黄冈中学高考数学压轴题精选

黄冈中学高考数学压轴题精选

‎2012年黄冈中学高考数学压轴题精选1‎ ‎1．设函数，‎ ‎，其中，记函数的最大值与最小值的差为。‎ ‎（I）求函数的解析式； ‎ ‎（II）画出函数的图象并指出的最小值。‎ ‎2．已知函数,数列满足, ‎ ‎; 数列满足, .求证:‎ ‎（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.‎ ‎3．已知定义在R上的函数f(x) 同时满足：‎ ‎（1）（R，a为常数）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）当时，≤2‎ 求：（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．‎ ‎4．设上的两点，‎ 满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；‎ ‎（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.‎ ‎5．已知数列中各项为：‎ 个 个 ‎ 12、1122、111222、……、 …… ‎ ‎ （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.‎ ‎ （2）求这个数列前n项之和Sn .‎ 解答 ‎1．解：（I）‎ ‎ （1）当时，函数是增函数，此时，，‎ ‎，所以；——2分 ‎ （2）当时，函数是减函数，此时，，‎ ‎，所以；————4分 ‎ （3）当时，若，则，有；‎ ‎ 若，则，有；‎ ‎ 因此，，————6分 ‎ 而，‎ ‎ 故当时，，有；‎ ‎ 当时，，有；————8分 综上所述：。————10分 ‎ （II）画出的图象，如右图。————12分 ‎ 数形结合，可得。————14分 ‎2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.‎ ‎ （1）当n=1时,由已知得结论成立;‎ ‎ （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,‎ ‎ 因为0g(0)=0.‎ ‎ 因为,所以,即>0,从而————10分 ‎ (Ⅲ) 因为 ,所以, , ‎ ‎ 所以 ————① , ————12分 ‎ 由(Ⅱ)知:, 所以= ,‎ ‎ 因为, n≥2, ‎ ‎ 所以 <<=————② . ————14分 ‎ 由①② 两式可知: .————16分 ‎3．（Ⅰ）在中,分别令；‎ ‎；得 ‎ ‎ 由①＋②－③，‎ 得 ‎＝∴‎ ‎（Ⅱ）当时，Î．‎ ‎（1）∵≤2，当a<1时，≤≤≤2．‎ 即≤≤． ≤≤． ‎ ‎（2）∵≤2，当a≥1时，- 2≤≤≤1．即1≤a≤． ‎ 故满足条件的取值范围[-，]． ‎ ‎ ‎ ‎4．（1）‎ 椭圆的方程为 （2分）‎ ‎ （2）设AB的方程为 由 ‎（4分）‎ 由已知 ‎ 2 （7分）‎ ‎ （3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 （8分） ‎ 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b ‎（11分）‎ 所以三角形的面积为定值.（12分）‎ ‎5（1） ……………………………… (2分 ) ‎ ‎…………………………………(4分)‎ 个 记：A = , 则A=为整数 ‎ = A (A+1) ， 得证 ………………………………………………………( 6分) (2) ………………………………………………… (8分)‎ ‎ ……………………………………………(‎