2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第二章 第5节 指数与指数函数
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多维层次练11
[A级 基础巩固]
1．下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )
A．y＝sin x B．y＝x3
C．y＝ D．y＝log2x
解析：y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数．而y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；
y＝是非奇非偶函数，不符合题意；
y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；
y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意．
答案：B
2．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( )
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．都在x轴的上方
D．都过点(0，1)
解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝图象(略)，
知两函数的图象关于y轴对称，A项正确．
由指数函数的性质，知选项C、D正确．
答案：ACD
3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数．其图象应为选项D.
答案：D
4．若0
0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A. B．－2或2 C．－2 D．2
解析：因为ab＋a－b＝2，所以a2b＋a－2b＝8－2＝6，
所以(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.
因为00.
所以abaa，babb，
综上ab为最大的值．
答案：C
6．(多选题)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)
的说法正确的是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．单调递增 D．单调递减
解析：当x>0时，－x<0，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)．
又f(0)＝1－20＝0，
所以f(x)在R上为奇函数，
易知f(x)为R上的增函数．
答案：AC
7．若函数f(x)＝有最大值3，则a＝___________.
解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
答案：1
8．(2018·上海卷)已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P、Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________．
解析：依题设知f(p)＝，且f(q)＝－，
所以
①＋②得＝1，
整理得2p＋q＝a2pq.
又2p＋q＝36pq，所以a2pq＝36pq.
由于pq≠0，得a2＝36(a>0)，则a＝6.
答案：6
9．设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________．
解析：由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，
故g(a)>g(1)＝g(b－1)．
答案：g(a)>g(b－1)
10．设函数f(x)＝ax＋1－2(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(1，7)．
(1)求a的值及y＝f(x)的零点．
(2)求不等式f(x)≥－的解集．
解：(1)因为y＝f(x)的图象经过点(1，7)，
所以f(1)＝a2－2＝7，则a2＝9.
又因为a>0，所以a＝3，
所以f(x)＝3x＋1－2.
令f(x)＝0，解得x＝log3，
所以y＝f(x)的零点为x＝log3.
(2)因为f(x)≥－，所以3x＋1－2≥－，
所以3x＋1≥3－1，所以x＋1≥－1，
所以x≥－2，所以原不等式的解集为[－2，＋∞)．
[B级 能力提升]
11．(2020·济南一中检测)已知函数f(x)＝－x且满足f(2a－1)>f(3)，则a的取值范围为( )
A．a>2 B．a<2
C．－12
解析：易知f(x)＝－x是R上的偶函数，
又当x>0时，f(x)＝－x单调递减，
由f(2a－1)>f(3)⇔f(|2a－1|)>f(3)，
所以|2a－1|<3，解之得－11，知0<<1，所以00，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f(x)的解析式，并判断f(x)的单调性；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的最大值．
解：(1)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，得
又a>0，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.
由指数函数性质，f(x)＝3·2x在R上是增函数．
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
当x∈(－∞，1]，原不等式化为＋≥m恒成立．
因为t＝＋在(－∞，1]上是减函数，
所以x＝1时，t＝＋有最小值.
所以只需m≤，则m的最大值为.
[C级 素养升华]
14．(2020·潍坊质检)已知f(x)＝9x－t·3x，g(x)＝，若存在实数
a，b同时满足g(a)＋g(b)＝0和f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝________，实数t的取值范围是________．
解析：因为g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，
所以函数g(x)为奇函数，
又g(x)＝＝1－，所以g(x)在R上为增函数．
因为g(a)＋g(b)＝0，所以a＝－b，所以a＋b＝0.
因为f(a)＋f(b)＝f(a)＋f(－a)＝0有解，
则9a－t·3a＋9－a－t·3－a＝0有解，即t＝有解．
令m＝3a＋3－a(m≥2)，则＝＝m－，
因为φ(m)＝m－在[2，＋∞)上单调递增，
所以φ(m)≥φ(2)＝1，
所以t≥1，故实数t的取值范围是[1，＋∞)．
答案：0 [1，＋∞)
