四川省绵阳南山中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题 Word版含解析

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四川省绵阳南山中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 绵阳南山中学2020年绵阳三诊模拟考试数学试题(文史类)‎ 第一卷(选择题,共60分)‎ 一、单项选择题 ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合,根据交集定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】,‎ ‎ ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了交集运算,解题关键是掌握交集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎2.已知复数(,是虚数单位)为纯虚数,则实数的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,因为是纯虚数,所以,.‎ 故选A.‎ ‎3.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 根据同角三角函数的基本关系式求得,由此求得,进而求得表达式的值.‎ ‎【详解】,所以,.‎ 因为,所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查三角恒等变换的知识,考查运算求解能力.‎ ‎4.下列叙述中正确的是(  )‎ A. 若,则“”的充分条件是“”‎ B. 若,则“”的充要条件是“”‎ C. 命题“对任意,有”的否定是“存在,有”‎ D. 是一条直线,是两个不同的平面,若,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:当时,推不出,错,当时,推不出,错,命题“对任意,有”的否定是“存在,有”,C错,因为与同一直线垂直的两平面平行,所以D正确.‎ 考点:充要关系 ‎5.已知,,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数和指数函数单调性,利用临界值和可得到所处的大致范围,从而得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ - 23 -‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题,关键是能够确定临界值,利用临界值确定所求式子所处的大致区间.‎ ‎6.若同一平面内向量两两所成的角相等,且,则等于( )‎ A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为同一平面内向量两两所成的角相等,所以当三个向量所成的角都是120°时,,即;当三个向量所成的角都是0°时,.故或5.选C.‎ ‎【点睛】平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式;二是坐标公式;三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家、天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )‎ - 23 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行给定的程序框图,输入,逐次循环,找到计算的规律,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,执行给定的程序框图,输入,可得:‎ 第1次循环:;‎ 第2次循环:;‎ 第3次循环:;‎ 第10次循环:,‎ 此时满足判定条件,输出结果,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎8.设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极大值,则函数 - 23 -‎ 的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为-2为极值点且为极大值点,故在-2的左侧附近>0,-2的右侧<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时,排除BC,当x<-2且在-2的左侧附近时,,排除AC,‎ 故选D ‎9.在区间[0,2]中随机取两个数,则两个数中较大的数大于的概率为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两个数构成有序数对,对应平面区域,两个数中较大的数大于,其对立事件是两个数都小于等于,求出概率即可.‎ ‎【详解】在区间[0,2]中随机取两个数,两个数构成有序数对,‎ 构成的区域如图中大正方形,‎ 又“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于或等于”的对立事件,‎ - 23 -‎ 且在区间[0,2]中随机取两个数,这两个数都小于或等于,‎ 所构成的平面区域的面积为,‎ 故两个数中较大数大于的概率.‎ 故选:A ‎【点睛】此题考查几何概型,将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域,利用面积求解.‎ ‎10.已知直三棱柱,,,和的中点分别为、,则与夹角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示:分别以为轴建立空间直角坐标系,得到,,计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:分别以为轴建立空间直角坐标系.‎ 故,,,,故,.‎ ‎,即与夹角的余弦值为.‎ 故选:.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎11.已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为,若三角形的面积为,则点轨迹的一个焦点坐标可以是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示,不等式所表示的平面区域内一点,可得点的轨迹为直线之间并且包括轴在内的区域,再根据三角形的面积为,即可求得点轨迹的一个焦点坐标.‎ ‎【详解】如图所示,‎ - 23 -‎ 则,.‎ 不等式所表示的平面区域内一点,可得点的轨迹为直线之间并且包括轴在内的区域. ∴‎ ‎∵ 三角形的面积为 ∴,即点轨迹方程为.‎ ‎∴焦点坐标为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎12.函数,,若对恒成立,则实数的范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数可得在上的取值范围为,其中,令换元,把对恒成立转化为对恒成立,分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.‎ ‎【详解】解:,,‎ ‎,,‎ 在上有零点,‎ 又在上成立,‎ - 23 -‎ 在上有唯一零点,设为,‎ 则当时,,当时,,‎ 在上有最大值,‎ 又,‎ ‎,‎ 令,‎ 要使对恒成立,则 对恒成立,‎ 即对恒成立,‎ 分离,得,‎ 函数的对称轴为,又,‎ ‎,‎ 则.‎ 则实数的范围是.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查函数恒成立问题,训练了利用导数研究函数的单调性,考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题,属难题.‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.某时段内共有辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图,根据图形推断,该时段时速超过的汽车辆数为 .‎ - 23 -‎ ‎【答案】77‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图,求出时速超过的汽车的频率,即可求出对应的汽车辆数.‎ ‎【详解】根据频率分布直方图,得时速超过的汽车的频率为;‎ 所以时速超过的汽车辆数为.‎ 故答案为:77.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应根据频率分布直方图,会计算样本数据,频率与频数的大小,是基础题.‎ ‎14.函数的图象向右平移个长度单位后,得到函数的图象,若函数为偶函数,则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,向右平移个长度单位后,得到函数,再根据函数为偶函数求解.‎ ‎【详解】函数,‎ - 23 -‎ 向右平移个长度单位后,得到函数,‎ 因为函数为偶函数,‎ 所以,‎ 即,‎ 因为,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎15.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 不妨设,,则,又,所以,利用导数易知在上递减,在上递增,所以当时,的最小值为3,故答案为3.‎ ‎16.已知正三棱锥的侧面是直角三角形,的顶点都在球O的球面上,正三棱锥的体积为36,则球O的表面积为__________.‎ - 23 -‎ ‎【答案】108‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题,从而将问题转化为正方体的外接球问题.‎ ‎【详解】∵正三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,‎ ‎∴此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球O,‎ 设球O的半径为R,‎ 则正方体的边长为,‎ ‎∵正三棱锥的体积为36,‎ ‎∴V=‎ ‎∴R=‎ ‎∴球O的表面积为S=4πR2=108‎ 故答案为108.‎ ‎【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化,棱柱的几何特征,球的几何特征,三棱锥体积的表示方法,有一定难度,属中档题.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.如图,在直角梯形中,,将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示.‎ - 23 -‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求点A到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,得到再根据勾股定理得到,然后根据平面平面,利用面面垂直的性质定理证明.‎ ‎(2)由(1)知:BC为三棱锥的高,,分别求得,,再根据求解.‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 所以,‎ 因为平面平面,平面平面平面 平面;‎ ‎(2)由(1)知:BC为三棱锥的高,,‎ ‎,,‎ 因为,‎ 即,‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直,线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎18.某商店为了更好地规划某种产品的进货量,该商店从某一年的销售数据中,随机抽取了8组数据作为研究对象,如表(吨)为该商品的进货量,(天)为销售天数:‎ x/吨 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ y/天 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(1)根据上述提供的数据,求出关于的回归方程;‎ ‎(2)在该商品进货量不超过6吨的前提下任取2个值,求该商品进货量恰好有1个值不超过3吨的概率.‎ 参考数据和公式:,‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据提供的数据,分别求得,然后写出回归直线方程;‎ ‎(2)根据古典概型的概率求法,先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数,然后找出恰好有1次不超过3吨的基本事件的个数,再代入公式求解.‎ ‎【详解】(1)由题意得:,‎ 所以回归直线方程为;‎ ‎(2)进货量不超过6吨有2,3,4,5,6共5个,‎ 任取2个有有10个结果,‎ 恰好有1次不超过3吨的有:共6种 所以所求的概率为 ‎【点睛】本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎19.已知正项数列的前n项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设是的前n项和,求使成立的最大正整数n.‎ ‎【答案】(1);(2)5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,根据,得到,两式相减得,再利用等差数列的定义求解.‎ ‎(2)根据(1)得到,用裂项相消法求,然后再代入求解.‎ ‎【详解】(1)当时,由,‎ 得,‎ 两式相减得,‎ 当时,,且 所以数列是等差数列,‎ ‎;‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 解得,‎ 所以最大的正整数为5.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n项和间的关系以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为,左右焦点分别是,过的直线交椭圆于两点.‎ ‎(1)若以线段为直径的动圆内切于圆,求椭圆的长轴长;‎ ‎(2)当时,问在轴上是否存在定点,使得为定值?如果存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)6;(2)存在,, .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设的中点为M,连接,根据中位线得到求解.‎ ‎(2)直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为,与椭圆方程联立整理得到,设,若为定值,则需成立求解.‎ ‎【详解】(1)设的中点为M,连接,‎ 在中,所以,‎ 所以,‎ 故椭圆的长轴长为6;‎ ‎(2)因为椭圆方程为,‎ - 23 -‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为,‎ 则,‎ ‎,‎ 设,‎ ‎,‎ 当时,即,‎ 为定值,定值为,‎ 当直线AB的斜率不存在时,,‎ 当时,,‎ 综上,在x轴上存在定点,使得为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)当时,求函数在区间上的最小值;‎ ‎(2)记函数图象为曲线,设点是曲线C上不同的两点,点M为线段AB的中点,过点M作轴的垂线交曲线C于点N,试问:曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB?并说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)不平行,理由见解析.‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导,分,,,四种情况讨论求解.‎ ‎(2)设,则点N的横坐标为,表示直线AB的斜率,再表示曲线在点N处的切线的斜率,然后假设曲线在点N处的切线平行于直线AB,则,论证是否成立即可.‎ ‎【详解】(1),‎ 当时,由得,‎ 当时,在单调递减,‎ 所以在上最小值为,‎ 当时,上单调递减,在上单调递增,‎ 所以在上最小值为,‎ 当时,在上单调递增,‎ 所以在上最小值为,‎ 综上,函数在上最小值为;‎ ‎(2)设,则点N的横坐标为 - 23 -‎ 直线AB的斜率为 曲线在点N处的切线的斜率为 假设曲线在点N处的切线平行于直线AB,则 即 所以,‎ 设 令 所以在是增函数,又 所以,‎ 即,‎ 所以不成立,‎ 所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切线问题,还考查了分类讨论,转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.‎ 选修4-4参数方程极坐标 ‎22.在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(t - 23 -‎ 为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求椭圆的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线与轴分别交于两点,点是圆上任意一点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1),;(2)8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据参数方程,消去t即可.由,利用两角和的正弦公式展开得,再利用求解. ‎ ‎(2)直线与两坐标轴的交点分别是,根据参数方程,设点P的坐标为,可得点到直线的距离为,利用三角函数的性质求得最值,再由求解.‎ ‎【详解】(1)由参数方程,消去t得,,‎ 所以圆的普通方程为.‎ 由,得,‎ 所以直线的直角坐标方程为:.‎ ‎(2)直线与两坐标轴的交点分别是,‎ 设点P坐标为,‎ 点到直线的距离为,‎ 当,时点到直线的距离最大,‎ 所以,‎ - 23 -‎ 所以的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程,极坐标方程,直角坐标方程转化和直线参数方程的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ 选修4-5不等式选讲 ‎23.选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)已知关于的不等式的解集为,若,求 实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据题目进行分类讨论的化简,继而算出结果(2)利用不等式求解,再根据条件计算出实数的取值范围 解析:(1)因为,所以,‎ ‎,‎ 或或 解得或或, ‎ 所以,‎ 故不等式的解集为.‎ ‎(2)因为,‎ 所以当时,恒成立, ‎ 而 ,‎ - 23 -‎ 因为,所以,即,‎ 由题意,知对于恒成立,‎ 所以,故实数的取值范围.‎ - 23 -‎ - 23 -‎
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