2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第四章第三讲　三角函数的图象与性质

2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第四章第三讲　三角函数的图象与性质

第三讲　三角函数的图象与性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[改编题]下列说法正确的是 (　　) A.正切函数 y=tan x 在定义域上是增函数 B.已知 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1 C.将函数 y=sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,得到函数 y=sin(ωx - φ)的图象 D.y=sin|x|是偶函数 2.[2020 惠州市一调]将函数 y=sin x 的图象向左平移π 2个单位长度,得到函数 y=f (x)的图象,则下 列说法正确的是 (　　) A.y=f (x)是奇函数 B.y=f (x)的最小正周期为 π C.y=f (x)的图象关于直线 x=π 2对称 D.y=f (x)的图象关于点( - π 2,0)对称 3.[2019 全国卷Ⅱ,8,5 分][文]若 x 1=π 4,x2=3π 4 是函数 f (x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则 ω= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.2 B.3 2 C.1 D.1 2 4.[2019全国卷Ⅱ,9,5分]下列函数中,以π 2为周期且在区间(π 4,π 2)上单调递增的是(　　) A.f (x)=|cos 2x| B.f (x)=|sin 2x| C.f (x)=cos|x| D.f (x)=sin|x| 5.[2016 全国卷Ⅱ,3,5 分][文]函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图 4 - 3 - 1 所示,则 (　　) A.y=2sin(2x - π 6) B.y=2sin(2x - π 3) C.y=2sin(x+π 6) D.y=2sin(x+π 3) 6.[2019 天津,7,5 分][文]已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且 f (x)的最小正 周期为 π,将 y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的 函数为 g(x).若 g(π 4)= 2,则 f (3π 8 )= (　　) A. - 2 B. - 2 C. 2D.2 7.[2019 北京,9,5 分]函数 f (x)=sin22x 的最小正周期是　　　　. 8.[2018 北京,11,5 分]设函数 f (x)=cos(ωx - π 6)(ω>0).若 f (x)≤f (π 4)对任意的实数 x 都成立,则 ω 的最小值为　　　　. 考法 1 三角函数的图象变换及其应用 1(1)要得到函数 y=sin(5x - π 4)的图象,只需将函数 y=cos 5x 的图象　　　　　　　　　　　　　　　　 A.向左平移3π 20个单位长度 　B.向右平移3π 20个单位长度 C.向左平移3π 4 个单位长度 　D.向右平移3π 4 个单位长度 (2)如图 4 - 3 - 2 所示的是函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π 2)在区间[ - π 6,5π 6 ] 上的图象, 若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半( 纵坐标不 变), 再向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于直线 x=5π 12对称, 则 m 的最小值为 A.7π 6 B.π 6 C.π 8 D.7π 24 (1)函数 y=cos 5x=sin(5x+π 2)=sin 5(x+ π 10), ....................................(将变换前后的两个函数名化为同名) y=sin(5x - π 4)=sin 5(x - π 20),设平移|φ|个单位长度,则 π 10+φ= - π 20,..................................(方程思想) 解得 φ= - 3π 20,故把函数 y=cos 5x 的图象向右平移3π 20个单位长度,可得函数 y=sin(5x - π 4)的图象. (2)解法一　(直接法)由函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π 2)的部分图象, 可得周期 T=2π 휔 = 5π 6 - ( - π 6)=π,所以 ω=2. 又点( - π 6,0)在函数 f (x)的图象上,所以 sin[2×( - π 6)+φ]=0,所以 φ - π 3=2kπ(k∈Z),所以 φ= π 3 +2kπ(k∈Z), 又 0<φ<π 2,所以 k=0,φ=π 3. 故函数 f (x)的解析式为 f (x)=sin(2x+π 3)..............................................................................(由图定式) 把 f (x)=sin(2x+π 3)的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移 m(m>0) 个单位长度后,得到 g(x)=sin(4x - 4m+π 3)的图象,..............................................(依据变换规律求解析式) 因为所得图象关于直线 x=5π 12对称,所以 4×5π 12 - 4m+π 3 = π 2+kπ(k∈Z),解得 m=3 8π - 1 4kπ,k∈Z,(依据 对称轴列方程求 m) 所以由 m>0,可得当 k=1 时,m 取得最小值,且最小值为π 8. .............................................(范围定最值) 解法二　(特征值法)由函数图象可知 P( - π 6,0)和 Q(5π 6 ,0)是函数 f (x)的图象的两个对称中心,得 线段 PQ 的中点 M(π 3,0)也是函数 f (x)的图象的对称中心. 显然,函数 f (x)的周期 T=5π 6 - ( - π 6)=π....................................................................................(定周期) 显然 PM 的中点(π 12,0)在函数 f (x)的图象的一条对称轴上,即直线 x= π 12是该函数图象的一条对称 轴....................................................................................................................(由相邻对称中心定对称轴) 所以该函数图象的对称轴的方程为 x= π 12+k·π 2(k∈Z). .................................(结合周期性定对称轴的方程) 根据题意,将 f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移 m 个单位长度后,所得 函数图象的对称轴的方程为 x=1 2( π 12+k·π 2)+m= π 24 + 푘π 4 +m(k∈Z),(根据图象变换规律求变换后所得函数图象 的对称轴方程) 令 π 24 + 푘π 4 +m=5π 12(k∈Z),解得 m=3π 8 ― 푘π 4 (k∈Z).....................................................................(列方程求值) 因为 m>0,所以当 k=1 时,m 取得最小值,最小值为3π 8 ― π 4 = π 8. (1)B　 (2)C 对于函数图象的平移方向类问题的求解,注意“正向左,负向右”的前提是把 x 的系数提取 出来,如由 y=sin( - x)变为 y=sin( - x - 1),不能简单地依据“负向右”得出平移方向是向右,正确的 描述应该是向左平移一个单位长度. 1.[2020 湖北部分重点中学高三测试]将函数 f (x)=sin(2x+φ),φ∈(0,π)的图象向左 平移 π 12个单位长度得到函数 g(x)的图象,已知 g(x)是偶函数,则 tan(φ - π 6)=(　　) A. - 3 B. 3 C. - 3 3 D. 3 3 考法 2 由三角函数的图象求解析式 2 已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图 4 - 3 - 3 所示,则 f (x)的解析 式为 图 4 - 3 - 3 A.f (x)=2 3sin(π 8x+π 4) B.f (x)=2 3sin(π 8x+3π 4 ) C.f (x)=2 3sin(π 8x - π 4) D.f (x)=2 3sin(π 8x - 3π 4 ) 由 最 值 确 定 A 的 值 → 由 函 数 图 象 的 两 个 相 邻 对 称 中 心 之 间 的 距 离 确 定 周 期 , 进 而 确 定 ω 的 值 → 由图象可得,函数的最大值为 2 3,最小值为 - 2 3,故 A=2 3................................(最值定 A) 由函数图象可得,两个相邻对称中心分别为( - 2,0),(6,0), 所以函数的周期 T=2×[6 - ( - 2)]=16,..........................................................................(对称中心定周期) 所以 ω=2π 푇 = 2π 16 = π 8. ..............................................................................................................(周期定 ω) 所以 f (x)=2 3sin(π 8x+φ). 解法一　(由对称中心定 φ)由点( - 2,0)在函数图象上可得 f ( - 2)=2 3sin[π 8×( - 2)+φ]=2 3sin(φ - π 4)=0, ............................................................................................................................(代坐标列方程) 又( - 2,0)在函数图象的下降段上,所以 φ - π 4=π+2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+5π 4 (k∈Z).　 因为|φ|<π, 所以 k= - 1,φ= - 3π 4 . 所以函数的解析式为 f (x)=2 3sin(π 8x - 3π 4 ). 解法二　(由最值点定 φ)由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为( - 2,0),(6,0),所以这两个 对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2, - 2 3).............................................(求最低点坐标) 代入函数解析式可得 f (2)=2 3sin(π 8×2+φ)= - 2 3, 即 sin(π 4+φ)= - 1, 所以π 4+φ=2kπ - π 2(k∈Z), 解得 φ=2kπ - 3π 4 (k∈Z). 因为|φ|<π, 所以 k=0,φ= - 3π 4 . 故函数的解析式为 f (x)=2 3sin(π 8x - 3π 4 ). D 考法 3 三角函数的单调性 3[2018 全国卷Ⅱ,10,5 分][文]若 f (x)=cos x - sin x 在[0,a]上是减函数,则 a 的最大值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.π 4 B.π 2 C.3π 4 D.π 易知 f (x)= 2cos(x+π 4),由 2kπ≤x+π 4≤2kπ+π(k∈Z),得 2kπ - π 4≤x≤2kπ+3π 4 (k∈Z), 即 f (x)的单调递减区间为[ - π 4+2kπ,3π 4 +2kπ](k∈Z), 又函数 f (x)在[0,a]上是减函数,则[0,a]⊆[2kπ - π 4,2kπ+3π 4 ](k∈Z), 显然当 k=0 时,上述关系才能成立.则易得 a 的最大值是3π 4 . C 2.[2019 山东师大附中二模]若将函数 f (x)=1 2sin(2x+π 3)图象上的每一个点都向左平 移π 3个单位长度,得到 g(x)的图象,则函数 g(x)的单调递增区间为 (　　) A.[kπ+π 4,kπ+3π 4 ](k∈Z) 　B.[kπ - π 4,kπ+π 4](k∈Z) C.[kπ - 2π 3 ,kπ - π 6](k∈Z) 　D.[kπ - π 12,kπ+5π 12](k∈Z) 考法 4 求三角函数的最值(值域) 4(1)[2019 山东济南模拟]已知函数 f (x)=sin(ωx - π 6)(ω>0),x∈[0,π],f (x)的值域为[ - 1 2,1], 则 ω 的最小值为 A.2 3 B.3 4 C.4 3 D.3 2 (2)[2019 全国卷Ⅰ,15,5 分][文]函数 f (x)=sin(2x+3π 2 ) - 3cos x 的最小值为　　　　. (1)因为 0≤x≤π,所以 - π 6≤ωx - π 6≤ωπ - π 6. 而 f (x)的值域为[ - 1 2,1],且 f (0)=sin( - π 6)= - 1 2,sin 7π 6 = - 1 2, 结合函数 y=sin t 的图象(如图 4 - 3 - 4 所示)可得π 2≤ωπ - π 6≤7π 6 ,解得2 3≤ω≤4 3. 则 ω 的最小值为2 3.故选 A. (2)f (x)=sin(2x+3π 2 ) - 3cos x= - cos 2x - 3cos x=1 - 2cos2x - 3cos x= - 2(cos x+3 4)2+17 8 ,因为 cos x∈[ - 1,1], 所以当 cos x=1 时,f (x)取得最小值,f (x)min= - 4. 3.(1)[2017 全国卷Ⅱ,14,5 分]函数 f (x)=sin 2x+ 3cos x - 3 4(x∈[0,π 2])的最大值 是　　　. (2)[2018 全国卷Ⅰ,16,5 分]已知函数 f (x)=2sin x+sin 2x,则 f (x)的最小值是　　　　. 考法 5 三角函数的奇偶性、周期性、图象的对称性 命题角度 1　三角函数的周期性 5 求下列函数的周期: (1)y=2|sin(4x - π 3)|; (2)y=|tan x|; (3)y=2cos xsin(x+π 3) - 3sin2x+sin xcos x. (1)(公式法)y=2|sin(4x - π 3)|的最小正周期是 y=2sin(4x - π 3)的最小正周期的一半,即 T=1 2 × 2π 4 = π 4. (2)(图象法)画出 y=|tan x|的图象,如图 4 - 3 - 5 所示. 图 4 - 3 - 5 由图象易知 T=π. (3)(转化法)y=2cos x(1 2sin x+ 3 2 cos x) - 3sin2x+sin xcos x =sin x cos x+ 3cos2x - 3sin2x+sin xcos x =sin 2x+ 3cos 2x =2sin(2x+π 3), 故该函数的最小正周期 T=2π 2 =π. 6 函数 f (x)=3sin(2x - π 3+φ),φ∈(0,π)满足 f (|x|)=f (x),则 φ 的值为　　　　. 由题意知 f (x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称, ∴f (0)=3sin(φ - π 3)=±3,∴φ - π 3=kπ+π 2,k∈Z. 又 0<φ<π,∴φ=5π 6 . 命题角度 3　三角函数图象的对称性 7 [2019 湖北部分重点中学高三测试]已知函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 2),其图象的相邻 两条对称轴之间的距离为π 4,将函数 y=f (x)的图象向左平移3π 16个单位长度后,得到的图象关于 y 轴对称,那么函数 y=f (x)的图象　　　　　　　　 A.关于点( - π 16,0)对称 B.关于点( π 16,0)对称 C.关于直线 x= π 16对称 D.关于直线 x= - π 4对称 因为函数 y=f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π 4,所以函数的周期 T=π 2,(相邻两条对称 轴之间的距离是 1 2个最小正周期) 所以 ω=2π 푇 =4,所以 f (x)=sin(4x+φ). 将函数 y=f (x)的图象向左平移3π 16个单位长度后,得到函数 y=sin[4(x+3π 16)+φ]的图象, 因为所得图象关于 y 轴对称, 所以 4×3π 16+φ=kπ+π 2,k∈Z,即 φ=kπ - π 4,k∈Z. 又|φ|<π 2,所以 φ= - π 4, 所以 f (x)=sin(4x - π 4). 令 4x - π 4=kπ,k∈Z, ..................................................................................(根据 y=sin t 的性质求对称中心) 解得 x=푘π 4 + π 16,k∈Z,令 k=0,得 f (x)的图象关于点( π 16,0)对称,故 B 正确,易得 A 不正确. 令 4x - π 4 = π 2+kπ,k∈Z, ...............................................................................(根据 y=sin t 的性质求对称轴) 解得 x=3π 16 + 푘π 4 ,k∈Z, 所以函数 f (x)的图象的对称轴方程为 x=3π 16 + 푘π 4 ,k∈Z,易得 C,D 均不正确. B 考法 6 三角函数的综合问题 8 [2016 天津,15,13 分] 已知函数 f (x)=4tan x·sin(π 2 - x)cos(x - π 3) - 3. (1)求 f (x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f (x)在区间[ - π 4,π 4]上的单调性. (1)f (x)的定义域为{x|x≠π 2+kπ,k∈Z}..........................................(由正切函数定义域得 f (x)的定义域) f (x)=4tan xcos xcos(x - π 3) - 3 =4sin xcos(x - π 3) - 3 =4sin x(1 2cos x+ 3 2 sin x) - 3 =2sin xcos x+2 3sin2x - 3 =sin 2x+ 3(1 - cos 2x) - 3 =sin 2x - 3cos 2x =2sin(2x - π 3)..............................................................................................................(化为一角一函数) 所以 f (x)的最小正周期 T=2π 2 =π..............................................................................(利用公式法求周期) (2)令 z=2x - π 3,函数 y=2sin z 的单调递增区间是[ - π 2+2kπ,π 2+2kπ],k∈Z. 由 - π 2+2kπ≤2x - π 3≤π 2+2kπ, ...................................................(利用整体代换法求解 f (x)的单调递增区间) 得 - π 12+kπ≤x≤5π 12+kπ,k∈Z. 设 A=[ - π 4,π 4],B={x| - π 12+kπ≤x≤5π 12+kπ,k∈Z},易知 A∩B=[ - π 12,π 4]. 所以,当 x∈[ - π 4,π 4]时, f (x)在区间[ - π 12,π 4]上单调递增,在区间[ - π 4, - π 12]上单调递减. 4.[2019 全国卷Ⅰ,11,5 分]关于函数 f (x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: ①f (x)是偶函数;②f (x)在区间(π 2,π)上单调递增; ③f (x)在[ - π,π]上有 4 个零点;④f (x)的最大值为 2. 其中所有正确结论的编号是 (　　) A.①②④ B.②④C.①④ D.①③ 考法 7 三角函数模型的应用 9[湖北高考,11 分]某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系: f (t)=10 - 3cos π 12t - sin π 12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? (1)因为 f (t)=10 - 2( 3 2 cos π 12t+1 2sin π 12t)=10 - 2sin( π 12t+π 3),又 0≤t<24,所以 π 3≤ π 12t+π 3 < 7π 3 ,所以 - 1≤sin( π 12t+π 3)≤1. 当 t=2 时,sin( π 12t+π 3)=1; 当 t=14 时,sin( π 12t+π 3)= - 1. 于是 f (t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f (t)>11 时实验室需要降温. 由(1)得 f (t)=10 - 2sin( π 12t+π 3), 故有 10 - 2sin( π 12t+π 3)>11, 即 sin( π 12t+π 3)< - 1 2. 又 0≤t<24,因此7π 6 < π 12t+π 3 < 11π 6 ,所以 100,ω>0,|φ|<π 2)的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份 价格最低为 5 千元,则 7 月份的出厂价格为　　　　元. 考法 8 三角函数与其他知识的交汇 10 [2019 安 徽 淮 南 二 模 ] 已 知 函 数 y=A'sin(ωx+φ)(|φ|<π 2,ω>0) 图 象 的 一 部 分 如 图 4 - 3 - 6 所 示.A,B,D 是此函数图象与 x 轴的三个相邻交点,C 是图象的最高 点,点 D 的坐标是(11π 12 ,0),则数量积 퐴퐵·퐴퐶= A.π2 2 B.π2 4 C.π2 6 D.π2 8 先根据函数图象确定函数解析式中各个参数的值,从而确定点 A,B,C 的坐标,然后求 出两个向量的坐标,代入公式求解即可. 由函数图象可知 A'=2,且 f (0)=1,故 sin φ=1 2. 又|φ|<π 2,故 φ=π 6. 观察图象知 x=11π 12 在函数的单调递增区间内, 所以 ω×11π 12 + π 6=2kπ,k∈Z, 解得 ω=24푘 - 2 11 ,k∈Z. 由函数图象可知2π 휔 > 11π 12 , 故 0<ω<24 11,故 ω=2, 所以 f (x)=2sin(2x+π 6). ....................................................................................................(求函数解析式) 故 A( - π 12,0),B(5π 12,0),C(π 6,2), .............................................................................................(求点的坐标) 因此 퐴퐵=(π 2,0),퐴퐶=(π 4,2), 故 퐴퐵·퐴퐶 = π2 8 . D 6.已知函数 f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π 2), 其图象与直线 y= - 1 相邻两个交点的 距离为 π,若 f (x)>1 对任意的 x∈ ( - π 12,π 3)恒成立,则 φ 的取值范围是 (　　) A.(π 6,π 3) B.[ π 12,π 3] C.[ π 12,π 2] D.[π 6,π 3] 数学探究　三角函数中有关 ω 的求解 三角函数中 ω 的求解是近年高考的一个热点内容,但因其求法复杂,涉及的知识点多,历来是 我们复习中的难点. 1.三角函数的单调性与 ω 的关系 11[2019 湖南师大附中模拟]若函数 f (x)=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos 2ωx 在区间[ - 3π 2 , 3π 2 ]上单调递增,则正数 ω 的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 8 B.1 6 C.1 4 D.1 3 解法一　因为 f (x)=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos 2ωx= 3sin 2ωx+1 在区间[ - 3π 2 ,3π 2 ]上单 调递增, 所以{ - 3휔π ≥ - π 2, 3휔π ≤ π 2, .................................................................................(由端点值大小构建不等关系) 解得 ω≤1 6,所以正数 ω 的最大值是1 6. 解法二　易知 f (x)= 3sin 2ωx+1,可得 f (x)的最小正周期 T=π 휔,所以{ - π 4휔 ≤ - 3π 2 , π 4휔 ≥ 3π 2 , 解得 ω≤1 6,所以正数 ω 的最大值是1 6. B 解后反思　 本题中因为指定区间含有 0,所以可以直接利用 - 3ωπ 与 - π 2的大小关系及 3ωπ 与 π 2的大小 关系建立参数所满足的不等关系.若指定区间不含 0,则需要先求出函数的单调递增区间,再利 用子集关系建立参数所满足的不等关系. 2.三角函数的最值、图象的对称性与 ω 的关系 12 [2016 全国卷Ⅰ,12,5 分]已知函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π 2),x= - π 4为 f (x)的零点, 直线 x=π 4为 y=f (x)图象的对称轴,且 f (x)在( π 18,5π 36)上单调,则 ω 的最大值为 A.11 B.9 C.7 D.5 由条件中的“零点”和“对称轴”列等式→根据“f (x)在( π 18, 5π 36)上单调”推导→验证 解法一　因为 x= - π 4为函数 f (x)的零点,直线 x=π 4为 y=f (x)图象的对称轴, 所以π 4 - ( - π 4)=π 2 = 푘푇 2 + 푇 4(k∈Z,T 为最小正周期), ...(根据函数的零点,图象的对称轴与函数的周期的关系得) 化简得 T= 2π 2푘 + 1(k∈Z),即 ω=2π 푇 =2k+1(k∈Z). 又 f (x)在( π 18,5π 36)上单调,所以푇 2≥5π 36 ― π 18,.........................................(单调区间的长度不大于半个最小正周期) 结合 T= 2π 2푘 + 1(k∈Z)可得,k≤11 2 且 k∈Z. 当 k=5 时,ω=11,φ= - π 4,f (x)在( π 18,5π 36)上不单调;当 k=4 时,ω=9,φ=π 4,f (x)在( π 18,5π 36)上单调,满足题 意,故 ω 的最大值为 9. 解法二　依题意,有{휔·( - π 4) + 휑 = 푚π, 휔·π 4 + 휑 = 푛π + π 2 (m,n∈Z), 解得{휔 = 2(푛 - 푚) + 1, 휑 = 2(푚 + 푛) + 1 4 π. ....................................(根据正弦函数的零点和图象的对称轴分别列式子,联立求解) 又|φ|≤π 2,所以 m+n=0 或 m+n= - 1. 由 f (x)在( π 18,5π 36)上单调,得π 휔≥5π 36 ― π 18,所以 0<ω≤12. 当 m+n=0 时,ω=4n+1,φ=π 4, 取 n=2,得 ω=9,f (x)=sin(9x+π 4),符合题意. 当 m+n= - 1 时,φ= - π 4,ω=4n+3, 取 n=2,得 ω=11,f (x)=sin(11x - π 4),此时,当 x∈( π 18,5π 36)时,11x - π 4∈(13 36π,23 18π),f (x)不单调,不合题意. 故 ω 的最大值为 9. B (1)求 ω 的取值范围,还可采用如下思路: 因为 f (x)在( π 18,5π 36)上单调, 所以{π 2 + 푘π ≤ π 18휔 + 휑, π 2 + (푘 + 1)π ≥ 5π 36휔 + 휑(k∈Z),利用同向不等式相加,得 0<ω≤12. (2)当 ω=11 时,验证 f (x)在( π 18,5π 36)上是否单调有以下三个思路. 思路 1:直接求单调区间,f (x)在( π 18,3π 44)上单调递增,在(3π 44,5π 36)上单调递减,所以不满足条件. 思路 2:整体换元法,当 x∈( π 18,5π 36)时,11x - π 4∈(13π 36 ,23π 18 ),而正弦函数在区间(13π 36 ,23π 18 )上不单调,所以 不满足条件. 思路 3:f (x)=sin(11x - π 4)的图象的对称轴方程是 x=4푘 + 3 44 π,通过赋值发现 x=3π 44在区间(π 18,5π 36)内,则 f (x)在这个区间上不可能单调,所以 ω=11 不满足条件. 7.[2016 天津,8,5 分][文]已知函数 f (x)=sin2휔푥 2 + 1 2sin ωx - 1 2(ω>0),x∈R.若 f (x)在 区间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是 (　　) A.(0,1 8] B.(0,1 4]∪[5 8,1) C.(0,5 8] D.(0,1 8]∪[1 4,5 8] 284 1.D　y=tan x 在( - π 2+kπ,π 2+kπ)(k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数,故 A 错误;对于 y=ksin x+1,x∈R,因为 k 的正负不确定,所以 y 的最大值不确定,故 B 错误;图象左右平移是针对 x 本身而言的,如果系数不是 1,需要先提取系数再求解,明显 C 是错误的.选 D. 2.D　将函数 y=sin x 的图象向左平移π 2个单位长度,得到函数 y=f(x)=sin(x+π 2)=cos x 的图象,所以 y=f(x)是偶函数,排除 A;y=f(x)的最小正周期 T=2π 1 =2π,排除 B;y=f(x)的图象关于直线 x=kπ(k∈Z)对 称,排除 C.选 D. 3.A　依题意得函数 f(x)的最小正周期 T=2π 휔 =2×(3π 4 ― π 4)=π,解得 ω=2,故选 A. 4.A　对于 A,作出 y=|cos 2x|的图象如图 D 4 - 3 - 1 所示,由图象知,其周期为π 2,在区间(π 4,π 2)上单 调递增,A 正确; 图 D 4 - 3 - 1 对于 B,作出 y=|sin 2x|的图象如图 D 4 - 3 - 2 所示,由图象知,其周期为 π 2,在区间(π 4,π 2)上单调递 减,B 错误; 图 D 4 - 3 - 2 对于 C,y=cos|x|=cos x,周期为 2π,C 错误; 对于 D,作出 y=sin|x|的图象如图 D 4 - 3 - 3 所示,由图象知,其不是周期函数,D 错误. 图 D 4 - 3 - 3 故选 A. 5.A　由题图易知 A=2,因为周期 T 满足푇 2 = π 3 - ( - π 6),所以 T=π,ω=2π 푇 =2.由 x=π 3时,y=2 可知 2×π 3+φ= π 2+2kπ(k∈Z),所以 φ= - π 6+2kπ(k∈Z),结合选项可知函数解析式为 y=2sin(2x - π 6). 6.C　因为 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且其最小正周期为 π,所以 φ=0,ω=2,则 f(x)=Asin 2x,g(x)=Asin x.又 g(π 4)=Asin π 4 = 2,所以 A=2,故 f(x)=2sin 2x,f(3π 8 )=2sin 3π 4 = 2,故选 C. 7.π 2　∵f(x)=sin22x=1 - cos4푥 2 ,∴f(x)的最小正周期 T=2π 4 = π 2. 8.2 3　由于对任意的实数 x 都有 f(x)≤f(π 4)成立,故当 x=π 4时,函数 f(x)有最大值,故 f( π 4)=1,∴π휔 4 ― π 6 =2kπ(k∈Z),∴ω=8k+2 3(k∈Z),又 ω>0,∴ωmin=2 3. 1.D　将函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移 π 12个单位长度,得到 g(x)=sin(2x+π 6+φ)的图象, 因为 g(x)是偶函数,所以π 6+φ=π 2+kπ,k∈Z,又 φ∈(0,π),所以 φ=π 3,所以 tan(φ - π 6)=tan π 6 = 3 3 ,故选 D. 2.A　将函数 f(x)=1 2sin(2x+π 3)图象上的每一个点都向左平移π 3个单位长度, 得 到 函 数 g(x)=1 2sin[2(x+π 3)+π 3]=1 2sin(2x+π)= - 1 2sin 2x 的 图 象 , 令 π 2+2kπ≤2x≤3π 2 +2kπ(k∈Z), 可 得 π 4 +kπ≤x≤3π 4 +kπ(k∈Z),因此函数 g(x)的单调递增区间为[kπ+π 4,kπ+3π 4 ](k∈Z),故选 A. 3.(1)1　f(x)=sin2x+ 3cos x - 3 4= - cos2x+ 3cos x+1 4= - (cos x - 3 2 )2+1. 因为 x∈[0,π 2],所以 cos x∈[0,1],因此当 cos x= 3 2 时,f(x)max=1. (2) - 3 3 2 　解法一　因为 f(x)=2sin x+sin 2x, 所以 f ' (x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x - 2=4(cos x - 1 2)·(cos x+1). 由 f ' (x)≥0 得1 2≤cos x≤1,即 2kπ - π 3≤x≤2kπ+π 3,k∈Z, 由 f ' (x)≤0 得 - 1≤cos x≤1 2,即 2kπ - 5π 3 ≤x≤2kπ - π 3,k∈Z, 所以当 x=2kπ - π 3,k∈Z 时,f(x)取得最小值, 且 f(x)min=f(2kπ - π 3)=2sin(2kπ - π 3)+sin 2(2kπ - π 3)= - 3 3 2 . 解法二　因为 f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x)=4sin푥 2·cos푥 2·2cos2푥 2=8sin푥 2cos3푥 2=± 8 3 3sin2푥 2cos6푥 2, 所以[f(x)]2=64 3 ×3sin2푥 2cos6푥 2≤64 3 ×( 3sin2푥 2 + cos2푥 2 + cos2푥 2 + cos2푥 2 4 )4=27 4 , 当且仅当 3sin2푥 2=cos2푥 2,即 sin2푥 2 = 1 4时取等号, 所以 0≤[f(x)]2≤27 4 ,所以 - 3 3 2 ≤f(x)≤3 3 2 , 所以 f(x)的最小值为 - 3 3 2 . 解法三　因为 f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),所以[f(x)]2=4sin2x(1+cos x)2=4(1 - cos x)(1+cos x)3,设 cos x=t,则 y=4(1 - t)(1+t)3( - 1≤t≤1),所以 y ' =4[ - (1+t)3+3(1 - t)(1+t)2]=4(1+t)2(2 - 4t), 所以当 - 10;当1 20,ω>0,|φ|<π 2), 可作出函数简图如图 D 4 - 3 - 5 所示. 图 D 4 - 3 - 5 由题意知,A=2 000,B=7 000,T=2×(9 - 3)=12, ∴ω=2π 푇 = π 6. 则 f(x)=2 000sin(π 6x+φ)+7 000, 则有π 6×3+φ=kπ+π 2,k∈Z,∴φ=kπ,k∈Z, 又|φ|<π 2,∴φ=0, 故 f(x)=2 000sinπ 6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*), ∴f(7)=2 000×sin7π 6 +7 000=6 000. 故 7 月份的出厂价格为 6 000 元. 6.D　由题意知,函数 f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π 2),其图象与直线 y= - 1 相邻两个交点的距离 为 π,故函数的最小正周期为 T=2π 휔 =π,解得 ω=2. 所以 f(x)=2sin(2x+φ)+1. 由题意,f(x)>1 对任意的 x∈( - π 12,π 3)恒成立,即当 x∈( - π 12,π 3)时,sin(2x+φ)>0 恒成立. 令 t=2x+φ,因为 x∈( - π 12,π 3),所以 t∈(φ - π 6,φ+2π 3 ). 故要使 sin t>0 恒成立,只需{휑 - π 6 ≥ 2푘π, 휑 + 2π 3 ≤ 2푘π + π(k∈Z), 解得 2kπ+π 6≤φ≤2kπ+π 3(k∈Z). 显然,当 k=0 时,π 6≤φ≤π 3,故选 D. 7.D　f(x)=1 2(1 - cos ωx)+1 2sin ωx - 1 2 = 1 2sin ωx - 1 2cos ωx= 2 2 sin(ωx - π 4). 当 ω=1 2时, f(x)= 2 2 sin(1 2x - π 4),x∈(π,2π)时,f(x)∈(1 2, 2 2 ],无零点,排除 A,B; 当 ω= 3 16时,f(x)= 2 2 sin( 3 16x - π 4),x∈(π,2π)时,当 x=4 3π 时,f(x)=0,所以 f(x)有零点,排除 C.选 D.