北师大版九年级数学下册单元检测题全套及答案（含期末测试卷）

北师大版九年级数学下册单元检测题全套及答案（含期末测试卷）

1 第一章检测题 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．已知∠A 为锐角，且 sinA＝ 2 2 ，那么∠A 等于(C) A．15° B．30° C．45° D．60° 2．(孝感中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则 sinA 等于(A) A.3 5 B.4 5 C.3 4 D.4 3 ,第 2 题图) ,第 6 题图) 3．已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 5，tanA＝1 2 ，则 BC 的长是(A) A．2 B．8 C．2 5 D．4 5 4．若一个三角形三个内角度数的比为 1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(C) A.1 3 B.1 2 C. 3 3 D. 3 2 5．如果∠A 为锐角，且 sinA＝0.6，那么(B) A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90° 6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如 图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 AC 高为 a.已知，冬至时北京的正午 日光入射角∠ABC 约为 26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即 BC 的长)约为(B) A．asin26.5° B. a tan26.5° C．acos26.5° D.cos26.5° 7．如图，某轮船在点 O 处测得一个小岛上的电视塔 A 在北偏西 60°的方向，船向西航 行 20 海里到达 B 处，测得电视塔 A 在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西 航行(A) A．10( 3＋1)海里 B．10( 3－1)海里 C．20( 3＋1)海里 D．20( 3－1)海里 ,第 7 题图) ,第 9 题图) 8．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图 1 所示，点 A 是栏杆转动的支点，点 E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆 AEF 最多只能升起到如图 2 所示的位置，其示 2 意图如图 3 所示(栏杆宽度忽略不计)，其中 AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2 米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75)(A) 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A(0，a)，B(b，0)，点 C 在第 二象限，BC 与 y 轴交于点 D(0，c)，若 y 轴平分∠BAC，则点 C 的坐标不能表示为(C) A．(b＋2a，2b) B．(－b－2c，2b) C．(－b－c，－2a－2c) D．(a－c，－2a－2c) 10．如图，Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，在斜边 CB 上取点 M，N(不包含 C，B 两点)，且 tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，设 MN＝x，BM＝n，CN＝m，则以下结论能成立的是(D) A．m＝n B．x＝m＋n C．x＞m＋n D．x2＝m2＋n2 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．计算：(－1 2 )2－2cos60°＝－3 4 ； 12．比较大小：cos35°＜sin65°.若 45°＜α＜90°，则 sinα＞cosα. 13．如果方程 x2－4x＋3＝0 的两个根分别是 Rt△ABC 的两条边，△ABC 最小角是∠A， 那么 tanA 的值为1 3 或 2 4 . 14．(杭州中考)如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角 α为 60°时，两梯角之间的距离 BC 的长为 3 m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α 为 60°，后又调整α为 45°，则梯子顶端离地面的高度 AD 下降了 3（ 3－ 2） 2 m.(结果保 留根号) ,第 14 题图) ,第 15 题图) ,第 16 3 题图) 15．如图所示，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若 sin∠ACB＝1 3 ， 则 cos∠ADC＝4 5 . 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC，垂足为 D.给出下列四个结论：①sin α＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ.其中正确的结论有①②③④.(填 序号) 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)(娄底中考)计算：(π－3.14)0＋(1 3 )－2－|－ 12|＋4cos30°. 解：原式＝1＋9－2 3＋4× 3 2 ＝1＋9－2 3＋2 3＝10 18．(6 分)已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝2＋ 3，解 Rt△ABC. 解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，由 sinA＝a c ，得 a＝c·sinA＝(2＋ 3)× 3 2 ＝ 3＋3 2 ，由 cosA＝b c ，得 b＝c·cosA＝(2＋ 3)×1 2 ＝2＋ 3 2 19．(6 分)△ABC 是一块钢板余料，其中∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝20 dm，现要从中 剪裁出边长为 6 dm 的等边△DEF，如图所示，其中点 D 在 BC 上，点 E 和点 F 在 AB 上，求 AE，BF 的长．(结果保留根号) 解：作 DG⊥AB 于 G.∵△DEF 是等边三角形，∴DE＝DF＝EF＝6，EG＝FG＝3，DG＝ EG·tan60°＝3 3，在 Rt△DGB 中，∵∠B＝∠GDB＝45°，∴DG＝BG＝3 3，∴BE＝3＋3 3， ∴AE＝AB－EB＝20－(3＋3 3)＝17－3 3，BF＝BG－FG＝3 3－3 20．(6 分)(徐州中考)如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高 和坝底宽．(精确到 0.1 m．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732) 解：在 Rt△CDE 中，∵sin∠C＝DE DC ，cos∠C＝CE CD ，∴DE＝sin30°×DC＝1 2 ×14＝7(m)， CE＝cos30°×DC＝ 3 2 ×14＝7 3≈12.124≈12.12，∵四边形 AFED 是矩形，∴EF＝AD＝6 m， AF＝DE＝7 m，在 Rt△ABF 中，∵∠B＝45°，∴DE＝BF＝7 m，∴BC＝BF＋EF＋EC≈7＋6＋ 4 12.12＝25.12≈25.1(m)，答：该坝的坝高和坝底宽分别为 7 m 和 25.1 m 21．(8 分)如图，AH 是△ABC 的高，D 是边 AB 上一点，CD 与 AH 交于点 E.已知 AB＝AC ＝6，cosB＝2 3 ，AD∶DB＝1∶2. (1)求△ABC 的面积； (2)求 CE∶DE. 解：(1)∵AB＝AC＝6，cosB＝2 3 ，AH 是△ABC 的高，∴BH＝4，∴BC＝2BH＝8，AH＝ 62－42 ＝2 5，∴△ABC 的面积是BC·AH 2 ＝8×2 5 2 ＝8 5 (2)作 DF⊥BC 于点 F，∵DF⊥BH，AH⊥ BH，∴DF∥AH，∴AD AB ＝HF HB ，CE DE ＝CH HF ，∵AD∶DB＝1∶2，BH＝CH，∴AD∶AB＝1∶3，∴HF HB ＝1 3 ， ∴CE DE ＝CH HF ＝BH HF ＝3 1 ，即 CE∶DE＝3∶1 22．(8 分)(遵义中考)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直， 吊臂 AB 与水平线的夹角为 64°，吊臂底部 A 距地面 1.5 m．(计算结果精确到 0.1 m，参考 数据 sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05) (1)当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5 m 时，吊臂 AB 的长为________m； (2)如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？ (吊钩的长度与货物的高度忽略不计) 解：(1)11.4 (2)过点 D 作 DH⊥地面于 H，交水平线于点 E，在 Rt△ADE 中，∵AD＝20 m，∠DAE＝64°，EH＝1.5 m，∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18(m)，即 DH＝DE＋EH＝18 ＋1.5＝19.5(m)，答：如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20 m，那么从地面上吊起货物的最 大高度是 19.5 m 23．(10 分)(海南中考)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高， 先在 A 处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰角∠HDE 为 45°，此时教学楼顶端 G 恰好 在视线 DH 上，再向前走 7 米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角∠GEF 为 60°，点 A，B， C 三点在同一水平线上． (1)计算古树 BH 的高； (2)计算教学楼 CG 的高．(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7) 5 解：(1)∵四边形 ABED 是矩形，∴DE＝AB＝7 米．在 Rt△DEH 中，∵∠EDH＝45°，∴ HE＝DE＝7 米，∴BH＝HE＋BE＝8.5(米) (2)作 HJ⊥CG 于 J.则△HJG 是等腰三角形，四边 形 BCJH 是矩形，设 HJ＝GJ＝BC＝EF＝x.在 Rt△GEF 中，tan60°＝FG EF ，∴ 3＝7＋x x ，∴x ＝7 2 3＋7 2 .FG＝21 2 ＋7 2 3，∴CG＝CF＋FG＝1.5＋21 2 ＋7 2 3≈17.95(米) 24．(10 分)(株洲中考)如图为某区域部分交通线路图，其中直线 l1∥l2∥l3，直线 l 与 直线 l1，l2，l3 都垂直，垂足分别为点 A，点 B 和点 C(高速路右侧边缘)，l2 上的点 M 位于点 A 的北偏东 30°方向上，且 BM＝ 3千米，l3 上的点 N 位于点 M 的北偏东α方向上，且 cos α＝ 13 13 ，MN＝2 13千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点． (1)求 l2 和 l3 之间的距离； (2)若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要多少小时？(结果用分数表示) 解：(1)过点 M 作 MD⊥NC 于点 D，∵cosα＝ 13 13 ，MN＝2 13千米，∴cosα＝DM MN ＝ DM 2 13 ＝ 13 13 ，解得 DM＝2(km)，答：l2 和 l3 之间的距离为 2 km (2)∵点 M 位于点 A 的北偏东 30° 方向上，且 BM＝ 3千米，∴tan30°＝BM AB ＝ 3 AB ＝ 3 3 ，解得 AB＝3(km)，可得 AC＝3＋2＝5(km)， ∵MN＝2 13 km，DM＝2 km，∴DN＝ （2 13）2－22＝4 3(km)，则 NC＝DN＋BM＝5 3(km)， ∴AN＝ AC2＋CN2＝ （5 3）2＋52＝10(km)，∵城际火车平均时速为 150 千米/小时，∴市 民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要 10 150 ＝ 1 15 小时 25．(12 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点 D 为 AC 中点，点 E 为边 AB 上一动点，点 F 为射线 BC 上一动点，且∠FDE＝90°. (1)当 DF∥AB 时，连接 EF，求 tan∠DEF 的值； (2)当点 F 在线段 BC 上时，设 AE＝x，BF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的 取值范围； 6 (3)连接 CE，若△CDE 为等腰三角形，求 BF 的长． 解：(1)∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6 2，∵DF∥AB，CD＝1 2 AC，∴DF＝1 2 AB＝ 3 2，∴DE＝3 2 2，在 Rt△DEF 中，tan∠DEF＝DF DE ＝ 3 2 3 2 2 ＝2 (2)过点 E 作 EH⊥AC 于点 H， 设 AE＝x，∵BC⊥AC，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∵∠B＝∠A，∴∠AEH＝∠A，HE＝HA＝ 2 2 x， ∴HD＝3－ 2 2 x，又可证△HDE∽△CFD，∴HD CF ＝HE DC ，∴ 3－ 2 2 x 6－y ＝ 2 2 x 3 ，∴y＝－9 2 x ＋9( 2≤ x≤3 2) (3)∵CE≥1 2 AB＝3 2＞3，CD＝3，∴CE＞CD，∴若△DCE 为等腰三角形，只有 DC＝DE 或 ED ＝EC 两种可能．当 DC＝DE 时，点 F 在边 BC 上，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G(如图①)可得：AE ＝2AG＝3 2，即点 E 在 AB 中点，∴此时 F 与 C 重合，∴BF＝6；当 ED＝EC 时，点 F 在 BC 的延长线上，过点 E 作 EM⊥CD 于点 M(如图②)，可证：∵EM⊥CD，∴△DME 是直角三角形， ∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°，∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.∴△DFC∽△EDM， ∴CF DM ＝CD EM ，∴ CF 3 2 ＝ 3 3＋3 2 ，∴CF＝1，∴BF＝7，综上所述，BF 为 6 或 7 第二章检测题 7 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(广西中考)将抛物线 y＝1 2 x2 向左平移 2 个单位长度后，得到新抛物线的解析式为(B) A．y＝1 2 (x－2)2 B．y＝1 2 (x＋2)2 C．y＝1 2 x2＋2 D．y＝1 2 x2－2 2．关于二次函数 y＝－x2－2x＋1 的图象，下列判断正确的是(D) A．图象开口向上 B．对称轴是直线 x＝1 C．图象有最低点 D．顶点坐标为(－1，2) 3．(兰州中考)下表是一组二次函数 y＝x2＋3x－5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值：那 么方程 x2＋3x－5＝0 的一个近似根是(C) x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 A.1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 4．如果在二次函数的表达式 y＝ax2＋bx＋c 中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函 数的图象可能是(C) 5．若 A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(1，y3)为二次函数 y＝x2－4x＋m 的图象上的三点， 则 y1，y2，y3 的大小关系是(B) A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 6．已知二次函数 y＝ax2－4ax＋4，当 x 分别取 x1，x2 两个不同的值时，函数值相等， 则当 x 取 x1＋x2 时，y 的值为(C) A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图，Rt△AOB 中，AB⊥OB，且 AB＝OB＝3，设直线 x＝t 截此三角形所得阴影部分 的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象为下列选项中的(D) 8．(北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看 作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)近似满 足函数关系 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据 上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B) A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m 8 ,第 8 题图) ,第 9 题图) ,第 10 题图) 9．在同一坐标系下，抛物线 y1＝－x2＋4x 和直线 y2＝2x 的图象如图所示，那么不等式 －x2＋4x＞2x 的解集是(B) A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0 或 x＞2 10．(资阳中考)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，OA＝OC，则由抛物线的 特征写出如下含有 a，b，c 三个字母的等式或不等式：①4ac－b2 4a ＝－1；②ac＋b＋1＝0； ③abc＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是(A) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．若 y＝xm2－2＋3x－2 是二次函数，则 m 的值是 2 或－2. 12. 二次函数 y＝x(x－6)的图象的对称轴是直线 x＝3. 13．(孝感中考)如图，抛物线 y＝ax2 与直线 y＝bx＋c 的两个交点坐标分别为 A(－2， 4)，B(1，1)，则方程 ax2＝bx＋c 的解是 x1＝－2，x2＝1. ,第 13 题图) ,第 15 题图) , 第 16 题图) 14．已知抛物线 y＝ax2＋2ax＋c，那么点 P(－3，4)关于该抛物线的对称轴对称的点的 坐标是(1，4)． 15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开．已知篱笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当 AB＝150m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大． 16．(湖州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为 C， 与 x 轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y＝ax2(a＞0)交于点 B.若四边形 ABOC 是正 方形，则 b 的值是－2. 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)函数 y＝(kx－1)(x－3)，当 k 为何值时，y 是 x 的一次函数？当 k 为何值时， y 是 x 的二次函数？ 解：∵y＝(kx－1)(x－3)＝kx2－3kx－x＋3＝kx2－(3k＋1)x＋3，∴k＝0 时，y 是 x 的 一次函数，k≠0 时，y 是 x 的二次函数 9 18．(6 分)已知抛物线 y＝mx2＋(m＋3)x＋3 的顶点在 x 轴上，求 m 的值． 解：∵y＝mx2＋(m＋3)x＋3 的顶点在 x 轴上，∴方程 mx2＋(m＋3)x＋3＝0 有两个相等 的实数根，∴Δ＝0，即(m＋3)2－12m＝0，解得 m＝3 19．(6 分)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA，O 恰 为水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线 路径落下．在过 OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度 y(m)与水 平距离 x(m)之间的关系式是 y＝－x2＋2x＋3，求柱高 OA 及喷出的水流距柱子 OA 多远时达 到最大高度，最大高度是多少米？ 解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴当 x＝0 时，y＝3，即 OA＝3 m，当 x＝1 时， y 取得最大值，此时 y＝4，即喷出的水流距柱子 OA 有 1 m 时达到最大高度，最大高度是 4 m 20．(6 分)已知二次函数 y＝(x－2)2－4. (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，直接写出当 y＜0 时 x 的取值范围． 解：(1)列表如下：描点、连线图略 x … 0 1 2 3 4 … y … 0 －3 －4 －3 0 … (2)由图象可知：当 y＜0 时，x 的取值范围是 0＜x＜4 10 21．(8 分)已知在平面直角坐标系内，抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点 A(2，0)，B(0，6)． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线向下平移几个单位后经过点(4，0)？请通过计算说明． 解：(1)把 A(2，0)，B(0，6)代入 y＝x2＋bx＋c 得 4＋2b＋c＝0， c＝6， 解得 b＝－5， c＝6， 所以 抛物线的表达式为 y＝x2－5x＋6 (2)把 x＝4 代入 y＝x2－5x＋6，得 y＝16－20＋6＝2.故 抛物线向下平移 2 个单位后经过点(4，0) 22．(8 分)已知二次函数 y＝2x2－8x＋6. (1)把它化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式为：____________； (2)直接写出抛物线的顶点坐标：____________，对称轴：________； (3)求该抛物线于坐标轴的交点坐标． 解：(1)y＝2(x－2)2－2 (2)(2，－2) x＝2 (3)∵y＝2x2－8x＋6，∴当 y＝0 时，2x2 －8x＋6＝0，解得 x1＝1，x2＝3，∴抛物线与 x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)；当 x＝0 时，y＝6，∴抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，6) 23．(10 分)(金华中考)如图，抛物线 y＝ax2＋bx(a＜0)过点 E(10，0)，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边)，点 C，D 在抛物线上．设 A(t，0)，当 t＝2 时，AD＝ 4. (1)求抛物线的函数表达式； (2)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ 解：(1)设 y＝－1 4 x2＋5 2 x (2)由抛物线的对称性得 BE＝OA＝t，∴AB＝10－2t，当 x＝t 时，AD＝－1 4 t2＋5 2 t，∴矩形 ABCD 的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－1 4 t2＋5 2 t)]＝－1 2 t2 ＋t＋20＝－1 2 (t－1)2＋41 2 ，∵－1 2 ＜0，∴当 t＝1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值 为41 2 24．(10 分)某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且 不高于 80 元，经市场调查，每天的销售量 y(千克)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系， 11 部分数据如下表： 售价 x(元/千克) 50 60 70 销售量 y(千克) 100 80 60 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为 W(元)，求 W 与 x 之间的函数表达式(利润＝收入－成本)； 并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)设 y＝kx＋b，将(50，100)，(60，80)代入得 50k＋b＝100， 60k＋b＝80， 解得 k＝－2， b＝200. ∴ y＝－2x＋200 (40≤x≤80) (2)W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－ 70)2＋1800，∴当 x＝70 时，W 取得最大值为 1800，答：W 与 x 之间的函数表达式为 W＝－ 2x2＋280x－8000，售价为 70 元时获得最大利润，最大利润是 1800 元 25．(12 分)(达州中考)如图，抛物线经过原点 O(0，0)，点 A(1，1)，点 B(7 2 ，0)． (1)求抛物线解析式； (2)连接 OA，过点 A 作 AC⊥OA 交抛物线于 C，连接 OC，求△AOC 的面积； (3)点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MN⊥OM 交 x 轴于点 N.问：是 否存在点 M，使以点 O，M，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似，若存在，求出点 M 的坐 标；若不存在，说明理由． 解：(1)y＝－2 5 x2＋7 5 x (2)延长 CA 交 y 轴于 D，如图 1，∵A(1，1)，∴OA＝ 2，∠DOA＝45°，∴△AOD 为等 腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD＝ 2OA＝2，∴D(0，2)，易得直线 AD 的解析式为 y＝－x ＋2，解方程组 y＝－x＋2， y＝－2 5 x2＋7 5 x，得 x＝1， y＝1 或 x＝5， y＝－3， 则 C(5，－3)，∴S△AOC＝S△COD－S△AOD＝1 2 ×2×5－1 2 ×2×1＝4 (3)存在．如图 2，作 MH⊥x 轴于 H，AC＝ （5－1）2＋（－3－1）2＝ 4 2，OA＝ 2，设 M(x，－2 5 x2＋7 5 x)(x＞0)，∵∠OHM＝∠OAC，∴当OH OA ＝MH AC 时，△OHM∽△OAC， 即 x 2 ＝ |－2 5 x2＋7 5 x| 4 2 ，解方程－2 5 x2＋7 5 x＝4x 得 x1＝0(舍去)，x2＝－13 2 (舍去)，解方程－2 5 x2 ＋7 5 x＝－4x 得 x1＝0(舍去)，x2＝27 2 ，此时 M 点坐标为(27 2 ，－54)；当OH AC ＝MH OA 时，△OHM∽△ 12 CAO，即 x 4 2 ＝ |－2 5 x2＋7 5 x| 2 ，解方程－2 5 x2＋7 5 x＝1 4 x 得 x1＝0(舍去)，x2＝23 8 ，此时 M 点的坐 标为(23 8 ，23 32 )，解方程－2 5 x2＋7 5 x＝－1 4 x 得 x1＝0(舍去)，x2＝33 8 ，此时 M 点的坐标为(33 8 ， －33 32 )；∵MN⊥OM，∴∠OMN＝90°，∴∠MON＝∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴当 M 点的坐标为 (27 2 ，－54)或(23 8 ，23 32 )或(33 8 ，－33 32 )时，以点 O，M，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相 似 第三章检测题 13 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列说法正确的是(C) A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．面积相等的圆是等圆 D．劣弧一定比优弧短 2．(湘西州中考)已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5 cm，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系为(B) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．在平面直角坐标系中，若点 P(3，4)在⊙O 内，则⊙O 的半径 r 的取值范围是(D) A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5 4．(盐城中考)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB 的度数 为(C) A．35° B．45° C．55° D．65° ,第 4 题图) ,第 5 题图) 5．如图，正六边形螺帽的边长是 2 cm，这个扳手的开口 a 的值应是(A) A．2 3 cm B. 3cm C.2 3 3 cm D．1 cm 6．(重庆中考)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切于 点 D，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若⊙O 的半径为 4，BC＝6，则 PA 的长为(A) A．4 B．2 3 C．3 D．2.5 ,第 6 题图) ,第 7 题图) 7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF＝CD＝4 cm， 则球的半径长是(B) A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm 8．(通辽中考)已知⊙O 的半径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5，则弦 AB 所对的圆周 角的度数是(D) A．30° B．60° C．30°或 150° D．60°或 120° 9．(台湾中考)如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画一弧交 AC 于 E 点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝4，则扇形 BDE 的面积为(C) A.1 3 π B.2 3 π C.4 9 π D.5 9 π 14 ,第 9 题图) ,第 10 题图) 10．(河北中考)如图，点 I 为△ABC 的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB 平移使其 顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为(B) A．4.5 B．4 C．3 D．2 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．如图，点 A，B 把⊙O 分成 2∶7 两条弧，则∠AOB＝80°. ,第 11 题图) ,第 13 题图) ,第 14 题 图) 12．(黄石中考)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC 内切圆的周长为 4 π. 13．如图，P 为⊙O 外一点，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，CD 切⊙O 于点 E 且分别交 PA， PB 于点 C，D，若 PA＝4，则△PCD 的周长为 8. 14．(白银中考)如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个 顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为 a， 则勒洛三角形的周长为πa. 15．(大庆中考)已知直线 y＝kx(k≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移 m(m＞0)个单 位，若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交(点 O 为坐标原点)，则 m 的取值范围为 m＜13 2 . 16．在正方形 ABCD 中，E 为 AD 中点，AF 丄 BE 交 BE 于 G，交 CD 于 F，连 CG 延长交 AD 于 H.下列结论：①CG＝CB；②HE BC ＝1 4 ；③EG GF ＝1 3 ；④以 AB 为直径的圆与 CH 相切于点 G，其中 正确的是①②③④.(填序号) 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)如图，过圆心 O 作 OP⊥l，P 为垂足，A，B，C 为直线 l 上三个点，且 PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，若⊙O 的半径为 5 cm，OP＝4 cm，判断 A，B，C 三点与⊙O 的位 置关系． 解：设⊙O 的半径为 r，则 r＝5.当 PA＝2 cm，OA＝ 22＋42＝ 20＜5，A 在⊙O 内部； 当 PB＝3 cm，OB＝ 32＋42＝5＝r，B 点在⊙O 上；当 PC＝4 cm，OC＝ 42＋42＝ 32＞5＝r， 15 点 C 在⊙O 外 18．(6 分)如图，点 C 在⊙O 上，连接 CO 并延长交弦 AB 于点 D，AC︵＝BC︵，连接 AC，OB， 若 CD＝8，AC＝4 5.求弦 AB 的长及 sin∠ABO 的值． 解：∵CD 过圆心 O，AC︵＝BC︵，∴CD⊥AB，AB＝2AD＝2BD，∵CD＝8，AC＝4 5，∠ADC＝ 90°，∴AD＝ AC2－CD2＝4，∴AB＝2AD＝8；设圆 O 的半径为 r，则 OD＝8－r，∵BD＝AD＝ 4，∠ODB＝90°，∴BD2＋OD2＝OB2，即 42＋(8－r)2＝r2，解得 r＝5，OD＝3，∴sin∠ABO＝OD OB ＝3 5 19．(6 分)如图，A，B，C 是⊙O 上三点，∠AOB＝120°，C 是弧 AB 的中点，试判断四 边形 OACB 形状，并说明理由． 解：四边形 AOBC 是菱形．证明：连接 OC.∵C 是AB︵的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝1 2 ×120° ＝60°，∵CO＝BO(⊙O 的半径)，∴△OBC 是等边三角形，∴OB＝BC，同理△OCA 是等边三 角形，∴OA＝AC，又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO，∴四边形 AOBC 是菱形 20．(7 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，D，E，F 是切点． (1)求证：四边形 ODCE 是正方形； 16 (2)如果 AC＝6，BC＝8，求内切圆⊙O 的半径． 解：(1)∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C＝90°，∴四边形 ODCE 是矩形，∵OD＝OE，∴四边形 ODCE 是正方形 (2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝ AC2＋BC2＝10，由切线长定理得，AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE，∴CD＋CE＝BC＋AC－BD－AE ＝BC＋AC－AB＝4，则 CE＝2，由(1)知四边形 ODCE 为正方形，∴OD＝CE＝2，即⊙O 的半径 为 2 21．(7 分)如图，在△ABC 中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝4，以点 C 为圆心， CB 长为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E. (1)求 BD 的长； (2)求阴影部分的面积． 解：(1)如图 1，作 CH⊥AB 于 H.∵∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝ 30°，在 Rt△BCH 中，∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，∴CH＝1 2 BC＝2，BH＝2 3，∵ CH⊥BD，∴DH＝BH，∴BD＝2BH＝4 3 (2)连接 CD，如图 2，∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠B＝30°， ∴∠BCD＝120°，∴阴影部分的面积＝扇形 CBD 的面积－△CBD 的面积＝120 π×42 360 －1 2 × 4 3×2＝16 3 π－4 3 22．(8 分)如图，平面直角坐标系中，以点 C(2， 3)为圆心，以 2 为半径的圆与 x 轴 交于 A，B 两点． (1)求 A，B 两点的坐标； (2)若二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点 A，B，试确定此二次函数的表达式． 17 解：(1)过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M，则 MA＝MB，连接 AC，∵点 C 的坐标为(2， 3)，∴ OM＝2，CM＝ 3，在 Rt△ACM 中，CA＝2，∴AM＝ AC2－CM2＝1，∴OA＝OM－AM＝1，OB＝OM ＋BM＝3，∴A 点坐标为(1，0)，B 点坐标为(3，0) (2)将 A(1，0)，B(3，0)代入 y＝x2＋ bx＋c，得 1＋b＋c＝0， 9＋3b＋c＝0， 解得 b＝－4， c＝3. 所以二次函数的表达式为 y＝x2－4x＋3 23．(10 分)(绵阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上(点 D 不与 A，B 重合)， 直线 AD 交过点 B 的切线于点 C，过点 D 作⊙O 的切线 DE 交 BC 于点 E. (1)求证：BE＝CE； (2)若 DE∥AB，求 sin∠ACO 的值． (1)证明：连接 OD，∵EB，ED 为⊙O 的切线，∴EB＝ED，OD⊥DE，AB⊥CB，∴∠ADO＋ ∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴EC＝ED， ∴BE＝CE (2)解：作 OH⊥AD 于 H，设⊙O 的半径为 r，∵DE∥AB，∴∠DOB＝∠DEB＝90°， ∴四边形 OBED 为矩形，而 OB＝OD，∴四边形 OBED 为正方形，∴DE＝CE＝r，易得△AOD 和 △CDE 都为等腰直角三角形，∴OH＝DH＝ 2 2 r，CD＝ 2r，在 Rt△OCB 中，OC＝ （2r）2＋r2 ＝ 5r，在 Rt△OCH 中，sin∠OCH＝OH OC ＝ 2r 2 5r ＝ 10 10 ，即 sin∠ACO 的值为 10 10 24．(10 分)如图，将边长为 2 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 在直线 l 上由图 1 的位置按顺时 针方向向右作无滑动滚动． (1)该正六边形的每一个内角的度数是________，每一个外角的度数为________； (2)求它的对角线 A1A5，A2A4，A1A3 的长； (3)直接写出点 A1 从图 1 滚动到图 2 的位置时，顶点 A1 所经过的路径长． 解：(1) 120° 60° (2)作 A2M⊥A1A3 于 M，如图 1，根据正六边形的性质得：对角线 A1A5＝A2A4＝A1A3，A1A2＝A3A2，∠A1A2A3＝120°，∴A1M＝A3M，∠1＝30°，∴A2M＝1 2 A1A2＝1，由 勾股定理得：A1M＝ 22－12＝ 3，∴A1A5＝A2A4＝A1A3＝2 3 (3)连接 A1A5，A1A4，A1A3，作 A6C ⊥A1A5，如图 2，由(2)得：A6C＝1 2 A1A6＝1，A1C＝ 3，∴A1A5＝A1A3＝2 3，当 A1 第一次滚动到 18 图 2 位置时，顶点 A1 所经过的路径分别是以 A6，A5，A4，A3，A2 为圆心，以 2，2 3，4，2 3， 2 为半径，圆心角都为 60°的五条弧，∴顶点 A1 所经过的路径的长＝60π×2 180 ＋60π×2 3 180 ＋ 60π×4 180 ＋60π×2 3 180 ＋60π×2 180 ＝60π（2＋2 3＋4＋2 3＋2） 180 ＝8＋4 3 3 π 25．(12 分)如图，在 Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，P 是 AB 边上的动点(与 点 A，B 不重合)，Q 是 AC 边上的动点(与点 A，C 不重合)． (1)当 PQ∥BC，且 Q 为 AC 的中点时，求线段 PQ 的长； (2)若以 CQ 为直径作圆 D，请问圆 D 有没有可能与斜边 AB 相切？若相切请求出该圆的 半径； (3)当 PQ 与 BC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ 的长 的取值范围；若不可能，请说明理由． (1)解：∵PQ∥BC，Q 为 AC 的中点，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ＝1 2 BC＝4 (2)以 CQ 为直径作圆 D，圆 D 可以与 AB 相切．理由如下：设圆 D 与 AB 相切于 M.连接 DM，如图，∴ DM⊥AB，易证 Rt△ADM∽Rt△ABC，∴DM BC ＝AD AB ，设 CD＝x，则 DM＝x，AD＝6－x，而 AC＝6， BC＝8 得到 AB＝10，∴x 8 ＝6－x 10 ，解得 x＝8 3 ，即相切时该圆的半径为8 3 (3)当 PQ 与 BC 不平行时，只有∠CPQ＝90°时，△CPQ 才可能为直角三角形．①当 CQ ＝16 3 时，以 CQ 为直径的圆[即(2)中圆 D]与 AB 相切于 M，这时点 P 运动到点 M 的位置，△CPQ 为直角三角形．②当16 3 ＜CQ＜6 时，以 CQ 为直径的圆与直线 AB 有两个交点，当点 P 运动到 这二个交点的位置时，△CPQ 为直角三角形．③当 0＜CQ＜16 3 时，以 CQ 为直径的圆与直线 AB 相离，没有交点，即点 P 在 AB 上运动时都在圆外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ 不可能为直 角三角形．∴当16 3 ≤CQ＜6 时，△CPQ 可能为直角三角形 19 期末检测题(一) (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．抛物线 y＝(x－1)2＋3(D) A．有最大值 1 B．有最小值 1 20 C．有最大值 3 D．有最小值 3 2．(云南中考)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A 的正切值为(A) A．3 B.1 3 C. 10 10 D.3 10 10 3．(广安中考)抛物线 y＝(x－2)2－1 可以由抛物线 y＝x2 平移而得到，下列平移正确的 是(D) A．先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 B．先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 C．先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 D．先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当∠A 的度数不断增大时，cosA 的值的变化情况是(B) A．不断变大 B．不断减小 C．不变 D．不能确定 5．(菏泽中考)如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA 的度数是(D) A．64° B．58° C．32° D．26° ,第 5 题图) ,第 6 题图) 6．(泉州中考)如图，在 3×3 的网格中，A，B 均为格点，以点 A 为圆心，以 AB 的长为 半径作弧，图中的点 C 是该弧与格线的交点，则 sin∠BAC 的值是(B) A.1 2 B.2 3 C. 5 3 D.2 5 5 7．如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点 C，连接 BC，PA.若∠P ＝40°，当∠B 等于多少度时，PA 与⊙O 相切(B) A．20° B．25° C．30° D．40° ,第 7 题图) ,第 10 题图) 8．为加快 5G 网络建设，某移动通信公司在一个坡度为 2∶1 的山腰上建了一座 5G 信号 通信塔 AB，在距山脚 C 处水平距离 39 米的点 D 处测得通信塔底 B 处的仰角是 35°，测得通 信塔顶 A 处的仰角是 49°，(参考数据：sin35°≈0.57，tan35°≈0.70，sin49°≈0.75， tan49°≈1.15)，则通信塔 AB 的高度约为(A) A．27 米 B．31 米 C．48 米 D．52 米 9．定义运算“※”为：a※b＝ ab2（b＞0）， －ab2（b≤0） 如：1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函 数 y＝2※x 的图象大致是(C) 21 10．如图，边长为 6 的正△ABC 内有一边长为 4 的内接正△DEF，则下列结论①△DBF≌ △ECD；②△AEF 的周长为 10；③△AEF 的内切圆的半径为 3 3 .其中正确的个数是(C) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11. 一个斜面的坡度 i＝1：0.75，如果一个物体从斜面的底部沿着斜面方向前进了 20 米，那么这个物体在水平方向上前进了 12 米． 12. 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上，∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于 D，交 BC 于 E，⊙O 半径为 5，AC＝6，连接 OD 交 BC 于 F.则 EF 的长是 1. ,第 12 题图) ,第 14 题图) ,第 15 题图) 13．(齐齐哈尔中考)四边形 ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝3 4 ，AB＝ 20，BC＝10，AD＝13，则线段 CD＝17 或 89. 14．如图是两个半圆，点 O 为大半圆的圆心，AB 是平行于半圆的直径且是大半圆的弦 且与小半圆相切，且 AB＝24，则图中阴影部分的面积是 72π. 15．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AC＝6，BC＝10，tanC＝3 4 ，点 D 是 AC 边上的动点(不 与点 C 重合)，过 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，点 F 是 BD 的中点，连接 EF，设 CD＝x，△DEF 的 面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为 S＝－ 3 25 x2＋3 2 x. 16．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如表： x －1 0 1 3 y －1 3 5 3 下列结论：①ac＜0；②当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小；③当 x＝2 时，y＝5； ④3 是方程 ax2＋(b－1)x＋c＝0 的一个根．其中正确的有①③④.(填序号) 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)(新疆中考)计算： 16－2sin45°＋(1 3 )－1－|2－ 2|. 解：原式＝4－2× 2 2 ＋3－(2－ 2)＝4－ 2＋3－2＋ 2＝5 22 18．(6 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若 AB ＝10，AC＝6，求 BC，BD 的长． 解：连接 BD，∵AB 是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°(直径所对的圆周角是直角)，在 Rt △ABC 中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－62＝8，即 BC＝8，∵∠ACB 的平分线 交⊙O 于点 D，∴∠DCA＝∠BCD，∴AD︵＝BD︵，∴AD＝BD，∴在 Rt△ABD 中，AD＝BD＝ 2 2 AB＝ 2 2 ×10＝5 2，即 BD＝5 2 19．(6 分)在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2＋bx＋c(b，c 都是常数)的图象经过点 (1，0)和(0，2)点 P(m，n)在该函数的图象上，且 m＋n＝1，求点 P 的坐标． 解：将(1，0)，(0，2)代入 y＝x2＋bx＋c，得 1＋b＋c＝0， c＝2， 解得 b＝－3， c＝2. ∴这个函数 的表达式为：y＝x2－3x＋2，∵点 P(m，n)在该函数的图象上，∴n＝m2－3m＋2，∵m＋n＝1， ∴m2－2m＋1＝0，解得 m＝1，则 n＝0，∴点 P 的坐标为(1，0) 20．(6 分)如图，CA⊥AO，E，F 是 AC 上的两点，∠AOF＞∠AOE. (1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE； (2)锐角的正切函数值随角度的增大而________． 解：(1)∵CA⊥AO，∴△FOA 和△EOA 均为直角三角形．∴tan∠AOF＝AF OA ，tan∠AOE＝EA OA . ∴tan∠AOF＞tan∠AOE 23 (2)由(1)可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大 21．(8 分)如图，在航线 l 的两侧分别有观测点 A 和 B，点 A 到航线 l 的距离为 2 km， 点 B 位于点 A 的北偏东 60°方向且与 A 相距 10 km 处．现有一艘轮船从位于点 B 的南偏西 76°方向的 C 处，正沿该航线自西向东航行至点 A 的正北方向的 D 处． (1)求观测点 B 到航线 l 的距离； (2)求该轮船航行的路程 CD.(结果精确到 0.1 km，参考数据： 3≈1.73，sin76°≈0.97， cos76°≈0.24，tan76°≈4.01) 解：(1)过点 A 作 AD⊥l 交 l 于点 D，过点 B 作 BE⊥l 交 l 于点 E，在 Rt△AOD 中，∵∠ OAD＝60°，AD＝2 km，∴OA＝ AD cos60° ＝4(km)．∵AB＝10 km，∴OB＝AB－OA＝6(km)．在 Rt△BOE 中，∠OBE＝∠OAD＝60°，∴BE＝OB·cos60°＝3(km)．答：观测点 B 到航线 l 的 距离为 3 km (2)在 Rt△AOD 中，OD＝AD·tan60°＝2 3(km)，在 Rt△BOE 中，OE＝BE·tan60° ＝3 3(km)，∴DE＝OD＋OE＝5 3(km)．在 Rt△CBE 中，∠CBE＝76°，BE＝3 km，∴CE＝BE·tan ∠CBE＝3tan76°.∴CD＝CE－DE＝3tan76°－5 3≈3.4(km) 22．(8 分)如图，平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA，OC 分别在坐标轴上，OA＝2， OC＝1，以点 A 为顶点的抛物线经过点 C. (1)求抛物线的函数表达式； (2)将矩形 ABCO 绕点 A 旋转，得到矩形 AB′C′O′，使点 C′落在 x 轴上，抛物线是否 经过点 C′？请说明理由． 解：(1)∵OA＝2，OC＝1，∴A(0，2)，C(－1，0)，∴设抛物线表达式为 y＝ax2＋2，把 点 C(－1，0)代入，得 0＝a＋2，解得 a＝－2.则该抛物线表达式为：y＝－2x2＋2 (2)连接 AC，AC′.根据旋转的性质得到 AC＝AC′，OA⊥CC′，即点 C 与 C′关于 y 轴对称，又因为 该抛物线的对称轴是 y 轴，点 C 在该抛物线线上，所以抛物线经过点 C′ 23．(10 分)(白银中考)如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，⊙O 与边 AC 相切于点 E， 与边 BC，AB 分别相交于点 D，F，且 DE＝EF. (1)求证：∠C＝90°； (2)当 BC＝3，sinA＝3 5 时，求 AF 的长． 24 解：(1)连接 OE，BE，∵DE＝EF，∴DE︵＝EF︵，∴∠OBE＝∠DBE，∵OE＝OB，∴∠OEB＝ ∠OBE，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BC，∵⊙O 与边 AC 相切于点 E，∴OE⊥AC，∴BC⊥AC，∴ ∠C＝90° (2)在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝3 5 ∴AB＝5，设⊙O 的半径为 r，则 AO ＝5－r，在 Rt△AOE 中，sinA＝OE OA ＝ r 5－r ＝3 5 ，∴r＝15 8 ，∴AF＝5－2×15 8 ＝5 4 24．(10 分)(天门中考)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能 全部售出．如图，线段 EF，折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1(元)，生产成 本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系． (1)求该产品销售价 y1(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式； (2)直接写出生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式； (3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 解：(1)y1＝－3 5 x＋168(0≤x≤180) (2)y2＝ 70（0≤x≤50）， －1 5 x＋80（50＜x＜130）， 54（130≤x≤180） (3)设产量为 x kg 时，获得的利润为 W 元，①当 0≤x≤50 时，W＝x(－3 5 x＋168－70) ＝－3 5 (x－245 3 )2＋12005 3 ，∴当 x＝50 时，W 的值最大，最大值为 3400；②当 50＜x＜130 时， W＝x[(－3 5 x＋168)－(－1 5 x＋80)]＝－2 5 (x－110)2＋4840，∴当 x＝110 时，W 的值最大，最 大值为 4840；③当 130≤x≤180 时，W＝x(－3 5 x＋168－54)＝－3 5 (x－95)2＋5415，∴当 x＝ 130 时，W 的值最大，最大值为 4680.因此当该产品产量为 110 kg 时，获得的利润最大，最 大值为 4840 元 25．(12 分)(遵义中考)在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋5 3 x＋c 的图象经过点 C(0，2)和点 D(4，－2)．点 E 是直线 y＝－1 3 x＋2 与二次函数图象在第一象限内的交点． (1)求二次函数的解析式及点 E 的坐标； (2)如图①，若点 M 是二次函数图象上的点，且在直线 CE 的上方，连接 MC，OE，ME.求 四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标； (3)如图②，经过 A，B，C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标． 25 解：(1)y＝－2 3 x2＋5 3 x＋2, E(3，1) (2)如图①，过 M 作 MH∥y 轴，交 CE 于点 H，设 M(m，－2 3 m2＋5 3 m＋2)，则 H(m，－1 3 m＋2)，∴MH＝(－2 3 m2＋5 3 m＋2)－(－1 3 m＋2)＝－2 3 m2＋2m， S 四边形 COEM＝S△OCE＋S△CME＝1 2 ×2×3＋1 2 MH·3＝－m2＋3m＋3＝－(m－3 2 )2＋21 4 ，即当 m＝3 2 时，S 最 大＝21 4 ，此时 M 坐标为(3 2 ，3) (3)连接 BF，如图②所示，当－2 3 x2＋5 3 x＋2＝0 时，x1＝5＋ 73 4 ， x2＝5－ 73 4 ，∴OA＝ 73－5 4 ，OB＝ 73＋5 4 ，∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，∴△AOC∽△ FOB，∴OA OF ＝OC OB ，即 73－5 4 OF ＝ 2 73＋5 4 ，解得 OF＝3 2 ，则 F 坐标为(0，－3 2 ) 期末检测题(二) (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．抛物线 y＝－(x－4)2－3 的顶点坐标是(D) A．(－4，3) B．(－4，－3) C．(4，3) D．(4，－3) 26 2．已知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝3 4 ，则 cosB 的值为(D) A. 7 4 B.4 5 C.3 5 D.3 4 3．对于函数 y＝5x2，下列结论正确的是(C) A．y 随 x 的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于 y 轴对称 D．无论 x 取何值，y 的值总是正的 4．如图，已知一商场自动扶梯的长 l 为 13 米，高度 h 为 5 米，自动扶梯与地面所成的 夹角为θ，则 tanθ的值等于(A) A. 5 12 B.12 5 C. 5 13 D.12 13 ,第 4 题图) ,第 5 题图) ,第 6 题图) 5．(杭州中考)已知二次函数的图象(0≤x≤4)如图，关于该函数在所给自变量的取值范 围内，下列说法正确的是(A) A．有最大值 2，有最小值－2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5 C．有最大值 1.5，有最小值－2.5 D．有最大值 2，无最小值 6．如图，⊙O 的半径为 9，弦 AB⊥半径 OC 于 H，sin∠BOC＝2 3 ，则 AB 的长度为(B) A．6 B．12 C．9 D．3 5 7．如图，小岛在港口 P 的北偏西 60°方向，距港口 56 海里的 A 处，货船从港口 P 出 发，沿北偏东 45°方向匀速驶离港口 P，4 小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速 度是(A) A．7 2海里/时 B．7 3海里/时 C．7 6海里/时 D．28 2海里/时 ,第 7 题图) ,第 8 题图) ,第 9 题图) 8．(泰安中考)如图，BM 与⊙O 相切于点 B，若∠MBA＝140°，则∠ACB 的度数为(A) A．40° B．50° C．60° D．70° 27 9．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则点 M(b c ，a)在(A) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图，BC 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为 D，AD 与 CB 的延长线交于点 A， ∠C＝30°，给出下面四个结论：①AD＝DC；②AB＝BD；③AB＝1 2 BC；④BD＝CD.其中正确的 个数为(B) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 ,第 10 题图) ,第 12 题图) 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．把抛物线 y＝－2x2 向左平移 1 个单位，则平移后抛物线的表达式为 y＝－2(x＋1)2. 12．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝30°，以点 A 为圆心，以 3 cm 为半径作⊙A， 当 AB＝6cm 时，BC 与⊙A 相切． 13．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则 cos∠AOB 的值为 2 2 . ,第 13 题图) ,第 14 题图) , 第 15 题图) 14．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 解集是 x＜－1 或 x＞5. 15．如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E.点 B，E 恰好是半圆弧的三等分点．若 AD＝4，则图中阴影部分的面积为3 3 2 －2π 3 . 16．(烟台中考)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(3， 0)．下列结论：①2a－b＝0；②(a＋c)2＜b2；③当－1＜x＜3 时，y＜0；④当 a＝1 时，将 抛物线先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，得到抛物线 y＝(x－2)2－2.其中正确的 是③④. 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)(云南中考)计算： 18－2cos45°－(1 3 )－1－(π－1)0. 28 解：原式＝3 2－2× 2 2 －3－1＝2 2－4 18．(6 分)如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于 D，E，F，且 AB＝9， BC＝14，CA＝13.求 AF，BD，CE 的长． 解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，CE＝CD＝z cm.根据题意，得 x＋y＝9， y＋z＝14， x＋z＝13， 解得 x＝4， y＝5， z＝9， 即 AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm 19．(6 分)(徐州中考)已知二次函数的图象以 A(－1，4)为顶点，且过点 B(2，－5)， 求该函数的关系式及该函数图象与坐标轴的交点坐标． 解：设抛物线顶点式 y＝a(x＋1)2＋4，将 B(2，－5)代入得 a＝－1，∴该函数的解析式 为 y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3，令 x＝0，得 y＝3，因此抛物线与 y 轴的交点为(0，3) 令 y＝0，－x2－2x＋3＝0，解得 x1＝－3，x2＝1，即抛物线与 x 轴的交点为(－3，0)，(1， 0) 20．(6 分)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且 AB⊥CD 于 E，F 为 DC 延长线上一点， 连结 AF 交⊙O 于 M.求证：∠AMD＝∠FMC. 证明：连接 BM，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AMB＝∠BMF＝90°，又∵AB⊥CD 于 E，∴BC︵＝ BD︵，∴∠CMB＝∠BMD，∴∠AMD＝∠AMB－∠BMD＝∠BMF－∠CMB＝∠FMC，即∠AMD＝∠FMC 21．(8 分)一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长 AB＝50 cm，拉杆最大伸长距 离 BC＝35 cm，(点 A，B，C 在同一条直线上)，在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A 与水 平地面切于点 D，AE∥DN，某一时刻，点 B 距离水平面 38 cm，点 C 距离水平面 59 cm. 29 (1)求圆形滚轮的半径 AD 的长； (2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点 C 处 且拉杆达到最大延伸距离时，点 C 距离水平地面 73.5 cm，求此时拉杆箱与水平面 AE 所成 角∠CAE 的大小．(精确到 1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 解：(1)作 BH⊥AF 于点 G，交 DM 于点 H.则 BG∥CF，△ABG∽△ACF.设圆形滚轮的半径 AD 的长是 x cm.则BG CF ＝AB AC ，即38－x 59－x ＝ 50 50＋35 ，解得 x＝8.则圆形滚轮的半径 AD 的长是 8 cm (2)CF＝73.5－8＝65.5(cm)．则 sin∠CAF＝CF AC ＝ 65.5 50＋35 ≈0.77，则∠CAF＝50° 22．(8 分)(齐齐哈尔中考)如图，以△ABC 的边 AB 为直径画⊙O，交 AC 于点 D，半径 OE ∥BD，连接 BE，DE，BD，设 BE 交 AC 于点 F，若∠DEB＝∠DBC. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若 BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积． (1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DEB，∠DEB ＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∴∠DBC＋∠ABD＝90°，∴BC 是⊙O 的切线 (2)连接 OD，∵BF ＝BC＝2，且∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠FBD，∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB，∵OE＝OB，∴∠ OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝1 3 ∠ADB＝1 3 ×90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝ 3BC ＝2 3，∴⊙O 的半径为 3，∴阴影部分的面积＝扇形 DOB 的面积－三角形 DOB 的面积＝1 6 π ×3－ 3 4 ×3＝π 2 －3 3 4 23．(10 分)有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90° 后得到矩形 AMEF(如图①)，连接 BD，MF，若此时他测得 BD＝8 cm，∠ADB＝30°. (1)请直接写出 AF 的长； (2)小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得△AB1D1，AD1 交 FM 于点 K(如图②)，设旋转角为β(0°＜β＜90°)，当△AFK 为等腰三角形时，求△AFK 的面积．(保留根号) 30 解：(1)AF＝4 3 cm (2)△AFK 为等腰三角形时，分两种情况：①当 AK＝FK 时，如图．过点 K 作 KN⊥AF 于 N， 则 KN⊥AF，AN＝NF＝1 2 AF＝2 3 cm.在 Rt△NFK 中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，∴KN＝NF·tan ∠F＝2(cm)． ∴△AFK 的面积＝1 2 ×AF×KN＝4 3 cm2；②当 AF＝FK 时，如图．过点 K 作 KP⊥AF 于 P. 在 Rt△PFK 中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，∴KP＝1 2 KF＝2 3(cm)．∴△AFK 的面积＝1 2 ×AF ×KP＝12(cm2) 24．(10 分)(随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生 产订单，按要求在 15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件 20 元，设第 x 天(1≤x≤ 15，且 x 为整数)每件产品的成本是 p 元，p 与 x 之间符合一次函数关系，部分数据如表： 天数(x) 1 3 6 10 每件成本 p(元) 7.5 8.5 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第 x 天生产的产品件数 y(件)与 x(天)满足如下关系： y＝ 2x＋20（1≤x＜10，且 x 为整数）， 40（10≤x≤15，且 x 为整数）， 设李师傅第 x 天创造的产品利润为 W 元． (1)直接写出 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； (2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ (3)任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为 299 元．工厂制定如下奖励 制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20 元奖金．请计 算李师傅共可获得多少元奖金？ 解：(1)设 p 与 x 之间的函数关系式为 p＝kx＋b， k＋b＝7.5， 3k＋b＝8.5， 解得 k＝0.5， b＝7， 即 p 与 x 的函数关系式为 p＝0.5x＋7(1≤x≤15，x 为整数)，当 1≤x＜10 时，W＝[20－(0.5x＋ 7)](2x＋20)＝－x2＋16x＋260，当 10≤x≤15 时，W＝[20－(0.5x＋7)]×40＝－20x＋520， 即 W＝ －x2＋16x＋260（1≤x＜10，x 为整数）， －20x＋520（10≤x≤15，x 为整数） (2)当 1≤x＜10 时，W＝－x2＋16x＋260 ＝－(x－8)2＋324，∴当 x＝8 时，W 取得最大值，此时 W＝324，当 10≤x≤15 时，W＝－20x ＋520，∴当 x＝10 时，W 取得最大值，此时 W＝320，∵324＞320，∴李师傅第 8 天创造的 利润最大，最大利润是 324 元 (3)当 1≤x＜10 时，令－x2＋16x＋260＝299，得 x1＝3，x2 ＝13，当 W＞299 时，3＜x＜13，∵1≤x＜10，∴3＜x＜10，当 10≤x≤15 时，令 W＝－20x ＋520＞299，得 x＜11.05，∴10≤x≤11，由上可得，李师傅获得奖金的天数是第 4 天到第 11 天，李师傅共获得奖金为 20×(11－3)＝160(元)，即李师傅共可获得 160 元奖金 25．(12 分)(东营中考)如图，抛物线 y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与 x 轴交于 A，B 两点， 抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使△OCA∽△OBC. (1)求线段 OC 的长度； (2)设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式； 31 (3)在(2)的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)OC＝ 3 (2)∴y＝ 3 3 x－ 3， y＝2 3 3 x2－8 3 3 x＋2 3 (3)点 P 存在，设点 P 坐标为(x，2 3 3 x2－8 3 3 x＋2 3)，过点 P 作 PQ⊥x 轴交直线 BM 于点 Q，则 Q(x， 3 3 x－ 3)， ∴PQ＝ 3 3 x－ 3－(2 3 3 x2－8 3 3 x＋2 3)＝－2 3 3 x2＋3 3x－3 3， 当△BCP 面积最大时，四边形 ABPC 的面积最大，S△BCP＝1 2 PQ(3－x)＋1 2 PQ(x－3 2 )＝3 4 PQ＝ － 3 2 x2＋9 3 4 x－9 3 4 ，当 x＝－ b 2a ＝9 4 时，S△BCP 有最大值，四边形 ABPC 的面积最大，此时点 P 的坐标为(9 4 ，－)