数学理卷·2018届陕西省西安市长安一中高三第十一次质量检测（2018
长安一中2017---2018学年度第一学期第十一次教学质量检测
高三理科数学试题
命题人：胡亮 审题人：李军民
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 设复数满足＝，则＝（ ）
A.2 B. C. D.1
2. 已知全集，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D. 1
5. 若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A. 2
5 C. k<2或k>5 D. 以上答案均不对
6．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
7．设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最大值是
A．1 B． C. D.
8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1, ∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝( )
A．5 B．25 C. D．5
9. 宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数（注：是自然对数的底数），方程，有四个实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）
13. 二项式的展开式中第四项的系数为__________．
14．在数列中，(c为非零常数），前n项和为,则实数k为______.
15. 定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有______个.
16. 已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是__________．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分10分）已知向量，，函数
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式都成立，求实数m的最大值.
18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点， ，，．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）若二面角为，设，试确定 的值．
19.（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
20.（本小题满分12分）
平面直角坐标系xOy中，椭圆C： (a>b>0)的离心率是，抛物线E：
的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i) 求证：点M在定直线上；
(ii) 直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
21.(本小题满分14分)
已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.
22．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在曲线上，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，两点的极坐标为
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线的中心为，求的面积.
23. (本小题满分分)选修：不等式选讲.
已知，函数的最小值为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小值．
长安一中2017---2018学年度第一学期第十一次教学质量检测
高三理科数学参考答案
一、 选择题：DBBAA DDACB BD
二、 填空题：, ， ， .
三、 解答题：
17.解：（Ⅰ）
由 ， 得
所以的单调增区间是
（Ⅱ）因为
所以
所以 所以，m的最大值为0.
18.
19.解 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.
由事件的独立性与互斥性，
P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P (D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()
＝×××＋2×＝.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×＝＝.
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为
x
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
20．(1)解 由题意知＝，可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点F，所以b＝，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.
(2)①证明 设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m(x－m)．
即y＝mx－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
联立方程得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.
由Δ>0，得0
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