高三数学总复习学案23

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高三数学总复习学案23

第五章 解三角形与平面向量 ‎ 学案23 正弦定理和余弦定理 导学目标: 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ 自主梳理 ‎1.三角形的有关性质 ‎(1)在△ABC中,A+B+C=________;‎ ‎(2)a+b____c,a-bb⇔sin A____sin B⇔A____B;‎ ‎(4)三角形面积公式:S△ABC=ah=absin C=acsin B=_________________;‎ ‎(5)在三角形中有:sin ‎2A=sin 2B⇔A=B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形;‎ sin(A+B)=sin C,sin =cos .‎ ‎2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ‎________________‎ ‎=2R a2=____________,‎ b2=____________,‎ c2=____________.‎ 变形 形式 ‎①a=__________,‎ b=__________,‎ c=__________;‎ ‎②sin A=________,‎ sin B=________,‎ sin C=________;‎ ‎③a∶b∶c=__________;‎ ‎④= cos A=________________;‎ cos B=________________;‎ cos C=_______________.‎ 解决 的问题 ‎①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边.‎ ‎②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.‎ ‎①已知三边,求各角;‎ ‎②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.‎ 自我检测 ‎1.(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC(  )‎ A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎2.(2010·天津)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A等于 (  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎3.(2011·烟台模拟)在△ABC中,A=60°,b=1,△ABC的面积为,则边a的值为(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎4.(2010·山东)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,‎ sin B+cos B=,则角A的大小为________.‎ ‎5.(2010·北京)在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a=________.‎ 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC中,a=,b=,B=45°,求角A、C和边c;‎ ‎(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c.‎ 变式迁移1 (1)在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB=________;‎ ‎(2)在△ABC中,若a=50,b=25,A=45°,则B=________.‎ 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2-b2=ac.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若c=‎3a,求tan A的值.‎ 变式迁移2 在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,B=,b=,a+c=4,求a.‎ 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状.‎ 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC中,=.‎ ‎(1)证明:B=C;‎ ‎(2)若cos A=-,求sin的值.‎ ‎1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用.‎ ‎2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍.‎ ‎3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口. ‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2010·湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于 (  )‎ A.- B. C.- D. ‎2.在△ABC中AB=3,AC=2,BC=,则等于 (  )‎ A.- B.- C. D. ‎3.在△ABC中,sin2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(  )‎ A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 ‎4.(2011·聊城模拟)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.135° D.45°或135°‎ ‎5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,‎ c=a,则 (  )‎ A.a>b B.a (3)> > (4)bcsin A (5)A+B= 2.== b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C ①2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C ②   ③sin A∶sin B∶sin C    自我检测 ‎1.C 2.A 3.C ‎4. 5.1‎ 课堂活动区 例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角和边,但要注意对解的情况进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断方法如下:在△ABC中.已知a、b和A,求B.若A为锐角,①当a≥b时,有一解;②当a=bsin A时,有一解;③当bsin Ab时,有一解;②当a≤b时,无解.‎ 解 (1)由正弦定理=得,sin A=.‎ ‎∵a>b,∴A>B,∴A=60°或A=120°.‎ 当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,‎ c==;‎ 当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,‎ c==.‎ 综上,A=60°,C=75°,c=,‎ 或A=120°,C=15°,c=.‎ ‎(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.‎ 由正弦定理==,‎ 得b==4,c==4+4.‎ ‎∴b=4,c=4+4.‎ 变式迁移1 (1) (2)60°或120°‎ 解析 (1)∵在△ABC中,tan A=,C=150°,‎ ‎∴A为锐角,∴sin A=.‎ 又∵BC=1.‎ ‎∴根据正弦定理得AB==.‎ ‎(2)由b>a,得B>A,由=,‎ 得sin B==×=,‎ ‎∵0°a,∴B>A,‎ ‎∴cos A==.‎ ‎∴tan A==.‎ 方法三 ∵c=‎3a,由正弦定理,得sin C=3sin A.‎ ‎∵B=,∴C=π-(A+B)=-A,‎ ‎∴sin(-A)=3sin A,‎ ‎∴sincos A-cossin A=3sin A,‎ ‎∴cos A+sin A=3sin A,‎ ‎∴5sin A=cos A,‎ ‎∴tan A==.‎ 变式迁移2 解 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B ‎=a2+c2-2accosπ ‎=a2+c2+ac=(a+c)2-ac.‎ 又∵a+c=4,b=,∴ac=3,‎ 联立,解得a=1,c=3,或a=3,c=1.‎ ‎∴a等于1或3.‎ 例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.‎ 解 方法一 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)‎ ‎⇔a2[sin(A-B)-sin(A+B)]‎ ‎=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],‎ ‎∴‎2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,‎ 由正弦定理,得 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,‎ ‎∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0,‎ ‎∴sin ‎2A=sin 2B,由0<‎2A<2π,0<2B<2π,‎ 得‎2A=2B或‎2A=π-2B,‎ 即△ABC是等腰三角形或直角三角形.‎ 方法二 同方法一可得‎2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,‎ 由正、余弦定理,即得 a2b×=b‎2a×,‎ ‎∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),‎ 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,‎ ‎∴a=b或c2=a2+b2,‎ ‎∴三角形为等腰三角形或直角三角形.‎ 变式迁移3 解题导引 在正弦定理===2R中,2R是指什么?a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C的作用是什么?‎ ‎(1)证明 在△ABC中,由正弦定理及已知得 =.‎ 于是sin Bcos C-cos Bsin C=0,‎ 即sin(B-C)=0.‎ 因为-π
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