中考数学解题指导专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨

中考数学解题指导专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 3：一元二次方程根的判别式应用探讨 一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程，其一般形式为 ax2+bx+c=0 （a≠0）。在系数 a≠0 的情况下，Δ =b2－4ac>0 时，方程有 2 个不相等的实数根；Δ =b2－4ac =0 时， 方程有两个相等的实数根；Δ =b2－4ac <0 时，方程无实数根。反之，若方程有 2 个不相等的实数根， 则 Δ =b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则 Δ =b2－4ac =0；若无实数根，则 Δ =b2－4ac <0。 因此，Δ =b2－4ac 称为一元二次方程根的判别式。 根的判别式 b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意 隐含条件 a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出 a、b、c 的值。 一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。我 们将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情 况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合 应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物 线与直线（含 x 轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况： 典型例题： 例 1：（2012 广西河池 3 分）一元二次方程 2x 2x 2 0+ + = 的根的情况是【 】 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】∵ 2x 2x 2 0+ + = 中，a=1，b=2，c=2， ∴△ 22b 4ac=2 4 1 2= 4 0<      。 ∴ 无实数根。故选 D。 例 2：（2011 江苏苏州 3 分）下列四个结论中，正确的是【 】 A．方程 1x+ = 2x  有两个不相等的实数根 B．方程 1x+ =1x 有两个不相等的实数根 C．方程 1x+ =2x 有两个不相等的实数根 2 D．方程 1x+ =ax （其中 a 为常数，且 a2> ）有两个不相等的实数根 【答案】D。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可： A、整理得： 2x +2x+1=0 ，△＝0，∴原方程有 2 个相等的实数根，选项错误； B、整理得： 2x x+1=0 ，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误； C、整理得： 2x 2x+1=0 ，△＝0，∴原方程有 2 个相等的实数根，选项错误； D、整理得： 2x ax+1=0 ，当 a2> 时， 2=a 4 0> ，∴原方程有 2 个不相等的实数根，选项正确 故选 D。 练习题： 1（2012 广东珠海 6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0． （1）当 m=3 时，判断方程的根的情况； （2）当 m=﹣3 时，求方程的根。 2. （2011 福建福州 4 分）一元二次方程 x （ ﹣2）=0 根的情况是 【 】 A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 3. （2011 福建福州 4 分）一元二次方程 （ ﹣2）=0 根的情况是 【 】 A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 4. （2011 内蒙古包头 3 分）一元二次方程 x2+x+ 1 4 =0 的根的情况是【 】 A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定 二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围： 典型例题： 例 1：（2012 湖北襄阳 3 分）如果关于 x 的一元二次方程 2kx 2k 1x 1 0    有两个不相等的实数根， 那么 k 的取值范围是【 】 A．k＜ 1 2 B．k＜ 且 k≠0 C．﹣ ≤k＜ D．﹣ ≤k＜ 且 k≠0 【答案】D。 【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。 3 【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条 件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣ 1 2 ≤k＜ 且 k≠0。 故选 D。 例 3：（2012 湖南常德 3 分）若一元二次方程 2x 2x m 0   有实数解，则 m 的取值范围是【 】 A. m 1  B. m 1 C. m 4 D. m 1 2 【答案】B。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解 集即可得到 m 的取值范围： ∵一元二次方程 2x 2x m 0   有实数解， ∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。 ∴m 的取值范围是 m≤1。故选 B。 例 4：（2012 江西南昌 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是 【 】 A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣ 【答案】B。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得 a=﹣1。故选 B。 例 5：（2012 上海市 4 分）如果关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，那么 c 的取值 范围是 ▲ 。 【答案】c＞9。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根， ∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即 36﹣4c＜0，c＞9。 例 6：（2012 湖北孝感 12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0． (1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若 x1、x2 是原方程的两根，且|x1－x2|＝2 2 ，求 m 的值和此时方程的两根。 【答案】解：（1）证明：由关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0 得 4 △=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4， ∵无论 m 取何值，（m+1）2＋4 恒大于 0， ∴原方程总有两个不相等的实数根。 （2）∵x1，x2 是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3）， x1•x2=m+1。 ∵|x1－x2|＝2 2 ， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。 ∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即 m2＋2m－3=0。 解得：m1=－3，m2=1。 当 m=－3 时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－ 。 当 m=1 时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－ 。 【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】（1）根据关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0 的根的判别式△=b2－4ac 的符号来判定 该方程的根的情况。 （2）根据根与系数的关系求得 x1＋x2 和 x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝2 2 平方后可以得到关于 x1 ＋x2 和 x1•x2 的等式，从而列出关于 m 的方程，通过解该方程即可求得 m 的值，最后将 m 值代入原方程并 解方程。 例 7：（2011 山东潍坊 3 分）关于 x 的方程 2x 2kx k 1 0    的根的情况描述正确的是【 】. A． k 为任何实数，方程都没有实数根 B． k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C． k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实 数根三种 【答案】B。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案： ∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0， ∴不论 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选 B。 例 8：（2012 四川成都 4 分）有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3 的卡片，它们除数字 不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 5 的一元二次方程    2x 2 a 1 x a a 3 0    有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 且 以 x 为 自 变 量 的 二 次 函 数  22y x a 1 x a 2     的图象不经过点（1，0）的概率是 ▲ 。 【答案】 3 7 。 【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式， 概率公式。 【分析】∵    2x 2 a 1 x a a 3 0     有两个不相等的实数根，∴△＞0。 ∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。 将（1，0）代入  22y x a 1 x a 2     得，a2+a﹣2=0，解得 a1=1，a2=﹣2。 可见，符合要求的点为 0，2，3。 ∴P（符合要求）= 。 练习题： 1（2012 四川广安 3 分）已知关于 x 的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0 有两个不相等的实数根，则 a 的 取值范围是【 】 A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2 且 a≠l D．a＜﹣2 2. （2012 山东日照 4 分）已知关于 x 的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是【 】 (A) k> 3 4 且 k≠2 (B)k≥ 3 4 且 k≠2 (C) k > 4 3 且 k≠2 (D)k≥ 且 k≠2 3. （2012四川泸州2分）若关于x的一元二次方程x2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是【 】 A、k≥2 B、k≤2 C、k＞-2 D、k＜-2 4. （2012 山东东营 3 分）方程  2 1k 1 x 1 kx+ =04   有两个实数根，则 k 的取值范围是【 】． A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k<1 5. （2012 北京市 4 分）若关于 x 的方程 2x 2x m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ▲ 。 6. （2012 四川资阳 3 分）关于 x 的一元二次方程 2kx x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 是 ▲ 。 7. （2012 湖北鄂州 8 分）关于 x 的一元二次方程 22x (m 3)x m 0    。 （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； 6 （2）设这个方程的两个实数根为 x1，x2，且｜x1｜=｜x 2｜－2，求 m 的值及方程的根。 8. （2011 湖南郴州 6 分）当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程 2 2+t +2=0 有两个相等的实数根？ 9. （2009 黑龙江佳木斯 3 分）若关于 x 的一元二次方程 nx2－2x－1=0 无实数根，则一次函数 y=（n+1）x －n 的图象不经过【 】 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三. 限制一元二次方程根与系数关系的应用： 典型例题： 例 1：（2011 四川泸州 2 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k2﹣2=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为 ▲ 。 例 2：（2012 湖南娄底 10 分）已知二次函数 y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m 的图象与 x 轴交于点 A（x1，0）和 点 B（x2，0）， x1＜x2，与 y 轴交于点 C，且满足 12 1 1 1+=x x 2 。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）探究：在直线 y=x+3 上是否存在一点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？如果有，求出点 P 的坐标； 如果没有，请说明理由。 7 【答案】解：（1）∵二次函数 y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m 的图象与 x 轴交于点 A（x1，0）和点 B（x2，0）， x1＜x2， ∴令 y=0，即 x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m。 ∴ 2 12 1 2 1 2 x +x1 1 m 1 1+ = = =x x x x 2m 2   ，化简得到：m2+m﹣2=0，解得 m1=﹣2，m2=1。 当 m=﹣2 时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与 x 轴没有交点，不符合题意，舍去； 当 m=1 时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与 x 轴有两 个不同的交点，符合题意。 ∴m=1。∴抛物线的解析式为 y=x2+x﹣2。 （2）存在。理由如下： 假设在直线 y=x+3 上是否存在一点 P，使四边形 PACB 为平行四边形。 如图所示，连接 PA．PB．AC．BC，过点 P 作 PD⊥x 轴于 D 点。 ∵抛物线 y=x2+x﹣2 与 x 轴交于 A．B 两点，与 y 轴交于 C 点， ∴A（﹣2，0）， B（1，0）， C（0，2）。 ∴OB=1，OC=2。 ∵PACB 为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。 ∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。 在 Rt△PAD 与 Rt△CBO 中， ∵∠PAD=∠CBO ，PA=BC，∠APD=∠OCB ， ∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。 ∴PD=OC=2，即 yP=2。 ∵直线解析式为 y=x+3，∴xP=﹣1。∴P（﹣1，2）。 ∴在直线 y=x+3 上存在一点 P，使四边形 PACB 为平行四边形，P 点坐标为（﹣1，2）。 【考点】二次函数综合题，二次函数与 x 点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系 数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得 m 的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系 数的关系，可以求得 m 的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个 m 的值，需要进行检验，把不 符合题意的 m 值舍去。 （2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得 P 点的纵坐标，从而得到 P 点的 8 横坐标，从而求得P 点坐标。 练习题： 1. （2012 湖南怀化 10 分）已知 12x ,x 是一元二次方程 2(a 6)x 2ax a 0    的两个实数根。 （1）是否存在实数 a，使 1 1 2 2x x x 4 x    成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使 12(x 1)(x 1)为负整数的实数 a 的整数值。 2. （2007 湖北襄阳 7 分）已知关于 x 的方程 x2－2（m－2）x＋m2=0．问是否存在实数 m，使方程的两个 实数根的平方和等于 56，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。 四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数： 典型例题： 例 1：（2012 江苏南通 3 分）已知 x2＋16x＋k 是完全平方式，则常数 k 等于【 】 A．64 B．48 C．32 D．16 【答案】A。 【考点】完全平方式。 【分析】∵x2＋16x＋k 是完全平方式， ∴对应的一元二次方程 x2＋16x＋k=0 根的判别式△=0。 ∴△=162－4×1×k=0，解得 k=64。故选 A。 例 2：（2012 贵州黔东南 4 分）二次三项式 x2﹣kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是 ▲ 。 【答案】±6。 【考点】完全平方式。 【分析】∵x2﹣kx+9 是完全平方式， ∴对应的一元二次方程 x2﹣kx+9=0 根的判别式△=0。 ∴△=k2－4×1×9=0，解得 k=±6。 例 3：（2012 湖北荆州 3 分）已知：多项式 x2﹣kx+1 是一个完全平方式，则反比例函数 k1y= x  的解析式 为 ▲ 。 【答案】 1y= x 或 3y= x 。 【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。 【分析】∵多项式 x2﹣kx+1是一个完全平方式， ∴对应的一元二次方程 x2﹣kx+1=0 根的判别式△=0。 9 ∴△=k2－4×1×1=0，解得 k=±2。 把 k=±2 分别代入反比例函数 k1y= x  的解析式得： 1y= x 或 3y= x 。 练习题： 1. （2011 云南玉溪 3 分）若 2x 6x k是完全平方式，则 k =【 】 A．9 B．－9 C．±9 D．±3 2. （2010 广西南宁 3 分）下列二次三项式是完全平方式的是【 】 A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16 C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16 五. 判断双曲线与直线的公共点个数： 典型例题： 例 1：（2012 江苏南京 2 分）若反比例函数 ky x 与一次函数 y x 2的图像没有．．交点，则 k 的值可以是 【 】 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A。 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。 【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出 k 的取值范围，找出符 合条件的 k 的值即可： ∵反比例函数 ky x 与一次函数 y=x+2 的图象没有交点， ∴ k y x y x 2     ① ② 无解，即 k =x 2x  无解，整理得 x2+2x-k=0， ∴△=4+4k＜0，解得 k＜－1。 四个选项中只有-2＜-1，所以只有 A 符合条件。故选 A。 例 2：（2012 广东河源 3 分）在同一坐标系中，直线 y＝x＋1 与双曲线 y＝ 1 x 的交点个数为【 】 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．不能确定 【答案】A。 【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。 【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立 y＝x＋1 和 y＝ 1 x 得，x＋1＝ 1 x ，整理，得 x 2＋x－1＝0。 ∵△＝1＋4=5＞0，∴x 2＋x－1＝0 有两不相等的实数根。 10 ∴直线 y＝x＋1 与双曲线 y＝ 1 x 有两个交点。故选 A。 例 4：（2012 四川资阳 8 分）已知：一次函数 y=3x－2 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐 标为 1。 （1）(3 分)求该反比例函数的解析式； （2）(3 分)将一次函数 y=3x－2 的图象向上平移 4 个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点 坐标； （3）(2 分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式： ①函数的图象能由一次函数 y=3x－2 的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到；[中国教育*^出版网~%&] ②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。 【答案】解：（ 1）把 x=1 代入 y=3x－2，得 y=1。 设反比例函数的解析式为 ky= x ，把（1，1）代入得，k=1。 ∴该反比例函数的解析式为 1y= x 11 （2）平移后的图象对应的解析式为 y=3x－2+4，即 y=3x＋2， 联立 y=3x＋2 和 1y= x ，得， y 3x+2 1y= x   ，解得 1x= 3 y=3   或 x= 1 y= 1    。 ∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为( 1 3 ,3)和(－1, －1) 。 （3）y=－2x－2（答案不唯一）。 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数图象 与平移、旋转变换。 【分析】（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。 （2）平移后的图象对应的解析式为 y=3x+2，联立两函数解析式，从而求得交点坐标。 （3）∵函数的图象由一次函数 y=3x－2 的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到， ∴可设所求函数解析式为 y=mx－2，则由 y mx 2 1y= x   － 得 2mx 2x 1=0－ － 。 ∵函数的图象与反比例函数的图象没有公共点， ∴△=4－4·m（－1）＜0，解得 m＜－1。 ∴只要常数项为－2，一次项系数小于－1 的一次函数均可。 例 5：（2011 湖北宜昌 3 分）如图，直线 y = x +2 与双曲线 = m3 x  在第二象限有两个交点，那么 m 的取 值范围在数轴上表示为【 】 (D)(C) (B)(A) -2 -1 432-2 -1 432 -2 -1 432-2 -1 4320 1 10 10 10 【答案】B。 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】因为直线 y = x +2 与双曲线 = m3 x  在第二象限有两个交点，联立两方程求出 m 的取值范围即 可，然后在数轴上表示出 m 的取值范围： 12 由 x +2= m3 x  得 2+2 +3﹣m=0， ∵ y = +2 与 = 有两个交点，∴方程 2+2 +3﹣m=0 有两不相等的实数根。 即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得 m＞2。 又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。 ∴m 的取值范围为：2＜m＜3。 故在数轴上表示为 B。故选 B。 练习题： 1.（2011 湖北黄石 3 分）若一次函数 y kx 1的图像与反比例函数 1y x 的图像没有公共点，则实数 k 的 取值范围是 ▲ 。 2. （2012 陕西省 3 分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数 y= 2x+6 的图 象无．公共点，则这个反比例函数的表达式是 ▲ （只写出符合条件的一个即可）。 3. （2006 湖北黄石 8 分 8）已知一次函数 y=kx+b（k＞0，b＞0）与反比例函数 ky x 的图象有唯一的公 共点。 （1）求出 b 关于 k 的表达式及 b 为最小正整数时的两个函数的解析式； （2）证明：k 取任何正实数时，直线 y=kx+b 总经过一个定点，并求出定点的坐标。 4. （2012 四川绵阳 3 分）在同一直角坐标系中，正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 4-2ky= x 的图象没 有交点，则实数 k 的取值范围在数轴上表示为【 】。 六. 判断抛物线与直线（含 x 轴）的公共点个数： 典型例题： 13 例 2：（2012 山东泰安 3 分）二次函数 2y ax bx的图象如图，若一元二次方程 2ax bx m 0   有实数 根，则 m 的最大值为【 】 A． 3 B．3 C． 6 D．9 【答案】B。 【考点】抛物线与 x 轴的交点。 【分析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3， 14 ∴ a ＞0， 2b 34a   ，即 2b 12a 。 ∵一元二次方程 2ax bx m 0   有实数根， ∴△= 2b 4am 0，即12a 4am 0，即12 4m 0，解得 m3 。 ∴ m 的最大值为 3。故选 B。 例 3：（2012 湖北荆州 12 分）已知：y 关于 x 的函数 y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点。 （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1，x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x1 2+2kx2+k+2=4x1x2． ①求 k 的值；②当 k≤x≤k+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值。 【答案】解：（1）当 k=1 时，函数为一次函数 y=﹣2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。 当 k≠1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点， 令 y=0 得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0． △=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（ k+2）≥0，解得 k≤2．即 k≤2 且 k≠1。 综上所述，k 的取值范围是 k≤2。 （2）①∵x1≠x2，由（1）知 k＜2 且 k≠1。 由题意得（k﹣1）x1 2+（k+2）=2kx1（*）， 将（*）代入（k﹣1）x1 2+2kx2+k+2=4x1x2 中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又∵x1+x2= 2k k1 ，x1x2= k+2 k1 ，∴2k• =4• ， 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求 k 值为﹣1。 ②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣ 1 2 ）2+ 3 2 ，且﹣1≤x≤1， 由图象知：当 x=﹣1 时，y 最小=﹣3；当 x= 时，y 最大= 。 ∴y的最大值为 ，最小值为﹣3。 【考点】抛物线与 x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数 15 的最值。 【分析】（1）分两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与 x 轴有一交点；当 k≠1 时，函数 为二次函数，若与 x 轴有交点，则△≥0。 （2）①根据（k﹣1）x1 2+2kx2+k+2=4x1x2 及根与系数的关系，建立关于 k 的方程，求出 k 的值。 ②充分利用图象，直接得出 y 的最大值和最小值。 例 4：（2012 福建福州 14 分）如图①，已知抛物线 y＝ax2＋bx(a≠0)经过 A(3，0)、B(4，4)两点。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求 m 的值及点 D 的坐标； (3) 如图②，若点 N 在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应) 。 【答案】解：(1) ∵抛物线 y＝ax2＋bx(a≠0)经过点 A(3，0)、B(4，4)． ∴  9a＋3b＝0 16a＋4b＝4，解得：  a＝1 b＝－3。 ∴抛物线的解析式是 y＝x2－3x。 (2) 设直线 OB 的解析式为 y＝k1x，由点 B(4，4)， 得：4＝4k1，解得 k1＝1。 ∴直线 OB 的解析式为 y＝x。 ∴直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为：y＝x－m。 ∵点 D 在抛物线 y＝x2－3x 上，∴可设 D(x，x2－3x)。 又点 D 在直线 y＝x－m 上，∴ x2－3x ＝x－m，即 x2－4x＋m＝0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m＝0，解得：m＝4。 16 此时 x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D 点坐标为(2，－2)。 (3) ∵直线 OB 的解析式为 y＝x，且 A(3，0)， ∴点 A 关于直线 OB 的对称点 A'的坐标是(0，3)。 设直线 A'B 的解析式为 y＝k2x＋3，过点 B(4，4)， ∴4k2＋3＝4，解得：k2＝1 4。 ∴直线 A'B 的解析式是 y＝1 4x＋3。 ∵∠NBO＝∠ABO，∴点 N 在直线 A'B 上。 ∴设点 N(n，1 4n＋3)，又点 N 在抛物线 y＝x2－3x 上， ∴ 1 4n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－3 4，n2＝4(不合题意，会去)。 ∴ 点 N 的坐标为(－3 4，45 16)。 如图，将△NOB 沿 x 轴翻折，得到△N1OB1， 则 N1(－3 4，－45 16)，B1(4，－4)。 ∴O、D、B1 都在直线 y＝－x 上。 ∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。 ∴ OP1 ON1 ＝OD OB1 ＝1 2。∴点 P1 的坐标为(－3 8，－45 32)。 将△OP1D 沿直线 y＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2(45 32，3 8)。 综上所述，点 P 的坐标是(－3 8，－45 32)或(45 32，3 8)。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的 判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 (2) 根据已知可求出 OB 的解析式为 y＝x，则向下平移 m 个单位长度后的解析式为：y＝x－m。 由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于 0，由 此可求出 m 的值和 D 点坐标。 (3) 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将△NOB 沿 x 轴翻折。（或用旋转）求出 P 点坐标之后，该点关于直线 y＝－x 的对称点也满足题意，即满足题意的 P 点有两个。 练习题： 17 1（2011 江苏南京 7 分）已知函数 2=mx 1y 6x+ （ m 是常数）。 ⑴求证：不论 m为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值。 2. （2011 甘肃兰州 4 分）如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2﹣4ac＞0；（ 2）c＞1；（ 3）2a﹣b＜0；（ 4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有【 】 A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、1 个 3. （2011 四川雅安 3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=﹣1，给出下列结果①b2＞ 4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是【 】 A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 4.（2011 四川泸州 2 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结 论：①abc＞0，②b2﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 5. （2008 湖北武汉 3 分）下列命题： ①若 a+b+c=0，则 b2-4ac≥0； ② 若 b>a+c， 则 一 元 二 次 方 程 ax2＋bx＋c=0 有两个不相等的实数根； ③若 b=2a＋3c，则一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 有两个不相等的实数根； ④若 b2－4ac>0，则二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3。 其中正确的【 】 18 A、只有①②③ B、只有①③④ C、只有①④ D、只有②③④ 6. （2009 北京市 7 分）已知关于 x 的一元二次方程 22x 4x k 1 0    有实数根， k 为正整数. （1）求 k 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数 2y 2x 4x k 1    的图象向下平移 8 个 单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保 持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线  1y x b b k2   与此图象有两个公共 点时， b 的取值范围。 一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于近年中考涉 及不多，本文不多详谈。例如， 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例 1：当 m 为何值时，关于 x 的二次三项式 mx2－2（m＋2）x＋（m＋5）能在实数范围内因式分解。 例 2：如果关于 x 二次三项式 2x 6x m在实数范围内不能分解因式，那么 m 的取值范围是 ▲ 。 与平面几何相联系的问题。 例 1：已知：关于 x 的方程   24 a c x 4bx a c 0?     有两个相等的实数根，试判断以 a，b，c 为三边的 三角形的形状。 例 2：已知 a、b、c 是三角形的三条边长，且关于 x 的方程     2c b x 2 b a x a b 0      有两个相等 的实数根，试判断三角形的形状。 例 3：已知 a，b，c 是△ABC 的三边，  22x 2 a b x c ab 0     是关于 x 的一元二次方程， 19 （1）若△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，试判断方程实根的个数； （2）若方程有两个相等的实数根，试求∠C 的度数。