北师大版八年级数学上册全册优秀教案（共181页）

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1 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第 1 课时 勾股定理（1） 【知识与技能】 1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识， 主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系. 2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的 意识及能力. 3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长. 【过程与方法】 1.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想. 2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识. 【情感态度】 1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情. 2.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神. 【教学重点】 探索勾股定理. 【教学难点】 用测量和数格子的方法探索勾股定理. 一、创设情境，导入新课 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等 腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相 等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊 的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影 1（章前的图文 P1），介绍数 学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号. 【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激 发学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知 勾股定理 做一做： 2 1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样 的关系？与同伴交流. 【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质. 2.观察教材图 1—2，正方形 A 中有 个小方格，即 A 的面积为 个面积单 位.正方形 B 中有 个小方格.即 B 的面积为 个面积单位.正方形 C 中有 个小方格，即 C 的面积为 个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的 基础上教师接着发问.教材图 1—2 中，A、B、C 之间的面积之间有什么关系？ 【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾 股定理. 归纳得出结论：SA+SB=SC. 3.教材图 1—3 中，A、B、C 之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？ 【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对 勾股定理的理解. 4.如果直角三角形两直角边分别是 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度，上面所猜想的数 量关系还成立吗？说明你的理由. 【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到 观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高. 议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出 来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力. 【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定 理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2.我国古代称 直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来. 三、运用新知，深化理解 1.在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，若 a=5,b=12，则 c= . 2.在直角三角形的 ABC 中，它的两边长的比是 3∶4，斜边长是 20，则两直角边长分别 是 . 【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学 生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化. 【答案】1.13；2.12，16 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？ 【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对 知识的梳理. 3 完成练习册中本课时相应练习. 本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学 也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广. 第 2 课时 勾股定理（2） 【知识与技能】 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识 和合作交流的习惯. 2.掌握勾股定理和它的简单应用. 【过程与方法】 1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方 法. 2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法. 【情感态度】 在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通 过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解 决实际问题的经验和感受. 【教学重点】 能熟练应用拼图法证明勾股定理. 【教学难点】 用面积证勾股定理. 4 一、创设情境，导入新课 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有 普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容. 【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论 证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏. 二、思考探究，获取新知 勾股定理的验证及简单运用 做一做： 1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个 图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流. 【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想. 2.为了计算教材图 1—4 中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教 材 P51—5、1—6 图. （1）将所有三角形和正方形的面积用 a，b，c 的关系式表示出来； （2）教材图 1—5、1—6 中正方形 ABCD 的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与 同伴进行交流. （3）你能分别利用教材图 1—5、1—6 验证勾股定理吗？ 【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又 让学生体会到一题多解. 【归纳结论】勾股定理的证明方法达 300 多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并 阅读教材 P7-8 的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野. 三、运用新知，深化理解 1.一块长 3m，宽 2.2m 的薄木板能否从一个长 2m，宽 1m 的门框内通过，为什么？ 2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每小时飞行多少千米？ 【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答. 并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实 生活中去. 【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过. 2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC 的∠C=90°，AC=4000 米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道 20 秒时间里飞行的路程，即图中的 CB 的长，由于△ABC 的斜边 AB=5000 米，AC=4000 米，这样 BC 就可以通过勾股定理得出， 这里一定要注意单位的换算. 5 解：由勾股定理得 BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2） 即 BC=3 千米 飞机 20 秒飞行 3 千米.那么它 1 小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时） 答：飞机每小时飞行 540 千米. 四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？ 【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模 型. 完成练习册中本课时相应练习. 了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的 时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中 也蕴含着许多数学道理. 2 一定是直角三角形吗 【知识与技能】 掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用. 【过程与方法】 通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用. 【情感态度】 敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一 步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识. 6 【教学重点】 探索并掌握直角三角形的判别条件. 【教学难点】 运用直角三角形判别条件解题. 一、创设情境，导入新课 展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的 12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要 求操作. 甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结. 乙：握住第四个结. 丙：握住第八个结. 拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这个角是多少度？ 古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三 角形呢？这就是我们今天要研究的内容. 【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发 现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、 观察探究的能力. 二、思考探究，获取新知 直角三角形的判别 做一做： 下面的三组数分别是一个三角形的三边 a、b、c. 5、12、137、24、258、15、17 1.这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？ 2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 3.如果三角形的三边长为 a、b、c，并满足 a2+b2=c2. 那么这个三角形是直角三角形吗？ 【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣， 增强了他们勇于探索的精神. 【归纳结论】如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角 形.满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们 可以利用“三角形三边 a、b、c 满足 a2+b2=c2 时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形 状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法. 三、运用新知，深化理解 1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由. 7 （1）9,12,15; （2）15,36,39; （3）12,35,36; （4）12,18,22. 2.已知△ABC 中 BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角. 3.四边形 ABCD 中已知 AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，且∠DAB=90°，求这个四边形的面 积. 【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件的理解，帮 助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学生完成《创优作业》中 本课时的“课堂自主演练”部分. 【答案】 1.（1）（2）两组能作为直角三角形的三边长. ∵92+122=152，152+362=392. ∴这两个三角形都是直角三角形. 2.直角，∠A 3.解：连结 BD，在△ABD 中，∠DBA=90°，BD2=AB2+AD2=32+42，BD=5.在△DBC 中，∵ 52+122=132，即 DB2+BC2=DC2，∴△DBC 为直角三角形，∠DBC=90°，∴S 四边形 ABCD=S△DAB+S△ DBC= 1 2 ×3×4+ 1 2 ×5×12=36. 四、师生互动，课堂小结 1.判断一个三角形是直角三角形的条件. 2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流. 【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统整理知识的 好习惯. 8 1.教材 P10-11 习题 1.3 第 2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解.当然 勾股定理的理解是关键. 3 勾股定理的应用 【知识与技能】 1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学 建模的思想. 【过程与方法】 在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生达到熟练、 灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能 力. 【情感态度】 通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识， 再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值. 【教学重点】 探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实 际问题. 【教学难点】 利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决 实际问题. 9 一、创设情境，导入新课 勾股定理的应用 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需要多 长的梯子？ 日常生活当中，我们还会遇到下面的问题. 【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学 习新知识又一次打下了坚实的基础. 二、思考探究，获取新知 蚂蚁怎么走最近？ 出示问题：有一个圆柱，它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米.在圆柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ （π的取值 3）. （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉 得哪条路线最短呢？ （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A 点到 B 点的最短路线是什么？你 画对了吗？ （3）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 B 点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？ 【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为 直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用. 【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母 线 AA′将圆柱的侧面展开（如下图）. 10 我们不难发现，刚才几位同学的走法： 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. 三、运用新知，深化理解 1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨 8∶00 甲先出发，他以 6 千米/时的速 度向东行走.1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北进行，上午 10∶00，甲、乙两人相 距多远？ 2.如图，有一个高 1.5 米，半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔 中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米，问这根铁棒应有多长？ 【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的 知识进行强化，以利于教师及时纠正. 【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型. 解：（如图）根据题意，可知 A 是甲、乙的出发点，10∶00 时甲到达 B 点，则 AB=2×6=12 （千米）；乙到达 C 点，则 AC=1×5=5（千米）. 在 Rt△ABC 中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以 BC=13 千米.即甲、乙两人相距 13 千 米. 2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围 而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的 A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时. 解：设伸入油桶中的长度为 x 米，则应求最长时和最短时的值. （1）x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5 所以最长是 2.5+0.5=3（米）. 11 （2）x=1.5，最短是 1.5+0.5=2（米）. 答：这根铁棒的长应在 2～3 米之间（包含 2 米、3 米）. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？ 【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果. 1.教材 P14~15 第 1、2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的 训练. 第一章 勾股定理本章归纳总结 【知识与技能】 掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问 题，以便能熟练灵活运用. 【情感态度】 让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、 讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望. 【教学重点】 用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题. 【教学难点】 能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据 勾股定理建立方程. 12 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本 章知识及它们之间的相互联系. 二、释疑解惑，加深理解 1.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来， 是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习 提供了方法和依据. 说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在. 2.勾股定理中的分类讨论 在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的 长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一 条直角边和斜边长求另一条直角边. 3.曲面两点间的距离问题 在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距 离，这是解决问题的关键. 三、典例精析，复习新知 例 1 一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE（如 图所示），求 CD 的长. 13 【分析】设 CD 为 x，∵AD=BD，∴AD=8-x. ∴在△ACD 中，根据勾股定理列出关于 x 的方程即可求解. 解：由折叠知，DA=DB.在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AC2+CD2=AD2，若设 CD=xcm，则 AD=DB= （8-x）cm，代入上式得 62+x2=（8-x）2，解得 x=7/4=1.75(cm)，即 CD 的长为 1.75cm. 例 2 有一个立方体礼盒如图所示，在底部 A 处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急 于捕捉到蚊子充饥. （1）试确定壁虎所走的最短路线； （2）若立方体礼盒的棱长为 20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少 要爬行多少厘米？（保留整数） 【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平 面图形. 解：（1）若把礼盒上的底面 A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′ A′）在同一平面内，然后连接 AC′，根据“两点间线段最短”知线段 AC′就是壁虎捕捉蚊 子所走的最短路线. （2）由（1）得，△ABC′是直角三角形，且 AB=20，BC′=40.根据勾股定理，得 AC′ 2=AB2+BC′2=202+402,AC′≈44.7（cm）,44.7÷0.5≈90（cm/min）. 所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行 90 厘米（只入不舍）. 【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点 评，便于学生熟练加以运用. 四、复习训练，巩固提高 1.已知在△ABC 中，∠B=90°，一直角边为 a，斜边为 b，则另一条直角边 c 满足 c2= . 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a=12，c-b=8，则 b= ，c= . 3.如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D 为垂足，AC=2.1，BC=2.8. 求：（1）△ABC 的面积； （2）斜边 AB 的长； （3）斜边 AB 上的高 CD 的长； （4）斜边被分成的两部分 AD 和 BD 的长. 14 【答案】1.b2-a2；2.5，13； 3.解：（1）S△ABC= 1 2 AC×BC= 1 2 ×2.1×2.8=2.94. （2）AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5. （3）由三角形的面积公式得 1 2 AC×BC= 1 2 AB×CD，所以 1 2 ×2.1×2.8= 1 2 ×3.5×CD， 解得 CD=1.68. （4）在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AD2+CD2=AC2， ∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682 =（2.1+1.68）(2.1-1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2×0.21 =22×9×0.214×0.21. ∴AD=2×3×0.21=1.26. ∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24. 五、师生互动，课堂小结 本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题 吗？还有哪些不足？ 【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师 应及时补充和点拨. 1.复习题 4.5 第 11、12 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知 识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键. 第二章 实数 1 认识无理数 15 【知识与技能】 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性. 2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数. 3.会判断一个数是有理数还是无理数. 【过程与方法】 让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理 数还是无理数，训练大家的思维判断能力. 【情感态度】 1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神. 2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力. 【教学重点】 1.无理数的探索过程. 2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断. 【教学难点】 把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 一、创设情境，导入新课 同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？ 在小学我们学过自然数、小数、分数. 在初一我们还学过负数. 对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的 正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际 生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需 要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备. 二、思考探究，获取新知 无理数的概念 拼一拼： 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后， 动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ 【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入 到活动中，调动了学生的积极性. 16 同学们展示，拼图的结果. 下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为 a，则 a 应满足什么条件呢？ 【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是 a 是不是有理数很有帮 助. 【归纳结论】因为 12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以 a 应在 1 和 2 之 间，故 a 不可能是整数，又(1/2)2=1/4， (1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以 a 不可能是分数. 做一做： 大家判断一下 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为 2 的正方形边长不是有理数，而是一 种新数. 同学们能不能确定一下面积为 2 的正方形的边长为 a 的大致范围呢？ 请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下. 17 还可以进行下去吗？a 是有限小数吗？ 【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为 下面引出无理数的概念打下了基础. 【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数. 如：圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.而 3，45，0.38，0 17.  ， 它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数. 三、运用新知，深化理解 1.判断题 （1）有理数与无理数的差都是有理数. （2）无限小数都是无理数. （3）无理数都是无限小数. （4）两个无理数的和不一定是无理数. 2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整 数组成）. 在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数. 18 【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在， 让学生的疑难及时得到矫正与强化. 【答案】1.（1） ；（2） ；（3）√；（4）√； 2. 0.351，-2/3， 4 96.  ，3.14159；-5.2323332…，123456789101112…（由相继的 正整数组成）. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困难？ 【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生 正确解题. 1.习题 2.2 第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的范围的又一 次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是 19 很好，只能在以后的教学过程中不断的完善. 2 平方根 第 1 课时 算术平方根 【知识与技能】 1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非正 负数的算术平方根. 【过程与方法】 经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法. 【情感态度】 学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲. 【教学重点】 了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 【教学难点】 理解算术平方根的概念、性质. 一、创设情境，导入新课 上节课我们学习了无理数、 了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无 理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是 无限不循环小数.比如在 a2=2 中，2 是有理数，而 a 是无理数.在前面我们学过若 x2=a，则 a 叫 x 的平方，反过来 x 叫 a 的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题. 【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平 方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识. 二、思考探究，获取新知 算术平方根的概念和求法. 下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： 20 x2= ，y2= ，z2= ，w2= 请大家分析一下，x、y、z、w 中哪些是有理数？哪些是无理数？ 【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术平方根的概 念作了开端. 【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于 2，3，5，所以 x、y、w 不是有理数， 而是无理数，即 x= 2 ，y= 3 ，w= 5 .因为 22=4.所以 z=2，是有理数. 若一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，则这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根.记为“ a ” 读作“根号 a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定 0 的算术平方根是 0，即 0 =0. 下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根. 例 1 求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14. 通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？ 【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，有利于对 算术平方根概念的理解. 【答案】解：（1）因为 302=900，所以 900 的算术平方根是 30，即 900 =30；（2）因 为 12=1，所以 1 的算术平方根是 1，即 1=1；（3）因为（7/8）2=49/64，所以 49/64 的算术 平方根是 7/8，即 4964 =7/8；（4）14 的算术平方根是 14 . 【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取语言叙述和 符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方 根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化. 三、运用新知，深化理解 1.填空题. （1）若一个数的算术平方根是 5 ，则这个数是 . （2）49 的算术平方根是 . 21 （3）正数 的平方为 144/25， 719 的算术平方根为 . （4）（-1.44）2 的算术平方根为 . （5） 81 的算术平方根为 ， 0 04. = 2.求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来： （1）（7.4）2；（2）(-3.9)2；（3）2.25；（4） 12 4 . 3.自由下落的物体的高度 h（米）与下落时间 t（秒）的关系为 h=4.9t2.有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 【教学说明】学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平方根的求法 和表示方法. 【答案】1.（1）5；（2）2/3；（3）12/5，4/3；（4）1.44；（5）3，0.2. 2.（1） 27 4（ ）. =7.4；（2）  23 9. =3.9；(3) 2 25. =1.5；（4） 12 4 =3/2. 3.解：将 h=19.6 代入公式 h=4.9t2 得 t2=4，所以 t= 4 =2（秒） 即铁球到达地面需要 2 秒. 四、师生互动，课堂小结 本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同学们交流. 【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，加深印象.找出不足，共同提高. 1.习题 2.3 第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课从一个数的平方入手，用逆向思维求一个数的算术平方根，学生容易接受，解决 22 问题起来应该说是得心应手，但要注意算术平方根的符号表示方法. 第 2 课时 平方根 【知识与技能】 1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算. 2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系. 【过程与方法】 经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法，能 从相似的事件中找到它们的共同点和不同点. 【情感态度】 通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精 神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走向社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨 的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者. 【教学重点】 1.了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方 根. 2.平方根与算术平方根的区别和联系. 【教学难点】 1.平方根与算术平方根的区别和联系. 2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算. 一、创设情境，导入新课 上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a. 则 x 叫 a 的算术平方根，记作 x= a ，而且 a 也是非负数，比如正数 22=4，则 2 叫 4 的算 术平方根，4 叫 2 的平方，但是（-2）2=4，则-2 叫 4 的什么根呢？下面我们就来讨论这个 问题. 【教学说明】通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有 一 个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备. 二、思考探究，获取新知 1.平方根、开平方的概念 请大家思考两个问题. （1）9 的算术平方根是 3，也就是说，3 的平方是 9，还有其他的数，它的平方也是 9 23 吗？ （2）平方等于 4/25 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？ 【教学说明】学生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平方根的概念 有了初步认识. 【归纳结论】3 的平方等于 9，-3 的平方也等于 9，3 是 9 的算术平方根，-3 是 9 的平 方根.平方等于 4/25 的数有两个，即 2/5 和-2/5，平方等于 0.64 的数也有两个，即 0.8 和 -0.8. 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个 x 就叫 a 的平方根（square root）， 也叫二次方根，3 和-3 的平方都等于 9，由定义可知 3 和-3 都是 9 的平方根，即 9 的平方根 有两个 3 和-3，9 的算术平方根只有一个是 3. 由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？ 【教学说明】让学生找出平方根和算术平方根的相同点与不同点，对于正确理解两个不 同的概念和学生准确解题很有帮助. 【归纳结论】联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根 的一种. （2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. （3）0 的平方根、算术平方根都是 0. 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根”；“非负 数 a 的非负平方根叫 a 的算术平方根”. （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. （3）表示法不同：正数 a 的平方根表示为± a ，正数 a 的算术平方根表示为 a . （4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一 个. 什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？ 【教学说明】使学生明白加与减、乘与除、平方与开平方都是互为逆运算. 2. 平方根的性质 请大家思考下面的问题： （1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ 【教学说明】通过前面的学习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反 数； 0 有一个平方根是 0；负数没有平方根，加深对平方根概念的理解. 24 【教学说明】由平方根的定义，学生不难得出结果，对于平方根的求法再次加深，以达 到熟练运用. 三、运用新知，深化理解 1.求下列各数的平方根. 1.44，0，8，100/49，441，196，10-4 2.填空 （1）25 的平方根是 ； （2）（-5）2= ； （3）（5）2= . 3.判断下列各数是否有平方根？并说明理由. （1）（-3）2；（2）0；（3）-0.01；（4）-52；（5）-a2；（6）a2-2a+2 【教学说明】学生自主完成，加深对平方根概念的理解和检测学生对平方根求法的掌握 情况，及时点拨，得以强化. 【答案】1.±1.2，0，± 2 2 ，±10 7 ，±21，±14，± 1 100 2.（1）±5，（2）5，（3）5 3.有平方根的是：（-3）2，0，a2-2a+2，因为它们都是非负数；-0.01，-52 没有平方根， 因为它们都是负数；-a2，只有当 a=0 时它才有平方根. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾平方根和开平方的概念以及只有非负数才有平方根. 2.本节课你有哪些收获？还存在哪些不足？ 【教学说明】引导学生回顾知识点，找出它们之间的联系与区别以及学习过程中存在的 不足，便于进一步深化和查漏补缺. 25 1.习题 2.4 第 1、2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 这节主要是算术平方根与平方根的区别与联系，其中表示方法，求式子的值都是很容易 混淆的.大部分的学生还是能勉强的掌握.但还是要在以后的教学过程中再多让学生分清他 们. 3 立方根 【知识与技能】 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，明白开立方与立方互为逆运算. 3.正确区分立方根与平方根的不同. 【过程与方法】 在学习平方根的基础上，用类比的方法学习立方根的有关知识. 【情感态度】 结合本节课的特点，训练学生类比思想的养成，发展他们求同求异思维，使他们能在复 杂的环境中明辨是非. 【教学重点】 1.立方根的概念. 2.会求一个数的立方根. 【教学难点】 区分立方根与平方根的不同之处. 26 一、创设情境，导入新课 上节课我们学习了平方根的定义，若 x2=a，则 x 叫 a 的平方根，即 x=± a .正方体 的棱长为 a，体积为 8，根据正方体体积的公式得 a3=8，那么 a 叫 8 的什么呢？本节课请大 家根据上节课的内容自己来类推出结论，若 x3=a，则 x 叫 a 的什么呢？ 【教学说明】学生比较容易由平方根的定义类推得出立方根的定义，他们心目中已经对 立方根有了初步认识. 二、思考探究，获取新知 1.立方根的概念及求法 下面大家能不能根据平方根的定义和记法来类推立方根的定义和记法呢？ 【教学说明】由于学生在前面对于立方根的由来有了初步接触，应该来说学生接受比较 快，容易掌握. 【归纳结论】若一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（cube root；也叫三次方根）.记为 x= 3 a ，读作 x 等于三次根号 a，如 2 是 8 的立方根，-2/3 是-8/27 的立方根，0 是 0 的立方根. 大家能否由开平方的定义，再类推开立方的定义呢？ 【教学说明】学生在已学的开平方的基础上不难得出开立方的定义，有利于加深立方根 概念的理解. 【归纳结论】求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方，其中 a 叫做被开方数. 2.立方根的性质 （1）2 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是 8？ （2）-3 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27？ （3）0 的立方等于多少？0 有几个立方根？ 【教学说明】从立方入手，让学生对立方根的求法再次得到加深. 【归纳结论】正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0 的立方根有一个，是 0. 3.平方根与立方根的区别与联系 我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家 说说它们的联系与区别. 【教学说明】让学生找出平方根与立方根的联系与区别.对于正确理解两个不同而又容 易混淆的概念和准确解题有很大帮助. 【归纳结论】联系：（1）0 的平方根、立方根都有一个是 0. 27 （2）平方根、立方根都是开方的结果. 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根”；“如果 一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根”. （2）个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方 根，一个负数有一个立方根. （3）表示法不同 正数 a 的平方根表示为± a ，a 的立方根表示为 3 a . （4）被开方数的取值范围不同 ± a 中的被开方数 a 是非负数； 3 a 中的被开方数可以是任何数. 例 1 求下列各数的立方根： （1）-27，（2）8/125；（3）0.216；（4）-5. 请大家思考下列问题： 3 a 表示 a 的立方根，则（ 3 a ）3 等于什么？ 3 3a 等于什么？ 例 2 求下列各式的值： 【教学说明】由立方根的定义，学生不难得出结果，对于立方根的求法再次加深，以达 到熟练运用. 三、运用新知，深化理解 28 【教学说明】学生独立完成，加深对立方根概念的理解和检测学生对于立方根求法的掌 握情况，及时指导、点拨，得以强化提高. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾立方根和开立方的概念以及立方根的性质. 2.本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ 【教学说明】引导学生回顾所学知识，找出它们的相同点和不同点以及学习过程中存在 的疑惑，便于进一步深化提高. 29 1.习题 2.5 第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节的内容最好在学生熟练掌握平方根的内容的前提下进行.这样就能让学生用类推的 方法得出立方根的相关结论.很容易理解与掌握.从学生上课的反映来看，这节课应该是比较 成功的. 4 估算 【知识与技能】 1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比 较两个数的大小. 2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感. 【过程与方法】 通过一系列实际问题的解决让学生逐步掌握估算的基本方法. 【情感态度】 培养学生把数学应用于日常生活中的能力，对结果合理性的觉察能力，近似估算能力. 【教学重点】 掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性. 【教学难点】 掌握估算的方法，形成估算的意识. 一、创设情境，导入新课 在前面我们已经了解了估算一个根号表示的无理数一般是采用夹逼的方法.例如要估算 20 的大小，首先要找出 20 邻近的完全平方数.在日常生活中，往往要遇到估算一个比较 大的数的平方根或立方根，我们怎么办呢？通过下面的学习你就明白了. 【教学说明】由于第二章第一节内容已经初步接触到估算，为他们后面学习估算比较大 的数作好了铺垫. 二、思考探究，获取新知 估算和数的大小比较 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽 30 的 2 倍，它的面积为 400000 米 2 1.公园的宽大约是多少？它有 1000 米吗？ 2.如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是多少？与同伴交流. 3.该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 米 2，你能估计它的半径吗？（误差小 于 1 米） 【教学说明】从实际问题出发，关注学生能否主动从事估算等活动.对于较复杂的计算 可用计算器. 议一议： （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流. （2）你能估算 3 900 的大小吗？（结果精确到 1）. 【教学说明】通过估算检验计算结果的合理性，在活动过程中能否向同伴清晰的解释自 己的想法，并从中得到启发. 例 1 根据生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 1/3， 则梯子比较稳定.现在有一个长度为 6 米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 米高的墙头吗？ 例 2 在公园两侧分别有一柱状雕塑，高度分别是 5 1 2  （米）与 1 2 （米），通过估算， 试比较它们的高矮.你是怎么样想的？与同伴交流. 【教学说明】让学生体验生活中无处不在的数学，用数学语言有条理地表达自己估算思 考过程. 三、运用新知，深化理解 1.估算下列数的大小： （1） 5 89. （精确到 0.01） （2） 3 1285 （精确到-1） 2.通过估算，比较下面各组数的大小； （1） 14 ，3.85；（2） 5 1 2  ，7/8. 3.下列估算正确吗？说说你的理由. （1） 8956 ≈9.5； （2） 3 12345 ≈232. 4.如图，一旗杆高 10 米，旗杆顶部 A 与地面一固定点 B 之间要拉一笔直的铁索，已知 固定点 B 到旗杆底部的距离是 7 米，一工人准备了长约 12.5 米的铁索，你认为这一长度够 吗？ 31 【教学说明】教师可以引导学生先猜想然后再验证，让他们逐步掌握精确估算的方法. 教学中宜采用分析法，不同的学生可能有不同的做法. 四、师生互动，课堂小结 通过本课的学习，你有什么收获？我们一起共享；你有什么问题？我们一起解决. 【教学说明】引导学生回顾所学知识，总结得出，便于及时矫正强化，达到共同提高. 1.习题 2.6 第 1、2、5 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 计算器的缺乏使这节课上的比较困难.不过问题与实际结合的很好，学生思考比较积极， 32 大胆猜想，最终还是较好的完成了学习任务. 5 用计算器开方 【知识与技能】 1.会用计算器求平方根和立方根. 2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. 【过程与方法】 通过使用计算器求一个数的平方根与立方根操作过程，弄清计算器的操作方法. 【情感态度】 让学生亲自使用计算器，培养他们的动手能力，激发他们的求知欲望，调动他们学习的 兴趣. 【教学重点】 用计算器求平方根和立方根；运用计算器探求数学规律. 【教学难点】 探求规律，发展合情推理的能力. 一、创设情境，导入新课 出示科学计算器教学模板.利用科学计算器怎样进行开方运算呢? 【教学说明】使用科学计算器教学模板这一教学用具，直观、易于操作，调动了学生学 习的兴趣，为这一节课的学习做了个良好的开端. 二、动手操作，获取新知 用计算器进行开方运算 下面给大家说明一下开平方、开立方运算的方法. （1）开方运算要用到乘方运算键 x2 第二功能“ ”和∧第二功能“ x ” （2）对于开平方运算，按键顺序为：2nd x2 被开方数 = （3）对于开立方运算，按键顺序为：3 2nd ∧ 被开方数 = 【教学说明】用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同.如用有些计 算器进行开平方运算时，先按被开方数，然后按“ ”. 1.让学生跟随教师按步骤利用计算器计算下列各数： 33 【教学说明】让学生跟随教师尝试着使用计算器进行开平方或立方运算，达到熟练掌握 使用计算器的方法和步骤. 2.做一做. 利用计算器，求下列各式的值.（结果精确到 0.01） （1） 800 ；（2） 3 22 5 ；（3） 0 58. ；（4） 3 0 432. . 【教学说明】教师让学生交流完成上述各题，加深他们使用计算器的操作方法的理解， 使所学知识得到强化. 【展示结果】（1）28.28；（2）1.64；（3）0.76；（4）-0.76. 例 利用计算器比较 3 3 和 2 的大小. （1）让学生讨论得出如何比较两数大小的方法. （2）让一个学生把计算 3 3 和 2 的过程在教学模板上演示. （3）教师演示 P37 例题的解答过程. 【教学说明】通过学生多次使用计算器，以提高他们的运算速度和正确率. 【归纳结论】我们利用计算器不仅可以进行开方运算，还可以比较两个无理数的大小. 三、运用新知，深化理解 1.利用计算器求下列各式的值.（保留 4 个有效数字） 2.利用计算器，比较下列各组数的大小. 3.（1）任意找一个正数，利用计算器将该数除以 2，所得结果再除以 2…… 随着运算次数的增加，你发现了什么？ （2）再用一个负数试一试，看看是否仍有类似的规律. 【教学说明】随着使用计算器次数的增加，让学生自主完成应该没有什么困难.以达到 熟练准确运用的目的. 34 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回忆利用计算器求平方根和立方根的按键顺序. 2.这节课你还掌握哪些知识？还有什么疑问？与同伴交流. 【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，加强印象，达到熟练操作使用计算器.找出 疑问，及时解决，共同提高. 1.习题 2.7 第 1、2 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 学生愿意使用计算器这一学习工具，帮助他们解决了学习上的不少较为麻烦的运算，在 轻松愉快的学习中获取数学知识，无疑增加了他们学习数学的信心和热情. 6 实数 【知识与技能】 1.了解实数的意义，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，能对实数按要求分 类. 2.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 3.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数. 【过程与方法】 在学习有理数的基础上用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识. 【情感态度】 通过复习旧知识探索新知识，培养学生学习的生动性，敢于大胆猜想，和同学能积极交 流的合作意识. 【教学重点】 了解实数的意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的 点来表示无理数. 35 【教学难点】 用数轴上的点来表示无理数. 一、创设情境，导入新课 我们以前学过有理数和无理数，那什么叫有理数？什么叫无理数？请举例说明. 把下列各数分别填入相应的集合内： 【教学说明】在已学的有理数和无理数的基础上，顺其自然地得出实数的概念.学生很 容易接受. 【归纳结论】有理数和无理数统称实数，即实数可分为有理数和无理数. 二、思考探究，获取新知 1.在实数概念基础上对实数进行不同分类. 无理数与有理数一样，也有正负之分，如 3 是正的，-π是负的. 思考： 正有理数： 负有理数： 有理数： 无理数： （2）0 属于正数吗？0 属于负数吗？ 36 （3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？ 【教学说明】“思考”是使学生明确实数有两种不同的分法，加深了对概念的理解. 【归纳结论】实数还可以分为正实数、0、负实数. 2.了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值 的意义完全一样吗？ 【教学说明】在有理数的相反数、倒数、绝对值意义的基础上学习实数范围内相反数、 倒数、绝对值的意义，毫无疑问地给了学生一把拐杖，为后面的学习起了导航作用. 3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用.我们在有理数范围内学过运算法 则和运算律是否在实数范围内这些运算法则和运算律还能继续用呢？ 【教学说明】使学生明白实数范围内的运算法则和运算律可以在有理数的基础上直接套 用，给他们的学习减轻了不少的麻烦. 4.用数轴上的点来表示无理数. （1）如图，OA=OB，数轴上点 A 对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？ （2）你能在坐标轴上找到 5 对应的点吗？如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数 轴上被填满了吗？ 【教学说明】利用数形结合的思想让学生进一步认识了实数的分类. 【归纳结论】A 点对应的数等于 2 ，它介于 1 与 2 之间.如果将所有有理数都标到数 轴上，数轴未被填满，在数轴上还可以表示无理数. 37 每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.即 实数和数轴上的点是一一对应的. 一样地，在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大. 三、运用新知，深化理解 1.判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3） 带根号的数都是无理数. 2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值. 3.在数轴上作出 5 对应的点. 【教学说明】学生独立完成加深对所学知识的理解和检测对实数分类和有关概念的掌握 情况，对学生存的问题及时指导，并进行强化. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回忆实数的两种分类，相反数、倒数、绝对值的意义等知识点. 2.通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？还存在哪些不足？ 【教学说明】引导学生回顾所学知识，进行知识提炼和系统归纳整理，有助于学生加深 印象，便于理解. 38 1.习题 2.8 第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节内容并不复杂，很大部分是借助旧知识学习新知识，绝大部分同学掌握得很好.但 在个别问题上，如-π属于负无理数，不属于小数或分数的范围，在今后的学习中需不断完 善. 7 二次根式 第 1 课时 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式和最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式. 2.正确运用公式： . 【过程与方法】 1.经历观察、比较、总结二次根式基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力. 2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 【情感态度】 经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现 39 发现的快乐，并提高应用的意识. 【教学重点】 二次根式的概念和性质，最简二次根式的概念与化简. 【教学难点】 二次根式的化简. 一、创设情境，导入新课 观察下列代数式： 这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？ 【教学说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点为给二次根式下定义做好准备. 【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数. 一般地，形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数. 二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！ 二、思考探究，获取新知 二次根式的概念与化简 做一做： （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ （2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴 进行交流. 【教学说明】学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲 40 无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导. 【归纳结论】 即积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算 术平方根除以除数的算术平方根. 注意：a、b 的取值范围不能忽略. 【教学说明】利用二次根式的性质，学生对于例 1 比较容易理解，教师对于例 2 可以适 当点拨. 【归纳结论】一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二 次根式，叫做最简二次根式. 注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根 式. 三、运用新知，深化理解 1.下列式子是二次根式的有（ ）个. A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） 41 3.化简： 4.一个直角三角形的斜边长为 20，一条直角边长为 15，求另一条直角边长. 【教学说明】学生独立完成，可以加深对新学知识的理解和掌握二次根式的有关概念和 性质的运用的掌握情况.便于及时纠正错误，得以强化提高. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次根式、最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识. 2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？与同学们交流. 【教学说明】通过对新学知识点的回顾，总结得出，及时解答学生存在的疑难问题，有 利于共同提高. 1.习题 2.9 第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 这节课的主要内容就是根据二次根式的两个性质进行化简.学生对于比较直观一些的二 42 次根式的化简很熟练，但对于略微复杂一点的二次根式的化简还不能够达到灵活自如，有待 在今后的学习中加大训练力度. 第 2 课时 二次根式的四则运算 【知识与技能】 1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算. 2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用. 3.学会运用把不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这 些项合并. 【过程与方法】 1.通过实数的运算与二次根式的运算比较体会类比的思想. 2.通过二次根式的运算培养学生的运算能力. 【情感态度】 通过对二次根式运算的学习使学生认识到事物之间是相互联系的.激发学生学习热情， 让学生充分参与到数学学习过程中来，使他们体验到成功的乐趣. 【教学重点】 二次根式加减乘除的运算. 【教学难点】 探讨二次根式运算的方法，快速准确地运用公式和运算律进行二次根式的运算. 一、创设情境，导入新课 前面我们学习了二次根式的两个性质：积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子， 即 现在把等号的左边与右边交换，就可得到二次根式的乘法法则和除法法则： 【教学说明】通过回忆旧知识得出新知识，学生并不陌生，有一定的基础，掌握起来也 很容易，增强了学生学习数学的自信心和勇气. 二、思考探究，获取新知 43 二次根式的加减、乘除运算 依据上面的法则，下面的式子你会计算吗？ 例 1 计算： 【教学说明】教师引导学生尝试着直接运用法则进行二次根式的乘除法运算，可以作适 当点拨. 注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式. 同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然 适用.下面的计算不妨试一试？有困难的可以和同学交流. 例 2 计算： 【教学说明】对于有些二次根式的运算可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简 便，这就要在解题之前观察式子的特点，教师可以引导学生合作做题，错误较多的地方教师 再作矫正、强调. 注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并.根号前面是带分 数的要化成假分数. 通过上面的学习，我们已经知道了怎样进行二次根式的加减乘除运算.下面的题，你能 独立做吗？ 例 3 计算： 44 【教学说明】通过前面两个例题的学习，学生进行二次根式的运算有了一定的基础，让 学生体验成功的喜悦. 三、运用新知，深化理解 1.化简： 2.计算： 3.一个直角三角形的两条直角边长分别为 5 cm 和 45 cm,求这个直角三角形的面积. 【教学说明】学生自主完成，加深对二次根式运算方法和技巧的掌握，提高他们运算的 正确率和计算速度.特别要结合式子的特点运用公式和法则使计算简便. 45 . 四、师生互动，课堂小结 通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的想法. 【教学说明】鼓励学生用自己的语言进行总结、归纳，特别是运算过程中要注意的几个 细节，教师可以适度提醒. 1.布置作业：习题 2.10 中的 1、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 二次根式的运算并非一时就能熟练地掌握的，有待在今后的教学中花时间加大训练，以 达到又准又快的目的. 第 3 课时 二次根式的混合运算 46 【知识与技能】 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以 前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算. 【过程与方法】 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序 及运算律在计算过程中的作用. 2.通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法. 【情感态度】 通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注重培养学生的类比思想. 【教学重点】 混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用. 【教学难点】 灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便. 一、创设情境，导入新课 已知：矩形的长是5 2 2 3 ，宽是 6 ，求它的面积. 你能求出这个矩形的面积吗？ 通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题. 【教学说明】学生依据前面所学的二次根式的加减乘除四则运算的法则解答这个问题难 度不大.通过问题的设置，激起学生的探索兴趣和求知欲望. 二、思考探究，获取新知 二次根式的混合运算 例 1 计算： 47 【教学说明】可以让学生独立做，再小组合作，总结交流计算中存在的不足，使学生逐 渐掌握运算的规律和技巧方法，理解新旧知识的联系. 注：如果在二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留 原来的形式，不必将它化成最简二次根式. 议一议： 化简 1( b ) aba   ，其中 a=3，b=2，你是怎么做的？与同伴进行交流. 【教学说明】把二次根式中的被开方数由原来的数字形式改为字母形式，可能学生有些 不适应，教师可以根据实际情况做必要的点拨。 注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简，再把字母的值代入求得. 做一做： 如图所示，图中小正方形的边长为 1，试求图中梯形 ABCD 的面积，你有哪些方法？与 同伴进行交流. 【教学说明】把勾股定理与二次根式的混合运算充分地结合起来，提高了学生综合分析 解决问题的能力. 48 三、运用新知，深化理解 【教学说明】学生独立完成，不断提高他们的运算速度和正确率，灵活运用公式或运算 律的能力再次得到深化，达到事半功倍. 四、师生互动，课堂小结 通过今天的学习你有何收获？请你提醒大家，本节课所研究的内容，有什么需要特别记 住的，有哪些地方是特别容易出错的. 【教学说明】不同的学生可能理解不一样，让学生能够说出自己的错误，让全班同学引 以为戒，互相取长补短，达到整体提高. 49 1.布置作业：习题 2.11 中的第 1、2 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 二次根式的混合运算是学生的一大弱点，在计算过程中稍不留心很容易出错.在教师的 正确引导和适度训练下会有很大的提高. 第二章 实数本章归纳总结 【知识与技能】 理解并掌握本章重要知识点，学生估算，能灵活运用运算法则、运算律或公式进行二次 根式的运算. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的提高学生的估算能力和运用类比的方法 进行二次根式的运算. 【情感态度】 在学习本章知识的过程中，让学生体会到事物之间的相互联系、相互作用.激发他们的 探索热情和提高他们学习的积极性. 【教学重点】 回顾本章重要的概念，实数的运算. 【教学难点】 掌握估算的方法，熟练准确地进行二次根式的混合运算. 一、知识框图，整体把握 50 【教学说明】教师引导学生回顾本章所学的知识点，展现知识结构体系框图，有助于学 生加深理解各知识之间的区别和相互联系. 二、释疑解惑，加深理解 1.平方根的求法 对于平方根的求法，一定要看清所给数的形式.如：求 81 的平方根不能认为是±9.因 为 81 =9，其实就是求 9 的平方根，所以 81 的平方根应该是±3. 2.实数的分类. ①并不是所有的带根号的数都是无理数.如： 4 =2，它是有理数. ②无限循环小数不能认为是无理数.如 10 3 3.  ，它是分数，是有理数而不是无理数. 3.二次根式的运算. ①只有化简后如果被开方数相同，才能将它们进行合并.如 2 + 3 ≠ 5 ,因为它们本 身就是最简二次根式，并且被开方数也不相同，不能直接把被开方数相加. ②有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律.如： 这两种形式要认真理解才能算得准确. 三、典例精析，复习新知 例 1（1） 25 的算术平方根是 ； （2）若 2x =3，则 x= ； （3）若 a 的平方根是±2，则 a= ; 51 （4） 28 = ， 27（ ） = . 【分析】（1）先求 25 =？再求?的算术平方根； 25 =5，5 的算术平方根是 5 ；（2） 由 2x =3,可得 3 是 x2 的算术平方根，所以 x2=9,即可求出 x=±3;（3）由 a 的平方根是± 2,可得 a =4，即可求 a=16；（4）先算出 82，（-7）2 的值，再求它们的算术平方根，即 28 =8,  27 =7. 例 2 比较 13 3 8  与 1 8 的大小. 【分析】本题利用估算法，其基本思路是设 a、b 为任意两个正实数，先估算出 a、b 两数或两数中某个数的取值范围，再进行比较. 【分析】先化简二次根式，要保证被开方数开出来结果的正确性，这与 a+ 1 a 和 a- 1 a 的 结果有直接的关系. 52 . 【教学说明】教师和学生共同回顾本章知识点，针对平时容易忽略又会发生错误的地方， 教师要给予强调说明. 四、复习训练，巩固提高 1.下列说法错误的是（ ） 53 【教学说明】这几个比较典型的题目是为了检测学生对本章重点知识的掌握情况，提高 学生的解题能力和运算速度. 五、师生互动，课堂小结 本节复习课你能完整地回顾有关实数的知识点吗？你觉得哪些地方需要给大家提醒的， 可以与大家一起分享.教师根据实际情况适当补充. 1.布置作业：从复习题中选取. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课从构建知识框架入手，以学生平时容易犯的错和中考热点为主线，提高学生解决 问题的能力和解题速度. 54 第三章 位置与坐标 1 确定位置 【知识与技能】 认识到在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，并能准确地确定物体的位置. 【过程与方法】 通过对实际问题的分析，经历建立数学模型解决实际问题的过程. 【情感态度】 体验确定物体的位置在现实生活中应用的广泛性，逐步建立数学的应用意识. 【教学重点】 理解确定物体位置的意义和作用. 【教学难点】 如何确定一个物体或点的具体位置. 一、创设情境，导入新课 在日常生活中，我们常常会遇到： （1）在电影院内如何找到电影票上所指的位置？ （2）在电影票上，“3 排 6 座”与“6 排 3 座”中的“6”的含义相同吗？ 上面的问题你能解决吗？你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 【教学说明】用学生比较熟悉的事例引入，容易引起学生的注意，唤起全体学生的学习 欲望，使他们很快融入到学习中. 二、思考探究，获取新知 确定物体或点的位置 思考：（1）在电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？ （2）在生活中，确定物体的位置还有其他方法吗？与同伴进行交流. 【教学说明】通过学生的讨论、总结归纳得出结果，解决问题的方法可能有多种，培养 学生自觉地将数学应用于生活的意识和一题多解的能力. 例教材第 54~55 页例题. 【教学说明】让学生明确确定一个物体或点的具体位置需要两个数据，从而找到表示平 面内一个确定位置的方法. 做一做： 教材第 55 页“做一做”. 55 【教学说明】通过给出的数据找到对应点的位置与给出物体所在的位置如何来描述相结 合，让学生体会它们之间的相互转化，加深对知识的理解. 议一议： 在平面内，确定一个物体的位置一般需要几个数据： 【教学说明】经过上面的学习，学生很容易回答问题，能对所学知识进行提炼和归纳. 三、运用新知，深化理解 1.下列数据中不能确定物体的位置的是（ ） A.1 单元 105 号 B.北偏东 60° C.清风路 32 号 D.东经 120°，北纬 40°. 2.如下图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，纵线 用数字表示，横线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为（C，4），白棋②的位置可 记为（E，3），则黑棋⑨的位置应记为. 3.如下图，小明家在 A（10，8）处,小刚家在 B（4，4）处，从小明家到小刚家可以按 下列两条路线走： 路线一：（10，8）→（10，7）→（8，7）→（8，6）→（6，6）→（6，5）→（4，5） →（4，4） 路线二：（10，8）→（4，8）→（4，4） （1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短； （2）请你仿照上述方法再写出一条路线. 56 【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用以及检查学生掌握情况. 对有困难的学生教师及时指导，错误及时纠正，并加强训练. 【答案】1.B 2.(D,6) 3.（1）原图中的 部分，这两条路线一样长. （2）（10，8）→（10，4）→（4，4）. 四、师生互动，课堂小结 通过今天的学习，你能确定一个物体或点的具体位置或根据具体位置如何来描述吗？还 有什么心得体会，与大家共享. 【教学说明】引导学生回顾所学知识，加深印象.同学之间互相取长补短，达到共同进 步. 1.布置作业：习题 3.1 中的第 1、2 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 通过检测的情况来看，学生对于给出的数据去找对应的点或物体相对容易一些，而给出 物体或点来确定它的位置要困难一些.在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，促 进全面提高. 2 平面直角坐标系 第 1 课时 平面直角坐标系 【知识与技能】 认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，能画出点的坐标位置. 【过程与方法】 57 渗透对应关系，提高学生的数感. 【情感态度】 体验数、符号是描述现实世界的重要手段. 【教学重点】 平面直角坐标系的组成和用有序实数对来表示点的坐标. 【教学难点】 根据点的位置写出点的坐标，根据点的坐标描出点的位置. 一、创设情境，导入新课 我们知道：数轴上的一个点可以用一个数来表示，这个数就叫做这个点的坐标.你能采 用类似的办法解决下面的问题呢？ 问题见教材第 58 页“做一做”上面的内容. 【教学说明】从学生身边发生的事情为例出发，激发他们的学习兴趣，经历体验解决问 题的过程. 二、思考探究，获取新知 1.平面内点的表示方法. 教材第 58 页“做一做”. 【教学说明】让学生初步掌握已知平面内点的坐标怎样描出这个点的方法和已知平面内 的点怎样找到这个点的坐标的方法，经历这样相反的两个过程加深了对知识的理解. 2.平面直角坐标系的组成. 究竟怎样确定平面内一个点的位置呢？这就需要利用平面直角坐标系. 阅读教材思考： （1）什么是平面直角坐标？它由什么组成？各部分的名称是什么？ （2）什么叫横坐标、纵坐标？如何来表示一个点的坐标？ （3）平面直角坐标系分成哪几个部分？各部分的名称是什么？它们点的坐标有什么特 征？ 【教学说明】充分利用学生自主学习的机会，使学生明白平面直角坐标系的组成以及各 部分坐标特点，自己发现其中的规律，培养学生的观察、联想能力和总结归纳的能力. 教材第 60 页“做一做”. 【教学说明】让学生经历在平面直角坐标系由描点的过程深切体会到平面直角坐标系内 的点与有序实数对之间的对应关系，加深了对知识的理解与运用. 【归纳结论】在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即 点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应. 三、运用新知，深化理解 58 1.点 P 的横坐标是-3，纵坐标为-7，则点 P 的坐标可记作 ，点 P 在第 象限. 2.若点 M（a+b,ab）在第二象限，那么点 N（a,b）在第 象限. 3.点 M 位于 x 轴下方，距 x 轴 3 个单位长，且位于 y 轴左侧，距 y 轴 2 个单位长，则 M 的坐标是（ ）. A.（-3，-2） B.（-3，2） C.(-2,-3) D.（2，-3） 4.根据图中正方形的位置，分别写出边长为 2 的正方形 ABCD 的各点坐标. （1） （2） （3） 5.如图，建立平面直角坐标系，使点 B、C 的坐标分别为（0，0）和（4，0），写出点 A、 D、E、F、G 的坐标，并指出它们所在的象限. 【教学说明】教师让学生独立完成，及时让学生巩固平面内点的坐标和表示方法，有助 于学生理解和消化所学的知识.通过反馈的情况教师及时纠正并加以强化. 【答案】1.（-3，-7），三；2.三；3.C 4.（1）A（0，0），B（-2，0），C（-2，2），D（0，2） （2）A（0，0），B（-2，0），C（-2，-2），D（0，-2） （3）A（0，0），B（0，-2），C（2，-2），D（2，0） 5.解：如图所示的坐标系，∴A(-2,3),D(6,1),E(5,3),F(3,2),G(1,5),点 A 在第二象限. 点 D、E、F、G 都在第一象限. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾平面直角坐标系的概念及组成，以及各部分的坐标特征等知识点. 2.你觉得本节课还有什么需要大家掌握的？与同学们共同分享.有什么问题与大家交 59 流. 【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，让学生在大脑中形成一个完整的知识体系， 同时也培养学生总结概括能力. 1.布置作业：习题 3.2 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 学生在利用点的坐标特征解决问题时还存在许多误区.如：点的横坐标与这个点到 y 轴 的距离有关，点的纵坐标与这个点到 x 轴的距离有关，而学生往往理解成相反的意思.在这 方面还需要花一定时间让学生逐步提高. 第 2 课时 建立适当的平面直角坐标系 【知识与技能】 感受点与坐标之间的对应关系，能指出坐标对应的点和点对应的坐标；同时 认识到坐标轴上的点，各象限内的点的坐标的特征. 【过程与方法】 通过点与坐标间的对应关系和点的坐标的特征，解决实际问题. 【情感态度】 通过用坐标确定物体的位置的方法使同学们认识到学习坐标的意义，增加同 学们学习的热情. 60 【教学重点】 坐标轴上及各象限内的点的坐标的特征. 【教学难点】 指出不同点的对应坐标的意义. 一、创设情境，导入新课 前面我们已经学习了如何在平面直角坐标系内根据位置找点的坐标和根据 坐标来找点的位置.利用这个知识，你能解决下面的问题吗？ 问题：教材第 62 页例 2. 【教学说明】通过学生实际操作，既对上节课所学的知识进行了巩固，又通 过观察得出平行于坐标轴点的坐标特征.为这一节课的学习作好了充分的准备. 二、思考探究，获取新知 1.各个象限点的坐标特点. 做一做： 教材第 63 页“做一做”. （3）不描出点，你能判断 A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限吗？ 【教学说明】学生利用点的坐标总结归纳各个象限内点的坐标特征，使知识 体系化，运用方便化. 2.特殊位置的点的坐标之间的关系. 教材第 64 页习题 3.3 第 3 题. 讨论：什么位置上的坐标间有类似的关系？ 有类似关系的坐标所对应的点，有怎样的位置关系？ 【教学说明】 学习通过讨论、交流，认识到通过知道点的特殊位置关系，从而确定坐标间 的关系，反之亦然，使解题简单化. 三、运用新知，深化理解 1.点 A(m,-2),B(3,m-1)且直线 AB∥x 轴，则 m 的值为 . 2.矩形 ABCD 中，A（-4，1），B（0，1），C（0，3）则点 D 的坐标为 . 3.已知(a-2)2+｜b+3｜=0,则 P(-a,-b)的坐标为（ ） 61 A.（2，3） B.（2，-3） C.（-2，3） D.（-2，-3） 4.如图，△ABC 中，点 A 的坐标为（0，1），点 C 的坐标为（4，3），如果 要使△ABD 与△ABC 全等，那么点 D 的坐标是 . 【教学说明】教师让学生独立完成，加深对所学知识的理解和检验学生掌握 情况，对于第 4 题教师可以正确引导，给有困难的学生及时帮助，让疑难问题当 堂消化. 【答案】1.-1；2.（-4，3）；3.C；4.（4,-1）或（-1,3）或（-1，-1） 四、师生互动，课堂小结 1.教师引导学生回顾各个象限内点的坐标特点和平行 y 坐标轴点的坐标特征 以及建立平面直角坐标的方法步骤. 2.这节课你掌握了哪些内容？还有哪些疑问？请与大家交流. 【教学说明】引导学生从多个方面回顾本节重点知识，帮助学生养成在学习 中不断总结归纳形成知识网络的好习惯，同时也加深了学生的理解与掌握. 完成练习册中本课时相应练习。 本节采用自主学习和组内合作学习的教学模式，通过学生自己大胆的尝试， 让学生在学习中得到乐趣，培养团结合作精神. 第 2 课时 建立适当的平面直角坐标系 【知识与技能】 62 1.能利用与坐标轴平行的点的坐标特征解决有关问题. 2.通过具体的实例，帮助学生掌握建立适当的直角坐标系描述点的位置的方 法.培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及把实际问题转化为数 学问题的能力. 【过程与方法】 通过用直角坐标系表示点或物体的位置，使学生体会平面直角坐标系在实际 生活的应用. 【情感态度】 通过多种形式的学习，培养学生合作交流的意识和探索精神. 【教学重点】 建立适当的坐标系表示点的位置. 【教学难点】 建立适当的坐标系. 一、创设情境，导入新课 前面我们已经学习了如何在平面直角坐标系内根据位置找点的坐标和根据 坐标来找点的位置.利用这个知识，你能解决下面的问题吗？ 问题：教材第 62 页例 2. 【教学说明】通过学生实际操作，既对上节课所学的知识进行了巩固，又通 过观察得出平行于坐标轴点的坐标特征.为这一节课的学习作好了充分的准备. 二、思考探究，获取新知 1.建立适当的平面直角坐标系. 教材第 65 页例 3. 讨论：除了上面的方法外，你还可以怎样建立直角坐标系？ 【教学说明】学生通过讨论、交流，体验建立坐标系的位置不同，所得的结 果并不完全一样.当然，可以根据实际情况力求使解题简单化. 2.已知点的坐标求其他点的坐标. 教材第 66 页习题 3.4 第 3 题. 【教学说明】 63 由从坐标系上用已知坐标找点的过程反向思考，培养学生的逆向思维，并寻 求最简单解题方法. 教师引导学生完成教材第 65 页例 4. 讨论：教材第 65 页“议一议”. 【教学说明】经历运用所学的知识，寻找实际背景的过程，使学生体验到数 学是解决实际问题和进行交流的重要工具.在现实生活中有着广泛的应用. 三、运用新知，深化理解 1.已知等边三角形 ABC 的两个顶点坐标为 A（-4，0），B（2，0），则点 C 的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 2.如图，象棋盘中的小方格均是边长为 1 个单位长度的正方形，“炮”的坐 标为（-2，1），“帅”的坐标为（1，-1），则“卒”的坐标为 . 3.如图，一个机器人从 O 点出发，向正东方向走 3 m 到达 A1 点，再向正北走 6m 到达 A2 点，再向正西走 9m 到达 A3 点，再向正南走 12m 到达 A4 点，再向正东方向走 15 m 到达 A5 点，……按如此规律走下去，当机器人走到 A6 点时，A6 点的坐标是 . 4.如下图是我市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为 1 个单位长度）.请以某景点为原点，建立平面直角坐标系，并用坐标表示各景点 的位置. 64 5.根据以下条件在图中画出小玲、小敏、小凡家的位置，并标明它们的坐标. 小玲家：出校门向西走 150 米，再向北走 100 米. 小敏家：出校门向东走 200 米，再向北走 300 米. 小凡家：出校门向南走 100 米，再向西走 300 米，最后向北走 250 米. 【教学说明】教师让学生独立完成，加深对所学知识的理解和检验学生掌握 情况，对于第 5 题教师可以正确引导，给有困难的学生及时帮助，让疑难问题当 堂消化. 【答案】【答案】1.（-1，3 3 )或（-1，-3 3 ） 9 3 ； 2.（3，2）； 3.(9,12)； 4.以光岳楼为原点建立平面直角坐标系.如下图.则各景点所在位置的坐标 为： 光岳楼（0，0），金凤广场（-2，-2），动物园（6，3），湖心岛（-1.5，1）， 山峡会馆（4，-1）. 5.如图，小玲家（-150，100），小敏家（200，300），小凡家（-300，150）. 65 四、师生互动，课堂小结 1.教师引导学生回顾各个象限内点的坐标特点和平行 y 坐标轴点的坐标特征 以及建立平面直角坐标的方法步骤. 2.这节课你掌握了哪些内容？还有哪些疑问？请与大家交流. 【教学说明】引导学生从多个方面回顾本节重点知识，帮助学生养成在学习 中不断总结归纳形成知识网络的好习惯，同时也加深了学生的理解与掌握. 完成练习册本课时相应练习. 就学生反馈的情况看，对如何建立坐标系和方案的最优化还十分欠缺，还有 部分学生利用比例尺在坐标系中解决实际问题不是很熟练，有待今后进一步加强 训练. 3 轴对称与坐标变化 66 【知识与技能】 1.会由一点求关于坐标轴对称的点的坐标. 2.掌握两点关于坐标轴对称的坐标规律，并能利用这个规律在平面坐标系中作出一个图 形的轴对称图形. 【过程与方法】 在找两点关于坐标轴对称的坐标规律的过程中，培养学生的语言表达能力、观察能力、 归纳能力，养成良好的自觉探索的习惯，体会数形结合的思想方法. 【情感态度】 在找点、描点的过程中让学生体会数形结合的思想，激发学生学习数学的乐趣. 【教学重点】 会由一点求关于坐标轴对称的点的坐标. 【教学难点】 找两点关于坐标轴对称的坐标规律. 一、创设情境，导入新课 情境教材第 68 页例题上方的内容. 【教学说明】学生通过观察和实际操作对关于坐标轴对称点的坐标特点有个初步的认识. 利用数形结合帮助他们进一步理解这一规律. 二、思考探究，获取新知 关于坐标轴对称点的坐标特点. 前面，我们已经对关于坐标轴对称点之间的关系有了一定的了解，利用这个关系，请看 例题并思考. 例教材第 68 页例题 【教学说明】一方面，通过学生描点对以前所学知识加以巩固；另一方面，让学生经历 纵坐标不变，横坐标乘-1 点的坐标变化形成的规律特征，印象深刻. 做一做： 教材第 69 页“做一做” 【教学说明】相反的，当把上面的各个顶点的横坐标不变，纵坐标乘-1 所形成的规律 特征让学生形成鲜明的对比，有助于学生理解与记忆. 【归纳结论】关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数. 三、运用新知，深化理解 1.平面直角坐标系中，点 P（4，-5）关于 x 轴的对称点在（ ） A.第一象限 67 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 P（x,y）的坐标满足等式（x-2）2+｜y-1｜=0，点 P 与 P1（x1,y1）关于 y 轴对称， 则 x1,y1 的对应值为（ ） A.-2，1 B.2，-1 C.2，1 D.-2，-1 3.已知点 A（a+2b,1）,B(-2,2a-b). （1）若点 A、B 关于 x 轴对称，求 a、b 的值. （2）若点 A、B 关于 y 轴对称，求 a+b 的值. 4.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，分别作出与△ABC 关于 x 轴和 y 轴对称的图 形. 【教学说明】学生独立完成，加深对所得规律的理解和检查他们学以致用的情况.学习 过程中有困难的同学教师要及时给予帮助. 68 四、师生互动，课堂小结 1.共同回顾关于坐标轴对称点的坐标规律. 2.通过这节课的学习，你已经掌握了哪些新知识?还存在哪些疑惑？请与大家交流. 【教学说明】教师引导学生回顾已学知识，加深印象便于理解和记忆.通过总结得出， 互相取长补短，利于共同进步.规律不需要死记硬背，要结合图形来理解. 1.布置作业：习题 3.5 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 学生对于规律性的知识一般采用死记硬背的方法，题目稍作变换就不能灵活加以运用， 解决实际问题的过程中必要时利用图形帮助我们达到快速高效的目的. 第三章 位置与坐标本章归纳总结 【知识与技能】 掌握平面直角坐标系的概念及组成，学会建立平面直角坐标系以及利用轴对称的坐标规 69 律解决有关问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识点，充分利用平面直角坐标系与点的坐标之间一一对应关系，才使数 与形的相互转化得以体现，加深了对知识的理解. 【情感态度】 通过实例用有序实数对来表示点的位置和运用有序实数对建立数学模型的过程，让学生 感受到平面直角坐标系在实际生活中广泛应用的价值.激发学生的学习热情. 【教学重点】 平面内点的坐标的表示方法及求法，能建立适当的平面直角坐标来描述点所处的位置以 及利用轴对称的坐标规律解决实际问题. 【教学难点】 建立适当的平面直角坐标系的优化方案和利用轴对称的坐标规律解决问题. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，让学生对本章所学知识 有个系统地了解.教学时，可以边回顾边建立结构图. 二、释疑解惑，加深理解 1.平面直角坐标系与点的坐标. ①一、三象限角平分线上的点横、纵坐标同号；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标 异号，但他们到两坐标轴的距离都相等，注意有时要考虑到这两种情况的存在. ②点的横坐标与该点到 y 轴的距离有关，点的纵坐标与该点到 x 轴的距离有关.不能理 解为相反的意思.同时点的横、纵坐标的值可正可负，而距离只可能为非负数. 2.在坐标系中求几何图形的面积. 在坐标系中求图形的面积一般从两个方面去把握：（一）通常向坐标轴作垂线运用“割” 或“补”的方法将要求的图形转化为一些特殊的图形，去间接计算面积；（二）需要将已知 点的坐标转化为线段的长度，以备求面积的需要. 三、典例精析，复习新知 例 1 若点 P(m,n)在第二象限，则点 Q（-m,-n）在第 象限. 70 【分析】本题考查象限内点的坐标的符号特征.由点 P(m,n)在第二象限，可知 m<0，n>0， 则点 Q(-m,-n)坐标的符号特征为-m>0,-n<0，故点 Q 在第四象限，填四. 例 2 等腰梯形的各点坐标为 B（-1，0）,A(0,2),C(4,0)，则点 D 的坐标为 . 【分析】求一个点的坐标，首先求出它到 x 轴与 y 轴的距离，然后再看它所在的象限， 确定其横、纵坐标的符号. 解：如图，过点 D 作 DE⊥x 轴.∵ABCD 为等腰梯形. ∴CE=BO=1. 又∵C 点坐标为（4，0），∴OC=4. ∴OE=4-1=3. ∵AD∥BC, ∴D 点的纵坐标与 A 点纵坐标相等为 2. ∴D 点的坐标为（3，2）. 例 3 点 M（3，-4）关于 x 轴的对称点 M′的坐标是（ ） A.（3，4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（-4，3） 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标.关于 x 轴对称的两个点，横坐标相同， 纵坐标互为相反数，故 M′(3,4)，选 A. 例 4 在平面直角坐标系中，A（-3，4），B（-1，2），O 为原点，如图所示.求三角形 AOB 的面积. 【分析】本题考查利用坐标求图形的面积.在平面直角坐标系中求图形的面积，通常将 图形面积转化成边在两轴上的图形的面积的和或差，这种可以充分利用点的坐标求出图形中 线段的长度. 71 解：过点作 AE⊥y 轴于 E，过点 B 作 BD⊥y 轴于 D. 因为 A（-3，4），B(-1,2),所以 E(0,4),D(0,2)， 所以 OD=2,BD=1, AE=3,DE=OE-OD=4-2=2, 所以 S 三角形 AOB=S 三角形 AOE-S 三角形 OBD-S 梯形 BDEA = 1 2 AE·EO- 1 2 BD·OD- 1 2 (BD+AE)·DE= 1 2 ×3×4- 1 2 ×1×2- 1 2 ×(1+3)×2=6-1-4=1. 【教学说明】典型例题的分析，对学生解题起着非常重要的指导作用.教师在讲评的过 程中有必要让学生明白本章的重点有哪些.需要注意哪些问题.逐步加深印象. 四、复习训练，巩固提高 1.点 M（3a-1,1-5a）在 y 轴上，则 M 的坐标为 . 2.点 A（a-1,-3)在第四象限,点 B（2，b-1)在第一象限，则点 P（b,-a）的第 象限. 3.点 Q（a,b）到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，则符合条件的 Q 的坐标有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.如图所示，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出△ABC 关于 x 轴和 y 轴 对称的图形，并指出其对称顶点的坐标. 72 【教学说明】这部分安排了本章几个重点知识的运用，目的是为了检验学生的掌握程度， 便于及时查漏补缺. 【答案】1.0，-2/3；2.四；3.D 4.解：如图所示，先作△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′,再作△ABC 关于 x 轴对称的 △ A″B″C″. 因为△ABC 三个顶点的坐标为 A（-2，4），B(-4,1),C(-1,1),根据关于坐标轴对称的点 的坐标的特点可得 A′(2,4),B′(4,1),C′(1,1);A″(-2,-4),B″(-4,-1),C″(-1,-1). 五、师生互动，课堂小结 本节课你能完整回顾本章所学的与平面直角坐标系有关的知识吗？你认为哪些内容是 大家要掌握的？还存在哪些疑难问题？请与同学们探讨. 【教学说明】通过师生共同回顾本章所学知识，大胆放手让学生自主讨论，交流形成共 识，欠缺的地方教师做必要的补充. 1.布置作业：从复习题中选取. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课从归纳本章主要内容入手，以精选例题为范本，学生的实际运用为主线，通过学 生的归纳整理让本章所学内容全面得到深化，能力进一步提高. 第四章 一次函数 73 1 函数 【知识与技能】 1.认识变量、常量，并学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.逐步感知变量之间 的关系. 2.了解函数的三种表达方式. 【过程与方法】 经历观察、分析、思考等数学活动，发展合情推理，有条理、清晰地阐述自己的观点. 【情感与态度】 让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立 思考的习惯. 【教学重点】 认识变量、常量，用式子表示变量间的关系. 【教学难点】 用含有一个变量的式子表示另一个变量. 一、创设情境，导入新课 教材第 75 页内容. 【教学说明】用学习身边熟悉的娱乐活动引入，提出问题引发思考，激发了学生强烈的 求知欲望. 二、思考探究，获取新知 函数的概念. 做一做并思考： 教材第 76 页“做一做”. 【教学说明】学生通过观察、思考、探究的形式，体会当一个变量变化，另一个量也随 之发生变化的过程，为下面理解函数的概念做了充分准备. 【归纳结论】在上面的案例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确 定了另一个变量的值. 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 函数的表示方法一般有：列表法、关系式法和图象法. 讨论：上述问题中，自变量能取哪些值？ 【教学说明】不同的学生可能答案不一样.但是这是一个实际问题，自变量要符合本题 74 的实际意义，不能认为是任意实数. 【归纳结论】对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值， 这个对应值称为当自变量等于 a 的函数值. 三、运用新知，深化理解 1.现将 500 本笔记本捐助给贫困学生，每人 5 本，写出余下的笔记本数 y（本）和学生 数 x（名）之间的关系式为 ，自变量 x 的取值范围是 . 2.某型号的汽车在路面上的制动距离 s=v2/256，其中变量是（ ） A.s,v B.s,v2 C.s D.v 3.写出下列问题中满足的关系式，并指出各个关系式中哪些是常量，哪些是变量？ （1）用总长为 6m 的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积 S 与另一边长 x 之间的关系 式；（2）用总长为 l 的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为 60m2，求 l 与 x 之间的关系式. 【教学说明】让学生独立做，加强对函数及有关概念的理解，教师通过学生反馈的信息 了解他们掌握知识的情况，及时处理学生中的疑难问题并加强训练. 【答案】1.y=500-5x，0≤x≤100 且 x 为整数； 2.A 3.（1）S=x（3-x）=3x-x2，其中 3 是常量，x、S 是变量；（2）l=2（60/x+x）， 其中 60、2 是常量，l、x 是变量. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾函数、变量、常量、函数值等概念. 2.通过本节课的学习，谈谈你有什么收获？还有哪些不足？请与同学交流. 【教学说明】教师引导学生回顾本课有关知识点，学生大胆发言，对知识进行归纳整理， 有助于消化理解. 1.布置作业：习题 4.1 第 1、2 题. 75 2.完成练习册中本课时相应练习. 函数是学生接触的最新鲜的事物，不容易理解.在教学的过程中，要通过案例不断让学 生去体会函数的意义，便于今后的实际运用. 2 一次函数与正比例函数 【知识与技能】 1.掌握一次函数与正比例函数的一般形式并学会判断. 2.知道一次函数与正比例函数之间的关系，能利用一次函数和正比例函数解决实际问 题. 【过程与方法】 通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和 辨别能力. 【情感与态度】 利用学生独立思考、合作探究的学习形式培养学生科学的思维方法和良好的学习习惯. 【教学重点】 一次函数与正比例函数的概念 【教学难点】 利用一次函数与正比例函数的关系式解决实际问题. 一、创设情境，导入新课 教材第 79 页“做一做”上方的内容. 【教学说明】从跟物理学有关的问题入手，体现了各学科之间是相互联系相互渗透的. 同时也让学生认识到数学与现实生活是密不可分的，人们的需要产生了数学，调动他们学习 数学的积极性. 二、思考探索，获取新知 1.一次函数和正比例函数的概念. 做一做并思考： 教材第 79 页“做一做”. 【教学说明】由这些简单的实例让学生分析问题中各个量之间的关系，从现实生活中抽 象出数学模型，找到建立数学关系的方法，也为导出一次函数与正比例函数的概念做好铺垫. 你能利用我们刚学的知识解决下面的问题吗？请看： 76 教材第 79~80 页例 1 【教学说明】通过对具体实例的分析，既消化了学生对一次函数和正比例函数的理解， 又能为今后运用他们解决稍复杂的实际问题打下基础，同时也加强了它们之间的联系和区 别. 2.一次函数的实际应用. 教材第 80 页例 2. 【教学说明】教师可以引导学生完成，让学生学习已知自变量的值求对应的函数值和 已知函数值求自变量的值的方法.体现了一次函数与一元一次方程的密切联系，为后面的学 习奠定了基础. 三、运用新知，深化理解 1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ） 2.函数 y=（2m-1）xn+3+（m-5）是一次函数的条件是（ ） A.m≠ 1 2 且 n≠-3 B.n=-2 C.m≠ 1 2 且 n=-2 D.m≠ 1 2 且 m≠5，n=-2 3.若每上 6 个台阶就升高 1m，则上升高度 h（m）与上的台阶数 m 之间的函数关系式 为 .h 是 m 的 函数. 4.滑车以每分 1.5 米的速度匀速从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为 50 米. （1）求滑车滑行轨道剩下的路程 S（米）和滑行时间 t（分）之间的关系式. （2）如果滑行时间为 12 分钟，求剩下的路程. （3）若剩下的路程为 20 米，那么它滑行的时间为多少分钟？ 【教学说明】让学生独立完成，加深对一次函数和正比例函数的理解，同时也对所学的 知识也是个检验，教师及时纠正并有针对性地加强训练. 【答案】1.C. 2.C. 3.h=m/6(m)，一次（或正比例）. 4.解：（1）S=50-1.5t； （2）32（米）；（3）20（分）. 77 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾一次函数与正比例函数的一般形式. 2.本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？还有什么疑问？请与大家交流. 【教学说明】让学生参与小结并允许学生发表各自的见解，增加了学生的积极性和主动 性，培养他们对所学知识的回顾思考的习惯；同时也强调了本节课的重点，巩固了学习内容. 1.布置作业：习题 4.2 第 1、2、3 题 2.完成练习册中本课时相应练习.. 通过学生反馈的情况来看，绝大部分学生掌握得较好，但对于正比例函数是特殊的一次 函数这种情况容易忽略.同时还有极少部分同学运用一次函数的一般形式解决实际问题不是 相当熟练.在今后的教学中要花一定的时间不断完善提高. 3 一次函数的图象 第 1 课时 正比例函数的图象和性质 【知识与技能】 1.会利用描点法或两点法画出正比例函数的图象. 2.掌握正比例函数的性质. 【过程与方法】 通过对应描点来研究正比例函数的图象，经历知识的归纳、探究过程和利用正比例函数 的图象归纳函数性质，体验数形结合的方法. 【情感与态度】 通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图 象的简洁美. 【教学重点】 78 正比例函数的图象和性质. 【教学难点】 由正比例函数的图象归纳得出正比例函数的性质及对性质的理解. 一、创设情境，导入新课 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐 标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）.前面第 1 节就是 摩天轮上一点的高度 h（m）与旋转时间 t（min）之间函数关系的图象. 正比例函数 y=kx 的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！ 【教学说明】给出函数图象的定义，学生一目了然，结合实例便于学生理解它的含义， 为下面学习画函数图象指明了方向. 二、思考探究，获取新知 1.正比例函数图象的画法： 思考：（1）你准备来用什么方法画出正比例函数 y=2x 的图象？ （2）画出函数图象的一般步骤有哪些？ 【教学说明】让学生经历列表、描点、连线等画函数图象的具体过程，既可以加深对图 象意义的认识，了解图像上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习 如何画函数图象及对用描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备. 【归纳结论】画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 做一做： （1）画出正比例函数 y=-3x 的图象. （2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证他们是否都 满足关系式 y=-3x. 讨论：①满足关系式 y=-3x 的 x，y 所对应的点（x，y）都在正比例函数 y=-3x 的图象 上吗？ ②正比例函数 y=-3x 的图象上的点（x，y）都满足关系式 y=-3x 吗？ ③正比例函数 y=kx 的图象有何特点？你是怎样理解的？ 【教学说明】加强学生用描点法画正比例函数图象的方法，体会函数图象上的点都满足 函数关系式，并通过观察得出正比例函数图象的特点. 【归纳结论】正比例函数 y=kx 的图象是一条经过原点（0,0）的直线.因此，画正比例 函数图象时，只需要再确定一个点，过这点和原点画直线就可以了. 2.正比例函数图象的性质 做一做： 79 在同一直角坐标系内画出正比例函数 y=x，y=3x，y=- 1 2 x 和 y=-4x 的图象. 思考：上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化？ 【教学说明】利用正比例函数的图象学生很直观地归纳出正比例函数的增减性.注意不 要受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数总是随着自变量的增加而增加，它的 增或减是由 k 的正或负决定的. 【归纳结论】在正比例函数 y=kx 中， 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 讨论： （1）正比例函数 y=x 和 y=3x 中，随着 x 值的增大，y 的值都增加了，其中哪一个增加 得更快？你能解释其中的道理吗？ （2）类似地，正比例函数 y=- 1 2 x 和 y=-4x 中，随着 x 值的增大，y 的值都减小了，其 中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ 【教学说明】通过图象让学生进一步体会正比例函数增减的快慢是由｜k｜决定的，加 深了对正比例函数图象性质的理解. 三、运用新知，深化理解 1.若函数 y= 2 32（ ） mm x  是正比例函数，则 m= . 2.若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2），当 x1＜x2 时， y1＞y2，则 m 的取值范围是 . 3.已知点 P（1，m）在正比例函数 y=4x 的图象上，那么点 P 的坐标是（ ）. A.（1,4） B.（-1，-4） C（1，-4） D.（-1,4） 4.已知正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则（ ） A.y 随 x 的增大而增大 B.y 随 x 的增大而减小 C.当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小. D.无论 x 如何变化，y 不变. 5.小刚以 2 千米/时的速度匀速从甲地行走到乙地，甲乙两地的距离为 12 千米. （1）求小刚行走的路程 s（千米）与时间 t（小时）之间的关系式以及自变量 t 的取值 范围. 80 （2）画出图象. （3）根据图象说明当 t 增大时，s 增大还是减小？ 【教学说明】教师让学生自主完成，加强对正比例函数图象和性质的理解和反馈学生对 知识的掌握情况，便于及时矫正强化. 【答案】 1.-2；2.m＞ 1 2 ；3.A；4.B 5.解：（1）s 与 t 的关系式为 s=2t，自变量 t 的取值范围是 0≤t≤6. （2）是以 O（0，0）和（6，12）为端点的一条线段. （3）由图象可知当 t 增大时，s 也增大. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾正比例函数图象的画法以及它的性质. 2.本节课你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？请与大家交流. 【教学说明】引导学生回顾本课所学知识，对知识进行归纳整理，找出不足便于教师及 时调整，做到当堂消化. 1.教材习题 4.3 第 1、2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习.. 本节课通过实际操作了解正比例函数图象的画法及利用图象说明其性质，并掌握图象特 征与关系式的联系规律，经过思考讨论知道了正比例函数不同表现形式的转化方法和图象的 简单画法，为后面学习一次函数奠定了基础. 第 2 课时 一次函数的图象和性质 【知识与技能】 1.理解直线 y=kx+b 与直线 y=kx 之间的位置关系. 81 2.会利用两个合适的点画出一次函数的图象. 3.掌握一次函数的性质. 【过程与方法】 通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用性质、 图象及数形结合法解决相关函数问题. 【情感与态度】 在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交 流、合作的意识和探究精神. 【教学重点】 一次函数的图象和性质. 【教学难点】 由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解. 一、创设情境，导入新课 我们知道正比例函数 y=-2x 的图象是过原点的一条直线，那么一次函数 y=-2x+1 的图象 又是怎样的呢?它们之间有什么位置关系？下面一起研究一次函数 y=kx+b 的图象. 【教学说明】利用所学知识“最近发展区”——正比例函数的图象及性质，为类比、探 究一次函数的图象及其性质作好铺垫. 二、思考探究，获取新知 1.一次函数的图象. （1）你能用描点法画出一次函数 y=-2x+1 的图象吗？ （2）通过上面画一次函数的图象想一想一次函数 y=kx+b 的图象有什么特点，对此你是 怎样理解的？ 【教学说明】在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过对应描点法 来画出一次函数的图象，可以说是得心应手，减轻了学生心理上的压力. 【归纳结论】一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定 两个点画直线就可以了.一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b. 2.一次函数的性质. 做一做： 在同一直角坐标系内分别画出一次函数 y=2x+3，y=-x，y=-x+3 和 y=5x-2 的图象. 讨论： （1）上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化？相应图象上点的变化 趋势如何？ （2）直线 y=-x 与 y=-x+3 的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线 y=-x 变为直线 82 y=-x+3 吗？一般地，直线 y=kx+b 与 y=kx 又有怎样的位置关系呢？ （3）直线 y=2x+3 与直线 y=-x+3 有什么共同点？一般地，你能从函数 y=kx+b 的图象上 直接看出 b 的数值吗？ 【教学说明】进一步巩固一次函数图象的画法，并为探究一次函数的性质做准备.让学 生利用图象观察体验 y=kx 与 y=kx+b 两者之间的位置关系，从而得出函数 y=kx+b 的图象实 际上是对直线 y=kx 上的所有点进行平移的结果，同时还让学生明白 b 的值就是图象与 y 轴 交点的纵坐标. 【归纳结论】一次函数 y=kx+b 的图象经过点（0，b）.当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的 增大而增大；当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 三、运用新知，深化理解 1.已知一次函数 y=mx+｜m+1｜的图象与 y 轴交于点（0,3），且 y 随 x 值的增大而增大， 则 m 的值为 . 2.一次函数 y=3x-4 的图象不经过（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列一次函数中，y 随 x 值的增大而减小的是（ ）. A.y=2x-1 B.y=3-4x C.y= 2 x+2 D.y=（5-2）x 4.一次函数 y=（3a-1）x+5 图象上两点 A（x1，y1），B（x2，y2），当 x1＜x2 时，y1＞y2， 则 a 的取值范围是（ ）. A.a＞0 B.a＜0 C.a＞ 1 3 D.a＜ 1 3 5.如图，将直线 OA 向上平移 2 个单位，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数的 表达式. 83 【教学说明】让学生独立完成，加强对所学知识的理解，及时反馈教学效果，查漏补缺. 对有困难的学生给予鼓励和帮助，并进行强化. 【答案】1.2 2.B 3.B 4.D 5.解：设直线 OA 的关系式为 y=kx，把（-2,4）代入得 k=-2，所以 y=-2x，将直线 OA 向上平移 2 个单位之后一次函数的表达式为：y=-2x+2. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾一次函数图象的性质和它与正比例函数图象之间的关系. 2.本节课你掌握了哪些知识？觉得哪些是大家需要注意的？与同学们分享. 【教学说明】教师引导学生回顾本课知识点，加强理解各知识点之间的联系，不断进行 归纳总结.让学生大胆交流，力求让每一个人在数学上得到一定的发展. 1.布置作业：习题 4.4 第 1、2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习.. 本节课学习了用两点法画一次函数图象，进而利用数形结合的探究讨论的方法寻求出一 次函数图象的特征与关系式的相互联系，使我们对一次函数知识的理解与掌握更透彻，也体 会到数学思想在数学研究中的重要性. 4 一次函数的应用 第 1 课时 确定一次函数的表达式 84 【知识与技能】 1.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数. 2.能由两个条件求出一次函数的表达式，并解决有关实际问题. 【过程与方法】 经历用两个已知条件确定一次函数表达式的应用过程，提高学生研究数学问题的技能， 体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题. 【情感与态度】 具体感知数形结合的思想在一次函数中的应用价值. 【教学重点】 根据所给信息确定一次函数的表达式. 【教学难点】 灵活运用一次函数的有关知识解决相关问题. 一、创设情境，导入新课 我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其关系式的特点及图象特征，并学会 了已知关系式画出其图象的方法以及分析图象特征与关系式之间的联系规律.如果反过来， 告诉我们有关一次函数图象的某些特征或实际问题，能否确实关系式呢？ 这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？ 【教学说明】利用一次函数图象的特征和关系式的相互转化，加强学生对知识的理解. 通过提问，引发同学分析思考、寻求解决问题的办法，激起学生探求知识的欲望. 二、思考探究，获取新知 确定一次函数的表达式. 教材第 89 页“想一想”上面的内容. 思考： 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？ 【教学说明】通过思考分析解决由图象到关系式转化的方法过程，总结归纳一次函数关 系式与图象之间的转化规律，增强数形结合的思想在函数中重要性的理解. 采用上面类似的方法，你能解决日常生活中的实际问题吗？请看例题： 例见教材第 89 页例 1 【教学说明】一次函数的应用实质就是确定一次函数的关系式，这就需要充分挖掘题中 所给的已知条件，分析量与量之间的关系，从而找到求关系式的方法.然后利用关系式解决 有关问题. 85 三、运用新知，深化理解 1.一个正比例函数的图象经过点 A（3，-2），B（a，3），则 a= . 2.如图，直线 l 是一次函数 y=kx+b 的图象. 填空：（1）当 x=30 时，y= . （2）当 y=30 时，x= . 第 2 题图 第 3 题图 3.如图，一次函数的图象过点 A，且与正比例函数 y=-x 的图象交于点 B，则该一次函数 的表达式为（ ）. A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=-x-2 4.如图，直线 l 是一次函数 y=kx+b 的图象，求 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积. 【教学说明】教师让学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查学生对一次函数的实 际应用的掌握程度，并有针对性地加强辅导. 【答案】 1. - 9 2 ；2. 22，42；3.B； 4.解：由图象可知 b=2，图象又过点（2，-2），则有 2k+b=-2，所以 b=2，k=-2，这个 86 一次函数的解析为 y=-2x+2，当 y=0 时，解得 x=1，l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 y= 1 2 ×1×2=1. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有什么疑难问题需要解决的？与同学交 流. 【教学说明】学生利用互相交流的方式对知识进行搜集，归纳整理，互相补充，教师及 时给予点评.特别是对于解题方法技巧上可以做适当强调，帮助他们加深印象. 1.布置作业：习题 4.5 第 1、2、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习.. 本节课利用图象或实际背景求一次函数关系式和利用关系式解决相关的实际问题，让学 生从中体会求解关系式的方式方法.与此同时， 在教学中要把图象和关系式有机结合起来， 讨论它们之间的相互转化很有必要，培养学生全面认识事物的观点. 第 2 课时 一个一次函数的应用 【知识与技能】 1.能利用一次函数解决简单的实际问题. 2.了解一次函数与一元一次方程之间的关系. 【过程与方法】 通过生活的实例结合一次函数的图象解决问题，继续体会数形结合的思想所起的重要作 用. 【情感与态度】 让学生深刻体会到数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活 87 的实际. 【教学重点】 利用一次函数解决简单的实际问题. 【教学难点】 根据一次函数图象去分析解决问题. 一、创设情境，导入新课 教材第 91 页例 2 上面的内容 【教学说明】从生活中的实际问题出发，采用提问引发思考的方式引入，激发学生探求 知识的兴趣. 二、思考探究，获取新知 简单的一次函数的实际应用 教师引导学生完成教材第 91 页例 2. 【教学说明】让学生体会利用一次函数的图象解决实际问题的方法.如果从图象上不能 很明显得出结论，还需要求出一次函数的表达式在进行求解. 做一做： 教材第 92 页“做一做”. 【教学说明】巩固加深根据一次函数图象求直线表达式，同时体会当函数值为零时自变 量的取值，为下面学习一元一次方程与一次函数的关系打下了基础. 讨论： 一元一次方程 0.5x+1=0 与一次函数 y=0.5x+1 有什么联系？ 【教学说明】充分体会一元一次方程与一次函数之间的转化关系，帮助学生从数形结合 的角度进一步认识一次函数与一元一次方程的密切联系. 【归纳结论】一般地，当一次函数 y=kx+b 的函数值为 0 时，相应的自变量的值就是方 程 kx+b=0 的解.从图象上看，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx+b=0 的解. 三、运用新知，深化理解 1.直线 y=3x+6 与 x 轴的交点的横坐标 x 的值是方程 2x+a=0 的解，则 a 的值 是 . 2.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，最后走下 坡路到达工作单位，所有的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走 平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间 是（ ）. 88 A.12 分钟 B.15 分钟 C.25 分钟 D.27 分钟 3.某服装厂现有 A 种布料 70m，B 种布料 52m，现计划用这两种布料生产 M、N 两种型号 的时装 80 套.已知做一套 M 型号的时装需要 A 种布料 0.6m，B 种布料 0.9m，可获利润 45 元； 做一套 N 型号的时装需要 A 种布料 1.1m，B 种布料 0.4m，可获利润 50 元.若设生产 N 型号 的时装套数 x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为 y 元. （1）求 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围； （2）该服装厂在生产这批时装中，当生产 N 型号的时装多少套时，所获利润最大？最 大利润是多少？ 【教学说明】让学生独立完成，加深对新学知识的理解和检验学生掌握情况，便于教师 查漏补缺，及时解决学生的疑难问题. 【答案】1.4；2.B； 3.解：（1）y=5x+3600（40≤x≤44）； （2）当生产 N 型号的时装 44 套时，所获利润最大，最大利润是 3820 元. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你会利用一次函数图象解决有关问题吗？你有哪些收获？请与大家 共同分享. 【教学说明】教师引导学生回顾所学知识点，对知识不断归纳整理，特别有时需要利用 图象求出关系式再去解决问题更准确. 89 1.布置作业：习题 4.6 中的第 1、2 题. 2.完成练习册中本课时相应练习.. 本节课从实际生活背景出发，利用一次函数及图象解决问题，让学生体会一次函数的应 用价值和一次函数与一元一次方程的密切关系， 体验应用知识的成就感和学习教学更加热 爱生活. 第 3 课时 两个一次函数的应用 【知识与技能】 能利用一次函数解决复杂的实际问题. 【过程与方法】 通过生活中的实例结合一次函数的图象解决问题，进一步体会数形结合的思想在数学中 所起的重要作用. 【情感与态度】 让学生认识到数学来源于生活，又在生活中得到了运用，培养学生热爱生活的热情. 【教学重点】 利用一次函数解决复杂的实际问题. 【教学难点】 根据两个一次函数图象去分析解决问题. 一、创设情境，导入新课 教材第 93 页习题 4.6 下方的内容 【教学说明】让学生在同一题中利用图象体会两个一次函数中量与量之间的关系，找到 解决问题的方法，为下面的学习奠定基础. 思考： 图 4-10 中，l1 对应的一次函数 y=k1x+b1 中，k1 和 b1 的实际意义各是什么？l2 对应的一 次函数 y=k2x+b2 中，k2 和 b2 的实际意义各是什么？ 二、思考探究，获取新知 复杂一次函数的实际应用 师生共同完成例题：教材第 94 页例 3 【教学说明】教师引导学生完成，给学生创造展示自己的机会，通过相互讨论形成共识， 得出结果，充分发挥了学生的主体作用. 90 想一想： 你能用其他方法解决上面的例题（1）~（5）吗？ 【教学说明】给学生充分的思考空间，让他们采用多种方法解决同一个问题，从而体会 一题多解给大家的学习带来的快乐. 三、运用新知，深化理解 1.如图，射线 OA，BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数图象，图中 s， t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h. 2.甲乙两队举行一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程 s（米）与时间 t（分钟） 之间的函数关系式如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）. A.甲队率先到达终点 B.甲队比乙队多走了 200 米 C.乙队比甲队少用 0.2 分钟 D.比赛中两队从出发到 2.2 分钟时间段，乙队的速度比甲队的的速度大. 3.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（厘米）与燃烧时 间 x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题. 91 （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别 是 . （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式. （3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什 么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ 【教学说明】让学生自主完成，加深对所学知识的理解和考查学生对这一节课掌握情况， 学生发生的错误和学习中的困难教师要及时纠正并给予解答. 【答案】1.4；2.C； 3.解：（1）30 厘米，25 厘米 2 小时，2.5 小时 （2）甲：设 y=k1x+b1.将（0，30）代入 y=k1x+b1 中得 b1=30,再将点（2，0）和 b1 的值 代入 y=k1x+b1 中可得 k1=-15.所以 y=-15x+30. 乙：设 y=k2x+b2.把（0,25）代入 y=k2x+b2 可知 b2=25,再将（2.5，0）和 b2 的值代入 y=k2x+b2 中得 k2=-10.所以 y=-10x+25. （3）令-15x+30=-10x+25，解得 x=1.所以燃烧 1 小时时，甲、乙两根蜡烛的高度相等； 当 0≤x＜1 时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高；在 1＜x＜2.5 时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识？能解决跟一次函数有关的实际问题吗？学习 中还存在哪些疑惑？与同学们交流. 【教学说明】引导学生归纳总结，特别是解题方法和技巧对于今后的学习很有指导意义. 通过交流形成学习上的互利，便于共同进步. 92 1.布置作业：习题 4.7 中第 3 题 2.完成练习册中本课时相应练习.. 本节课主要研究利用两个一次函数图象解决实际问题.通过独立思考并相互交流讨论， 分析问题中量与量之间的关系，建立函数模型，提高学生的实践意识与综合运用数学知识的 能力. 第四章 一次函数本章归纳总结 【知识与技能】 掌握本章重要知识，能灵活运用一次函数的图象和性质解决实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，应用函数举例，体 现数学建模的思想和数形结合的思想方法. 【情感与态度】 充分利用现实背景，让学生逐步体会函数来自实际又服务于实际，激发他们生活的热情 和探求知识的渴望. 【教学重点】 理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质， 会利用待定分数法求一次函数的关系式，利用函数图象解决实际问题，初步体会方程和函数 之间的关系. 【教学难点】 利用一次函数图象解决实际问题. 一、知识框图，整体把 93 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示结构图，让学生系统地了解本章知识及它 们之间的相互关系.边回顾边构建结构图，便于巩固加深. 二、释疑解惑，加深理解 1.函数的概念 判断函数关系时，要依据函数的概念抓住以下几点：①有两个变量 x 和 y；②y 随 x 的 变化而变化；③对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应. 2.自变量的取值范围 确定自变量的取值范围时考虑不周，漏掉某些情况或某些条件中的分界点，对于具有实 际意义的函数关系，易漏掉隐含条件，做题时要全面考虑，特别注意实际问题中变量的实际 意义. 3.一次函数的概念 一次函数的关系式 y=kx+b，它是关于 x 的一次二项式，其中一次项系数 k≠0，b 为任 意实数，特别地，当 b=0 时，该一次函数为正比例函数.其中 k≠0 容易忽略. 三、典例精析，复习新知 例 1（1）设圆柱的底面半径 R 不变，圆柱的体积 V 与圆柱的高 h 的关系式是 V=πR2h. 在这个式子中常量和变量分别是什么？ （2）设圆柱的高 h 不变，在圆柱的体积 V 与圆柱的底面半径 R 的关系式为 V=πR2h 中， 常量和变量又分别是什么? 【分析】常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程，二者是可以相互转换的. 解:（1）常量是π和 R，变量是 V 和 h.（2）常量是π和 h，变量是 V 和 R. 例 2 小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿道公园，打了一会儿太 极拳后跑步回家，下面能反映当天小华爷爷离家的距离 y 与时间 x 的函数关系的大致图象是 94 （ ）. 【分析】由题意可知，选项 A、D 错误，可排除；选项 B 从图象上看，去时比回家速度 还要快，不符合题意.故答案应选 C. 【答案】C 例 3 已知直线 l1 和直线 l2 在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，点 P1（x1，y1）在 直线 l1 上，点 P3（x3，y3）在直线 l2 上，点 P2（x2，y2）为直线 l1、l2 的交点，其中 x2＜x1， x2＜x3，则（ ） A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y1＜y2 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y3 【分析】由于题设中没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图 象，观察直线 l1 知，y 随 x 的增大而减小，因为 x2＜x1，所以 y2＞y1；观察直线 l2 知，y 随 x 的增大而增大，因为 x2＜x3，所以 y2＜y3，故 y1＜y2＜y3. 【答案】A 例 4 如图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶 45 千米，由 A 地到 B 地时， 95 行驶的路程 y（千米）与经过的时间 x（时）之间的函数图象.请根据这个行驶过程中的图象 填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽 车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达 B 地. 【分析】观察图象可知，两直线交于 2~3 小时中间，故相遇时，汽车用了 0.5 小时；电 动自行车共用 5 小时走完 45 千米，所以其速度为 9 千米/时；汽车共用一小时走完 45 千米， 故其速度为 45 千米/时，观察图象的横坐标知，汽车早到 5-3=2 小时. 【答案】0.5 9 45 2 例 5 某公司推销一种产品，设 x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图中表 示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图回答下列问题. （1）求 y1 与 y2 的解析式； （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的； （3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？ 【分析】两直线交于点（30,600），说明当推销产品 30 件时，两种方案得推销费相同； 当 x＞30 时，y1 图象位于 y2 上方，说明选择 y1 的推销费多；当 x＜30 时，y2 图象位于 y1 上 方，说明选择 y2 得推销费多. 【答案】（1）y1=20x；y2=10x+300. （2）y1 是不推销产品没有推销费，每推销一件产品得推销费 20 元；y2 是保底工资为 300 元，每推销 1 件产品再提成 10 元. 96 （3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于 30 件产品，就选择 y1 的付费方案，否 则，选择 y2 的付费方案. 【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，结合例题教师适当给予评讲，让学生分清各 知识点需要注意哪些问题，可能出现什么样的错误，提高解题的正确率. 四、复习训练，巩固提高 1.一根弹簧原长为 12cm，它所挂物体的质量不超过 15kg，并且每挂 1kg 物体就伸长 12cm，则挂重后的弹簧长度 y（cm）与挂重 x（kg）之间的函数关系式是 ， 自变量 x 的取值范围是 . 2.如图所示，若直线 l 是一次函数 y=kx+b 的图象，则（ ） A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＜0 D.k＜0，b＞0 3.如图所示，OB、AB 分别是表示甲、乙两个同学匀速跑步的一次函数图象，图中 s 和 t 分别表示路程和时间，已知甲的速度比乙快.下列说法：①射线 AB 表示甲的路程与时间的函 数关系；②甲的速度比乙快 1.5 米/秒；③甲让乙先跑了 12 米；④8 秒钟后，甲超过了乙. 其中正确的说法是（ ） A.①② B.②③④ C.②③ D.①③④ 4.某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司中的一 97 家签订合同，设汽车每月行驶 xkm，应付给个体车主的月租费是 y1 元，应付给国有出租车公 司的月租费是 y2 元，y1、y2 分别与 x 之间的函数关系的图象（两条射线）如图所示，观察图 象，回答下列问题. （1）分别写出 y1，y2 与 x 之间的函数关系式. （2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？ （3）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （4）如果这个单位估计平均每月行驶的路程为 2300km，那么这个单位租哪家的合算？ 【教学说明】这部分安排了四个较为典型的重点习题，主要是为了加强本章知识的综合 运用，前三题让学生独立完成，最后一题可以引导学生完成，尽量让学生讨论得出结果. 【答案】 1.y= 1 2 x+12,0≤x≤15； 2.B 3.B 4.解：（1）由图象可知，设 y1=k1x+b（k1，b 为常数，k≠0），y2=k2x（k≠0）.∵y1，y2 都经过点（1000,2000），∴2000=1000k2，∴k2=2.将点（0，1000）代入 y1 中可求得 b=1000， 再 b=1000,点（1000，2000）代入 y1 中可得 k1=1.∴y1=x+1000，y2=2x（x≥0） （2）当 y2＜y1 时，有 2x＜x+1000，∴x＜1000，∴每月行驶路程在 0km≤x＜1000km 时， 租国有公司的车合算. （3）当 y2=y1 时，有 2x=x+1000,∴x=1000.∴每月行驶的路程等于 1000km 时租两家车 的费用相同. （4）当 y2>y1 时有 2x>x+1000，∴x>1000;∴每月行驶的路程大于 1000km 时，租个体车 主的车比较合算.∴当 x=2300km 时，这个单位租个体车主的车比较合算. 五、师生互动，课堂小结 对于这节课，你能比较完整地回顾本章所学的有关一次函数的知识吗？你掌握了哪些内 容？还有哪些不足？与同学交流. 【教学说明】引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自由讨论、交流解决学习过程中遇 到的疑难问题，教师做必要的补充说明. 98 1.布置作业：从复习题中选取. 2.完成练习册中本课时相应练习.. 本节课通过归纳本章内容，画出知识结构图，以函数的概念和表示方法、一次函数的图 象及性质、利用一些函数图象解决实际问题为重点，精讲精练，让学生能够灵活运用所学知 识解决有关问题. 第五章 二元一次方程组 1 认识二元一次方程组 【知识与技能】 弄懂二元一次方程，二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二 元一次方程组的解. 【过程与方法】 学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性. 【情感态度】 通过对二元一次方程（组）的概念的学习，感受数学与生活的联系,感受数学的乐趣. 【教学重点】 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义. 【教学难点】 弄懂二元一次方程组解的含义. 一、创设情境，导入新课 1.有这样一段对话:老牛说:“累死我了！”小马说：“你还累？这么大的个，才比我多驮 了 2 个.”老牛接着说：“我从你背上拿出 1 个，我的包裹数就是你的 2 倍！”小马说：“真的？！”， 究竟它们各驮了多少包裹呢？你会做吗？ 设老马驮了 x 个包裹，小马驮了 y 个包裹. 老牛驮的包裹数比小马驮的多 2 个,由此你能得到怎样的方程? 若老牛从小马背上拿来 1 个包裹,这时它们各有几个包裹?由此你又能得到怎样的方程? 【教学说明】从上面的对话入手,激发学生的学习兴趣,让学生体会到我们的生活无处不 在的数学问题. 2.昨天,我们 8 个人去江山公园玩,买门票花了 34 元.每张成人票 5 元,每张儿童票 3 元, 99 他们到底去了几个成人,几个儿童呢? 设他们中有 x 个成人,y 个儿童,由此你能得到怎样的方程? 【教学说明】前面的第 1 个问题已经给学生指明了方向,帮助学生进一步理解题中各数 量之间的关系,为下面的学习奠定了基础. 二、思考探究，获取新知 1.二元一次方程（组）的概念. 思考上面两个问题中,我们分别得到方程 x-y=2,x+1=2（y-1）和 x+y=8,5x+3y=34.这些方程各含有几个未知数?含未知数项的次 数是多少? 【教学说明】学生观察思考得出结果,对二元一次方程的概念的形成需要两个条件有了 初步认识. 【归纳结论】含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次 方程. 讨论：在上面的方程 x+y=8 和 5x+3y=34 中, x 所代表的对象相同吗?y 呢? 【教学说明】采用讨论探究的形式得出方程组的概念学生很容易理解. 【归纳结论】方程 x+y=8 和 5x+3y=34 中,x，y 所代表的对象分别相同.因而 x，y 必须 同时满足 x+y=8 和 5x+3y=34.把它们联立起来,得 8 5 3 34 ，x y x y .        像这样,共含有两个未知中数的两元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 2.二元一次方程（组）的解. 做一做： （1）x=6,y=2 适合方程 x+y=8 吗？x=5;y=3 呢？x=4,y=4 呢？你还能找到其他 x，y 值 适合方程 x+y＝8 吗？ （2）x=5,y=3 适合方程 5x+3y=34 吗？x=2,y=8 呢？ （3）你能找到一组 x，y 的值，同时适合方程 x+y=8 和 5x+3y=34 吗？ 【教学说明】在学习的一元一次方程的基础上进行认知结构去同化新知识，有助于学生 理解和掌握. 【归纳结论】适合 一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一 个解. 如 x=6,y=2 是方程 x+y＝8 的一个解，记作 6 2 x y ,      同样， 5 3 x y      也是方程 x+y=8 的一 个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解.叫做这个二元一次方程组的解. 100 例如： 5 3 x y      就是二元一次方程 8 5 3 34 ，x y x y        的解. 注：（1）二元一次方程的解是成对出现的； （2）二元一次方程的解有无数多个，这与一元一次方程有显著区别.而二元一次方程组 的解一般只有一个. 三、运用新知，深化理解 1.已知二元一次方程组 2 7 2 4 x y x y         则下列四组解中,是方程组的解的是（ ）. A. 1 5 x y       B. 0 2 x y       C. 2 3 x y       D. 3 1 x y       2.方程 x+1=0,x+y+z=3,x-2y=6,1x-6y=12,4xy=5,x2-3y=6,1x+y=0,是二元一次方程的 有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.根据题意列方程组: 有父子两人，已知 10 年前父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍,现在父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍,10 年以后父亲的年龄是儿子年龄的几倍? 【教学说明】学生根据所学知识自主完成，加深了对各个知识点的理解和检查学生掌握 情况,老师根据实际情况及时指点. 【答案】1.C 2.A 3.解：设今年父亲 x 岁,儿子 y 岁,由题意得 10 3 10 2 （ ），x y x y.        四、师生互动，课堂小结 1.老师引导学生回忆二元一次方程（组）的概念及其解等知识. 2.谈谈本节课的收获,与同伴交流. 【教学说明】发挥学生的主体意识,培养学生归纳小结的能力. 1.布置作业：习题 5.1 中的第 1、2、3 题. 101 2.完成练习册中本课时相应练习. 学生对于二元一次方程（组）的概念及其解的概念掌握比较快比较好，但在略微复杂一 点的二元一次方程组的应用题上还有部分学生存在一定的困难，需要不断完善和提高. 2 求解二元一次方程组 第 1 课时 代入法 【知识与技能】 使学生学会用代入法解二元一次方程组. 【过程与方法】 理解代入消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法. 【情感态度】 逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想. 【教学重点】 用代入法解二元一次方程组. 【教学难点】 代入消元法的基本思想. 一、创设情境，导入新课 对于上一节课提出的问题:老牛和小马到底各驮了几个包裹呢?方程组 2 1 2 1 ① （ ）② x y x y         你会解吗?. 老师引导:由①得 y=x-2③，由于方程组中相同的字母代表同一对象,所以方程②中的 y 也为 x-2,可以用 x-2 代替方程②中的 y,这样得到:x+1=2（x-2-1）.④解一元二次方程④得 到 x=7.再把 x=7 代入③得 y=5.这样二元一次方程组 2 1 2 1（ ） x y x y         的解为 7 5 x y .    注:把求出的未知数的值代入原方程组,可以知道求得的解对不对. 【教学说明】针对上一节熟悉的问题如何解答,增强了学生探求知识的欲望,使学生对所 学知识产生亲切感. 二、思考探究，获取新知 用代入法解二元一次方程组. 102 下面我们根据上面的解题思路解方程组. 例 1 解方程组： 3 2 14 3 ，x y x y .        （1）在这个方程组中,哪一个方程最简单? （2）怎样将两个未知数的方程变为只含有一个未知数的一元一次方程呢? 【教学说明】重视知识发生的过程,让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及 依据,体会未知向已知,陌生向熟悉转化这一重要思想——化归思想. 例 2 解方程组： 2 3 16 4 13 ，x y x y .        【教学说明】老师可以引导学生采用例 1 的方法,尝试看解答,确实有困难的同学之间相 互讨论,教师适当点拨. 讨论: 上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些? 【教学说明】经过几个解方程组的学习,让学生总结归纳掌握代入法的基本方法和步骤. 着重让学生体会解二元一次方程组的技巧,主要表现在如何选择一个方程,如何用含一个未 知数的式子去表示另一个未知数,转“二元”为“一元”. 【归纳结论】①解方程的基本思路是“消元”—把“二元”变为“一元”.②主要步骤 是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个 方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称 为代入消元法，简称代入法. 三、运用新知，深化理解 1.在二次一元方程 2x-y=5 中，用含 x 的式子表示 y 为 . 2.用代入法解方程组 2 5 4 3 6 ① ② x y , x y ,        先把方程 变为 ，再代 入 ，求得 的值，然后再求 的值. 3.如果方程组 1 2 1 ax y x by         的解为 3 3 x y ,      则 a= ,b= . 4.用代入法解方程组: （1） 6 3 2 6 ① ② a b a b        （2） 5 6 13 7 18 1 ① ② x y x y         【教学说明】教师让学生独立做,确实有困难的学生教师及时指导,加深他们对知识的理 解,特别是用代入法解二元一次方程组的方法的掌握. 【答案】1.y=2x-5; 2. ①, y=5-2x; ②, x,y; 3.4/3,7/3; 103 4.（1）解:由①得 a=6-b ③，把③代入②得 3（6-b）+2b=6,解得 b=12,把 b=12 代入③ 得 a=-6,所以这个方程的解为 6 12 a b .       （2）解：由①得 6y=13-5x③，把③代入②得：7x+3（13-5x）=-1，解得 x=5.把 x=5 代入③得 y=-2，所以这个方程组的解为 5 2 x y .       四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你认为代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些?还有哪些困难需 要解决的呢? 【教学说明】及时梳理知识,形成模式化,同时起到了小结归纳的作用,使学生认识到同 代入法解二元一次方程组的一般步骤和基本方法. 1.布置作业：习题 5.2 的第 1 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 对于系数较简单的方程学生掌握得很好,但复杂一点的很容易出错.代数的学习往往比 较枯燥,要想调动学生的积极性必须在形式上下工夫,在练习过程中可以考虑采取多种多样 的手段,激发学生的学习热情,活跃课堂气氛,培养他们的学习兴趣. 第 2 课时 加减法 【知识与技能】 掌握用加减法解二元一次方程组. 【过程与方法】 使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法. 【情感态度】 104 体验数学学习的乐趣,在探索过程中品尝成功的喜悦,树立学好数学的信心. 【教学重点】 用“加减法”解二元一次方程组. 【教学难点】 学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍的二元一次方程组. 一、创设情境，导入新课 同学们,你能用前面学过的代入法解下面的二元一次方程组吗? 3 5 21 2 5 11 ① ② x y , x y .         （1）用 x 表示 y 怎样解? （2）用 y 表示 x 怎样解? 【教学说明】使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组，加强解题方法的掌握”. 思考： 除了上面的两种方法，你能用其它比较简单的方法来做吗？ 观察： （1）上面的方程组，未知数 x 的系数有什么特点？ （2）除了代入消元，你还有什么办法消去 x 呢？ 【教学说明】 让学生体会可以根据方程组不同的特点，用“代入法”解方程组存在的 不足，感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性,初步认识“加减法”. 引导:把方程组中①+②得到 5x=10,x=2,将 x=2 代入①得 6+5y=21,y=3,所以方程组 3 5 21 2 5 11 ① ② x y , x y .         的解是 2 3 x y .      二、思考探究，获取新知 用加减法解二元一次方程组. 下面,我们根据上面的解题方法解方程组. 例 1 解方程组 2 5 7 2 3 1 ① ② x y , x y .         （1）这个方程组中,未知数 x 的系数有什么特点? （2）你准备采用什么办法消去 x? 【教学说明】让学生发现方程组中未知数系数的关系,找到解方程组的方法,使学生明白 消去哪一个未知数可以使计算简单化. 105 例 2 解方程 2 3 12 3 4 17 ，① ② x y x y .        这个方程组中,未知数的系数既不相同也不互为相反数,你能采用什么方法使两个方程 中 x（或 y）的系数相等（或相反）呢? 【教学说明】帮助学生观察分析对于用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且 不成整数倍的二元一次方程组的解法.这是本课的难点. 讨论:上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些? 【教学说明】引导学生思考、讨论、交流、归纳掌握加减法的基本方法和步骤.着重让 学生体会解方程的技巧，特别是要考虑如何使计算方便快捷. 【归纳总结】上面解方程的基本思路仍然是消元.主要步骤是通过两式相加（减）消去 其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法. 三、运用新知，深化理解 1.已知方程组 3 17 2 3 6 ① ② x y , x y ,        可用①+②消去未知数 ,得到一元一次方 程 . 2.已知方程组 3 5 6 2 3 4 ① ② x y , x y ,        将②×3-①×2 得（ ） A.-3y=2 B.4y+1=0 C.y=0 D.7y=-8 3.已知关于 x,y 的方程组 2 5 2 9 ① ② x y m, x y m,        的解满足方程 3x+2y=19,求 m 的值. 4.用加减法解方程组: （1） 3 7 1 5 4 17 ① ② x y , x y .        （2） 11 53 6 2 32 18 ① （ ） （ ）② x y , x xy y .            【教学说明】教师引导学生自主做,加深用加减法解二元一次方程组方法的理解和检验 学生掌握情况,对学生强化指导,及时纠正错误. 【答案】 106 1.y,3x=23 2.C; 3.解:①+②得 2x=14m,x=7m③,①-②得 4y=-4m,y=-m④，把③④代入方程 3x+2y=19,得 3 ×7m+2×（-m）=19,∴m=1. 4.解:（1）①×5 得:15x-35y=5③,②×3 得:15x-12y=51④,④-③得:23y=46,y=2,把 y=2 代入①得 x=5,所以方程组的解为 5 2 ，x y .      （2）整理后方程组得 2 19 76 0 ① ② x y , x y ,        ①+②得：19 6 x=19,x=6,把 x=6 代入①得 y=-7.所以 6 7 ，x y .       四、师生互动，课堂小结 用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么?这种方法的适用条件是什么?步骤又是 怎样的?学习过程中还有哪些困惑?请与同学们交流. 【教学说明】引导学生思考、交流、梳理所学知识,培养学生的理性思维能力和良好的 口头表达能力以及高度概括能力.使学生再度加深用加减法解二元一次方程组的基本步骤和 解题方法. 1.布置作业：习题 5.3 中的第 1，2 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 通过两种方法解二元一次方程组,很大程度上决定于方程组的特点来取什么样的方法来 解使运算简便是一个非常重要的环节,它直接决定于学生的解题速度的快慢和质量的高低. 在今后的教学中,让学生不断领会解题的方法和技巧,以达到熟练灵活的运用. 107 3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 【知识与技能】 能够找出古代实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组 【过程与方法】 经历同方程组解决实际问题的过程,体现方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问 题的有效数学模型. 【情感态度】 培养学生分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化. 【教学重点】 以方程组为工具分析,解决含有多个未知数的实际问题. 【教学难点】 确定解题策略,建立等量关系. 一、创设情境，导入新课 《孔子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣.其中下卷第 31 题: “雉兔同笼”流传尤为广泛,漂洋过海流传到日本等国. “雉兔同笼”题为:“今有雉（鸡）兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何?” （1）“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢? （2）你能根据（1）中的数量关系列出方程组吗? （3）你能解决这个有趣的问题吗?与同学们交流一下. 【教学说明】以古代的数学名题入手,可以增强学生的民族自豪感,激发学生学好数学的 感情.又为设未知数列方程组解决实际问题的引出做好铺垫. 二、思考探究，获取新知 应用二元一次方程组解决古代问题. 同学们,根据上面的方法,你能解决下面的另外一个古代问题吗? 例:以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几 何? 【教学说明】教师可以引导学生分析题目的意思,帮助他们理清数量之间的关系,为设未 知数列方程组解决问题做好充分的准备. 为了给学生一个完整的解答应用题的过程,教师可以做示范: 108 解:设绳长 x 尺,井深 y 尺,根据题意,得 53 14 ① ② x y , x y ,       ①-②得 43 4 x x  , 12 x =4, x=48 将 x=48 代入①得 y=11.所以绳长 48 尺,井深 11 尺. 三、运用新知，深化理解 1.方程组 2 5 4 3 7 ， ， x y x y        的解为 . 2.一个笼中装有鸡兔若干只,从上面看共 42 个头,从下面看共有 132 只脚,则鸡 有 ，兔有 . 3.甲、乙承包一项任务,共生产机器零件 420 个,甲先做 2 天,乙加入合作,再做 2 天完成; 如果乙先做 2 天,甲加入合作,那么再做 3 天完成,设甲每天做 x 个零件,乙每天做 y 个零件的 方程组为（ ） A. 2 2 420 2 3 420 x y , y x .        B. 2 4 420 2 5 420 x y , y x .        C. 4 2 420 3 5 420 x y , x y .        D. 2 4 420 3 5 420 x y , x y .        4.《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中有一部分在树上欢歌,另一部分在地 上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就是 整个鸽群的 1 3 ;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下 各有多少只鸽子吗? 【教学说明】学生独立完成,让学生在解题的过程中不断感受到数学文化，更需要的是 巩固用方程组解答实际问题的过程,从而找到解题方法. 109 四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗?你有什么心得体会？请 与大家一起分享. 【教学说明】从问题的形式出发,引导学生思考、交流、梳理所学知识,建立起符合自身 认知特点的知识结构,训练口头表述能力,养成及时归纳总结的良好的学习习惯. 1.布置作业：习题 5.4 第 2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 对于比较明显的数量关系的应用题绝大部分学生掌握情况较好，而稍有转弯的应用题还 有部分学生在数量关系的建立上还存在一定的问题，在以后的教学中还需要在这方面下工 夫. 4 应用二元一次方程组——增收节支 【知识与技能】 1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组. 2.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值. 110 【过程与方法】 进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模 型. 【情感态度】 培养学生勤于思考,勇于探索的精神. 【教学重点】 用列表的方式分析题目中的各个量的关系. 【教学难点】 借助列表分析问题中所蕴含的数量关系. 一、创设情境，导入新课 在现实生活中,我们常常会听到这样一个词语,增收节支.当我们遇到实际问题的时候, 该如何解决呢？ 例如:某工厂去年的利润（总收入-总支出）为 200 万元.今年总收入比去年增加了 20%, 总支出比去年减少了 10%,今年的利润为 780 万元.去年的总收入、总支出各是多少万元? 如果设去年的总产值为 x 万元,总支出为 y 万元. 为了帮助同学们理清各个数量之间的关系,你能否采用表格的形式用 x，y 的代数式来表 示题目中的各个量呢? 【教学说明】以一道生活热点问题引入具有现实意义和教育意义,激发学生学习兴趣, 同时培养学生勤俭节约的优良传统.理解题意是关键通过解题,旨在培养学生的解题能力和 收集信息能力. 二、思考探究，获取新知 采用列表格的形式解决实际问题. 同学们,根据上面的方法你能解决下面的问题吗? 例如:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白 质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质.若病人每餐需要 35 单位蛋 白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要? 【教学说明】本例所涉及的数据较多,数量关系较以前复杂,具有一定的挑战性.借助表 格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法,以提升他们解决问题的能力. 为了给学生一个参考,教师展示完整的过程. 【分析】设每餐需甲原料 xg,需乙原料 yg,则有: 111 解:设每餐需甲原料 xg,需乙原料 yg,根据题意得: 0 5 0 7 35 0 4 40 ，. x . y x . y .        解这个方程组得 28 30 ，x y .      所以每餐需甲原料 28g,乙原料 30g. 三、运用新知，深化理解 1.甲、乙两仓库共有粮 450 吨,甲仓库运出 60%,乙仓库运出 40%,结果乙仓库所余的粮食 比甲仓库所余的粮食多 30 吨,若设甲仓库原有粮食 x 吨,乙仓库原有粮食 y 吨,则可列方程组 为 . 2.我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书,实际共捐赠了4125册, 其中初中学生捐赠了原计划的 120%,高中学生捐赠了原计划的 115%,初中学生和高中学生各 比原计划多捐赠的图书的册数为（ ） A.400,225 B.300,335 C.400,335 D.225,400 3.某天,一蔬菜经营户用 60 元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共 40kg 到菜市场去 卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示: 问:他当天卖完西红柿和豆角能赚多少钱? 【教学说明】让学生自主完成,加深如何利用表格的形式解决稍微复杂的数量关系的应 用题,检测学生应用能力,对有困难的学生及时点拨纠正,得以强化提高. 【答案】 1. 450 1 60 30 1 40（ ） （ ） x y % x % y;          112 2.A. 3.解:设批发了 xkg 西红柿,ykg 豆角,则 1 2 1 6 60 40 ，. x . y x y .        解得 10 30 x y .      （1.8-1.2）×10+（2.5-1.6）×30=6+27=33（元） 答:他当天卖完西红柿和豆角能赚 33 元. 四、师生互动，课堂小结 1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分 析问题中的相等关系? 2.这节课你掌握了哪些知识?还有哪些疑问?请与同学们交流. 【教学说明】引导学生思考、归纳、总结得出,便于及时纠正,达到共同提高. 1.布置作业：习题 5.5 第 2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 对于较复杂的应用题,我们可以采用多种形式辅助解答.学生考虑的角度和思考方法比 较单一,不利于问题的解答,平时的教学要让学生逐步得到体验,不断提高他们解决实际问题 的能力. 5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 【知识与技能】 能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组. 【过程与方法】 经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 【情感态度】 培养学生分析解决问题的能力,体现数学应用的价值. 113 【教学重点】 经历和体验用方程组解决实际问题的过程. 【教学难点】 用方程组刻画和解决实际问题的过程. 一、创设情境，导入新课 小明爸爸骑着摩托车带着小明在马路上匀速行驶,下面是小明每隔 1h 看到的里程情况, 你能确定小明在 12:00 时看到的里程碑上的数吗? 12:00 是一个两位数,它的两个数字之和为 7. 13:00 十位与个位数数字与 12:00 时所看到的正好互换了. 14:00 比 12:00 时看到的两位数中间多了个 0. 12:00-13:00 与 13:00-14:00 两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相 应的方程吗? 【教学说明】以学生身边的实际问题引入开展学习，突出数学与现实的联系，培养学生 应用数学的意识和学习数学的热情. 二、思考探究，获取新知 应用二元一次方程组解决数字问题. 同学们，根据上面的方法,你能解决下面的问题吗? 例如:两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四 位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后 一个四位数大 2178,求这两个两位数. 【教学说明】本例是涉及有关数字的问题数量关系并不复杂,但需要注意的是各个数字 在不同的数位上所表示的实际意义不同. 为了帮助学生理清思路,分析各数之间的关系,教师可以引导学生分析: 设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y,在较大数的右边接着写较小的数,所写的数可 表示为 ;在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示 为 . 为了让学生有一个清晰的解题过程,展示如下: 解:设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y ,根据题意得: 68 100 100 2178（ ）（ ） x y x y y x          化简,得 68 99 99 2178 x y , x y ,        即 68 22 x y , x y        解这个方程组得 45 23 x , y .      所以这两个两位数分别是 45 和 23. 114 讨论:经历前面一系列的解决二元一次方程组的应用题,你认为列二元一次方程组解决 实际问题的一般步骤是怎样的?与同学们交流. 【教学说明】通过不同的形式和多样的方法解决现实生活中的许多问题不断总结归纳. 提炼解题的基本方法,无疑让自己的学习插上了腾飞的翅膀. 结论:列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为:审、找、设、列、解、验、答. 三、运用新知，深化理解 1.若两数的和为 25,差为 23,则这两个数为 . 2.已知一个两位数,它的十位上的数字 x 比个位数字 y 大 1,若颠倒个位与十位数字的位 置,得到的新数比原数小 9,求这两个数,则下列所列的方程组正确的是（ ） A. 1 9（ ）（ ） x y x y y x          B. 1 10 9 x y x y y x          C. 1 10 10 9 x y x y y x          D. 1 10 10 9 x y x y y x          3.小明去郊游,早上 9 时下车,先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路返回到下车处,正 好是下午 2 时,若他走平路每小时走 4km,爬山时每小时走 3km,下山时每小时走 6km,则小明 从上午到下午一共走的路程是（ ） A.5km B.10km C.20km D.答案不唯一 4.一个三位数,十位上的数比个位上的数大 2.百位上的数是十位上数的 2 倍,如果把百 位上的数与个位上的数对换,那么可以得到比原来小 495 的三位数,求原三位数. 【教学说明】学生独立完成,加深对所学知识的理解和检验学生对本节课掌握程度.必要 时教师适当点拨或同学交流讨论得出结果. 【答案】1.24,1；2.D；3.C； 4.解：设原三位数的百位数字为 x,个位数字为 y,则根据题意得: 2 2 100 10 2 100 10 2 495 （ ） （ ） （ ） x y x y y y y x              解得 6 1 x y      , ∴百位数：6,十位数：3,个位数：1. 答:原来三位数为 631. 四、师生互动，课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些不足?与同学们交流. 2.试用框图概括用二元一次方程组分析和解决实际问题的基本过程. 【教学说明】让学生结合自己的解题过程概括整理,帮助理解,完整地用框图反映实际问 115 题与二元一次方程组的关系,培养学生模型化的思想和应用数学对现实生活的意识. 1.布置作业：习题 5.6 第 2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 利用二元一次方程组解决实际问题呈现的背景形式千变万化，如何才能让学生熟练灵活 的运用所学知识,去解决不是朝文之功的事情,需要在实践中不断总结提升. 6 二元一次方程与一次函数 【知识与技能】 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系. 2.会用画图象的方法解二元一次方程组. 【过程与方法】 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决,学会用函数 的观点去认识问题的方法. 【情感态度】 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索,培养学生严谨的科学态度及勇于探 索的精神;通过从函数的角度看问题,让学生体会数学的价值. 【教学重点】 探索一次函数与二元一次方程（组）的关系. 【教学难点】 综合运用方程（组）和函数的知识解决实际问题. 一、创设情境，导入新课 边做边思考: 116 （1）方程 x+y=5 的解有多少个?写出其中的几个. （2）在直角坐标系内分别找出以这些解为坐标的点,它们在一次函数 y=5-x 的图象上 吗? （3）在一次函数 y=5-x 的图象上任取一点,它的坐标适合方程 x+y=5 吗? （4）以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5-x 的图象相同吗? 【教学说明】一方面,帮助学生体会二元一次方程与一次函数的对应关系;另一方面让学 生感受一次函数图象上的点与二元一次方程的解的对应关系,为探究二元一次方程组的解与 直线的交点坐标的关系做好铺垫. 【归纳结论】一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函 数的图象相同,是一条直线. 二、思考探究，获取新知 二元一次方程（组）与一次函数的关系. 问题 1:在同一直角坐标系内分别画出一次函数 y=5-x 和 y=2x-1 的图象,这两个图象有 交点吗?交点的坐标与方程组 5 2 1 x y x y        的解有什么关系? 【教学说明】让学生通过画图去思考探索从形的角度去认识一次函数与解二元一次方程 组的关系. 【归纳结论】一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元 一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标. 问题 2:在同一直角坐标系内,一次函数 y=x+1 和 y=x-2 的图象有怎样的位置关系?方程 组 1 2 x y x y         解的情况如何?你发现了什么? 【教学说明】利用图象进一步证明一次函数与二元一次方程（组）之间的密切关系,让 学生明白平行的两条直线没有交点,并且以它们为方程组是无解的. 三、运用新知，深化理解 1.如图,已知数 y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点 P,则根据图象可得,关于 x、y 的二元一次 方程组 y ax b, y kx       的解是 . 117 2.如图,直线 l1 和 l2 的交点坐标为（ ） A.（4,-2） B.（2,-4） C.（-4,2） D.（3,-1） 3.如图,直线 l1:y=x+1 与直线 l2:y=mx+n 相交于点 P（1,b）. （1）求 b 的值. （2）不解关于 x,y 的方程组 1y x y mx n,        请你直接写出它的解. （3）直线 l3:y=nx+m 是否也经过点 P?请说明理由. 4.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网时间 计费;方式 B 除收月租费 20 元外再从每分 0.05 元的价格按上网时间计费,何时两种计费方式 所收费用相等? 【教学说明】学生自主完成,加深对所学知识的理解,及时反映学生掌握情况,根据情况 有针对性地点拨并加强训练. 118 【答案】 1. 4 2 x y        ；2.A; 3.解：（1）由题意得当 x=1 时,y=b,把 x=1 代入 l1:y=x+1,得 y=1+1=2,∴b=2; （2）∵l1 与 l2 相交于点 P（1, b）,又∵b=2,∴l1 与 l2 相交于点（1,2）, ∴方程组的解为 1 2 x , y      ; （3）直线 l3:y=nx+m 经过点 P.理由如下:把（1,2）代入直线 l2:y=mx+n 中，得 2=1× m+n,2=m+n.再把（1，2）代入直线 l3:y=nx+m 中，得 2=1×n+m,2=m+n,∵直线 l2 经过点 P, 又∵m+n=2,∴直线 l3 经过点 P. 4.略. 四、师生互动，课堂小结 你对本节课的内容有哪些认识?学习的过程中遇到哪些困难.请大家互相交流. 【教学说明】通过归纳总结,加深对本节课主要内容的理解,领悟学习过程中所用的思想 与方法,培养学生反思的好习惯. 1.布置作业：习题 5.7 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 利用一次函数与二元一次方程（组）之间的对应关系,让学生体会它们之间是相互联系 的.通过综合运用它们解决实际问题,从中学会根据具体情况灵活地选择数学模型将它们有 机地结合起来. 7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 119 【知识与技能】 掌握利用二元一次方程组用待定系数法确定一次函数的表达式. 【过程与方法】 理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点. 【情感态度】 进一步理解方程与函数的联系,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化. 【教学重点】 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 【教学难点】 利用二元一次方程组解决一次函数的实际问题. 一、创设情境，导入新课 前面,我们已经学了利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解.相反的,能不能用二 元一次方程组来确定一次函数的表达式呢? 【教学说明】用学生熟悉的知识为引子导入本节课,同时采用逆向思维启发学生思考, 激发他们探求知识的强烈欲望. 二、思考探究，获取新知 用二元一次方程组确定一次函数表达式. 问题 1:A,B 两地相距 100 km,甲、乙两人骑车同时分别从 A,B 两地相向而行.假设他们 都保持匀速行驶,则他们各自到 A 地的距离 s（km）都是骑车时间 t（h）的一次函数,1h 后 乙距离 A 地 80 km;2h 后甲距离 A 地 30km.经过多长时间两人将相遇? 你是怎样做的?与同伴进行交流. 【教学说明】通过实际问题为背景，引例分组探索,进一步加强函数与方程的关系,让学 生在多种方法解决问题的思考中和比较中体会作图象方法与代数方法各自的特点,为讲解待 定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系. 【归纳结论】在上面的问题中,用画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难 以准确获得问题的结果.为了获得准确的结果,一般采用代数法. 问题 2:某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需 购买行李票,且行李费 y（元）是行李质量 x（kg）的一次函数.已知李明带了 60kg 的行李, 交了行李费 5 元;张华带了 90kg 的行李,交了行李费 10 元. （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式; （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李? 120 【教学说明】通过例题的探索,让学生掌握到用二元一次方程组确定一次函数的表达式 的具体做法,让他们深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法.使学生有知识迁移的基础. 【归纳结论】像上面问题 2 这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知 的系数,从而得到函数表达式的方法叫做待定系数法. 三、运用新知，深化理解 1.图中的两条直线 l1 和 l2 的交点坐标可以看做方程组 的解. 2.为了倡导节约用水,某城市规定:每户居民每月的用水标准为 8m3,超过标准部分加价 收费.已知某户居民某两个月的用水量和水费分别是 11m3,28 元和 15m3, 44 元.标准内水价 为 ,超过标准部分的水价为 . 3.在弹性限度内,弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数.当所挂 物体的质量为 1 千克时弹簧长 15 厘米;当所挂物体的质量为 3 千克时,弹簧长 16 厘米.写出 y 与 x 之间的函数关系式,并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度. 4.我边防局接到情报,近海处有一可疑船只 A 正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇 B 追赶,如图所示,l1,l2 分别表示两船相对于海岸的距离 s（海里）与追赶时间 t（分）之间 的关系.当时间 t 等于多少分钟时,我边防快艇 B 能够追赶上 A. 【教学说明】学生独立完成,强化了函数与方程的关系,检验了学生利用二元一次方程组 确定一次函数表达式的掌握程度.便于教师调整与强化. 121 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤. 2.通过本节课的学习你掌握了哪些内容?觉得哪些地方还不清楚?请与同学互相交流. 【教学说明】让学生对本节课的内容做概括归纳与整理形成知识体系,同时也加深了印 象.特别是要让学生体会二元一次方程组与一次函数图象之间的转化关系,强化学生数形结 合的意识,从图形中获取有用的信息. 1.布置作业：习题 5.8 中的第 1、2、3 题. 122 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课是二元一次方程组和一次函数关系的第二节课,主要要求学生能够利用二元一次 方程组解决一次函数的解析式问题,根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题，关于 这方面练习,以教师的讲解为主,在此基础上,还要让学生动手、动脑去解决问题，在技能上 做出强化. *8 三元一次方程组 【知识与技能】 掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法. 【过程与方法】 在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想. 【情感态度】 培养学生勇于探索,敢于创新的精神. 【教学重点】 三元一次方程组的解法. 【教学难点】 三元一次方程组的解法过程中的方法选择. 一、创设情境，导入新课 已知甲、乙、丙三数的和是 23,甲数比乙数大 1,甲数的 2 倍与乙数的和比丙数大 20,求 这三个数. 在上述问题中,设甲数为 x,乙数为 y,丙数为 z,由题意可得到方程组: 23 1 2 20 ① ② ③ x y z , x y , x y z .           （1）这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系? （2）你会解这个方程组吗?准备采用什么方法? 【教学说明】通过问题引入,引发学生思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通 过类比的方法引出三元一次方程组的概念. 【归纳结论】含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1,这样的方程叫三元一 次方程.若含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组.三元一 123 次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解. 二、思考探究，获取新知 用消元法解三元一次方程组 思考: （1）对于上面的三元一次方程组怎样解呢? （2）我们会解二元一次方程组,能不能像以前一样“消元”,把“三元”化为“二元” 呢? 【教学说明】通过学生的思考、讨论、交流、探究以及与二元一次方程组解法的类比, 从而得出解三元一次方程组的思路,让学生从中感受类比的思考方法. 为了让学生对三元一次方程组的解法有个初步的了解,展示如下: 解:由方程②得：x=y+1④ 把④代入①③,得 2 22 3 18 ⑤ ⑥ y z , y z .        解由⑤⑥组成的二元一次方程组得 8 6 y , z .      把 y=8 代入④,得 x=8+1=9. 经检验,x=9,y=8,z=6 适合原方程组,所以原方程组的解是 9 8 6 ， ， x y z .       做一做: （1）解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数 y(或 z),从而得到方程组的解 吗? （2）你还有其他方法吗?与同伴进行交流. 【教学说明】解三元一次方程组的过程中,消元的思想体现得非常充分,但怎么消元,先 消哪个元,是需要认真考虑的,这里面的方法是有优劣之分的,引导学生先进行观察比较,在 此基础上再进行消元是有必要的.可以让学生从中感受到方法选择的重要性. 讨论:上述不同的解法有什么共同之处?与二元一次方程组的解法有什么联系?解三元一 次方程组的思路是什么? 【教学说明】一个方程组可能有几个不同的解法,但都体现了一个目的那就是消元,即把 “三元”变“二元”,再化为“一元”. 【归纳结论】解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”, 再把“二元”化为“一元”. 三、运用新知，深化理解 1.已知 26 2 4 1 3 6 0（ ）x y y x z      ,则 x+y+z= . 124 2.解方程组 2 3 3 4 2 11 5 7 1 x y z , x y z , x y z              要使运算简便,消元应选（ ） A 先消 x B.先消 y C.先消 z D.是消常数项 3.某次知识竞赛共出了 30 个试题,评分标准如下:答对一题加 4 分,答错一题扣 1 分,不 答记 0 分,已知小刚同学不答的题比答错的多 3 题,他的总分为 81 分,则他答对了（ ） A.19 题 B.20 题 C.21 题 D.22 题 4.解方程组:（1） 3 2 16 2 2 4 2 14 ① ② ③ x y , x y z . x y z             （2） 2 1 2 1 3 3 ∶，① ∶，② ③ x : y y : z x y z .         【教学说明】教师引导学生自主解答,加深对三元一次方程组解法的理解与掌握,确实有 困难的,教师要给予指导,有错误的要及时纠正并进行强化. 【答案】1.5/2 2.B 3.C 4.解：（1）②+③×2 得：4x+3y=24④ 联立①④，解得 0 8 ， ， x y      将 x，y 的值代入③，得 z=2 所以原方程组的解为 0 8 2 x , y , z .       （2）由①得 x=2y④，将④代入③得 2y+y-3z=3 即 y-z=1⑤ 联立②⑤，解得 2 1 y z      将 y、z 的值代入③，得 x=4 125 所以原方程组的解为 4 2 1 x y z       四、师生互动，课堂小结 1.谈谈你对三元一次方程组解法的看法 2.这节课你掌握了哪些新知识？还存在哪些疑难问题？与同学们交流. 【教学说明】帮助学生形成知识体系,前后联系,感受消元的基本思路.在学习中,只有不 断总结得与失,才能获取更大的进步. 1.布置作业：习题 5.9 中的第 1、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法类似,其基本思路就是消元.在对于解 三元一次方程组时,怎么消元,先消哪个元,也是需要认真考虑的,这一点要注意在不断地学 习中慢慢体会. 第五章 二元一次方程组本章归纳总结 【知识与技能】 会解二元一次方程组和利用二元一次方程组解决实际问题. 【过程与方法】 通过归纳整理本章知识点,回顾解决问题中所涉及的整体代入、转化消元、数形结合的 思想.加强各知识之间的内在联系,便于加深理解. 【情感态度】 在运用本章知识解决实际问题的过程中,体会数学与现实生活的密切联系,增强应用数 学的意识,感受数学的应用价值.通过思考,讨论激发学生探求知识的热情. 【教学重点】 会解二元一次方程组,能够根据具体问题中的数量关系列出方程组. 126 【教学难点】 列方程组解应用性的实际问题. 一、知识框图，整体把握 二、释疑解惑，加深理解 1.二元一次方程的概念. 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1,同时还必须是整式方程才叫做二 元一次方程. 2.二元一次方程组的解法. （1）已知 x,y 满足方程组 2 5 2 4 ，① ，② x y x y        则 x-y= . （2）已知方程组 3 2 2 2 3 ，① ② x y m x y m         的解适合方程 x+y=8.求 m 的值. 说明:第（1）题并不一定要先把 x,y 的值求出来，再计算 x-y 的值.可以采用①-②直接 求得;第（2）题也并不一定是用 m 的代数式来表示 x,y,再代入 x+y=8 求得 m,可以①+②得 5 （x+y）=2m+2,即 x+y= 2 2 5 m  ,由于 x+y=8,得 2 2 5 m  =8，可求得 m. 注:解方程组时,可以根据方程组的特点灵活求解,使计算简便，切不可生搬硬套. 3.列方程组解决实际问题. 127 在用方程组解决问题的过程中要注意以下几个方面:①审清题意,找等量关系是关键;② 单位要统一;③符合实际意义;④检验. 三、典例精析，复习新知 例 1 写出一个解为 1 2 x , y       的二元一次方程组. 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的应用,此题可先构造两个以 1 2 x , y       为解 的二元一次方程，然后将它们用“大括号”联立即可. 解:本题答案不唯一. 因为 x=1,y=-2, 所以 x+y=1+（-2）=-1,x-y=1-（-2）=3. 所以 1 3 x y , x y         就是所求的一个二元一次方程组. 例 2 如果 3 2 x , y       是方程组 1 5 ax by , ax by        的解,求 a2013+2b2014 的值. 【分析】把 3 2 x , y       代入方程组,可以得到关于 a,b 的方程组,解这个方程组,即可求得 a,b 的值. 解:由 3 2 x , y       是方程组 1 5 ax by , ax by        的解,得 3 2 1 3 2 5 a b , a b        ,解这个方程组,得 1 1 a , b      .当 1 1 a , b      时,a2013+2b2014=12013+2×12014=1+2=3. 例 3 解方程组 2012 2013 2015 2011 2012 2014 ① ② z y , z y .        【分析】本题考查用加减法解二元一次方程组,相同未知数的系数的差都是 1,可反复利 用加减消元法. 解:由①-②,得 z-y=1,③ 由③×2012-②,得 z=-2. 把 z=-2 代入③,得-2-y=1,y=-3. 所以原方程组的解为 2 3 ，z y .        例 4 某工厂有甲、乙两条生产线先后投产,在乙生产线投产以前,甲生产线已生产了 200 吨成品,从乙生产线投产开始,甲、乙两条生产线每天分别生产 20 吨和 30 吨成品. 128 （1）分别求出甲、乙两条生产线投产后,总产量 y(吨)与从乙开始投产后所用时间 x（天） 之间的函数关系式,并求出第几天结束后,甲、乙两生产线的总产量相同; （2）在直角坐标系中作出上述两个函数在第一象限内的图象,观察图象分别指出第 15 天和第 25 天结束时,哪条生产线的总产量高. 【分析】此题涉及求解析式及函数与方程的关系,并利用一次函数的图象解决实际问题. 解:（1）由题意可知,甲生产线生产时对应的函数关系式为 y=20x+200. 乙生产线生产时对应的函数关系式为 y=30x.令 20x+200=30x,解得 x=20. ∴当第 20 天结束时,两条生产线的总产量相同. （2）由（1）可知,甲生产线所对应的函数图象一定经过两点 A（0,200）,B（20,600）, 乙生产线所对应的函数图象一定经过两点 O（0,0）和 B（20,600）,画出两个函数图象如图 所示. 由图象可知,第 15 天结束时,甲生产线的总产量高; 第 25 天结束时,乙生产线的总产量高. 四、复习训练,巩固提高. 1.若关于 x、y 的方程组 2 3 3 1 x y , ax by         和 3 2 11 2 3 3 x y , ax by        的解相同,则 a= ,b= . 2.甲、乙两人练习跑步,如果让乙先跑 10 米,甲 5 秒后追上乙;如果让乙先跑 2 秒,那么 甲 4 秒追上乙,甲、乙每秒分别跑 x、y 米,由题意列方程组为 . 3.用加减法解方程组 2 3 5 3 2 7 ① ② x y , x y .        下列解法不正确的是（ ）. A.①×3-②×2,消去 x. B.①×2-②×3,消去 y. C.①×（-3）+②×2,消去 x. D.①×2-②×（-3）,消去 y. 129 4.星期天 8∶00~8∶30,燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气.注完气之后,一位 工作人员以每车20米3的加气量依次给在加气站排队等候的若干辆车加气.储气罐中的储气 量 y（米 3）与时间 x（小时）的函数关系如图所示. （1）8∶00~8∶30,燃气公司向储气罐注入了多少米 3 的天然气; （2）当 x≥8.5 小时,求储气罐中的储气量 y（米 3）与时间 x（小时）的函数关系式; （3）正在排除等候的 20 辆车加完气后,储气罐内还有天然气 米 3,这第 20 辆 车在当天 9:00 之前能加完气吗?请说明理由. 【教学说明】通过四个比较典型习题的训练,加强本章重点知识的巩固,提高学生的解答 能力.前三题让学生能独立完成,第 4 题教师可以根据情况稍做点拔. 【答案】1. -2, 5； 2. 5 5 10 4 6 x y x y.       ; 3.D； 4.（1）8000; （2）当 x≥8.5 时,由图象可设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b.由已知,得 8 5 10000 10 5 8000 . k b , . k b        ,解得 18500 1000 b , k       ,故当 x≥8.5 时,储气罐中的储气量 y（米 3）与时 间 x （小时）的函数关系式为 y=-1 000x+18500; （3）根据每车 20 米 3 的加气量,则 20 辆车加完气后,储气罐内还有天然气 10 000-20×20=9 600（米 3）,故答案为 9 600（米 3）. 根据题意,得出 9600=-1000x+18500. x=8.9＜9.即这第 20 辆车在当天 9∶00 之前能加完气. 五、师生互动，课堂小结 你能完整地回顾本章所学的二元一次方程组的有关知识吗?你掌握了哪些?还有哪些疑 惑? 【教学说明】引导学生回顾本章知识,放手让学生交流讨论,及时解答学生的疑难问题, 并做必要的补充证明. 130 1.布置作业：从复习题中选取. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课通过建立知识框架,以二元一次方程组的解法和实际运用等知识为重点,力求让 学生做到胸有成竹.另外,又通过典型例题和习题训练相结合,使学生既能抓住重点又得到不 同程度的强化提高. 第六章 数据的分析 1 平均数 第 1 课时 平均数 【知识与技能】 掌握算术平均数，加权平均数的概念，会计算一组数的算术平均数和加权平均数. 【过程与方法】 1.通过小组合作活动，培养学生的合作意识. 2.通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切关系. 【情感态度】 经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力； 通过有关平均数问题的解决，发展学生的数学应用能力. 【教学重点】 掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的平均数. 【教学难点】 利用加权平均数解决一些实际问题. 一、创设情境，导入新课 在篮球比赛中,队员的身高、年龄都是影响球队实力的因素，如何衡量两个球队队员的 身高？怎样理解“甲队队员的身高比乙队的更高”?怎样理解“甲队队员比乙队更年轻”？ 中国男子篮球职业联赛 2011-2012 赛季冠、亚军球队队员身高、年龄如下表： 131 上述两支篮球队中,哪支球队队员的身高更高?哪支球队的队员更为年轻?你是怎样判断 的?与同伴进行交流. 【教学说明】一连串跟球赛有关的问题的提出,学生比较熟悉又容易接受,从而达到激发 学生新知识的强烈欲望,引入新课的目的. 想一想: 小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的; 平均年龄=（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷ （1+4+2+2+1+2+2+1）=25.4（岁） 你能说说小明这样做的道理吗? 【教学说明】一连串跟球赛有关的问题的提出,学生比较熟悉又容易接受,从而激发学生 对新知识的强烈欲望,达到引入新课的目的.. 132 二、思考探究，获取新知 例其广告公司欲招聘广告策划人员一名,对 A、B、C 候选人进行了三项素质测试.他们的 各项测试成绩如下表所示: （1）如果根据三项测试的平均成绩定录用人选,那么谁将被录用? （2）根据实际需要,公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按 4：3：1 的比例确定 各人的测试成绩，此时谁将被录用？ （3）（1）、（2）问的结果一样吗?说明了什么? 【教学说明】通过实际问题的解决,让学生体会数据中权的作用，理解加权平均数的计 算方法，体验成功的乐趣. 【归纳结论】实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.因而,在计 算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”. 例如在例题中 4,3,1 分别是创新,综合知识,语言三项测试成绩的权.则 72 4 50 3 88 1 4 3 1        为 A 的三项测试成绩的加权平均数. 三、运用新知，深化理解 1.八年级某个班 40 名学生中,22 名男生的平均身高为 1.65 米,18 名女生的平均身高为 1.57 米,则这个班学生的平均身高是 . 2.某超市购进了一批不同价格的运动鞋,根据近几年统计的平均数据,运动鞋单价为 40 元,35 元,30 元,25 元的销售百分率分别为 60%,75%,82%,98%.要使之前超市销售运动鞋收入 最大,之前超市应多购单价为的运动鞋.（ ） A.40 元 B.35 元 C.30 元 D.25 元 3.某校对初中毕业生根据综合素质、考试成绩、体育测试这三项得分按 4∶4∶2 的比例 评定毕业成绩，达到 80 分以上（含 80 分）为优秀毕业生，小明、小亮的成绩（单位：分） 如下表： 133 （1）小明、小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？谁的毕业成绩更好些？ （2）升入高中后，请你对于他们今后的发展给每人提一条建议. 【教学说明】 通过生活中的数据，引导学生学会分析问题，利用数学指导我们学习和生活，体现数学 来源于生活. 【答案】1.1.614m；2.B； 四、师生互动，课堂小结 1.回顾加权平均数的概念和计算方法. 2.本节课你掌握了哪些知识?还有哪些不足的地方?与同学们交流. 【教学说明】 教师引导学生回顾,再次巩固加权平均数的计算，进一步加深学生对应用公式计算加权平均 数的理解. 134 完成练习册中本课时相应练习. 学生初学加权平均数，理解还不够准确，应再引导学生自行举例说明对加权平均数及其 计算公式的理解，加深对“权重”意义的理解. 第 2 课时 加权平均数的应用 【知识与技能】 会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响， 能利用平均数解决实际问题. 【过程与方法】 1.理解算术平均数与加权平均数的联系与区别. 2.通过解决与平均数有关的问题，发展学生的数学应用能力. 【情感态度】 通过解决实际问题，体会数学和生活的密切联系；增强学好数学，用好数学的信心. 【教学重点】 会求加权平均数，理解算术平均数和加权平均数的联系和区别. 【教学难点】 体会权的差异对结果的影响，并能用其解决实际问题. 一、创设情境，导入新课 森林中心举行了一场“森林卫士”的选拔活动， 选拔分 100 米赛跑、举圆木、跨越障碍、紧急情况处理能力四项（每项满分 10 分）. 熊大、熊二与光头强都参加了选拔活动，它们的成绩如下： 135 活动 1：请你根据四项的平均成绩进行排名，并确定冠军是谁. 活动 2：如果将这四项得分按 3∶3∶2∶2 的比例确定它们的成绩， 那么谁是冠军？ 活动 3：光头强不甘心落后， 一直丰想当“森林卫士”，眼珠一转，想到一个办法，他悄悄地将得分比例改成了 4∶1∶ 3∶2， 于是他拿到了这个冠军.你知道这是什么吗？ 【教学说明】说明：用现在热播的动画片《熊出没》中的光头强可瞬间吸引学生的注意 力，产生极大兴趣，快速进入学习情境，让学生回顾了上节课中学习的知识 ，为本节课的 学习做了铺垫；同时学生可以感受到数学知识就在自己的身边.在学生操作时，引导学生进 行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验. 二、思考探究，获取新知 某学校进行广播比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一，进退场有序、动作规范、动作整 齐（每项满分 10 分）. 其中三个班级的成绩分别如下： （1）若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按 10%，20%，30%， 40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ （2）你认为上述四项中，哪一项更为重要?请你按自己的想法设计一个评分方案. 根据你的评分方案，哪一个班的广播操比赛成绩最高？与同伴进行交流. 【教学说明】使学生理解日常生活中的许多“平均”现象并非算术平均.由于多数情况下， 各项的重要性不一定相同（即权数不同），所以应将其视为加权平均，加深对加权平均数的 136 理解，特别是权的差异对结果的影响，认识到日常生活中的许多 “平均”现象是“加权平 均”. 三、运用新知，深化理解 1.在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组 8 名同学捐款的金额（单位：元）如 下表所示： 这 8 名同学捐款的平均金额为（ ） A.3.5 元 B.6 元 C.6.5 元 D.7 元 2.某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按 60%、面试按 40%计算加权平均数，作为 总成绩，孔明的笔试成绩是 90 分，面试成绩是 85 分，那么孔明的总成绩是 分. 3.某公司欲聘请一名员工,三位应聘者甲、乙、丙原始评分如下表: （1）若按仪表、工作经验、电脑操作、社交能力、工作效率五项评分别占 10%，15%， 20%，25%，30%，综合得分，谁的最高？ （2）你认为上述五项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案.根据 你的评分方案,谁的得分最高? 【教学说明】学生在练习中可能出现对加权平均数的公式运用不当，对数据的权理解错 误等问题，教师应引导学生分析其错误并及时纠正，强化对概念的理解和知识的掌握. 【答案】1.C；2.88； 3.解:（1）甲的得分是: 4 10 5 15 5 20 3 25 3 30 10 15 20 25 30 % % % % % % % % % %              =3.8（分）. 137 乙的得分是: 4 10 3 15 3 20 4 25 4 30 10 15 20 25 30 % % % % % % % % % %              =3.65（分）. 丙的得分是: 3 10 3 15 4 20 4 25 5 30 10 15 20 25 30 % % % % % % % % % %              =4.05（分）. ∴丙的最高. （2）每个人的观点不一样,灵活处理. 四、师生互动，课堂小结 1.回顾加权平均数的概念和计算公式. 2.本节课你掌握了哪些知识?还有哪些不足的地方?与同学们交流. 【教学说明】教师引导学生回顾,加深对数据的权和加权平均数的掌握与理解,通过学生 归纳和教师释疑,让学生优化概念,消化知识. 四、师生互动，课堂小结 1.回顾加权平均数的概念和计算公式. 2.本节课你掌握了哪些知识?还有哪些不足的地方?与同学们交流. 【教学说明】教师引导学生回顾,加深对数据的权和加权平均数的掌握与理解,通过学生 归纳和教师释疑,让学生优化概念,消化知识. 完成练习册中本课时相应练习. 在加权平均数的计算过程中，有部分同学对权的理解还不是很清楚，对分母上的数据表 示的意义并不明白，在今后的教学中要帮助学生不断排除障碍.由于数据较多，可以用计算 器使计算方便快捷. 2 中位数与众数 138 【知识与技能】 1.认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数. 2.了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异,并能灵活应用这三个数据代表解决 实际问题. 【过程与方法】 经历探索中位数、众数的概念的过程,学会根据数据做出判断的初步思想,合理论证.领 会平均数、中位数、众数这三个特征数的联系与区别. 【情感态度】 培养学生良好的数字信息处理的意识，建立学好数学的自信心，体会发展的内涵与价值. 【教学重点】 认识中位数、众数这两种数据代表. 【教学难点】 灵活运用平均数、中位数、众数，分析数据信息，做出决策. 一、创设情境，导入新课 某公司员工的月工资如下: 问题:这个公司员工的月平均工资是多少?这个公司员工收入到底怎样?你如何看待? 【教学说明】为学生提供一个活生生的生活情境和值得深思的问题,激起学生认知的矛 盾.因为疑问是构建数学的起点,对学生的心理智力产生刺激,让他们从问题中发现,有利于 建立新的认知结构. 二、思考探究，获取新知 1.中位数与众数概念. 观察: （1）这个公司员工的工资是按从高到低排列的,哪一位员工工资处在“正中间”? （2）9 个员工当中,哪一种月工资出现的次数最多? 【教学说明】这两个问题的提出让学生在心目中对于中位数和众数有了初步的认识,为 下面正确理解它们的概念打下了基础. 139 【归纳结论】一般地,几个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据（或最中间 的两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这 组数据的众数. 讨论: （1）在上面的问题中,你认为用平均数、中位数和众数中哪个数据描述该公司员工收入 的集中趋势更合适？ （2）为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多？ 【教学说明】在同一个问题中分别求平均数、中位数和众数，这是为了比较三个量在描 述一组数据集中趋势时的不同角度，从而有助于了解三个概念之间的联系与区别，体现了它 们各自在日常生活中的指导意义，培养了学生的迁移能力. 2.平均数、中位数和众数的应用. 做一做： （1）2011~2012 寒季北京金隅队队员身高的平均数、中位数和众数分别是多少？ （2）你课前调查的 20 位男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数和众数分别是多少？ 你认为学校商店应多进哪种尺码的运动鞋？ 【教学说明】通过这几个问题的设置，其目的就是让学生根据不同情况从不同的角度灵 活运用这三个数据代表处理问题. （3）平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量，它们各自有哪些特征呢？ 【教学说明】学生讨论得出结果，进一步加深了对平均数、中位数和众数的理解，认清 了它们各自存在的优劣以及如何利用这三种数据解决实际问题. 三、运用新知，深化理解 1.为筹备班里的新年晚会，班长以全班同学爱吃哪几种水果作民意调查，以决定买什么 水果，那么他应该以调查数据的 决定. 2.若数据 2,x,4,8 的平均数是 4，则这组数据的中位数和众数是（ ） A.3 和 2 B.2 和 3 C.2 和 2 D.2 和 4 3.某乡镇企业生产部有技术工人 15 人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统 计了 15 人某月的加工零件个数，如下表： 140 （1）写出这 15 人该月加工零件数的平均数、中位数和众数. （2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为 260 件，你认为这个合理吗？ 为什么？ 【教学说明】教师引导学生独立完成，加深对平均数、中位数和众数概念的理解和检验 他们掌握的程度，对于需要帮助的学生及时点拨. 【答案】1.众数；2.A； 3.（1）平均数= 540 450 300 2 240 6 210 3 120 2 15          =260， 中位数为 240，众数为 240 （2）合理，因为所定的件数等于平均数值. 四、师生互动，课堂小结 1.回顾平均数、中位数、众数的概念和各自特征. 2.你是如何利用平均数、中位数、众数这三个特征数来描述一组数据的集中趋势. 3.这节课你掌握了哪些知识？还有什么疑问？与同学们交流. 【教学说明】通过回顾知识点加深印象.让学生总结几个概念的不同侧重点以提高他们 分析问题和解决问题的能力. 1.布置作业：习题 6.3 中的第 1、2、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 学生对于两个概念的把握上还比较清晰，但在具体的实际问题中采用哪一种数据来分析 不是很明确，对于一些问题中理由的说明还不是很充分，以后的教学中要正解引导. 3 从统计图分析数据的集中趋势 【知识与技能】 141 1.进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表，了解它们在描述数据时的差异. 2.利用统计图灵活应用这三个数据代表解决实际问题. 【过程与方法】 经历探索常见的数据集中趋势的特征数的过程,感受其实际应用,掌握判断方法. 【情感态度】 培养数据信息素养,体会数据的集中趋势的特征数的实际应用价值. 【教学重点】 了解平均数、中位数、众数之间的差异. 【教学难点】 灵活运用这三个数据代表解决问题. 一、创设情境，导入新课 教材第 145 页“议一议”上方的内容. 【教学说明】在同一个问题中求出众数，从而估计平均数，这是为了体现这两个量在描 述一组数据集中趋势时之间的相互联系.体现了众数在日常生活中的指导意义，培养了学生 的迁移能力. 二、思考探究，获取新知 从统计图中分析数据的集中趋势. 思考并讨论： 问题 1:教材第 145 页“议一议”. 【教学说明】利用统计图让学生在同一个问题中分别求出平均数、众数和中位数，主要 是为了比较这三个量在描述一组数据集中趋势时的不同角度，从而有助于了解三个概念之间 的区别和联系. 问题 2：教材第 145~146 页“做一做”和“想一想”. 【教学说明】在扇形统计图中很容易看出众数，从统计图中获取的信息求加权平均数， 巩固了以前学过的知识，加深了对这个知识点的理解. 采用问题 2 中的方法，教师引导学生完成教材第 146 页例题. 三、运用新知，深化理解 1.物理教师布置了 10 道选择题作为课堂练习，如图是全班解题情况统计，平均每个学 生做对了 道题；做对题数的中位数为 ；众数为 . 142 2.某班 50 名同学为玉树灾区捐款，捐款情况如图，这些同学捐款的中位数是（ ） A.2 元 B.5 元 C.10 元 D.20 元 3.多多班长统计去年 1~8 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本）， 绘制了如图所示的折线统计图. 下列说法正确的是（ ） A.各月阅读量最多相差 47 本 B.众数是 42 C.中位数是 58 D.每月阅读数量超过 40 的有 4 个月 4.某中学为了了解八年级学生的课外阅读情况，随机调查了该年级的 25 名学生，得到 了他们上周双休日课外阅读时间（记为 t,单位：小时）的一组样本数据，其扇形统计图如 图，其中 y 表示与 t 对应的学生数占被调查人数的百分比. 143 （1）求与 t＝4 相对应的 y 值； （2）试确定这组样本数据的中位数和众数； （3）请估计该校八年级学生上周双休日的平均课外阅读时间. 【教学说明】让学生独立完成，考查学生对知识的理解和掌握运用情况，教师对解题过 程中突出的问题要及时纠正和必要的点拨. 【答案】1.8.78，9，8 和 10；2.B；3.C； 4.解：（1）y=28%；（2）中位数是 3 小时，众数是 4 小时；（3）3.36 小时. 四、师生互动，课堂小结 师生共同回顾如何从统计图中分析平均数、中位数、众数之间的密切关系？你还有哪些 收获？与大家共同交流. 【教学说明】教师引导学生归纳总结，对知识不断搜集整理形成体系.为学生解决实际 问题提出了很好的方法和技巧. 1.布置作业：习题 6.4 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 在实际问题中利用统计图获取信息，并求出或估计相关数据的平均数、中位数、众数的 问题，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.通过相互合作交流，让所有学生都有所 144 收获，共同发展. 4 数据的离散程度 第 1 课时 极差、方差和标准差 【知识与技能】 通过分析数据，知道描述数据的不同方法. 【过程与方法】 通过极差和方差的计算方法，体会对数据的不同描述方法，并利用极差与方差求知量，激发 学生们对学习的兴趣. 【情感态度】 培养学生对数据的集中趋势和波动大小的理解. 【教学重点】 理解极差和方差的计算方法. 【教学难点】 理解极差与方差的意义. 一、创设情境，导入新课 教材第 149 页问题 【教学说明】应用实例并提问启发思考,导入极差的概念，自然而又有探索性. 【归纳结论】实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度, 即它们相对于集中趋势的偏离情况.一组数据中最大数据与最小数据的差（称为极差）,就是 刻画数据离散程度的一个统计量. 二、思考探究，获取新知 方差的计算和应用. 问题 1：教材第 150 页“做一做” 【教学说明】通过问题的分析以及阅读指导的再认识，让学生认识到方差是衡量一组数 据的离散程度的常用方法. 【归纳结论】数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画.方差（variance） 是各个数据与平均数差的平方的平均数,即 2 2 2 2 1 2 1（ ） （ ） （ ）ns x x x x x x .n       其中, x 是 x1,x2,…,xn 的平均数,s2 是方差.而标准差（standard deviation）就是方差 的算术平方根. 145 一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 三、运用新知，深化理解 1.数学课上,小明拿出了连续五天最低气温的统计表. 那么,这组数据的平均数和极差分别是 . 2. 一个样本为 1,3,2,2,a,b,c 已知这个样本的众数为 3,平均数为 2,那么这个样本的 方差为 . 3. 五个数 1,3，a，5，8 的平均数是 4，则 a= ，这五个数的方差 是 . 4.某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试 中，他俩的成绩分别如下表： 根据上表解答下列问题： （1）完成下表： （2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将 80 分以上（含 80 分）的成绩 视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？ （3）历届比赛表明，成绩达到 80 分以上（含 80 分）就很可能获奖，成绩达到 90 分 以上（含 90 分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理 由. 【教学说明】 通过极差与方差的计算，加深对极差与方差的理解，熟练掌握对数据的描述方法. 【答案】1. 24，4; 2. 8/7; 3. 3， 5.6 4.解：（1）从左到右依次是 20，80，80，80，40; 146 （2）成绩比较稳定的同学是小李，小王的优秀率是 40%,小李的优秀率是 80%. （3）若为了获奖，选取小李，因为小李的优秀率高，有 4 次得 80 分以上（含 80 分）， 成绩比较稳定，获奖机会大.若想得一等奖，选小王，因为小王的成绩获得一等奖的概率较 高，有 2 次 90 分以上（含 90 分），因此更有可能获得一等奖. （注：答案不唯一，可任选其中一人，只要分析合理即可，若选两人都去参加，不合题 意） 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾极差，方差的概念和计算公式等知识点. 2.通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有哪些疑问？与同学们交流. 【教学说明】通过回顾与思考巩固本节课所学知识，让学生体会进步与成功的喜悦，有 信心更好的学下去. 完成练习册中本课时相应练习. 本节主要是学习极差、方差的概念并能进行计算，理解极差、方差在描述数据时的意义. 第 2 课时 方差的应用 【知识与技能】 1.通过实例，知道描述一组数据的分布时，除关心它的集中趋势外，还需分析数据的波 动大小. 2.了解数据离散程度的意义. 【过程与方法】 经历探索方差的应用过程，体会数据波动中方差的求法，积累统计经验，培养学生用统 计的知识描述.分析数据，解决实际问题的能力. 【情感态度】 培养学生统计意识,形成尊重事实,用数据说话的态度.认识数据处理的实际意义. 147 【教学重点】 理解极差和方差的概念,掌握其求法. 【教学难点】 应用方差对数据波动情况的比较、判断. 一、创设情境，导入新课 教材第 150 页例题 【教学说明】应用实例掌握方差的概念及计算方法. 二、思考探究，获取新知 方差的计算和应用. 问题 1：教材第 150 页“做一做” 【教学说明】让学生学会用计算器求方差，加深对公式的理解，体会现实生活中常常用 方差考虑数据波动大小作出正确的选择和判断. 问题 2：教材第 152 页下方的问题. 【教学说明】利用图象证明数据的离散程度，再通过计算加以验证，让学生进一步体会 方差是衡量一组数据稳定性的重要标志.教师引导学生完成“议一议”和“做一做”. 三、运用新知，深化理解 1.甲、乙两个样本，甲的样本方差是 2.15，乙的样本方差是 2.21，那么样本甲和样本 乙的波动大小是（ ） A.甲、乙的波动大小一样 B.甲的波动比乙的波动大 C.乙的波动比甲的波动大 D.无法比较 2.10 名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示： 设两队队员身高的平均数依次为 x 甲,x 乙，身高的方差依次为 s2 甲，s2 乙，则下列关系 中完全正确的是（ ） A. 乙甲＝x x ，s2 甲＞s2 乙 B. 乙甲＝x x ，s2 甲＜s2 乙 C 乙甲＞.x x ，s2 甲＜s2 乙 148 D. 乙甲＜x x ，s2 甲＜s2 乙 3.新星公司到某大学招聘公司职员，对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与 社团活动等三项进行测试，三项的得分满分都为 100 分，三项的分数分别按 5∶3∶2 的比例 记入每人的最后总分，有 4 位应聘者的得分如下表所示. （1）写出 4 位应聘者的总得分； （2）就表上专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项的得分，分别求出 三项中 4 人所得分数的方差； （3）由（1）和（2），你对应聘者有何建议？ 【教学说明】学生独立完成，加深对概念和计算公式的理解，同时对方差的实际应用也 是个考查，教师根据情况适时指导和点拨. 【答案】1.C 2. B; 3.解：（1）应聘者 A 总分为 86 分；应聘者 B 总分为 82 分；应聘者 C 总分为 81 分；应 聘者 D 总分为 82 分. （2）4 位应聘者的专业知识测试的平均分数 1x =85, 方差为:s2 1= 1 4 ［（85-85）2+（85-85）2+（80-85）2+（90-85）2］=12.5; 4 位应聘者的英语水平测试的平均分数 2x =87.5, 方差为 s2 2= 1 4 ×2.52×4=6.25; 4 位应聘者参加社会实践与社团活动等的平均分数为 3x =70, 方差为 s2 3= 1 4 ［（90-70）2+（70-70）2+（70-70）2+（50-70）2］=200. （3）应聘者的专业知识、英语水平的差距不大，但参加社会实践与社团活动等方面的 差距较大，影响学生的最后成绩，将影响学生就业.学生不仅要注重自己的文化知识的学习， 更应注重社会实践与社团活动的参与，从而促进学生综合素质的提升. 四、师生互动，课堂小结 149 1.师生共同回顾极差，方差的概念和计算公式等知识点. 2.通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有哪些疑问？与同学们交流. 【教学说明】通过回顾与思考巩固本节课所学知识，让学生体会进步与成功的喜悦，有 信心更好的学下去. 完成练习册中本课时相应练习. 本节课主要是利用极差、方差反映数据的离散程度，特别是方差计算对于数据较大较多 时可以借助计算器进行计算，公式要理解性记忆.在教学中让学生体会方差在日常生活中的 实际运用特别广泛，增强他们学习的热情. 第六章 数据的分析本章归纳总结 【知识与技能】 掌握数据的集中趋势和数据离散程度所表示的意义，并会利用它们解决实际问题. 【过程与方法】 通过对本章知识的整理，回顾解决问题中所涉及的转化思想，数形结合的思想，从特殊 到一般的思想来解决数学问题.加深对知识的理解. 【情感态度】 在运用本章知识解决实际问题过程中体会数学与生活的密切联系，增强应用数学的意识, 感受数学应用的价值,激发学生探求知识的热情. 【教学重点】 具体情境中理解并会计算加权平均数，根据具体问题能选择恰当的统计量表示数据的集 中趋势,掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念及各自的计算公式；会利 用计算器求平均数，会用极差、方差、标准差来研究数据波动的大小. 150 【教学难点】 理解数据代表的意义和方差、标准差代表的意义. 一、知识框图,整体把握 【教学说明】师生共同回顾本章知识点,构建知识结构图,让学生对本章知识有个整体把 握,体会各知识之间的联系与区别,教学时要有的放失. 二、释疑解惑,加深理解 1.求加权平均数 求算术平均数是加权平均数的特例.加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数,当 加权平均数的各项权重相等时,就变成了算术平均数. 2.求中位数 求一组数据的中位数时,要是把这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列起来, 然后求中位数,不可直接取中间的数为中位数. 3.方差 在平均数相差不多的情况下,方差是衡量一组数据波动大小的量,方差越小,数据的波动 就越小,证明数据越接近平均数. 三、典例精析,复习新知 例 1 为了了解中学生穿鞋的鞋号情况,对某中学七年级（2）班的 20 名女生所穿鞋号统 151 计如下: 那么由这 20 名女生的鞋号组成的一组数据的平均数是 ,中位数是 , 众数是 ,鞋厂最感兴趣的是 数. 【分析】平均数可用加权平均数公式计算: 21 5 3 22 4 22 5 4 23 7 23 5 1 24 1 451 20 20 . . .x             =22.55（cm）. 中位数是第 10 个和第 11 个两个数据的平均数,而这两个数据均是 22.5.众数是出现次 数最多的数据,同时也证明这种号码的鞋是学生中穿得最多的,也是厂家销售得最好的,是这 组数据中最重要的. 【答案】22.55，22.5，23，众 例 2 某样本 x1+1,x2+1,…xn+1 的平均数为 10,方差为 2,求样本 x1+2,x2+2…,xn+2 的平均 数及方差. 【分析】由平均数及方差的性质可知,若 x1,x2,x3…,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,则 ax1+b,ax2+b,ax3+b,…,axn+b 的平均数为 a x +b,方差为 a2s2. 152 例 3 一次科技知识竞赛,两组学生的成绩如下表所示: 已经算得两个组的平均分都是 80 分,请根据学过的统计知识,进一步判断两个组在这次 竞赛中的成绩谁优谁次,并说明理由. 【分析】这是一道不同于常见的计算众数、方差、中位数等题目的开放性问题.要求大 家计算这些数据并不难，但在没有任何提示的情况下，要从某些方面去进行分析和判断，可 能会令很多人束手无策.由此可见，形成扎实的基本功底，提高数学素质比单纯会计算要重 要得多.另外，从这道题也可以看出，解数学题要有一定的结论叙述能力. 解：甲组成绩的众数 90 分，乙组成的众数为 70 分，从成绩的众数看，甲组成绩好些. s2 甲＝ 1 2 5 10 13 14 6     ×［2×（50-80）2+5×（60-80）2+10×（70-80）2+13× （80-80）2+14×（90-80）2+6×（100-80）2］＝ 1 50 ×（2×900+5×400+10×100+13×0+14 ×100+6×400）＝172， s2 乙＝ 1 50 ×（4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400）＝256, 因为 s2 甲＜s2 乙，所以甲组成绩较好. 甲、乙两组成绩的中位数、平均分都是 80 分,其中甲组成绩在 80 分以上（含 80 分）的 153 有 33 人,乙组成绩在 80 分以上（含 80 分）的有 26 人,所以从这一角度看,甲组成绩较好. 甲组成绩高于 90（含 90 分）的有 14+6=20（人）, 乙组成绩高于 90（含 90 分）的有 12+12=24（人）, 因为乙组成绩集中在高分段的人数多,同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人,从这一角度看,乙组成绩较好. 【教学说明】利用本章主要知识解决相关的实际问题教师适当给予点评,指明应用哪些 知识点需要注意些什么问题，对学生有所警示，以防一错再错. 四、复习训练，巩固提高 1.某班中考数学成绩如下:得 100 分 7 人,得 90 分 14 人,得 80 分 17 人,得 70 分 8 人, 得 60 分 3 人,得 50 分 1 人,平均分为 ,中位数为 ,众数为 . 2.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量,如下表所示: 则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ） A.180 度,160 度 B.160 度,180 度 C.160 度,160 度 D.180 度,180 度 3.某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在 5 月份“书香校园”活动中的课外 阅读时间，他们平均每天课外阅读时间 x 与方差 s2 如下表所示，你认为表现最好的是 （ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.为了从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知 识进行了 10 次测验，成绩如下（单位：分） （1）请填写下表： 154 （2）利用（1）的信息，请你对甲、乙两个同学的成绩进行分析. 【教学说明】这四道题主要是为了加强本章知识的综合应用，前三题相对简单一些，学 生独立完成，最后一题可以让有困难的学生讨论得出结论.教师适当给予引导. 【答案】1.82.2 分，80 分，80 分； 2.A；3.C； 4.解：（1）第二行从左到右依次填：84：14.4，第三行从左到右依次填：90；0.5. （2）甲、乙成绩的中位数、平均数都是 84.①甲成绩的众数是 84，乙成绩的众数是 90， 从成绩的众数看，乙的成绩好；②甲成绩的方差是 14.4，乙成绩的方差是 34，从成绩的方 差看，甲的成绩相对稳定；③甲成绩 85 分以上（不含 85 分）的频率为 0.3，乙成绩 85 分 以上（不含 85 分）的频率为 0.5，从 85 分以上的频率看，乙的成绩好. 五、师生互动，课堂小结 本节课你能完整地回顾本章所学的有关知识吗？你对数据的集中趋势和数据的离散程 度是怎样理解的？学习过程中遇到哪些困惑？与同学交流. 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，大胆让学生自主交流，讨论与思考，发挥他们 各自的潜能.学生存在的困惑，教师要及时补充和必要的点评. 1.布置作业：从复习题中选取. 2.完成练习册中本课时相应练习. 这节课通过归纳本章内容，以平均数、中位数、众数、极差、方差等知识点为主要内容， 力求把所有的知识点复习到，做到查漏补缺，精讲精练，达到灵活熟练的运用相关知识去解 决实际问题的目的.此外，它们各自代表的意义不同，分析问题的时候要注意以不同角度做 出合理正确的判断证明. 第七章 平行线的证明 1 为什么要证明 155 【知识与技能】 1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论 未必可靠，初步感受证明的必要性. 2.发展学生的推理意识. 【过程与方法】 通过观察、猜想、验证、归纳等方法让学生多角度思考问题、解决问题. 【情感态度】 让学生明白仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明，培养学生 科学严谨的学习态度. 【教学重点】 体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性. 【教学难点】 感受证明的必要性. 一、创设情境，导入新课 教材第 162 页“做一做”上方的问题. 【教学说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论是否正确. 二、思考探究，获取新知 验证结论的正确性. 做一做： 教材第 162 页“做一做”. 【教学说明】（1）中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；（2）中利用先猜 想再验证的方法；培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题. 【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一 个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明. 三、运用新知，深化理解 1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判 断是 的.（填“正确”或“不正确”） 2.下列说法不正确的是（ ） A.若∠1=∠2，则∠1 与∠2 是对顶角. B.若∠1 与∠2 是对顶角，则∠1=∠2. C.若直线 a∥b,a⊥c,则 b⊥c. D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2. 3.如图，甲沿着 ACB 由 A 到 B，乙沿着 ADEFB 由 A 到 B，同时出发，速度相等，则（ ） 156 A.甲先到 B.乙先到 C.甲乙同时到 D.不确定 4.在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，连结 EF,EF 与 AD 和 BC 有 怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？ 5.当 a=1,b=2 时，12+22>2×1×2;当 a=-1,b=3 时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当 a=- 1 2 ,b=-3 时，（- 1 2 ）2+（-3）2>2×(- 1 2 )×(-3).于是猜想：对于任意实数总有 a2+b2>2ab 成立.这个 结论正确吗？说明理由. 【教学说明】让学生独立完成，检查学生对于所学知识的掌握程度，根据反馈的情况适 当查漏补缺，有困难的学生采用互相交流的形式得出结论. 【答案】1.不正确； 2.A; 3.C 4.EF∥AD∥BC.EF= 1 2 (AD+BC).这个结论对所有的梯形都成立. 证明：连结 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G.∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,∠DAF=∠G,又∵F 是 CD 的中点，∴DF=CF,∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,AF=GF.又∵E 是 AB 的中点，∴AE=BE, ∴EF= 1 2 BG= 1 2 (BC+CG)= 1 2 (BC+AD). 5.解：不正确.当 a=b 时，a2+b2=2ab,找得到实数 a、b，如 a=b=1,使得 a2+b2=2ab 成立， 因为对于任意的实数 a、b 都有 a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 成立，所以 a2+b2≥2ab 成立，而不是 a2+b2>2ab. 四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你 是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流. 【教学说明】让学生大胆发言，进行知识的提炼和归纳总结，与同学交换意见相互补充， 利于共同提高. 157 1.布置作业：习题 7.1 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 学生的直观判断、实验操作得出的结论可能带有极大的片面性.数学是一门科学，讲究 的是周密的计算和合乎逻辑的推理证明，不能想当然，让学生在学习过程中不断去体会. 2 定义与命题 第 1 课时 定义与命题 【知识与技能】 1.了解定义、命题的概念. 2.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，学会用反例说明一个命题是假命题. 【过程与方法】 通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验. 【情感态度】 在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质. 【教学重点】 命题的概念及真假的判断. 【教学难点】 对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”形式. 一、创设情境，导入新课 （1）阅读新华社酒泉 2013 年 6 月 11 日这篇报导： 神舟十号载人飞船于 6 月 11 日上午发射，……神舟十号飞船搭乘两名航天员，执行多 天飞行任务.按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角 42.4°， 近地点高度为 200 千米，远地点高度为 347 千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入 343 千米 158 的圆轨道. 要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？ （2）什么叫做平行线？（在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线）. 什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）. 【教学说明】用熟悉的背景和提出的两个问题引入，为下面给出定义的概念得以顺理成 章. 二、思考探究，获取新知 1.定义 问题 1：从以上两个问题中，你能得出什么是定义吗？并举例说明. 【教学说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用学生举例的形成加深对概念的理 解与掌握. 【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此， 就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义. 2.命题 问题 2：下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流. （1）任何一个三角形一定有一个角是直角； （2）对顶角相等； （3）无论 n 为怎样的自然数，式子 n2-n+11 的值都是质数； （4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （5）你喜欢数学吗？ （6）作线段 AB=CD. 【教学说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排了不是命题的问题参入， 让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断. 【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判 断，那么它就不是命题. 问题 3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同学们交流. （1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； （2）如果 a=b，那么 a2=b2; （3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等. 【教学说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念， 进一步加深了命题的理解. 【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论 是由已知事项推出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果” 引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 159 问题 4：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与 同学们交流. （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果 a≠b,b≠c,那么 a≠c; （3）全等三角形的面积相等； （4）如果室外气温低于 0℃,那么地面上的水一定会结冰. 【教学说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自己学的知识对命题做出正 确的判断. 【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假 命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为 反例. 三、运用新知，深化理解 1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是 ，结论 是 . 2.若 a2=b2,则 a=b.这个命题是 命题（填“真”或“假”）. 3.下列语句不是命题的有（ ）个 ①相等的角是直角；②两点之间线段最短；③煤球是白色的；④连线 A、B 两点. A.0 B.1 C.2 D.3 4.下列句子哪些是命题？是命题的判断真假. ①对顶角相等；②画一个角等于已知角；③两直线平行，同位角相等；④a，b 两直线 平行吗？⑤鸟是动物；⑥若 a2=4，求 a 的值；⑦若｜a｜=｜b｜，则 a=b. 【教学说明】由学生自主完成，通过练习，使学生对知识的理解由浅入深，从感性上升 到理性，及时反馈，便于发现问题、解决问题、提高课堂效率.提高 45 分钟的质量. 【答案】1.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行；2.假；3.B;4.命题有：①③ ⑤⑦；真命题有：①③⑤；假命题有：⑦. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾定义、命题、条件、结论、真命题、假命题和反例的概念等知识点. 2.谈谈你对本节课的收获. 【教学说明】使学生对本节课的知识有一个完整的认识，进一步形成知识网络.不断对 知识进行提炼和归纳，有助于概念的理解. 160 1.布置作业：习题 7.2 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课概念比较多，千万不要死记硬背，在教学中要利用实例帮助理解记忆.对于命题 中的条件和结论不很明显的改写成“如果……那么……”的形式有些困难，这方面有待今后 不断强化提升. 第 2 课时 定理与证明 【知识与技能】 1.了解公理、定理、证明的含义. 2.体验、理解证明的必要性. 3.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题. 【过程与方法】 通过书写完整的证明过程培养学生的逻辑思维能力和体验证明的方式方法. 【情感态度】 利用证明的过程培养学生科学严谨的学习习惯. 【教学重点】 证明的含义和表述格式. 【教学难点】 按规定格式表述证明的过程. 一、创设情境，导入新课 我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题 呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命 题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？ 【教学说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样 161 的方式作为证实其他命题的出发点和依据. 二、思考探究，获取新知 1.公理、定理的概念 问题 1：什么是公理？什么是定理？ 问题 2：我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？ 【教学说明】给出概念，直入主题.回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生 明白如何区分公理和定理. 【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则.等式 的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 2.证明 问题 3：什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？ 【教学说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写证明过程有个心理准备. 例 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，∠AOC 与∠BOD 是对顶角.求证：∠AOC= ∠BOD. 由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下： 证明：∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O， ∴∠AOB 和∠COD 都是平角（平角的定义）. ∴∠AOC 和∠BOD 都是∠AOD 的补角（外角的定义）. ∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等） 定理：对顶角相等. 注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由， 证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配. 三、运用新知，深化理解 1.关于直线的公理的内容是. 2.如果 a=b，b=c，那么，这一结论的根据是. 3.命题“无论 a 取任何实数，式子 a2-4a+7 的值都是正数”是真命题还是假命题？请说 明理由. 4.已知：如图∠AOB=∠COD.求证：∠1=∠2. 162 5.如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是点 D、E.求 证：PD=PE. 【教学说明】学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查跟证明有关的掌握情况，特 别是对于证明过程的表述教师要及时指导. 【答案】1.两点确定一条直线；2.a=c，等量代换； 3.是真命题.∵a2-4a+7=a2-4a+4+3=(a-2)2+3,无论a 为任何实数，（a-2)2≥0,(a-2)2+3>0, 即式子 a2-4a+7 的值是正数. 4.证明：∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠1=∠2. 5.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）.∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）. ∵OC 平分∠AOB（已知）. ∴∠AOC=∠BOC（角平分线定义）. 又∵OP=OP（公共边）. ∴△PDO≌△PEO（AAS). ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共回顾公理、证明的概念和证明的步骤与格式. 2.本节课你掌握了哪些知识？还存在什么疑问？与大家交流. 【教学说明】通过回顾本课知识点，学生之间相互交流，对知识不断总结归纳，特别是 对于几何证明要结合图形加以训练. 1.布置作业：习题 7.3 中的第 1、2 题. 163 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课从已学的八条基本事实出发，利用这些结论进行有关几何问题的证明，培养学生 逻辑思维能力和严密的推理能力，这是本节课教学的重点，也是难点. 3 平行线的判定 【知识与技能】 1.理解并掌握平行线的判定方法. 2.经历探索直线平行的条件的过程，并能运用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内 角互补，两直线平行”进行简单的证明. 【过程与方法】 经过观察、想象、推理、交流等活动，进一步加强学生空间观念、推理能力和有条理的 表述能力. 【情感态度】 在活动中培养学生良好的习惯、与他人合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时 也能够认同他人. 【教学重点】 探索两直线平行的条件. 【教学难点】 运用直线平行的判定方法解决问题. 一、创设情境，导入新课 前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基 本事实，你能证明它们吗？试试看. 【教学说明】通过复习旧知识的形式，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备. 两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角.同位角相等， 两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？ 【教学说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、 讨论，引起学生的探究欲望. 二、思考探究，获取新知 1.内错角相等，两直线平行. 164 问题 1：如右图，∠1 与∠2 是什么位置关系？ 问题 2：当∠1=∠2 时，直线 a、b 有什么关系？为什么？ 【教学说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想.由未 知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的. 为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下： 证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）. ∴∠3=∠2（等量代换）. ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）. 2.同旁内角互补，两直线平行. 问题 1：如右图，∠2 与∠3 是什么位置关系？ 问题 2：当∠2+∠3=180°时，直线 a、b 有什么关系？为什么？ 【教学说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力.在思考探 究的过程中，体会判断两条直线平行的条件.这个证明的过程，教师可以引导学生自己书写. 【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明 新的结论. 三、运用新知，深化理解 1.已知：如图，∠1=76°，要使 a∥b,则∠3= . 165 2.若 a∥b,b∥c,则 a c ;若 a⊥b,a⊥c，则 b c. 3.如图，直线 a、b 被直线 c 所截，以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠ 3=180°，④∠4=∠7，其中能判定 a∥b 的是（ ） A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 4.如图，直线 EF 交 AB、CD 于 N、M，且∠EMC=65°,∠MNB=115°,则下列结论正确的是 （ ） A.AE∥DF B.AB∥CD C.∠A=∠D D.∠E=∠F. 5.如图，填空. （1）由∠A+∠ADC=180°,可得 ∥ . （2）由∠DBC=∠BCE,可得 ∥ . 166 （3）由∠A=∠CBE,可得 ∥ . 【教学说明】学生自主完成，加深对所学两个定理的理解与记忆和检测学生对知识的掌 握情况，有困难的学生教师及时给予点拨和强化指导. 【答案】1.104°；2.∥，∥；3.A；4.B； 5.（1）DC AE；（2）BD CE;（3）AD BC 四、师生互动，课堂小结 1.到目前为止，你有多少种判定两条直线平行的方法？与大家共享. 2.学习过程中你有哪些疑惑？请与同学们交流. 【教学说明】通过小结的形式让学生在大脑中对平行线的判定方法形成知识体系，培养 学生归纳总结的能力和综合运用的能力. 1.布置作业：习题 7.4 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 学生对于三线八角的掌握比较牢固.根据角之间的关系判断哪两条直线平行很准确.由 于刚学书写证明过程，还有不少学生的逻辑推理能力不强，在今后的训练中不断完善. 4 平行线的性质 【知识与技能】 经历探索平行线的性质的过程，初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和 计算. 【过程与方法】 在学习过程中进一步培养学生的推理能力.发展学生的空间观念. 【情感态度】 167 培养学生的唯物主义观点，使学生逐步养成言之有据的习惯. 【教学重点】 平行线性质的探索及性质的理解. 【教学难点】 运用平行线的性质和判定结合去解决问题. 一、创设情境，导入新课 现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两 条直线平行的三种方法.在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那 么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？ 【教学说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程 的学习做准备. 二、思考探究，获取新知 平行线的性质及其证明. 问题 1：我们已经探索过平行四边形的性质，两直线平行，同位角相等，那它如何证明 呢？ 【教学说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对 于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的.此题的证明可以让学生感受反证 法. 问题 2：利用上面的定理，你能证明其他两条性质吗？试一试！ 【教学说明】培养学生的逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力， 并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心. 问题 3： 例 已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3 是直线 a、b、c 被直线 d 截出的同位角.求证： b∥c. 【教学说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力.发展 他们的数学思维和空间观念. 168 【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行. 讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流. 【教学说明】通过学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好 的方法. 三、运用新知，深化理解 1.如图，已知∠1=100°,∠2=80°,∠3=105°,则∠4= . 2.如图，AB∥CD∥EF，则∠A+∠ACE+∠E= . 3.如图 BD 平分∠ABC，ED∥BC,则图中相等的角共有（ ） A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 4.如图，已知 AB∥CD,直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F，EG 平分∠BEF，∠1=40°.求∠2 的度数. 5.如图，已知 A、B、C 同在一条直线上,D、E、F 同在一条直线上，且∠A=∠F,∠C=∠D, 判断 AE 与 BF 的位置关系，并说明理由. 169 【教学说明】通过对练习的处理，培养学生的口语表达能力和逻辑推理能力.使学生逐 步学会运用推理的方法去证明问题，在具体的问题情境中能自觉地运用转化的思想去解决问 题.对学习有困难的学生教师及时给予指导和点拨. 【答案】1.105°；2.360°；3.D. 4.解：∵AB∥CD,∴∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°. 又∵EG 平分∠BEF,∴∠3= 1 2 ∠BEF= 1 2 ×140°=70°. ∵AB∥CD,∴∠2=∠3=70°. 5.AE∥BF. 证明：∵∠C=∠D,∴DF∥AC.∴∠A=∠1, ∵∠A=∠F,∴∠1=∠F.∴AE∥BF. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾平行四边形的三条判定性质以及由例题得出的一个结论. 2.谈谈你对本节课的收获与不足. 【教学说明】通过引导学生回顾平行线的判定与性质.加强它们之间的区别和联系，进 一步体会综合运用过程中的方法思路. 1.布置作业：习题 7.5 中的第 1、2、3、4 题. 170 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课主要是平行线性质定理的推理，重在培养学生的逻辑思维能力和规范的推理过程 的表述.再到平行线的性质与判定的综合运用，加深对所学知识的认识，提高运用知识解决 实际问题的能力.在证明的过程中，图形有着至关重要的辅助作用. 5 三角形内角和定理 第 1 课时 三角形内角和定理的证明 【知识与技能】 学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理重新研究证明，并能利用三角形的内角和 解决有关问题. 【过程与方法】 感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和合乎情理地表达 问题的能力.通过渗透“化归”的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法. 【情感态度】 通过师生共同探究活动确认“三角形内角和是 180°”，培养学生的概括、总结能力， 激发学生探索问题的兴趣和体会学习数学的价值. 【教学重点】 三角形内角和定理的证明和利用三角形内角和进行有关的证明与计算. 【教学难点】 用不同的方法证明三角形内角和定理. 一、创设情境，导入新课 我们知道，任意一个三角形的内角和等于 180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学 中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能 证明任意三角形的内角和等于 180°的方法呢？ 【教学说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只 能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形 的内角和是 180°的方法，为后面的证明做准备. 二、思考探究，获取新知 三角形内角和定理的证明. 171 思考：（1）如图，如果我们只把∠A 移到了∠1 的位置，你能证明这个结论吗？如果不 移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？ (2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？ 你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流. 【教学说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触 证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌 握推理的方法步骤. 【归纳结论】三角形的内角和等于 180°. 思考： （1）你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？ （2）如果把三角形三个角“凑”到 A 处，过点 A 作直线 PQ∥BC（如图），他的想法可 行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流. 【教学说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是 180°，从而培养学生 多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理能力和证明方法再次得到深化. 运用所学的知识，你能解决下面的问题吗？ 例 如图，在△ABC 中，∠B=38°,∠C=62°,AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. 172 【教学说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用.注 意向学生分析解决问题的思路和方法. 三、运用新知，深化理解 1.在△ABC 中，∠A=80°,∠B-∠C=40°,则∠C= . 2.∠A=∠B+∠C,则这个三角形是 . 3.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为（ ） A.45° B.135° C.45°或 135° D.都不对 4.若△ABC 的一个内角是另一个内角的 23，也是第三个内角的 45，则它的三个内角的 度数为（ ） A.30°，60°，90° B.40°，60°，80° C.48°，52°，80° D.48°，72°，60° 5.如图，AD、AE 分别为△ABC 的高线和角平分线，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE 的 度数. 【教学说明】让学生自主完成，加深对三角形内角和定理的理解和检验学生运用的情况， 第 5 题教师可以引导，对有困难的学生及时帮助、纠正强化. 【答案】1.30°；2.直角三角形；3.C；4.D. 173 5.解：在△ABC 中，∠B=35°,∠C=45°,∴∠BAC=180°-(35°+45°)=100°.又∵AE 平分∠BAC,∴∠CAE= 1 2 ∠BAC= 1 2 ×100°=50°.在△ACD 中，∠ADC=90°,∠C=45°,∴∠ CAD=90°-45°=45°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-45°=5°. 四、师生互动，课堂小结 你掌握了哪些证明三角形内角和定理的方法？在证明的过程中遇到了哪些困难？请与 大家共同交流. 【教学说明】帮助学生回顾本节课的证明方法、加深对三角形内角和定理的理解和掌握， 便于灵活熟练的运用. 1.布置作业：习题 7.6 中的第 1、2、3、4 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 通过让学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，教师的主导作用和学生的主体 作用得到充分的展示，学生感受到学习的快乐，体会到探究与发现带来的乐趣.特别是证明 方法的多样性让不同的学生有不同的发展，交流更是一种互补. 第 2 课时 与三角形外角有关的定理 【知识与技能】 1.了解三角形的外角. 2.知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角. 3.学会运用简单的道理来计算三角形相关的角. 【过程与方法】 174 培养学生的实践能力和观察总结能力. 【情感态度】 在学习的过程中，体验主动探究的成功与快乐. 【教学重点】 三角形外角的性质. 【教学难点】 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理. 一、创设情境，导入新课 （1）什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ （2）三角形的内角和定理的内容是什么？ 【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角做准备. 二、思考探究，获取新知 三角形内角和定理的推论. △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角.如图,∠1 是△ABC 的外角. 问题 1：你能在图中画出△ABC 的其他外角吗？∠1 与其他角有什么关系？能证明你的 结论吗？ 【教学说明】结合图形，学生通过观察、 思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的 推理论证能力. 【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 你能运用所学的知识解决下面的问题吗？ 问题 2：（1）已知：在△ABC 中，∠B=∠C,AD 平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 175 （2）已知如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB、PC.求证：∠BPC>∠A. 你们的证明方法一样吗？与大家共同交流. 【教学说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新 能力的过程，它不受教师点拨的思维定势的影响，可以自由发挥学生的思维灵活性. 三、运用新知，深化理解 1.如图，已知 AB∥CD,∠C=75°,∠A=30°,则∠E= . 2.如图，△ABC 中，∠B=∠C,FD⊥BC,∠AFD=158°,则∠EDF 的度数等于 . 3.一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 4.如图所示，在△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，则下列各式不能成立的是（ ） A.∠BOC=∠2+∠6+∠A B.∠2=∠5-∠A C.∠5=∠1+∠4 D.∠1=∠ABC+∠4 176 5.如图，△ABC 的外角平分线与 BA 的延长线交于 D 点. 求证：∠BAC>∠B. 6.已知△ABC 中，D 是 BC 上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=78°，求∠DAC 的度 数. 【教学说明】独立完成有助于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况，根据实际有 针对性地进行矫正强化.同时也培养了学生自主学习的习惯. 【答案】1.45°；2.68°；3.C; 4.C. 5.证明：∵∠BAC 为△ADC 的外角， ∴∠BAC>∠1.又∵∠1=∠2， ∴∠BAC>∠2. 又∵∠2 为△BCD 的外角， ∴∠2>∠B. ∴∠BAC>∠B. 6.解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2， ∴∠3=2∠2. 又∵∠4=∠3， ∴∠4=2∠2. 设∠2=x°,则∠4=2x°, 在△ABC 中，x°+2x°+78°=180°, 解得 x°=34°. ∴∠3=∠4=68°. ∴∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-136°=44°. 四、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾三角形外角的概念及三角形内角和定理的两个推论等知识. 2.谈谈你的收获，还存在哪些不足？ 【教学说明】引导学生回顾所学知识，加深概念和定理的理解，还可以帮助学生形成知 177 识体系，前后联系，领悟方法. 1.布置作业：习题 7.7 中的第 1、2、3 题. 2.完成练习册中本课时相应练习. 本节课学习了三角形内角和定理的两个推论，学生可能对第一个推论在理解上出现偏 差，教师可以适当强调.在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到了 三角形内角和定理及推论，在遇到证明角不等的时候常用到推论 2，为学生的计算和证明指 明了方向. 第七章 平行线的证明本章归纳总结 【知识与技能】 掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题. 【过程与方法】 通过整理本章知识点，经历严格的推理证明过程，培养学生逻辑思维能力. 【情感态度】 借助生活实际和思考探究、合作交流等形式，培养学生积极探索、多动手、多动脑的良 好学习习惯. 【教学重点】 回顾本章知识点，构建知识结构. 【教学难点】 利用本章有关定理解决实际问题. 一、知识框图，整体把握 178 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示知识结构图，让学生系统地了解本章知识 及它们之间的相互联系.教学时，边回顾边引导学生画结构图. 二、释疑解惑，加深理解 1.平行线的性质和判定 在运用的时候要注意：（1）判定是不知道两直线平行，是根据某些条件来判断两条直线 是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系. 2.三角形内角和定理及推论 三角形内角和定理是有关角的问题中最常用的定理，是解决问题的基本手段.同时三角 形的外角性质是证明角相等及不等问题的重要依据，必要时，可以通过添加辅助线来构造内、 外角的位置关系，从而确立数量关系. 三、典例精析，复习新知 例 1 在下列给出的条件中，不能判定 AB∥DF 的是（ ） A.∠A+∠2=180° B.∠A=∠3 C.∠1=∠4 D.∠1=∠A 【分析】判定的是 AB 与 DF 平行，则把这两条直线看做被截的两直线，去找成同位角、 内错角和同旁内角关系的两角，其中 D 选项∠1 和∠A 是 AC、DE 被截形成的同位角，由∠1= 179 ∠A 得到的应是 AC∥DE，故选 D. 例 2 把下列命题改写成：“如果……那么”的形式，并分别指出它们的条件和结论. （1）整数一定是有理数； （2）同角的外角相等. （3）两个锐角互余. 【分析】本题考查命题的概念、叙述简单的命题.要善于分辨条件与结论，这是改写成 “如果……那么……”的形式的基础. 解：（1）如果一个数是整数，那么它一定是有理数.条件：一个数是整数；结论：它一 定是有理数. （2）如果两个角是同一个角的外角，那么这两个角相等.条件：两个角是同一个角的外 角；结论：这两个角相等. （3）如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角.条件：两个角是锐角；结论：这两个 角互为余角. 例 3 如图所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2 的度数. 【分析】此题由同旁内角∠3+∠4=180°知 AB∥CD，故∠2=180°-∠1. 解：因为∠4=70°，∠3=110°（已知），所以∠4+∠3=180°，所以 AB∥CD（同旁内角 互补，两直线平行），所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）. 例 4 一零件的形状如图所示，按规定∠BAC=90°,∠B=21°,∠C=20°，检验工人量得∠ BDC=130°，就断定此零件不合格，请运用所学知识说明理由. 【分析】这是一个三角形知识的实际应用问题，解决此类问题的关键是如何把实际问题 转化到三角形知识上来. 解：连接 AD 并延长到点 E， 180 则∠CDE=∠C+∠1,∠BDE=∠B+∠2, 所以∠CDE+∠BDE=∠C+∠1+∠B+∠2, 即∠CDB=∠C+∠B+∠CAB. 若零件合格，则有∠CDB=90°+20°+21°=131°, 而量得∠BDC=130°，故此零件不合格. 【教学说明】回顾本章主要知识点，教师根据复习情况给予总评，交待哪些地方是同学 们需要注意的，帮助学生加深印象，便于理解. 四、复习训练，巩固提高 1.下列命题是假命题的是（ ） A.若两个相等的角有一组边平行，则另一组边也平行； B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直； C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直； D.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 2.如图，∠ABC=35°,∠1=∠2,则∠3= . 3.如图，已知 AB∥CD,AD∥BC,∠A 的 2 倍与∠C 的 3 倍互补，求∠A 和∠D 的度数. 4.如图，△ABC 中，∠C=∠ABC,BE⊥AC,△BDE 是正三角形，求∠C 的度数. 5.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C，试探究 ED 与 FB 的位置关系，并说明理由. 【教学说明】这部分设置了本章几个重点知识，主要是考查学生综合运用能力.前四题 由学生自主完成，最后一题可以由学生讨论得出结果. 【答案】1.A; 2.35°; 181 3.解：∵AB∥CD,AD∥BC, ∴∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°, ∴∠D=∠B,同理∠A=∠C, 由题意得 2∠A+3∠C=180°， 解得∠A=∠C=36°. ∴∠D=180°-∠A=180°-36°=144°. 4.解：设∠C=∠x°,则∠ABC=x°,因为△BDE 为正三角形，所以∠ABE=60°，所以∠ EBC=x°-60°,在△BCE 中，根据内角和定理得：90°+x°+x°-60°=180°,解得 x=75,所以 ∠C=75°. 5.解：∵∠3=∠4，∴FC∥BD. ∴∠5=∠EAG,又∵∠C=∠5, ∴∠EAG=∠C,∴AB∥CD, ∴∠2=∠BGD. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠BGD, ∴BF∥ED. 五、师生互动，课堂小结 本节课你能完整地回顾本章所学的有关知识吗？你掌握了哪些证明角相等或不等以及 两条直线平行的方法？你遇到了哪些困难？觉得哪些地方不足？ 【教学说明】引导学生回顾本章知识，放手让学生交流、讨论形成共识，对于学生的困 难和不足，教师应及时给予帮助. 1.布置作业：从复习题中选取. 2.完成练习册中本课时相应练习. 通过归纳本章知识结构图，以平行线的性质与判定以及三角形内角和定理及推论为重 点，讲练结合，对于学生出错的地方及时纠正并进行强化，让学生达到熟练并且能够综合多 方面的知识解决实际问题的能力.