【数学】2018届一轮复习人教A版 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 学案

第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 最新考纲　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin__α ‎－sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎－cos__α ‎ cos__α ‎ ‎－cos__α ‎ sin__α ‎－sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎－tan__α ‎－tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，‎ 符号看象限 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)‎ ‎(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)‎ 解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立.‎ ‎(4)当k为奇数时，sin α＝，‎ 当k为偶数时，sin α＝－.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(2017·泰安模拟)sin 600°的值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ 答案　B ‎3.已知sin＝，那么cos α＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故选C.‎ 答案　C ‎4.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝或－.‎ 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.‎ 答案　B ‎5.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则的值为________.‎ 解析　原式＝＝＝3.‎ 答案　3‎ ‎6.(2017·丽水调研)设a为常数，且a>1，0≤x≤2π，则当x＝________时，函数f(x)＝cos2x＋2asin x－1的最大值为________.‎ 解析　f(x)＝cos2x＋2asin x－1＝1－sin2x＋2asin x－1＝－(sin x－a)2＋a2，因为0≤x≤2π，所以－1≤sin x≤1，又因为a>1，所以f(x)max＝－(1－a)2＋a2＝‎2a－1.‎ 答案　　‎2a－1‎ 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 ‎【例1】 (1)(2015·福建卷)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)‎ A. B.－ C. D.－ ‎(2)(2017·东阳模拟)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(3)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A. B. C.1 D. 解析　(1)∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝＝，∴tan α＝＝－，故选D.‎ ‎(2)∵<α<，‎ ‎∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(3)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ 答案　(1)D　(2)B　(3)A 规律方法　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)‎ A.－1 B.－ C. D.1‎ ‎(2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D.－2‎ 解析　(1)由 得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，‎ 即＝0，∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，‎ ‎∴tan α＝tan ＝－1.‎ ‎(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝ ‎＝＝.‎ 答案　(1)A　(2)A 考点二　诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；‎ ‎(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f的值.‎ 解　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.‎ ‎(2)∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝＝.‎ 规律方法　(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【训练2】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A.{1，－1，2，－2} B.{－1，1}‎ C.{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}‎ ‎(2)化简：＝______.‎ 解析　(1)当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ k为奇数时，A＝－＝－2.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝＝－1.‎ 答案　(1)C　(2)－1‎ 考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用 ‎【例3】 (1)已知tan＝，则tan＝________.‎ ‎(2)(2017·温州模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　(1)∵＋＝π，‎ ‎∴tan＝tan ‎＝－tan＝－.‎ ‎(2)因为＋＝，‎ 所以cos＝sin＝sin.‎ 因为－π<α<－，所以－<α＋<－.‎ 又cos＝>0，所以－<α＋<－，‎ 所以sin＝－ ‎＝－＝－.‎ 答案　(1)－　(2)D 规律方法　(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.‎ ‎(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.‎ ‎【训练3】 (1)已知sin＝，则cos＝________.‎ ‎(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)‎ A. B. C.0 D.－ 解析　(1)∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos＝sin＝.‎ ‎(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，‎ 所以f＝f ‎＝f＝f＝f＋sinπ.‎ 因为当0≤x<π时，f(x)＝0.‎ 所以f＝0＋＝.‎ 答案　(1)　(2)A ‎[思想方法]‎ ‎1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.‎ ‎2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.(3)巧用“‎1”‎的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan ＝….‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.‎ 特别注意函数名称和符号的确定.‎ ‎2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.‎ ‎3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.‎