【数学】2019届一轮复习人教A版　用样本估计总体学案

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概率与统计 第5讲　用样本估计总体 题型1　频率分布直方图 ‎(对应 生用书第15页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.‎ ‎2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.‎ ‎3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数，在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题】　(2017·南昌十校二模)为了解收购的每只小龙虾的重量(单位：克)，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下：‎ 从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 ‎[5,15)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55]‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎10‎ ‎4‎ 从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 ‎[5,15)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55]‎ 频数 ‎2‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；‎ 图51‎ ‎(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：‎ 重量/克 ‎[5,25)‎ ‎[25,45)‎ ‎[45,55]‎ 等级 三级 二级 一级 若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由；‎ ‎(3)从甲水产养殖场抽取的40只小龙虾中利用分层抽样的方法抽取8只，再从抽取的8只小龙虾中随机抽取2只，X表示抽取的2只小龙虾中重量在[25,55]内的小龙虾的数量，求X的分布列及期望E(X)．‎ ‎[解]　(1)‎ ‎(2)若把频率看作相应的概率，则 ‎“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.75，‎ ‎“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.8，‎ 所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．‎ ‎(3)因为从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量在[5,25)，[25,55]内的小龙虾的数量比为1∶3，故抽取的8只小龙虾中，重量在[5,25)内的小龙虾有2只，重量在[25,55]内的小龙虾有6只，X的所有可能取值为0,1,2，‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.5.‎ ‎[类题通法]‎ 解决该类问题的关键是正确理解已知数据的含义.掌握图表中各个量的意义，通过图表对已知数据进行分析.‎ 提醒：(1)小长方形的面积表示频率，其纵轴是，而不是频率.‎ (2)各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图52所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x(单位：吨，100≤x≤150)表示下一个销售季度的市场需求量，T(单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．‎ 图52‎ ‎(1)视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P(x≥120)；‎ ‎(2)将T表示为x的函数，求出该函数表达式；‎ ‎(3)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如x∈[100,110)，则取x＝105，且x＝105的概率等于市场需求量落入[100,110)的频率)，求T的分布列及数 期望E(T). ‎ ‎【导 号：07804034】‎ ‎[解]　(1)根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得 P(x≥120)＝P(120≤x＜130)＋P(130≤x＜140)＋P(140≤x≤150)＝0.030×10＋0.025×10＋0.015×10＝0.7.‎ ‎(2)当x∈[100,130)时，T＝0.5x－0.3(130－x)＝0.8x－39；‎ 当x∈[130,150]时，T＝0.5×130＝65，‎ 所以T＝ ‎(3)由题意及(2)可得：‎ 当x∈[100,110)时，T＝0.8×105－39＝45，P(T＝45)＝0.010×10＝0.1；‎ 当x∈[110,120)时，T＝0.8×115－39＝53，P(T＝53)＝0.020×10＝0.2；‎ 当x∈[120,130)时，T＝0.8×125－39＝61，P(T＝61)＝0.030×10＝0.3；‎ 当x∈[130,150)时，T＝65，P(T＝65)＝(0.025＋0.015)×10＝0.4.‎ 所以T的分布列为 T ‎45‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎65‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以，E(T)＝45×0.1＋53×0.2＋61×0.3＋65×0.4＝59.4(万元)．‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T1、T2、T3、T5、T6、T11、T14)‎ 题型2　茎叶图 ‎(对应 生用书第16页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ 样本的数字特征 ‎(1)众数、中位数．‎ ‎(2)样本平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．‎ ‎(3)样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ ‎(4)样本标准差s＝.‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查用茎叶图估计样本的数字特征)为了丰富 生的课余生活，某校举办了“你 比划，我 猜”的猜成语活动，若甲、乙两个班级各10个小组参加了此项活动，对其猜对成语的个数进行统计，得到如茎叶图53所示的两组数据，对这两个班级10个小组猜对成语的个数的平均数甲，乙和中位数y甲，y乙进行比较，正确的结论是(　　) ‎ ‎【导 号：07804035】‎ 图53‎ A．甲＞乙，y甲＞y乙 B．甲＜乙，y甲＞y乙 C．甲＞乙，y甲＜y乙 D．甲＜乙，y甲＜y乙 ‎[解析]　由茎叶图得 甲＝＝28，‎ 乙＝＝35，‎ y甲＝＝27，y乙＝＝35.5，‎ ‎∴甲＜乙，y甲＜y乙，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎【典题2】　(考查茎叶图的实际应用)某中 为了解初三年级 生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如54所示：‎ 图54‎ 已知该项目评分标准为 男生投掷距离(米)‎ ‎…‎ ‎[5.4，6.0)‎ ‎[6.0，6.6)‎ ‎[6.6，7.4)‎ ‎[7.4，7.8)‎ ‎[7.8，8.6)‎ ‎[8.6，10.0)‎ ‎[10.0，＋∞)‎ 女生投掷距离(米)‎ ‎…‎ ‎[5.1，5.4)‎ ‎[5.4，5.6)‎ ‎[5.6，6.4)‎ ‎[6.4，6.8)‎ ‎[6.8，7.2)‎ ‎[7.2，7.6)‎ ‎[7.6，＋∞)‎ 个人得分(分)‎ ‎…‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎(1)求上述20名女生得分的中位数和众数；‎ ‎(2)从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数X的分布列；(记男生投掷距离≥‎8.6米为优秀)‎ ‎(3)根据以上样本数据和你所 的统计知识，试估计该年级 生实心球项目的整体情况(写出两个结论即可)．‎ ‎[解]　(1)20名女生掷实心球得分分别为5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8, 9,9,9,9,9,9,9,10,10，所以中位数为8，众数为9.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝，‎ 所以抽取的2名男生中优秀人数X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(3)①由茎叶图可得女生得分的平均数为女生＝8，‎ 男生得分的平均数为男生＝7.55，‎ 故男生的平均成绩低于女生的平均成绩．‎ ‎②男生掷实心球的平均距离比女生远．‎ ‎[类题通法]‎ 作茎叶图时先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么，根据茎叶图，可以得到数据的众数、中位数，也可从图中直接估计出两组数据的平均数大小与稳定性.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ 某教师为了了解本校高三 生一模考试的数 成绩情况，将所教两个班级的数 成绩(单位：分)绘制成如图55所示的茎叶图．‎ 图55‎ ‎(1)分别求出甲、乙两个班级数 成绩的中位数、众数；‎ ‎(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数 成绩的优秀率；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若用甲班 生数 成绩的频率估计概率，从该校高三年级中随机抽取3人，记这3人中数 成绩优秀的人数为X，求X的分布列和数 期望．‎ ‎[解]　(1)由所给的茎叶图知，甲班50名同 的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数 成绩的中位数是108.5，众数是103；‎ 乙班48名同 ‎ 的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数 成绩的中位数是106.5，众数为92和101.‎ ‎(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数 成绩为优秀的人数为20，优秀率为＝；乙班中数 成绩为优秀的人数为18，优秀率为＝.‎ ‎(3)用甲班 生数 成绩的频率估计概率，则高三 生数 成绩的优秀率p＝，则X的所有可能取值为0,1,2,3，X服从二项分布，‎ 即X～B，‎ P(X＝0)＝C＝；‎ P(X＝1)＝C××＝；‎ P(X＝2)＝C××＝；‎ P(X＝3)＝C＝.‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝(或E(X)＝3×＝)．‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T4、T7、T8、T10、T13)‎ 三年真题| 验收复习效果 ‎(对应 生用书第18页)‎ ‎1.(2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图56的折线图．‎ 图56‎ 根据该折线图，下列结论错误的是(　　)‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 A　[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；‎ 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；‎ 对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.]‎ ‎2．(2015·全国Ⅱ卷节选)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62　73　81　92　95　85　74　64　53　76‎ ‎78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73　83　62　51　91　46　53　73　64　82‎ ‎93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，如图57，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可). ‎ ‎【导 号：07804036】‎ 图57‎ ‎[解]　两地区用户满意度评分的茎叶图如下：‎ 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．‎