【数学】2019届一轮复习人教A版坐标系与参数方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版坐标系与参数方程学案

选修4—4 坐标系与参数方程 第1课坐标系 ‎[过双基]‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标 ‎①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.‎ ‎②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.‎ ‎③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：‎ ‎4．常见曲线的极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为，半径为r的圆的极坐标方程 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线的极坐标方程 ρsin θ＝a(0<θ<π)‎ ‎　 ‎1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．‎ 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ 答案： ‎2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．‎ 解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x－1)2＋y2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.‎ 答案：θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ ‎3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．‎ 解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r＝1.因为点P(1,0)到圆心的距离d＝＝2>1，所以点P在圆外，所以|AP|的最小值为d－r＝2－1＝1.‎ 答案：1‎ ‎4．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sin θ 的公共点的个数为________．‎ 解析：依题意，得4ρ＋1＝0，‎ 即2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，‎ 所以直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0.‎ 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，‎ 即x2＋(y－1)2＝1，‎ 其圆心(0,1)到直线2x＋2y＋1＝0的距离 d＝＝<1，则直线与圆相交，‎ 故直线与圆的公共点的个数是2.‎ 答案：2‎ ‎5．在极坐标系中，过点A引圆ρ＝8sin θ 的一条切线，则切线长为________．‎ 解析：点A的极坐标化为直角坐标为A(0，－1)，‎ 圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，‎ 圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝16，‎ 点A与圆心C(0,4)的距离为|AC|＝5，‎ 所以切线长为＝3.‎ 答案：3‎ ‎[清易错]‎ ‎1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．‎ ‎2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2 π)( ∈ )，(－ρ，π＋θ＋2 π)( ∈ )表示同一点的坐标．‎ ‎1．若圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是________．‎ 解析：因为ρ2－4ρcos－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0，即x2＋y2－2x－2y－1＝0，因此圆心坐标为(1，)．‎ 答案：(1，)‎ ‎2．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________．‎ 解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ得：‎ ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，‎ 化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.‎ 圆心的坐标为，‎ 化成极坐标为.‎ 答案：(答案不唯一)‎ 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 ‎[典例]　(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A ‎′的坐标．‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．‎ ‎[解]　(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ： 得到由于点A的坐标为，‎ 于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，‎ ‎∴A′(1，－1)为所求．‎ ‎(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由上述可知，将代入y＝6x得 ‎2y′＝6×，∴y′＝x′，即y＝x为所求．‎ ‎[方法技巧]‎ 伸缩变换的解题方法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下得到的方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．　　‎ ‎[即时演练]‎ ‎1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．‎ 解：由得①‎ 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.‎ 因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.‎ ‎2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．‎ 解：由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sin得3y＝3sin，‎ 整理得y＝sin，故f(x)＝sin.‎ 所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.‎ 极坐标与直角坐标的互化 ‎[典例]　在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin＝，直线与曲线C：ρsin2θ＝8cos θ相交于不同的两点A，B，求|AB|的值．‎ ‎[解]　l：ρsin＝⇒ρcos θ－ρsin θ＝⇒x－y－1＝0，C的直角坐标方程是y2＝8x.‎ 由 可得x2－10x＋1＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝10，x1x2＝1，‎ 所以AB的长为·＝8.‎ ‎　[方法技巧]‎ ‎1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 ‎(1)取直角坐标系的原点为极点．‎ ‎(2)以x轴的非负半轴为极轴．‎ ‎(3)两种坐标系规定相同的长度单位．‎ ‎2．直角坐标化为极坐标的注意点 ‎(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．‎ 当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．‎ ‎(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．　‎ ‎[即时演练]‎ 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1(0≤θ<2π)，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y－2＝0.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)．‎ N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为.‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 极坐标方程的应用 ‎[典例]　已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ ‎[解]　(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0,1)，‎ ‎∴P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎ ‎[方法技巧]‎ 曲线的极坐标方程的求解策略 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．　　‎ ‎[即时演练]‎ 在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P ‎，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解：(1)因为圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，‎ 则有解得 设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，‎ 则有解得 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，即线段PQ的长为2.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎2．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程； ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎3．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，求|AB|.‎ 解：∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴直线的直角坐标方程为x－y－1＝0.‎ ‎∵ρ＝2cos θ，‎ ‎∴ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x.‎ ‎∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎∵圆心(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ ‎∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.‎ ‎4．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．‎ 解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，‎ 直线 θ＝即tan θ＝，‎ 化为直角坐标方程为x－y＝0，‎ 圆心(0,4)到直线的距离为＝2，‎ 所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.‎ ‎5．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离．‎ 解：点的直角坐标为，‎ 直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0.‎ 所以点(1，)到直线的距离d＝＝＝1.‎ ‎1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A，B两点，若|AB|＝2，求实数a的值．‎ 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，‎ 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，‎ 所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，‎ 所以圆心C到直线的距离为 ＝ ＝，‎ 解得a＝－5或a＝－1.‎ 故实数a的值为－5或－1.‎ ‎2．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．‎ 解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，‎ 即y＝x－2.‎ ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，‎ 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，‎ 得4x2－8x＋12＝0，‎ 即x2－2x＋3＝0，‎ 所以x＝，y＝1.‎ 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，‎ 化为极坐标为.‎ ‎3．(2018·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎4．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点 A，B ，求△AOB的面积．‎ 解：(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，‎ 将代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.‎ ‎(2)在极坐标系中，C：ρ＝4cos θ＋2sin θ，‎ ‎∴由得|OA|＝2＋1，‎ 同理：|OB|＝2＋.‎ 又∵∠AOB＝，‎ ‎∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝，‎ 即△AOB的面积为.‎ ‎5．在坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，直线l：ρcosθ－＝，C与l有且只有一个公共点．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若原点O为极点，A，B为曲线C上两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ 解：(1)由已知在直角坐标系中，‎ C：x2＋y2－2ax＝0⇒(x－a)2＋y2＝a2(a>0)；‎ l：x＋y－3＝0.‎ 因为C与l只有一个公共点，所以l与C相切，‎ 即＝a，则a＝1.‎ ‎(2)设A(ρ1，θ)，则B，‎ ‎∴|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2cos θ＋2cos＝3cos θ－sin θ＝2cos.‎ 所以，当θ＝－时，(|OA|＋|OB|)max＝2.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y－4＝0，曲线C2：x2＋(y－1)2＝1，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C3的极坐标方程为θ＝α，且曲线C3分别交C1，C2于点A，B，求的最大值．‎ 解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴C1：ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，C2：ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)曲线C3为θ＝α，‎ 设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，ρ1＝，ρ2＝2sin α，‎ 则＝＝×2sin α(cos α＋sin α)‎ ‎＝2sin2α－＋1，‎ ‎∴当α＝时，max＝.‎ ‎7．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin，射线OM的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．‎ ‎(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若射线OM平分曲线C2，且与曲线C1交于点A，曲线C1上的点满足∠AOB＝，求|AB|.‎ 解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，‎ 曲线C2的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)曲线C2是圆心为(，1)，半径为2的圆，‎ ‎∴射线OM的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 代入ρ2＝，可得ρ＝2.‎ 又∠AOB＝，∴ρ＝，‎ ‎∴|AB|＝＝＝.‎ ‎8．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.‎ ‎(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；‎ ‎(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．‎ 解：(1)作出图形如图所示，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.‎ 由余弦定理得，‎ ‎4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，‎ 设M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，‎ 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.‎ 第2课参数方程 ‎[过双基]‎ ‎1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎　 ‎1．参数方程(t为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________．‎ 解析：将参数方程消去参数t，得2x－y－5＝0，对应图形为直线．‎ 由ρ＝sin θ，得ρ2＝ρsin θ，即x2＋y2＝y，‎ 即x2＋2＝，对应图形为圆．‎ 答案：直线、圆 ‎2．曲线(θ为参数)与直线y＝x＋2的交点坐标为________．‎ 解析：曲线的直角坐标方程为y＝x2.将其与直线方程联立得∴x2－x－2＝0，∴x＝－1或x＝2.由x＝sin θ知，x＝2不合题意．∴x＝－1，y＝1，∴交点坐标为(－1,1)．‎ 答案：(－1,1)‎ ‎3．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为________．‎ 解析：∵曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ ‎∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，‎ ‎∴圆心(2，－1)到直线l的距离 d＝＝＝.‎ 又∵<3，>3，∴有2个点．‎ 答案：2‎ ‎4．参数方程(t为参数)化为普通方程为________．‎ 解析：∵x＝，‎ y＝＝＝4－3×＝4－3x.‎ 又x＝＝＝2－∈[0,2)，‎ ‎∴x∈[0,2)，‎ ‎∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．‎ 答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))‎ ‎[清易错]‎ ‎1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．‎ ‎2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.‎ ‎1．直线y＝x－1上的点到曲线上的点的最近距离是________．‎ 解析：由得 ‎∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)，‎ 故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝2，‎ ‎∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d－r＝2－1.‎ 答案：2－1‎ ‎2．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．‎ 解析：直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有 ＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切线的倾斜角或.‎ 答案：或 参数方程与普通方程的互化 ‎[典例]　已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎[解]　(1)椭圆C：(θ为参数)，直线l：x－y＋9＝0.‎ ‎(2)设P(2cos θ，sin θ)，‎ 则|AP|＝ ＝2－cos θ，‎ 点P到直线l的距离 d＝＝.‎ 由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，‎ 又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.‎ 故P.‎ ‎[方法技巧]‎ 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　　‎ ‎[即时演练]‎ 将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)( 为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ 解：(1)两式相除，得 ＝，‎ 将其代入x＝，得x＝，‎ 化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．‎ ‎(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，‎ 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，‎ 故所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．‎ 参数方程 ‎[典例]　在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．‎ ‎[解]　曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，‎ 将直线l的参数方程化为(t′为参数)，‎ 代入曲线C的方程得：‎ t′2－(4＋a)t′＋16＋4a＝0，‎ 则Δ>0，即a>0或a<－4.‎ 设交点M，N对应的参数分别为t1′，t2′，‎ 则t1′＋t2′＝2(4＋a)，t1′t2′＝2(16＋4a)，‎ 若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，‎ 则|t1′－t2′|2＝|t1′t2′|，‎ 解得a＝1或a＝－4(舍去)，‎ 所以满足条件的a＝1.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)．‎ 当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．　　‎ ‎[即时演练]‎ 已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．‎ 解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，‎ 所以它的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 把它代入抛物线的方程，得t2＋t－2＝0，‎ 由根与系数的关系得t1＋t2＝－，t1·t2＝－2，‎ 由参数t的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.‎ 极坐标、参数方程的综合应用 ‎[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当 变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝ (x－2)；‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去 得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．‎ 联立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎[方法技巧]‎ 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 ‎(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　‎ ‎[即时演练]‎ 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝，直线的参数方程是(α为参数，0≤α<π)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M(2，2)，求α.‎ 解：(1)曲线C：ρ＝，即ρsin2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin2θ＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎ (2)法一： 把x＝2＋tcos α，y＝2＋tsin α代入y2＝4x，‎ 得(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)，‎ 即t2sin2α＋(4sin α－4cos α)t－4＝0.‎ 由AB的中点为M(2,2)得t1＋t2＝0，有4sin α－4cos α＝0，所以 ＝tan α＝1.‎ 由0≤α<π，得α＝.‎ 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则⇒(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．‎ ‎∵y1＋y2＝4，∴ 1＝tan α＝＝1，‎ 由0≤α<π，得α＝.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，‎ 由解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，‎ 故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为 d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为 .‎ 由题设得＝，解得a＝8；‎ 当a＜－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，解得a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，‎ 将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以直线l的斜率为或－.‎ 法二：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.‎ 设直线l的斜率为 ，‎ 则直线l的方程为 x－y＝0.‎ 由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，‎ 圆心坐标为(－6,0)，半径为5.‎ 又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得 ＝ ，即＝，‎ 整理得 2＝，解得 ＝±，‎ 即直线l的斜率为±.‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，‎ 其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ 解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)．‎ 由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．‎ 因为G在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，即.‎ ‎1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ 解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线l的距离 d＝＝.‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.‎ ‎2．已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．‎ 解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，‎ 曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；‎ 曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，‎ 故M－2＋4cos θ，2＋sin θ.‎ 曲线C3为直线x－2y－7＝0，‎ M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为普通方程；‎ ‎(2)C1与C2有两个公共点A，B，点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．‎ 解：(1)C2是圆，C2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，‎ 化为普通方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)点P的直角坐标为(1,1)，且在直线C1上，‎ 将C1的参数方程(t为参数)代入x2＋y2－2x－3＝0，得2＋2－2－3＝0，化简得t2＋t－3＝0.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－，t1·t2＝－3，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝＝，‎ 定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，定点P(1,1)．‎ ‎(1)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)已知直线l与圆C相交于A，B两点，求||PA|－|PB||的值．‎ 解：(1)依题意得圆C的一般方程为(x－1)2＋y2＝4，‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2－2ρcos θ－3＝0，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(2)因为定点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程可表示为(t为参数)．‎ 代入(x－1)2＋y2＝4，得t2－t－3＝0.‎ 设点A，B分别对应的参数为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝－3.‎ 所以t1，t2异号，不妨设t1>0，t2<0，‎ 所以|PA|＝t1，|PB|＝－t2，‎ 所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝.‎ ‎5．已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．‎ 解：(1)由已知得l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，‎ 联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.‎ ‎(2)由题意，得C2的参数方程为(θ为参数)，‎ 故点P的坐标为，‎ 从而点P到直线l的距离是 d＝＝sin＋2，‎ 当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为.‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．‎ 解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，‎ 曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.‎ ‎(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，‎ 即x2＋＝1，‎ ‎∴曲线C上的点的坐标可表示为(cos α，sin α)，‎ ‎∴d＝ ‎＝＝.‎ ‎∴d的最小值为＝，d的最大值为＝.‎ ‎∴≤d≤，即d的取值范围为.‎ ‎7．平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．‎ 解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，‎ 得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，‎ 所以t1t2＝m2－2m，‎ 由题意得|m2－2m|＝1，‎ 解得m＝1或m＝1＋或m＝1－.‎ ‎8．已知直线的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(1)求圆心C的直角坐标；‎ ‎(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ 解：(1)∵ρ＝4cos＝2cos θ－2sin θ，‎ ‎∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ 即(x－)2＋(y＋)2＝4，‎ ‎∴圆心的直角坐标为(，－)．‎ ‎(2)直线l上的点向圆C引切线，则切线长为 ‎＝＝≥4，‎ ‎∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为4.‎