湖北省华师一附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

湖北省华师一附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 华中师大一附中2019-2020学年度上学期高一期中检测 数学试题 Ⅰ卷（共16小题，满分80分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）‎ ‎1.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数真数大于零、偶次根式被开方数大于等于零和分母不等于零可构造不等式组求得结果.‎ ‎【详解】由题意得： ，解得：‎ 的定义域为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够明确函数定义域的基本要求，属于基础题.‎ ‎2.与函数为同一函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数和对数运算法则可化简已知函数为，只有中函数与已知函数定义域和解析式均相同，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 中，函数定义域为且解析式不同，故错误；‎ 中，与定义域和解析式相同，故正确；‎ 中，与解析式不同，故错误；‎ 中，与解析式不同，故错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查相等函数的辨析，涉及到利用指数和对数运算法则化简函数解析式；关键是能够明确两函数相等则解析式和定义域均相同.‎ ‎3.集合，，若，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，选D.‎ ‎4.已知实数，，，则它们的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数和指数函数单调性可知，即；由对数函数单调性可知，即，进而得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数单调性比较大小的问题，关键是能够根据函数的单调性确定临界值，根据临界值确定数字的大小关系.‎ ‎5. 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)（元）决定，其中m>0，{m}是大于或等于m的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（ ）‎ A. 3.71元 B. 3.97元 C. 4.24元 D. 4.77元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知{5.5}=6，由f(m)=1.06(0.5·{m}+1),得f(5.5)=1.06(0.5·{5.5}+1)=1.06()=4.24元.‎ 考点：函数的综合应用.‎ ‎6.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式被开方数大于等于零求得函数的定义域；利用复合函数单调性首先求得的单调性，再求得的单调性.‎ ‎【详解】由得： 定义域为 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 又在上单调递减 在上单调递减，在上单调递增 即的单调递增区间为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解问题，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成区间求解错误.‎ ‎7.已知函数（为自然对数的底数）的值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定时，的值域，从而可知若值域为，则当时，或，且；分别在、和三种情况下得到在上的值域，从而得到结果.‎ 详解】当时，‎ 值域为，则当时，或，且 ‎①当，即时，在上单调递增 ‎ ，解得：‎ ‎②当，即时，，不合题意；‎ ‎③当，即时，在上单调递减 ‎，即，不合题意 综上所述：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够确定不同定义域中函数的值域，进而根据所给值域得到不等关系.‎ ‎8.给出下列四个说法：‎ ‎①已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，；‎ ‎②若函数的定义域为，则函数定义域为；‎ ‎③若，则的取值范围为；‎ ‎④函数（且）的图象必过定点.‎ 其中正确说法的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据奇偶性可知，由知，代入解析式可求得结果，知①正确；‎ ‎②由复合函数定义域的求解方法可构造不等式求得结果，知②正确；‎ ‎③分别在和两种情况下，根据对数函数单调性可求得结果，知③错误；‎ ‎④令求得，代入解析式得到，从而得到定点，知④错误.‎ ‎【详解】①为上的偶函数 ‎ 当时， ，故①正确；‎ ‎②定义域为 ‎ 由得： 的定义域为，故②正确；‎ ‎③当时，由得： ‎ 当时，由得： ‎ 综上所述：，故③错误；‎ ‎④令得：，此时 必过定点，故④错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数部分知识综合应用，涉及到根据奇偶性求解函数解析式、抽象函数定义域的求解问题、对数函数单调性的应用、对数型复合函数恒过定点问题的求解等知识；要求学生能够熟练应用函数的性质.‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，结合特殊点的值的情况求解.‎ ‎【详解】已知函数，==，即函数是偶函数，故排除选项B，D;‎ 由，得或 ，‎ 当x>0时， ，，‎ 可排除选项C，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了已知函数表达式，识别函数图象，涉及了函数的零点与函数的奇偶性；从函数的奇偶性可以判断函数图象的对称性，从特殊点的值的情况，可以排除不符合要求的选项.‎ ‎10.若对，，有，函数，则的值　　‎ A. 0 B. 4 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可令，可得，再令，可得，计算，即可得结果．‎ 详解】令，可得，即，‎ 可令，可得，‎ 则．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．抽象函数常见赋值思路：（1）；（2）；（3）.‎ ‎11.已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知关系式和单调性可知为偶函数且在上单调递增，关于对称且在上单调递增；分段讨论可得解析式；分别在恒成立、恒成立和二者均存在的情况下，根据函数图象可确定函数值的大小关系，从而得到结果.‎ ‎【详解】 为偶函数 又在上单调递减 在上单调递增 ‎ 关于对称 又在上单调递减 在上单调递增 当时，‎ 当时，‎ ‎①若恒成立，则，可知关于对称 又与关于对称；与关于对称 ‎，‎ ‎②若恒成立，则，可知关于轴对称 当时，；当时，‎ 可排除 当，即时， ‎ 当，即时，‎ 若，则，可排除 ‎③若与均存在，则可得示意图如下：‎ 与关于对称且 ‎ 综上所述：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数奇偶性和单调性的关系、函数对称性的应用、分段函数图象的应用等知识；关键是能够通过分类讨论得到不同情况下函数的解析式，进而确定函数的大致图象，根据单调性和对称性得到函数值的大小关系.‎ ‎12.设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇偶性可求得的解析式；由可分段构造不等式组，求得，从而可知当时，；分别在、和三种情况下，根据分段函数解析式构造不等式组求得结果.‎ ‎【详解】为上的奇函数 且 当时，‎ 由得：或 ‎，即时，‎ 当时，，解得：‎ 当时，，符合题意；‎ 当时，，解得：‎ 综上所述：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数值的范围求解参数值的取值范围，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式、分类讨论思想的应用等知识；关键是能够根据函数值的范围确定自变量整体所处区间，进而构造不等式求得结果.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）‎ ‎13.化简：______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式运算、对数运算法则化简求值即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根式和对数的混合运算问题，考查学生对于运算法则的掌握情况，属于基础题.‎ ‎14.已知幂函数为偶函数，且满足，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数定义可知，求得；结合和幂函数性质可知在上单调递增，则，根据求得或，代入可验证出时为偶函数，从而确定，进而得到结果.‎ ‎【详解】为幂函数 ，解得：‎ 又 ，解得：‎ ‎ 或 当时，，此时为奇函数，不合题意 当时，，满足题意 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据幂函数的定义、性质求解幂函数解析式和参数值的问题，关键是能够明确幂函数的定义为形式定义，并能根据幂函数在第一象限内的单调性确定幂指数的范围.‎ ‎15.已知，且，若函数有最大值，则关于的不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复合函数单调性可确定在上单调递减，在上单调递增；由函数有最大值可知单调递减，得到；根据对数函数单调性可将不等式化为，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】由得： 定义域为 在上单调递减，在上单调递增 又在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 有最大值 需在上单调递减 ‎ 由得：，解得：‎ 不等式的解集为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性的求解、根据函数有最值求解参数范围等知识；关键是能够通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对数的底数所处的范围.‎ ‎16.已知且，为实数，函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别在和两种情况下得到的图象；令 ‎①当时，不等式解集为；结合图象可知，当时，可确定整数解必为 ‎，则，求得结果；当时，整数解必为，则，无解；‎ ‎②当时，解不等式得到，从而得到，由图象可知整数解不唯一，不合题意.‎ 综合上述情况可确定最终结果.‎ ‎【详解】当时，图象如下图所示：‎ 当时，图象如下图所示：‎ 令，则不等式化为 ‎①当时，，解得：‎ 若，则与有且仅有一个交点 由得：，若不等式只有个整数解，则必为 又，，则 ‎ 当时，，此时与有两个不同交点 当时，无整数解 整数解必在中，即有唯一整数解 解得： ，无解 综上所述：‎ ‎②当时，‎ 令，解得：‎ 又 中包含和两个整数解 不合题意 综上所述：的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的图象，进而利用换元可得到与的交点个数，从而根据交点情况确定整数解的取值，从而得到不等关系求得结果，属于较难题.‎ Ⅱ卷（共6小题，满分70分）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）‎ ‎17.已知全集，集合，.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式不等式的求解方法求得集合；‎ ‎（1）根据一元二次不等式解法求得集合；根据补集和交集的定义可求得结果；‎ ‎（2）根据一元二次不等式解法求得集合；由并集结果可知，由此可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】且 ‎（1）当时，‎ ‎，‎ ‎（2）‎ ‎ ，解得：‎ 的取值范围为 ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算、根据并集结果求解参数范围问题，涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解等知识；求解参数范围的关键是能够根据并集的结果确定集合之间的包含关系，进而得到不等式组解得结果.‎ ‎18.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由解析式可求得，得到，进而求得结果；‎ ‎（2）通过分离常数法，将解析式化为；根据，结合不等式的性质及对数函数的单调性可求得值域，进而得到最大值.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 当时， ‎ ‎ ‎ 当时，的最大值为 ‎【点睛】本题考查函数性质的应用、分离常数法求解函数的值域等知识；关键是能够根据解析式的特征，结合对数函数运算性质得到的值；处理与分式型有关的函数值域问题时，通常采用分离常数法，结合不等式的性质来求得值域.‎ ‎19.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品.根据经验知道，次品数（万件）与日产量（万件）之间满足函数关系：.已知每生产1万件合格元件可盈利20万元，但每生产1万件次品将亏损10万元.（利润=盈利额-亏损额）‎ ‎（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为日产量（万件）的函数；‎ ‎（2）当工厂将该元件的日产量（万件）定为多少时获得的日利润最大，最大日利润为多少万元？‎ ‎【答案】（1）；（2）当工厂将该元件日产量定为万件时，获得的日利润最大，最大日利润为万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在和两种情况下利用盈利额减去亏损额，可求得利润，从而得到分段函数解析式；‎ ‎（2）当时，根据二次函数性质可求得日利润最大值；当时，结合对号函数图象可知当时，日利润最大；比较两个结果可得最终结果.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 当时，‎ 综上所述：‎ ‎（2）当时，，对称轴为 当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递减 ‎ 综上所述：当工厂将该元件的日产量定为万件时，获得的日利润最大，最大日利润为万元 ‎【点睛】本题考查构造函数模型求解实际问题，涉及到实际应用中的利润最大值的求解，即函数的最大值的求解问题；关键是能够熟练应用二次函数和对号函数的单调性，确定最值点，属于常考题型.‎ ‎20.对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“类对称函数”.‎ ‎（1）判断函数是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的值；若不是，请说明理由；‎ ‎（2）若函数为定义在上的“类对称函数”，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是“类对称函数”，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据“类对称函数”定义可构造方程，解方程求得，即可得到结论；‎ ‎（2）首先保证方程有意义，可确定；将有解通过分离变量整理为；构造函数，，根据函数单调性可确定的范围，进而得到不等式求得结果.‎ ‎【详解】（1）假设为“类对称函数”，即存在，使得 ‎，‎ ‎，解得：‎ 是“类对称函数”，‎ ‎（2）由且得：‎ ‎ ‎ 即在上有解 令，‎ 在上单调递增，在上单调递减 ‎ 又， ‎ 即 ‎ ‎【点睛】本题考查函数部分新定义的求解问题，关键是能够明确新定义的含义，将问题转化为方程有解问题的求解，进而结合函数值域来求得结果；易错点是忽略函数定义域的要求，造成值域求解错误.‎ ‎21.定义在上的函数满足：①对任意恒有；②当时，，且.‎ ‎（1）判断的奇偶性和单调性，并加以证明；‎ ‎（2）求关于的不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）为偶函数；在在上单调递增，在上单调递减；证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令求得；令求得；令求得，可知函数为偶函数；在上任取，得到，可知，由可得函数在上单调递减，由奇偶性可知在上单调递增；‎ ‎（2）由可推导求得，将所求不等式转化为；由函数单调性及定义域的要求可构造不等式组求得结果.‎ ‎【详解】（1）令得：，解得：‎ 令得：，解得：‎ 令得： 为偶函数 在上任取，则 时， ‎ ‎ ‎ 在上单调递减 又为偶函数 在上单调递增 综上，在上单调递增，在上单调递减 ‎（2）由得： ‎ 等价于 即，解得：‎ 不等式的解集为 ‎【点睛】本题考查抽象函数奇偶性和单调性的求解、利用奇偶性和单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的关键是能够将不等式化为两个函数值比较的关系，从而利用单调性得到自变量之间的大小关系；易错点是忽略定义域的要求，造成区间求解错误.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）若存在实数，使得成立，试求的最小值；‎ ‎（2）若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围；‎ ‎（3）用表示，中的最小者，设函数，讨论关于的方程的实数解的个数.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将整理为，换元整理为，，根据函数单调性可求得，进而得到范围，可得最小值；‎ ‎（2）将问题等价为当时，；根据对称轴方程，分别在、和三种情况下根据二次函数性质讨论得到最大值和最小值，从而构造不等式求得结果；‎ ‎（3）令，将问题转化为零点个数的讨论；当时，由可知无零点；当时，根据的取值可分为有个零点和无零点两种情况；当时，将问题转化为在上的零点个数的讨论，通过对二次函数图象的讨论可得到不同范围下零点个数；综合上述情况可得到最终结果.‎ ‎【详解】（1）由得：，即 令，则 ，‎ 在上单调递增 ‎ 即的最小值为 ‎（2）是开口方向向上，对称轴为的二次函数 对任意的，都有恒成立等价于：当时，‎ ‎①当，即时，，‎ ‎，解得：（舍）‎ ‎②当，即时，‎ 又，‎ 当，即时，‎ ‎，解得： ‎ 当，即时，‎ ‎，解得： ‎ ‎③当，即时，，‎ ‎，解得：（舍）‎ 综上所述：‎ ‎（3）令 方程实数解的个数即为零点个数 ‎①当时， ‎ 在上无零点 ‎②当时，，‎ 若，即，则，则为的零点 若，即，则 ，则不是零点 ‎③当时，‎ 故只需研究在上的零点个数 若在上有两个零点，则，解得：‎ 若在上有且仅有一个零点，则或或 解得：或 若在上无零点，则或或或或 解得：‎ 综上所述：当时，方程只有个实数解；当时，方程有个实数解；当时，方程有个实数解；当时，方程有个实数解；当时，方程只有个实数解 ‎【点睛】本题考查二次函数图象与性质的综合应用问题，涉及到与二次函数有关的复合函数值域的求解、讨论含参数二次函数的最值、二次函数在区间内零点个数的讨论等知识；本题对于学生转化与化归思想、分析和解决问题的能力有较高的要求，属于难题.‎ ‎ ‎