a2＞ 3 2 ⇒b a＜1 2⇒a＞2b，符合 a＞2b 的情况有：当 b＝1 时，有 a＝ 3,4,5,6 四种情况；当 b＝2 时，有 a＝5,6 两种情况，总共有 6 种情况．则概率为 6 6 × 6＝ 1 6. 答案：C 4．连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 a＝(m，n)与向量 b＝(1，－1)的夹角 为 θ，则 θ∈(0，π 2]的概率是 (　　) A. 5 12 B.1 2 C. 7 12 D.5 6 解析：cosθ＝ m－n m2＋n2· 2 ， ∵θ∈(0，π 2]，∴m≥n. 满足条件 m＝n 的概率为 6 36＝1 6， m＞n 的概率为1 2×5 6＝ 5 12. ∴θ∈(0，π 2]的概率为1 6＋ 5 12＝ 7 12. 答案：C 5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6)，骰子 朝上的面的点数分别为 X、Y，则 log2XY＝1 的概率为 (　　) A.1 6 B. 5 36 C. 1 12 D.1 2 解析：由 log2XY＝1 得 Y＝2X，满足条件的 X、Y 有 3 对，而骰子朝上的点数 X、Y 共 有 6×6＝36 对， ∴概率为 3 36＝ 1 12. 答案：C 6．[理]电子钟一天显示的时间是从 00∶00 到 23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一 天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 (　　) A. 1 180 B. 1 288 C. 1 360 D. 1 480 解析：电子钟显示时刻可设为 AB∶CD， 其中 A＝0,1,2，B＝0,1,2,3，…，9，C＝0,1,2,3，…，5，D＝0,1,2,3，…，9. (1)当 A＝0 时，B，C，D 可分别为 9、5、9 一种情况； (2)当 A＝1 时，B，C，D 可分别为 9、4、9 或 9、5、8 或 8、5、9 三种情况； (3)当 A＝2 时，不存在．∴符合题意的只有 4 种， 显示的所有数字和数为： A＝0 时，10×6×10＝600； A＝1 时，10×6×10＝600； A＝2 时，4×6×10＝240. ∴P＝ 4 1 440＝ 1 360. 答案：C [文]已知一组抛物线 y＝1 2ax2＋bx＋1，其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数，b 为 1,3,5,7 中 任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x＝1 交点处的切线互相 平行的概率是 (　　) A. 1 12 B. 7 60 C. 6 25 D. 5 16 解析：抛物线只有 4×4＝16(条)，从中任取两条有 120(种)不同取法，∵y′＝ax＋b 在 x＝1 处的斜率为 a＋b.故符合 a＋b＝3，只有 0 对，a＋b＝5 共有 1 对，a＋b＝7 有 3 对， a＋b＝9 有 6 对，a＋b＝11 有 3 对，a＋b＝13 只有 1 对，∴共有 14 对，P＝ 14 120＝ 7 60. 答案：B 二、填空题 7．在 5 个数字 1、2、3、4、5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概 率是________(结果用数值表示)． 答案： 3 10 8．假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生，并且这 50 名学生早上到校先后的 可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为__________． 解析：将 3 人排序共包含 6 个基本事件， 由古典概型得 P＝1 6. 答案：1 6 9．任取一个三位正整数 N，则对数 log2N 是一个正整数的概率是__________． 解析：∵26＝64,27＝128,28＝256,29＝512,210＝1 024， ∴满足条件的正整数只有 27,28,29 三个， ∴所求的概率 P＝ 3 900＝ 1 300. 答案： 1 300 三、解答题 10．[理]某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，两道自然科学类题， 三道社科类题中任选两道回答，且该生答对每一道数学、自然科学、社科类试题的概 率依次为 0.6、0.7、0.8. (1)求该考生恰好抽到两道社科类试题的概率； (2)求该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率． 解：(1)P＝C23 C26＝ 3 15＝1 5. (2)该考生抽到一道数学题，一道自然科学类题的概率为 P1＝C12 C26＝ 2 15； 该考生抽到一道数学题，一道社科类试题的概率为 P2＝C13 C26＝ 3 15； 该考生抽到一道自然科学类题，一道社科类试题的概率为 P3＝C12·C13 C26 ＝ 6 15. 故该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率为 P＝ 2 15×0.6×0.7＋ 3 15 ×0.6×0.8＋ 6 15×0.7×0.8＝0.376. [文]为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某 校 6 名学生进行问卷调查，6 人得分情况如下： 5,6,7,8,9,10. 把这 6 名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数； (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本．求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率． 解：(1)总体平均数为 1 6(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”．从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结 果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)， (7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共 15 个基本结果．事件 A 包括的基本结果有：(5,9)， (5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有 7 个基本结果． 所以所求的概率为 P(A)＝ 7 15. 11．(2010·银川模拟)把一颗骰子投掷 2 次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a， 第二次出现的点数为 b，试就方程组Error!解答下列各题： (1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率． 解：事件(a，b)的基本事件有 36 个． 由方程组Error!可得Error! (1)方程组只有一个解，需满足 2a－b≠0， 即 b≠2a，而 b＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共 3 个，所以方程组只有一个解的概率 为 P1＝1－ 3 36＝11 12. (2)方程组只有正数解，需 2a－b≠0 且 Error!即 Error!或 Error! 其包含的事件有 13 个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)， (6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)． 因此所求的概率为13 36. 12．已知关于 x 的一元二次函数 f(x)＝ax 2 －bx＋1，设集合 P＝{1，2,3}，Q＝{－ 1,1,2,3,4，}，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b. (1)求函数 y＝f(x)有零点的概率； (2)求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 解：(a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4),15 种情况． (1)若函数 y＝f(x)有零点，则需 Δ＝b2－4a≥0. 有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4),6 种情况， 所以函数 y＝f(x)有零点的概率为 6 15＝2 5. (2)若函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，需对称轴 x＝ b 2a≤1. 有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，(3,4),13 种情况． 所以函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为13 15.