高考复习 曲线运动
第五章 曲线运动
第1单元 运动的合成与分解 平抛物体的运动
一、曲线运动
1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。物体能否做曲线运动要看力的方向，不是看力的大小。
2．曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。
二、运动的合成与分解(猴爬杆)
1．从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循四边形定则。
2．求已知运动的分运动，叫运动的分解，解题按实际“效果”分解，或正交分解。
3．合运动与分运动的特征：
①运动的合成与分解符合平行四边形法则。分运动共线时
v1 v
a1 a
o v2 a2
变成了代数相加减。——矢量性
②合运动与分运动具有“同时性”——同时性
③每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响——独立性
④合运动的性质是由分运动决定的——相关性
⑤实际表现出来的运动是合运动
⑥速度、时间、位移、加速度要一 一对应
⑦运动的分解要根据力的作用效果(或正交分解)
4．两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？
三、应用举例：
1． 过河问题
例1、一条宽度为L的河流，水流速度为Vs,已知船在静水中的速度为Vc，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若Vc>Vs,怎样渡河位移最小？
（3）若Vc
Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.
船漂的最短距离为：.
此时渡河的最短位移为：.
2．连带运动问题
【例2】如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2
解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1
【例3】 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb
解析：a、b沿杆分速度分别为vacosα和vbsinα ∴va∶vb= tanα∶1
R
θ
O
P
V0
图7
V1
3、会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。
求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。
例4、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。
解：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有 ，解得V1=V0.tgθ.
四、平抛运动
当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。
1、 （合成与分解的角度）平抛运动基本规律
① 速度：，
合速度 方向 ：tanθ=
②位移x=vot y= 合位移大小：s= 方向：tanα=
③时间由y=得t=（由下落的高度y决定）
竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
θ
v0
vt
v0
vy
A O B
D C
④一个有用的推论
平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， ，所以有
h
H
s L
v
2、平抛运动是匀变速曲线运动
3、平抛中能量守恒
注意：两个分解（位移和速度）和两个物理量（角度和时间）
4．应用举例
【例5】 已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。
O
A
解析：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：
；
实际扣球速度应在这两个值之间。
例6、如图8在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
θ
图8
B
A
V0
V0
Vy1
分析与解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A运动到B处所需的时间为t,则：
水平位移为x=V0t
竖直位移为y=
数学关系得到:
（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ,所以。
第2单元 圆周运动
一、描述述圆周运动物理量：
1、线速度＝ 矢量方向――切向
理解：单位时间内通过的弧长
匀速圆周运动不匀速,是角速度不变的运动
可理解为前面学过的即时速度
2、角速度＝ 矢量方向――不要求 单位：rad / s 弧度/ 秒
理解：单位时间内转过的角度
3 线速度和角速度是从两个不同的角度去描速同一个运动的快慢
3、周期和频率
周期（T）――物体运动一周所用的时间
频率（f）――单位时间内完成多少个圆周， 周期倒数(Hz S－1)
转速（n）――单位时间内转过的圈数 （r/s r/min）
a
b
c
d
【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
解析：va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4
二、向心力和加速度
1、大小F＝m ω2 r
2、方向： 把力分工—切线方向， 改变速度大小
半径方向， 改变速度方向，充当向心力
注意：区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的力的不同
3、来源：一个力、某个力的分力、一些力的合力
向心加速度a：（1）大小：a =2 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻变化 （3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
三、应用举例
（临界或动态分析问题）
提供的向心力 需要的向心力
＝ 圆周运动
＞ 近心运动
＜ 离心运动
＝0 切线运动
1、火车转弯
N
mg
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供,v增加，外轨挤压，如果v减小，内轨挤压
问题：飞机转弯的向心力的来源
2、汽车过拱桥
mg sinθ = f
如果在最高点，那么
此时汽车不平衡，mg≠N
N
mg
说明：F＝mv2 / r同样适用于变速圆周运动，F和v具有瞬时意义，F随v的变化而变化。
补充 ： (抛体运动)
3、圆锥问题
例：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。
，
由此可得：，
N
G
F
θ
绳
F
G
G
F
4、绳杆球
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
①弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有
即，否则不能通过最高点。
②弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动。
③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg
；当弹力F=mg时，向心力等于零。
四、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）
1．向心力 （1）大小：
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
2．处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各种形式）。
【例1】 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37º，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。
由圆周运动知识得： 即：
由动能定理：
联立①、②可求出此时的高度h。
五、综合应用例析
【例2】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．
解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．
对于B，T=mg 对于A，
rad/s rad/s 所以 2.9 rad/s rad/s
【例3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．
解析：A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下．若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的．
最高点时
根据牛顿运动定律
对于A球， 对于B球，
又 N1=N2 解得
【例5】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.
解析：设圆周的半径为R，则在C点：mg=m ①
离开C点，滑块做平抛运动，则2R＝gt2／2 ②
L
V0
vCt＝sAB ③
由B到C过程： mvC2/2+2mgR＝mvB2/2 ④
由A到B运动过程： vB2＝2asAB ⑤
由①②③④⑤式联立得到： a=5g／4
例6、如图所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速度V0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V0应满足的条件。 分两种情况：
（1）若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：
由机械能守定律得：
由以上各式解得：.
(2)若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L时满足：
解得：.
所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V0应满足的条件是：
或
第三单元 万有引力定律 人造卫星
一. 地心说和日心说
1、地心说的内容：地球是宇宙中心，其他星球围绕地球做匀速圆周运动，地球不动。
2、日心说的内容：太阳是宇宙的中心，其他行星围绕地球匀速圆周运动，太阳不动。
日心说是波兰科学家天文学家哥白尼创立的
二.开普勒三定律以及三定律出现的过程：
（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
（2）任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
即R3 ／ T2=k
最早由开普勒证实了天体不是在做匀速圆周运动。他是在研究丹麦天文学家第谷的资料时产生的研究动机。
*开普勒是哪个国家的：德国
三.牛顿的万有引力定律
1.内容：自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力，两物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.
表达式：F＝Ｇ
其中G＝６．６７×１０－１１ Ｎ·ｍ２／ｋｇ２，叫万有引力常量，卡文迪许在实验室用扭秤装置，测出了引力常量.（英）卡文迪许扭秤 “能称出地球质量的人”
（小球直径2英寸，大球直径12英寸）
2.适用条件：①公式适用于质点间的相互作用，②当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点. ③均匀球体可视为质点，r为两球心间的距离.
3.万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反.
四.用开普勒第三定律、向心力、牛顿第三定律推导牛顿的万有引力定律:
五.用万有引力定律推导开普勒第三定律：
六、用万有引力定律分析天体的运动
1.基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供，即
＝＝＝＝＝
2.估算天体的质量和密度
① “T 、 r”法
由G＝ｍ得：Ｍ＝．即只要测出环绕星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量.
由ρ＝，Ｖ＝πＲ３得：ρ＝．R为中心天体的星体半径
当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M表面运行时，ρ＝，由此可以测量天体的密度.
②“g、R”法
【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.6710m/kg.s)
解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。
设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有
由以上各式得，代入数据解得：。
3.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
(1)由Ｇ得:ｖ＝． 即轨道半径越大，绕行速度越小
(2)由Ｇ＝ｍω２ｒ得：ω＝ 即轨道半径越大，绕行角度越小
(3)由G＝４π２得：Ｔ＝２π 即轨道半径越大，绕行周期越大.
例2、如图所示，A、B两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动，A的周期为T1，B的周期为T2，且T1＜T2，在某时刻两质点相距最近，开始计时，问：（1）何时刻两质点相距又最近？（2）何时刻两质点相距又最远？
分析：选取B为参照物。
（1）AB相距最近，则A相对于B转了n转，其相对角度△Φ=2πn
相对角速度为ω相=ω1-ω2经过时间：
t=△Φ/ω相=2πn/ω1-ω2= （n=1、2、3…）
（2）AB相距最远，则A相对于B转了n-1/2转，
其相对角度△Φ=2π（n-）
经过时间：t=△Φ/ω相=（2n-1）T1T2/2（T2-T1）（n=1、2、3…）
4.三种宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v１＝７．９ ｋm/s是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度.“飘”起来的速度
(2)第二宇宙速度(脱离速度)：v２＝１１．２ km/s是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度.
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v３＝１６．７ km/s是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度.
5.地球同步卫星
所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T＝24h．要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h．（高度、运行方向、加速度、角速度、线速度大小相同，质量不同）
由Ｇ（Ｒ＋ｈ）得：ｈ＝ｋｍ=５．６Ｒ
Ｒ表示地球半径
在同步卫星的实际发射中，大多数国家采取“变轨发射”，发射过程经历以下三个阶段：
①发射卫星到达200—300的圆形轨道上，围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”；
②当卫星穿过赤道平面点时，二级点火工作，使卫星沿一条较大的椭圆轨道运行，地球作为椭圆的焦点，当到达远地点时，恰为赤道上空处，这条轨道称为“转移轨道”，沿轨道和分别经过点时，加速度相同；
③当卫星到达远地点时，开动卫星发动机进入同步轨道，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。
七、万有引力复习中应注意的几个问题
1、不同公式和问题中的r，含义不同
万有引力定律公式中的r 指的是两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，指的是两个球心的距离。而向心力公式中的r，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径。开普勒第三定律中的r指的是椭圆轨道的半长轴。因此，同一个r在不同公式中所具有的含义不同。
例3、如图１所示，行星沿椭圆轨道绕太阳运行，且近日点到太阳的距离为，远日点到太阳的距离为，求行星在两点的运行速率之比？
解析：由椭圆轨道对称性可知，两点所处曲线的曲率半径相同，设为，
m1
m2
r
O
在处： ；在B处：
出现的问题：
例4 如图所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为L，万有引力常量为G，
解：①周期、角速度、频率、向心力相等
②
③ ？
联立三个方程解答
R
R0
B
A
例5 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为R0）
解析：当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期
，故解得飞船由A运动到B点所需的时间为t。
2、万有引力、向心力和重力
对于赤道上的某一个物体 ，有 当速度增加时，重力减小，向心力增加，当速度（即第一宇宙速度）时，mg = 0，物体将“飘”起来，星球处于瓦解的临界状态。
例6、某星球壳视为球体，自转周期为，在它的两极处，用弹簧秤测得物体重为，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为，求星球的平均密度？
解析：设星球的半径为，在两极和赤道上的重力及速度分别为
两极：
赤道上：
例7、如果地球自转速度加快，地球上物体的重量将发生怎样的变化？地球自转角速度等于多少时，在赤道上物体的重量为零？这时一昼夜将有多长？
解析：以赤道上的物体为研究对象，设转速为，则：
；
；设地球自转的角速度为时，，则：
例8 、已知物体从地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)v=√2GME/RE，其中G、ME、RE
分别是万有引力恒量、地球的质量和半径．已知G=6.67×10-11N·m2/kg2，c=2.9979×108m/s．求下列问题：
(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞．设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030kg，求它的可能最大半径(这个半径叫Schwarz—Child半径)；
(2)在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
解：(1)由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v=√2GM/R，其中M、R为天体的质量和半径．
对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v>c，也就是√2GM/R>c．
黑洞半径 R<2GM/c2=2939m=2.94km．
即质量为1.98×1030kg的黑洞的最大半径为2.94km．
(2)把宇宙视为一普通天体，则质量为 M=ρ·V=ρ·4πR3/3 ①其中R为宇宙半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度 v=√2GM/R ②
由于题设中宇宙密度使得其逃逸速度大于真空中光速c，即v>c． ③则由上述①②③式可解得宇宙半径R>√3c2/8πρG=4×1026m．
因1光年=365×24×3600×2.9979×108m，所以R>4.23×1010光年．
即宇宙半径至少为4.23×1010光年．
3、人造卫星中的“超重”、“失重”：
人造卫星中在发射阶段，尚未进入预定轨道的加速阶段，具有竖直向上的加速度，卫星内的所有物体处于超重状态，卫星与物体具有相同的加速度，由于高度的增加，使增加，导致减小，同时由于升力的变化，使上升加速度是个变量，设某一时刻即时加速度为，利用弹簧秤测量物体的重力的方法可间接求得距离地面的高度。
例5、一物体在地球表面重，它在以的加速度上升的火箭中的视重为，，则此时火箭离地面的距离为地球半径的多少倍？
解析：以物体为对象分析如图所示，设距离地面高度为，则：
近地附近：；联立两式解得：
卫星进入正常运行轨道，由相同的间距决定各物体具有相同的运动状态。卫星上的所有物体为什么处于完全失重状态，这是理解的一个难点，减小学生理解难的方法就是采用反证法：假设卫星上所有物体还受到其它力的作用，则：，，假设不成立，因此，凡一切工作原理涉及到重力的有关仪器在卫星中都不能正常使用。
