人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程配方法课件

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程配方法课件

第二十一章 一元二次方程 人教版 九年级数学上册 配方法 导入新课 复习引入 (1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2. 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0. 把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方 讲授新课 配方的方法一 问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 探究交流 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） 4 3x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 22( )3 2 3 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 归纳总结 想一想： x2+px+( )2=(x+ )22 p 2 p 配方的方法 用配方法解方程二 合作探究 怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 二次项系数为1的完全 平方式： 常数项等于一次项系数 一半的平方. 方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是 在二次项系数为1的前提下进行的. 问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方， 方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 方程配方的方法： 要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方 程，叫做配方法. 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次， 转化为一元一次方程求解． 4 5,x  １ 例1 解下列方程：   21 8 1 0 x x  　 ； 1 24 15, 4 15.x x    解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 即 配方，得 2 2 2 3 3 1 3 ,2 4 2 4x x              23 1 ,4 16x     3 1,4 4x 由此可得 21 11, .2x x  二次项系数化为1，得 2 3 1 ,2 2x x     2 2 2 1 3 x x 　　 ； 解：移项，得 2x2－3x=－1, 即 移项和二次项系数 化为1这两个步骤 能不能交换一下呢? 配方，得 2 2 242 1 1 ,3x x     2 11 .3x  因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， 上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 23 6 4,x x   二次项系数化为1，得 2 42 ,3x x     2 3 3 6 4 0.x x  　　 为什么方程 两边都加12？ 即 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两 个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. x n p   1 2,x n p x n p      规律总结 例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 配方法的应用二 例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知     ,0543 22  cba     ,05,04,03 22  cba ,543  cba ，， 所以，△ABC为直角三角形. ,025586 22  cbbaa ,543 222222 cba  1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 练一练 C 解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 2.完全平方 式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以 一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方 构成非负数 和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0， 从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0, 即a=0，b=2. 例4.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为(x-3) x1=6, x2=5 x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25 x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x2=10(x-3)+x ∴这个两位数为36或25， ∴周瑜去世的年龄为36岁. ∵周瑜30岁还攻打过东吴， 1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2； 2 3 3 02 4x x  解： ， 23 21( ) .4 16x   1 2 3 21 3 21,4 4x x   ； 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 当堂练习 2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1 的值总是负数，并求出它的最大值. 解：－x2－x－1=－(x2+x+ )+ －1 所以－x2－x－1的值必定小于零. 1 4 1 4 21( ) 0,2x+  21 3( ) ,2 4= x+  21 3( ) 0,2 4x+   ＜ 当 时，－x2－x－1有最大值1 2x=  3 .4  3.若 ，求(xy)z 的值.013264 22  zyyxx 解：对原式配方，得     0232 22  zyx 由代数式的性质可知     02,03,02 22  zyx .2,3,2  zyx        .36632 22  zxy 4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同 样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要 使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. ,0222  bcacabcba 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知        ,02 1 222  cbcaba       ,0,0,0 222  cbcaba ,cba  所以，△ABC为等边三角形.