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文档介绍
四川省绵阳南山中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
www.ks5u.com 绵阳南山中学2020年绵阳三诊模拟考试数学试题(文史类) 第一卷(选择题,共60分) 一、单项选择题 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合,根据交集定义,即可求得答案. 【详解】, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了交集运算,解题关键是掌握交集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 2.已知复数(,是虚数单位)为纯虚数,则实数的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,因为是纯虚数,所以,. 故选A. 3.已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 - 23 - 根据同角三角函数的基本关系式求得,由此求得,进而求得表达式的值. 【详解】,所以,. 因为,所以. 故选:D 【点睛】本题考查三角恒等变换的知识,考查运算求解能力. 4.下列叙述中正确的是( ) A. 若,则“”的充分条件是“” B. 若,则“”的充要条件是“” C. 命题“对任意,有”的否定是“存在,有” D. 是一条直线,是两个不同的平面,若,则 【答案】D 【解析】 试题分析:当时,推不出,错,当时,推不出,错,命题“对任意,有”的否定是“存在,有”,C错,因为与同一直线垂直的两平面平行,所以D正确. 考点:充要关系 5.已知,,,则() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数函数和指数函数单调性,利用临界值和可得到所处的大致范围,从而得到结果. 【详解】 - 23 - 本题正确选项: 【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题,关键是能够确定临界值,利用临界值确定所求式子所处的大致区间. 6.若同一平面内向量两两所成的角相等,且,则等于( ) A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】因为同一平面内向量两两所成的角相等,所以当三个向量所成的角都是120°时,,即;当三个向量所成的角都是0°时,.故或5.选C. 【点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式;二是坐标公式;三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家、天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( ) - 23 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 执行给定的程序框图,输入,逐次循环,找到计算的规律,即可求解. 【详解】由题意,执行给定的程序框图,输入,可得: 第1次循环:; 第2次循环:; 第3次循环:; 第10次循环:, 此时满足判定条件,输出结果, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题. 8.设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极大值,则函数 - 23 - 的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为-2为极值点且为极大值点,故在-2的左侧附近>0,-2的右侧<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时,排除BC,当x<-2且在-2的左侧附近时,,排除AC, 故选D 9.在区间[0,2]中随机取两个数,则两个数中较大的数大于的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 两个数构成有序数对,对应平面区域,两个数中较大的数大于,其对立事件是两个数都小于等于,求出概率即可. 【详解】在区间[0,2]中随机取两个数,两个数构成有序数对, 构成的区域如图中大正方形, 又“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于或等于”的对立事件, - 23 - 且在区间[0,2]中随机取两个数,这两个数都小于或等于, 所构成的平面区域的面积为, 故两个数中较大数大于的概率. 故选:A 【点睛】此题考查几何概型,将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域,利用面积求解. 10.已知直三棱柱,,,和的中点分别为、,则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 如图所示:分别以为轴建立空间直角坐标系,得到,,计算夹角得到答案. 【详解】如图所示:分别以为轴建立空间直角坐标系. 故,,,,故,. ,即与夹角的余弦值为. 故选:. - 23 - 【点睛】本题考查了异面直线夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11.已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为,若三角形的面积为,则点轨迹的一个焦点坐标可以是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 如图所示,不等式所表示的平面区域内一点,可得点的轨迹为直线之间并且包括轴在内的区域,再根据三角形的面积为,即可求得点轨迹的一个焦点坐标. 【详解】如图所示, - 23 - 则,. 不等式所表示的平面区域内一点,可得点的轨迹为直线之间并且包括轴在内的区域. ∴ ∵ 三角形的面积为 ∴,即点轨迹方程为. ∴焦点坐标为. 故选:A. 【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 12.函数,,若对恒成立,则实数的范围是() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数可得在上的取值范围为,其中,令换元,把对恒成立转化为对恒成立,分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案. 【详解】解:,, ,, 在上有零点, 又在上成立, - 23 - 在上有唯一零点,设为, 则当时,,当时,, 在上有最大值, 又, , 令, 要使对恒成立,则 对恒成立, 即对恒成立, 分离,得, 函数的对称轴为,又, , 则. 则实数的范围是. 故选A 【点睛】本题考查函数恒成立问题,训练了利用导数研究函数的单调性,考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题,属难题. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.某时段内共有辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图,根据图形推断,该时段时速超过的汽车辆数为 . - 23 - 【答案】77 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图,求出时速超过的汽车的频率,即可求出对应的汽车辆数. 【详解】根据频率分布直方图,得时速超过的汽车的频率为; 所以时速超过的汽车辆数为. 故答案为:77. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应根据频率分布直方图,会计算样本数据,频率与频数的大小,是基础题. 14.函数的图象向右平移个长度单位后,得到函数的图象,若函数为偶函数,则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由,向右平移个长度单位后,得到函数,再根据函数为偶函数求解. 【详解】函数, - 23 - 向右平移个长度单位后,得到函数, 因为函数为偶函数, 所以, 即, 因为, 所以. 故答案为: 【点睛】本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 15.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________. 【答案】3 【解析】 不妨设,,则,又,所以,利用导数易知在上递减,在上递增,所以当时,的最小值为3,故答案为3. 16.已知正三棱锥的侧面是直角三角形,的顶点都在球O的球面上,正三棱锥的体积为36,则球O的表面积为__________. - 23 - 【答案】108 【解析】 【分析】 先利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题,从而将问题转化为正方体的外接球问题. 【详解】∵正三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直, ∴此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球O, 设球O的半径为R, 则正方体的边长为, ∵正三棱锥的体积为36, ∴V= ∴R= ∴球O的表面积为S=4πR2=108 故答案为108. 【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化,棱柱的几何特征,球的几何特征,三棱锥体积的表示方法,有一定难度,属中档题. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.如图,在直角梯形中,,将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. - 23 - (1)求证:平面; (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2)2. 【解析】 【分析】 (1)根据,得到再根据勾股定理得到,然后根据平面平面,利用面面垂直的性质定理证明. (2)由(1)知:BC为三棱锥的高,,分别求得,,再根据求解. 【详解】(1)因为, 所以, 因为平面平面,平面平面平面 平面; (2)由(1)知:BC为三棱锥的高,, ,, 因为, 即, 解得. 【点睛】本题主要考查面面垂直,线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题. - 23 - 18.某商店为了更好地规划某种产品的进货量,该商店从某一年的销售数据中,随机抽取了8组数据作为研究对象,如表(吨)为该商品的进货量,(天)为销售天数: x/吨 2 3 4 5 6 8 9 11 y/天 1 2 3 3 4 5 6 8 (1)根据上述提供的数据,求出关于的回归方程; (2)在该商品进货量不超过6吨的前提下任取2个值,求该商品进货量恰好有1个值不超过3吨的概率. 参考数据和公式:, 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)根据提供的数据,分别求得,然后写出回归直线方程; (2)根据古典概型的概率求法,先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数,然后找出恰好有1次不超过3吨的基本事件的个数,再代入公式求解. 【详解】(1)由题意得:, 所以回归直线方程为; (2)进货量不超过6吨有2,3,4,5,6共5个, 任取2个有有10个结果, 恰好有1次不超过3吨的有:共6种 所以所求的概率为 【点睛】本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法,还考查了运算求解的能力,属于中档题. - 23 - 19.已知正项数列的前n项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)设是的前n项和,求使成立的最大正整数n. 【答案】(1);(2)5. 【解析】 【分析】 (1)当时,根据,得到,两式相减得,再利用等差数列的定义求解. (2)根据(1)得到,用裂项相消法求,然后再代入求解. 【详解】(1)当时,由, 得, 两式相减得, 当时,,且 所以数列是等差数列, ; (2), , 解得, 所以最大的正整数为5. - 23 - 【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n项和间的关系以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 20.已知椭圆的离心率为,左右焦点分别是,过的直线交椭圆于两点. (1)若以线段为直径的动圆内切于圆,求椭圆的长轴长; (2)当时,问在轴上是否存在定点,使得为定值?如果存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)6;(2)存在,, . 【解析】 【分析】 (1)设的中点为M,连接,根据中位线得到求解. (2)直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为,与椭圆方程联立整理得到,设,若为定值,则需成立求解. 【详解】(1)设的中点为M,连接, 在中,所以, 所以, 故椭圆的长轴长为6; (2)因为椭圆方程为, - 23 - 当直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为, 则, , 设, , 当时,即, 为定值,定值为, 当直线AB的斜率不存在时,, 当时,, 综上,在x轴上存在定点,使得为定值. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 21.已知函数,. (1)当时,求函数在区间上的最小值; (2)记函数图象为曲线,设点是曲线C上不同的两点,点M为线段AB的中点,过点M作轴的垂线交曲线C于点N,试问:曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB?并说明理由. 【答案】(1);(2)不平行,理由见解析. - 23 - 【解析】 【分析】 (1)求导,分,,,四种情况讨论求解. (2)设,则点N的横坐标为,表示直线AB的斜率,再表示曲线在点N处的切线的斜率,然后假设曲线在点N处的切线平行于直线AB,则,论证是否成立即可. 【详解】(1), 当时,由得, 当时,在单调递减, 所以在上最小值为, 当时,上单调递减,在上单调递增, 所以在上最小值为, 当时,在上单调递增, 所以在上最小值为, 综上,函数在上最小值为; (2)设,则点N的横坐标为 - 23 - 直线AB的斜率为 曲线在点N处的切线的斜率为 假设曲线在点N处的切线平行于直线AB,则 即 所以, 设 令 所以在是增函数,又 所以, 即, 所以不成立, 所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB. 【点睛】本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切线问题,还考查了分类讨论,转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题. 选修4-4参数方程极坐标 22.在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(t - 23 - 为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求椭圆的普通方程和直线的直角坐标方程; (2)设直线与轴分别交于两点,点是圆上任意一点,求面积的最大值. 【答案】(1),;(2)8. 【解析】 【分析】 (1)根据参数方程,消去t即可.由,利用两角和的正弦公式展开得,再利用求解. (2)直线与两坐标轴的交点分别是,根据参数方程,设点P的坐标为,可得点到直线的距离为,利用三角函数的性质求得最值,再由求解. 【详解】(1)由参数方程,消去t得,, 所以圆的普通方程为. 由,得, 所以直线的直角坐标方程为:. (2)直线与两坐标轴的交点分别是, 设点P坐标为, 点到直线的距离为, 当,时点到直线的距离最大, 所以, - 23 - 所以的面积的最大值为. 【点睛】本题主要考查参数方程,极坐标方程,直角坐标方程转化和直线参数方程的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 选修4-5不等式选讲 23.选修4-5:不等式选讲 设函数. (1)求不等式的解集; (2)已知关于的不等式的解集为,若,求 实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】 试题分析:(1)根据题目进行分类讨论的化简,继而算出结果(2)利用不等式求解,再根据条件计算出实数的取值范围 解析:(1)因为,所以, , 或或 解得或或, 所以, 故不等式的解集为. (2)因为, 所以当时,恒成立, 而 , - 23 - 因为,所以,即, 由题意,知对于恒成立, 所以,故实数的取值范围. - 23 - - 23 -查看更多