高三数学（理数）总复习练习专题五 导数及其应用
(2015·陕西，15，易)设曲线 y＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1
x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P
的坐标为________．
【解析】 设 P(x0，y0)(x0>0)，
由 y＝ex，得 y′＝ex，
∴y′|x＝0＝1.
由 y＝1
x，得 y′＝－ 1
x2，
∴－1
x＝－1，
∴x0＝1 或 x0＝－1(舍去)，
∴y0＝1
1＝1，
∴点 P 的坐标为(1，1)．
【答案】 (1，1)
1．(2011·江西，4，易)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f′(x)>0 的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
【答案】 C f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又由 f ′(x)＝2x－2－4
x
＝2（x－2）（x＋1）
x >0，
解得－1
2，
所以 f′(x)>0 的解集为(2，＋∞)．
2．(2011·大纲全国，8，中)曲线 y＝e －2x＋1 在点(0，2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形
的面积为( )
A.
1
3 B.
1
2 C.
2
3 D．1
【答案】 A ∵y′＝－2e－2x，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率 k＝－2，∴切线方程为 y＝－2x＋2，
该直线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形如图所示，
其中直线 y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点 A(2
3，
2
3)，所以三角形面积 S＝1
2×1×2
3
＝1
3，故选 A.
3．(2012·广东，12，易)曲线 y＝x3－x＋3 在点(1，3)处的切线方程为________．
【解析】 ∵y′＝3x2－1，∴y 在点(1，3)处的切线斜率 k＝2，由点斜式方程，得切线方程为 y－3＝
2(x－1)，即 2x－y＋1＝0.
【答案】 2x－y＋1＝0
4．(2014·广东，10，易)曲线 y＝e－5x＋2 在点(0，3)处的切线方程为________．
【解析】 ∵y′＝－5e－5x，∴k＝y′|x＝0＝－5，故所求切线方程为 y－3＝－5x，即 5x＋y－3＝0.
【答案】 5x＋y－3＝0
5．(2014·江苏，11，中)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋b
x(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，
且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是________．
【解析】 因为曲线 y＝ax2＋b
x过点 P(2，－5)，所以 4a＋b
2＝－5.①
又 y′＝2ax－ b
x2，且曲线在点 P(2，－5)处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，所以 4a－b
4＝－7
2.②
由①②解得{a＝－1，
b＝－2. 所以 a＋b＝－3.
【答案】 －3
6．(2013·北京，18，13 分，中)设 L 为曲线 C：y＝ln x
x 在点(1，0)处的切线．
(1)求 L 的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方．
解：(1)设 f(x)＝ln x
x ，则 f ′(x)＝1－ln x
x2 .
所以切线的斜率 k＝f ′(1)＝1，所以 L 的方程为 y＝x－1.
(2)证明：令 g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)＞0(∀x＞0，x≠
1)．
g(x)满足 g(1)＝0，且 g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋ln x
x2 .
当 0＜x＜1 时，x2－1＜0，ln x＜0，
所以 g′(x)＜0，故 g(x)单调递减；
当 x＞1 时，x2－1＞0，ln x＞0，
所以 g′(x)＞0，故 g(x)单调递增．
所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．
考向 1 导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝C(C 为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a>0)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝ 1
xln a(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝1
x
2.运算法则
(1)导数的运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[f（x）
g（x）]′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）
[g（x）]2 (g(x)≠0)．
(2)复合函数的求导法则
y＝f(u(x))的导数为 y′x＝y′u·u′x.
(1)分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导，
做到不重不漏．
(2)特别要注意的是中间变量的系数，避免出现(cos 2x)′＝－sin 2x 的错误．
(1)(2014·大纲全国，7)曲线 y＝xex－1 在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
(2)(2015·浙江温州高三月考，5)已知函数 f(x)的导函数 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则 f′(1)＝( )
A．－e B．－1 C．1 D．e
(3)(2013·江西，13)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝________．
【解析】 (1)∵y′＝x′·ex－1＋x·(ex－1)′＝(1＋x)ex－1，
∴曲线在点(1，1)处的切线斜率为 y′|x＝1＝2.故选 C.
(2)∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋1
x
，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即 f′(1)＝－1.
(3)令 t＝ex，故 x＝ln t，∴f(t)＝ln t＋t，即 f(x)＝ln x＋x，∴f′(x)＝1
x＋1，∴f′(1)＝2.
【答案】 (1)C (2)B (3)2
【点拨】 解题(2)时注意弄清 f′(1)为常数而非变量；解题(3)时先换元求解析式，然后再求导．
导数运算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，再求导．
(2)方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
⑥复合函数：由外向内，层层求导．
要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记混公式法则．
(2015·江西九江月考，15)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f′(x)存在，且导数 f′(x)在
D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导数，记为 f″(x)＝[f′(x)]′，若 f″(x)<0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D
上为凸函数．以下四个函数在(0，
π
2 )上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．
①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
【解析】 由①知，f′(x)＝cos x－sin x，
则 f″(x)＝－sin x－cos x
＝－ 2sin(x＋
π
4 )<0 在区间(0，
π
2 )上恒成立；由②知，f′(x)＝1
x
－2(x>0)，则 f″(x)＝－ 1
x2<0 在区间
(0，
π
2 )上恒成立；由③知，f′(x)＝－3x2＋2，则 f″(x)＝－6x<0 在区间(0，
π
2 )上恒成立．故①②③中的
函数为凸函数．由④知，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)>0 在区间(0，
π
2 )上恒成立，故④中
的函数不是凸函数．
【答案】 ①②③
考向 2 导数的几何意义及其应用
导数的几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速
度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f ′(x0)·(x－x0)．
“过某点”与“在某点”的区别：曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”
的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点．
(1)(2014·课标Ⅱ，8)设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(2015·山东威海质检，7)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，
则直线 l 的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
(3)(2014·江西，13)若曲线 y＝e －x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是
________．
(4)(2015·河南郑州模拟，12)已知点 P 在曲线 y＝ 4
ex＋1
上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α
的取值范围是________．
【解析】 (1)y′＝a－ 1
x＋1
，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，∴a＝3.
(2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，
∴设切点为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴{y0＝x0ln x0，
y0＋1＝（1＋ln x0）x0，
解得 x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.故选 B.
(3)设 P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝eln 2＝2，∴点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(4)∵y＝ 4
ex＋1
，
∴y′＝ －4ex
（ex＋1）2＝ －4ex
e2x＋2ex＋1
＝ －4
ex＋ 1
ex＋2
.
∵ex>0，∴ex＋ 1
ex≥2，
∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0)．
又 α∈[0，π)，∴α∈[3π
4 ，π).
【答案】 (1)D (2)B (3)(－ln 2，2) (4)[3π
4 ，π)
【点拨】 解题(1)时注意弄清点(0，0)在曲线上；解题(2)时注意弄清过曲线“在某点”和“过某点”
的曲线的切线的区别；解题(3)的关键是弄清曲线在点 P 处的导数与直线斜率之间的关系；解题(4)时注意
正切函数在[0，
π
2 )∪(π
2 ，π)的图象与其正切值之间的对应关系．
与导数几何意义有关问题的常见类型及解题
策略
(1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：
①求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率；
②由点斜式求得切线方程为 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)已知斜率求切点：已知斜率 k，求切点(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k.
(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函
数的单调性解决．
(2015·河北石家庄一模，14)已知点 P 为曲线 C：y＝x 2＋2x＋3 上的点，且曲线 C 在点 P
处切线倾斜角的取值范围为[0，
π
4 ]，则点 P 横坐标的取值范围是________．
【解析】 设 P(x0，y0)，P 点处切线倾斜角为 α，则 0≤tan α≤1，
由 f(x)＝x2＋2x＋3，得 f′(x)＝2x＋2，
令 0≤2x0＋2≤1，得－1≤x0≤－1
2.
【答案】 [－1，－1
2]
1．(2015·江西赣州高三期末，5)已知 t 为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－t)且 f′(－1)＝0，则 t 等于( )
A．0 B．－1 C.
1
2 D．2
【答案】 C 依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即 t＝
1
2.
2．(2014·河南平顶山模拟，8)点 P 是曲线 x 2－y－ln x＝0 上的任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的
最小距离为( )
A．1 B.
3
2 C.
5
2 D. 2
【答案】 D 将 x2－y－ln x＝0 变形为 y＝x2－ln x(x>0)，则 y′＝2x－1
x.令 y′＝1，则 x＝1 或 x＝－1
2
(舍)，可知函数 y＝x2－ln x 的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x＝1，纵坐标为 y＝1.故切线方程为 x－y＝
0.则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离即切线方程 x－y＝0 与 y＝x－2 的两平行线间的距离，d＝|0＋2|
2
＝
2.
方法点拨：解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离．
3．(2015·云南昆明一中调研，9)若曲线 f(x)＝acos x 与曲线 g(x)＝x 2＋bx＋1 在交点(0，m)处有公切
线，则 a＋b＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】 C 依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有 f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋
b，故 b＝0，又有 m＝f(0)＝g(0)，则 m＝a＝1，因此 a＋b＝1，选 C.
4．(2015·山西大同质检，7)已知 a 为常数，若曲线 y＝ax2＋3x－ln x 存在与直线 x＋y－1＝0 垂直的
切线，则实数 a 的取值范围是( )
A.[－1
2，＋∞) B.(－∞，－1
2]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
【答案】 A 由题意知曲线上存在某点的导数为 1，所以 y′＝2ax＋3－1
x＝1 有正根，即 2ax2＋2x－
1＝0 有正根．当 a≥0 时，显然满足题意；当 a<0 时，需满足 Δ≥0，解得－1
2≤a<0.综上，a≥－1
2.
5．(2015·山东济宁二模，6)若曲线 y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为 k，若 k 的最小值为
4，则此时该切点的坐标为( )
A．(1，1) B．(2，3)
C．(3，1) D．(1，4)
【答案】 A y＝x2＋aln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知 y′＝2x＋a
x≥2 2a＝4，即 a＝
2，当且仅当 x＝1 时等号成立，代入曲线方程得 y＝1，故所求的切点坐标是(1，1)．
6．(2015·河南新乡质检，12)过点 A(2，1)作曲线 f(x)＝x3－3x 的切线最多有( )
A．3 条 B．2 条 C．1 条 D．0 条
【答案】 A 由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x30－3x0)，那么切线的斜率为 k＝3x20－3，
利用点斜式方程可知切线方程为 y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)，将点 A(2，1)代入可得关于 x0 的一元三次
方程 2x30－6x20＋5＝0.令 y＝2x 30－6x20＋5，则 y′＝6x 20－12x0.由 y′＝0 得 x 0＝0 或 x0＝2.当 x0＝0 时，y＝
5>0；x0＝2 时，y＝－3<0.所以方程 2x30－6x20＋5＝0 有 3 个解．故过点 A(2，1)作曲线 f(x)＝x3－3x 的切
线最多有 3 条，故选 A.
方法点拨：曲线 y＝f(x)过点(x0，y0)(点不在曲线 y＝f(x)上)的切线方程的求解步骤：
(1)设出切点坐标 P′(x1，f(x1))；
(2)写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)；
(3)将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1；
(4)将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程．
7．(2015·广东惠州质检，11)曲线 y＝－5ex＋3 在点(0，－2)处的切线方程为________．
【解析】 由 y＝－5ex＋3 得，y′＝－5ex，所以切线的斜率 k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为 y＋2＝
－5(x－0)，即 5x＋y＋2＝0.
【答案】 5x＋y＋2＝0
8．(2014·湖北武汉三模，14)已知曲线 f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线 x＝1 交于点 P，设曲线 y＝f(x)在点 P
处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn，则 log2 015x1＋log2 015x2＋…＋log2 015x2 014 的值为________．
【解析】 f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点 P(1，1)处的切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)，令 y＝
0，得 x＝1－ 1
n＋1
＝ n
n＋1
，即 xn＝ n
n＋1
，
∴x1·x2·…·x2 014＝1
2×2
3×3
4×…×2 013
2 014×2 014
2 015
＝ 1
2 015，
则 log2 015x1＋log2 015x2＋…＋log2 015x2 014＝log2 015(x1·x2·…·x2 014)＝log2 015
1
2 015＝－1.
【答案】 －1
9．(2015·河北唐山一中月考，20，12 分)已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12 和直
线 m：y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0.
(1)求 a 的值；
(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是曲线 y＝g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；
如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得 f ′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0，9)，若直线 m 是曲线 y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋
6x0＋12)．
∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切线方程为 y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0，9)代入切线方程，解得 x0＝±1.
当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；
当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12x＋9.
由(1)知 f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由 f′(x)＝0 得－6x2＋6x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.
在 x＝－1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝－18；
在 x＝2 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝9，
∴y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线是 y＝9.
②由 f ′(x)＝12 得－6x2＋6x＋12＝12，
解得 x＝0 或 x＝1.
在 x＝0 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－11；
在 x＝1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－10，
∴y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线不是 y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.
1．(2015·课标Ⅱ，12，难)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x＞0 时，xf′(x)－
f(x)＜0，则使得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
【答案】 A 设 h(x)＝f（x）
x .∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴h(－x)＝f（－x）
－x
＝f（x）
x
＝h(x)．
∴h(x)是偶函数．
∵xf′(x)－f(x)＜0，
∴h′(x)＝(f（x）
x )′＝xf′（x）－f（x）
x2 ＜0.
∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，且 h(±1)＝0，如图所示，
可知满足 f(x)＞0 的 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
思路点拨：构造函数 h(x)＝f（x）
x
，并判断其奇偶性和单调性，最后数形结合求解不等式．
2．(2015·课标Ⅰ，12，难)设函数 f(x)＝e x(2x－1)－ax＋a，其中 a<1，若存在唯一的整数 x 0 使得
f(x0)<0，则 a 的取值范围是( )
A.[－ 3
2e，1) B.[－ 3
2e，
3
4)
C.[ 3
2e，
3
4) D.[ 3
2e，1)
【答案】 D 设 g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题意知存在唯一的整数 x0，使得 g(x0)在直线 y＝ax
－a 的下方．因为 g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当 x＜－1
2时，g′(x)＜0；当 x＞－1
2时，g′(x)＞0.所以当 x＝－
1
2时，[g(x)]min＝－2e－1
2；当 x＝0 时，g(0)＝－1；当 x＝1 时，g(1)＝e＞0.又直线 y＝ax－a 恒过点(1，0)
且斜率为 a，故－a＞g(0)＝－1，且 g(－1)＝－3e－1≥－a－a，
解得 3
2e≤a＜1，故选 D.
3．(2015·山东，21，14 分，难)设函数 f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中 a∈R.
(1)讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由；
(2)若∀x>0，f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围．
解：(1)由题意知，函数 f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ 1
x＋1
＋a(2x－1)＝2ax2＋ax－a＋1
x＋1
，
令 g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．
(i)当 a＝0 时，g(x)＝1，此时 f′(x)＞0，函数 f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；
(ii)当 a＞0 时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．
①当 0＜a≤8
9时，Δ≤0，g(x)≥0，
f′(x)≥0，函数 f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；
②当 a＞8
9时，Δ＞0，
设方程 2ax2＋ax－a＋1＝0 的两根为 x1，x2(x1＜x2)，
因为 x1＋x2＝－1
2，
所以 x1＜－1
4，x2＞－1
4，
由 g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－1
4.
所以当 x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增；
当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减；
当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增．
所以函数有两个极值点．
(iii)当 a＜0 时，Δ＞0，
由 g(－1)＝1＞0，可得 x1＜－1，
当 x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增；
当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减．
所以函数有一个极值点．
综上所述，
当 a＜0 时，函数 f(x)有一个极值点；
当 0≤a≤8
9时，函数 f(x)无极值点；
当 a＞8
9时，函数 f(x)有两个极值点．
(2)由(1)知，
(ⅰ)当 0≤a≤8
9时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为 f(0)＝0，
所以 x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意；
(ⅱ)当8
9＜a≤1 时，由 g(0)≥0，得 x2≤0，
所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝0，所以 x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意；
(ⅲ)当 a＞1 时，由 g(0)＜0，可得 x2＞0.
所以 x∈(0，x2)时，函数 f(x)单调递减；
因为 f(0)＝0，
所以 x∈(0，x2)时，f(x)＜0，不合题意；
(ⅳ)当 a＜0 时，设 h(x)＝x－ln(x＋1)．
因为 x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－ 1
x＋1
＝ x
x＋1
＞0，
所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因此当 x∈(0，＋∞)时，h(x)＞h(0)＝0，
即 ln(x＋1)＜x.
可得 f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x.
当 x＞1－1
a时，ax2＋(1－a)x＜0.
此时 f(x)＜0，不合题意．
综上所述，a 的取值范围是[0，1]．
4．(2015·课标Ⅱ，21，12 分，难)设函数 f(x)＝emx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
(2)若对于任意 x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求 m 的取值范围．
解：(1)证明：f′(x)＝m(emx－1)＋2x.
若 m≥0，则当 x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；
当 x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.
若 m<0，则当 x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；
当 x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)由(1)知，对任意的 m，f(x)在[－1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故 f(x)在 x＝0 处取得最小
值．所以对于任意 x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1 的充要条件是{f（1）－f（0） ≤ e－1，
f（－1）－f（0） ≤ e－1，
即{em－m ≤ e－1，
e－m＋m ≤ e－1.①
设函数 g(t)＝et－t－e＋1，
则 g′(t)＝et－1.
当 t<0 时，g′(t)<0；
当 t>0 时，g′(t)>0.
故 g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
又 g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，
故当 t∈[－1，1]时，g(t)≤0.
当 m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；
当 m>1 时，由 g(t)的单调性得，g(m)>0，即 em－m>e－1；
当 m<－1 时，g(－m)>0，即 e－m＋m>e－1.
综上，m 的取值范围是[－1，1]．
5．(2015·课标Ⅰ，21，12 分，难)已知函数 f(x)＝x3＋ax＋1
4，g(x)＝－ln x.
(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线；
(2)用 min(m，n)表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论 h(x)零点的个数．
解：(1)f ′(x)＝3x2＋a.设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0，0)，则 f(x0)＝0，f′(x0)＝0，即{x＋ax0＋1
4
＝0，
3x＋a＝0.
解得 x0＝1
2，a＝－3
4.
因此，当 a＝－3
4时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线．
(2)当 x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，从而 h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故 h(x)在(1，＋∞)无零
点．
当 x＝1 时，若 a≥－ 5
4，则 f(1)＝a＋ 5
4≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故 x＝1 是 h(x)的零
点．若 a<－5
4，则 f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，故 x＝1 不是 h(x)的零点．
当 x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0.所以只需考虑 f(x)在(0，1)的零点个数．
(ⅰ)若 a≤－3 或 a≥0，则 f′(x)＝3x2＋a 在(0，1)无零点，故 f(x)在(0，1)单调．而 f(0)＝1
4，f(1)＝a＋
5
4，所以当 a≤－3 时，f(x)在(0，1)有一个零点；当 a≥0 时，f(x)在(0，1)没有零点．
(ⅱ)若－30，即－3
4－3
4或 a<－5
4时，h(x)有一个零点；当 a＝－3
4或 a＝－5
4时，h(x)有两个零点；当－5
40.
∵(1－x)f′(x)>0，
∴f′(x)>0，即 f(x)在(－∞，－2)上是增函数．
②当－20.
∵(1－x)f′(x)<0，
∴f′(x)<0，即 f(x)在(－2，1)上是减函数．
③当 10，∴f′(x)<0，
即 f(x)在(1，2)上是减函数．
④当 x>2 时，1－x<0.
∵(1－x)f′(x)<0，
∴f′(x)>0，即 f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
综上，f(－2)为极大值，f(2)为极小值．
3．(2014·陕西，10，中)如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10 千米
处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝ 1
125x3－3
5x B．y＝ 2
125x3－4
5x
C．y＝ 3
125x3－x D．y＝－ 3
125x3＋1
5x
【答案】 A 根据题意，知所求函数在(－5，5)上单调递减．对于 A，y＝ 1
125x3－3
5x，∴y′＝ 3
125x2
－3
5＝ 3
125(x2－25)，∴∀x∈(－5，5)，y′<0，∴y＝ 1
125x3－3
5x 在(－5，5)内为减函数，同理可验证 B，C，
D 均不满足此条件，故选 A.
4．(2014·课标Ⅰ，11，难)已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0>0，则 a 的
取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
【答案】 C 方法一：由已知可知 a≠0.∵f′(x)＝3ax2－6x，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2
a.
①当 a>0 时，函数 f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，
2
a)上单调递减，在(2
a，＋∞)上单调递增，且
f(0)＝1>0，故 f(x)有小于 0 的零点，不合题意．
②当 a<0 时，函数 f(x)在(－∞，
2
a)上单调递减，在(2
a，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，要
使 x0>0 且唯一，只需 f (2
a )>0，即 a2>4，∴a<－2，故选 C.
方法二：f ′(x)＝3ax2－6x，
当 a＝3 时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，2
3)时，f′(x)<0；x∈(2
3，＋∞)时，f′(x)>0，注意 f(0)＝1，
f (2
3 )＝5
9>0，则 f(x)的大致图象如图所示．
不符合题意，排除 A，B.
当 a＝－4
3时，f′(x)＝－4x2－6x
＝－2x(2x＋3)，
则当 x∈(－∞，－3
2)时，f′(x)<0，x∈(－3
2，0)时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意 f(0)＝
1，f (－3
2 )＝－5
4，则 f(x)的大致图象如图所示．
不符合题意，排除 D.
5．(2014·课标Ⅱ，12，难)设函数 f(x)＝ 3sin
πx
m .若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x20＋[f(x0)]2(1
2 ) 2
，∴m2－3>
m2
4 ，
∴m2>4，∴m>2 或 m<－2，故选 C.
6．(2013·重庆，17，13 分，中)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的
切线与 y 轴相交于点(0，6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因为 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故 f ′(x)＝2a(x－5)＋6
x.
令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－
8a)(x－1)．由点(0，6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝1
2.
(2)由(1)知，f(x)＝1
2(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋6
x＝（x－2）（x－3）
x .
令 f′(x)＝0，解得 x1＝2，x2＝3.
当 03 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当 20，
所以当 x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数 y＝f(x)单调递减；
当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数 y＝f(x)单调递增．
所以 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，k≤0 时，函数 f(x)在(0，2)内单调递减，
故 f(x)在(0，2)内不存在极值点；
当 k>0 时，设函数 g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．
因为 g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当 00，y＝g(x)单调递增．
故 f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．
当 k>1 时，
得 x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数 y＝g(x)单调递减；
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数 y＝g(x)单调递增．
所以函数 y＝g(x)的最小值为 g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数 f(x)在(0，2)内存在两个极值点，
当且仅当{g（0） > 0，
g（ln k） < 0，
g（2） > 0，
0 < ln k < 2.
解得 e0 时，g(x)>0，求 b 的最大值；
(3)已知 1.414 2< 2<1.414 3，估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001)．
解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号当且仅当 x＝0 时成立．
所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)
＝e2x－e－2x－4b·(ex－e－x)＋(8b－4)x，
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]
＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
①当 b≤2 时，g′(x)≥0，等号当且仅当 x＝0 时成立，
所以 g(x)在(－∞，＋∞)单调递增，而 g(0)＝0，所以对任意 x>0，g(x)>0.
②当 b>2 时，若 x 满足 20，ln 2>
8 2－3
12 >0.692 8；
当 b＝3 2
4 ＋1 时，
ln(b－1＋ b2－2b)＝ln 2.
g(ln 2)＝－3
2－2 2＋(3 2＋2)ln 2<0，
ln 2<18＋ 2
28 <0.693 4.
所以 ln 2 的近似值为 0.693.
思路点拨：(1)求导后利用基本不等式可得导数非负恒成立；(2)求导后直接对 b 分类讨论，研究函数
g(x)的符号．
考向 1 利用导数研究函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
在区间（a，b）
内f′（x） {大于零→f（x）在（a，b）内单调递增
等于零 →f（x）在（a，b）内为常函数
小于零→f（x）在（a，b）内单调递减
求函数 f(x)的单调区间，也是求不等式 f ′(x)>0(或 f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域
而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．
2．用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0(或 f′(x)<0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；
(2)f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0 不恒成立)．
由函数 f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得 f ′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是 f
′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．
(2014·江西，18，12 分)已知函数 f(x)＝(x2＋bx＋b) 1－2x(b∈R)．
(1)当 b＝4 时，求 f(x)的极值；
(2)若 f(x)在区间(0，
1
3)上单调递增，求 b 的取值范围．
【解析】 (1)由题意易知 f(x)的定义域为(－∞，
1
2).
当 b＝4 时，f′(x)＝－5x（x＋2）
1－2x
，
由 f′(x)＝0 得 x＝－2 或 x＝0.
当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当 x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x∈(0，
1
2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故 f(x)在 x＝－2 处取极小值 f(－2)＝0，在 x＝0 处取极大
值 f(0)＝4.
(2)f′(x)＝－x[5x＋（3b－2）]
1－2x
，因为当 x∈(0，
1
3)时， －x
1－2x
<0，依题意，当 x∈(0，
1
3)时，有 5x＋(3b
－2)≤0，从而5
3＋(3b－2)≤0.
所以 b 的取值范围为(－∞，
1
9].
【点拨】 解题(1)的关键是准确求出函数 f(x)的导数；解题(2)时易漏掉“＝”，即易得错误结果
(－∞，
1
9).
1.利用导数求函数的单调区间的两个方法
(1)方法一：①确定函数 y＝f(x)的定义域；
②求导数 y′＝f′(x)；
③解不等式 f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式 f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)方法二：①确定函数 y＝f(x)的定义域；
②求导数 y′＝f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；
③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，
然后用这些点把函数 f(x)的定义域分成若干个小区间；
④确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
2．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区
间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 f′(x)>0(或 f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样
就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
(3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，令 I 是其单调
区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
(2015·湖北荆州质检，18，12 分)设函数 f(x)＝1
3x3－a
2x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))
处的切线方程为 y＝1.
(1)求 b，c 的值；
(2)若 a>0，求函数 f(x)的单调区间；
(3)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围．
解：(1)f ′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得{f（0）＝1，
f′（0）＝0，即{c＝1，
b＝0.
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，
依题意，存在 x∈(－2，－1)，使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立，
即 x∈(－2，－1)时，
a<(x＋2
x)
max
＝－2 2即可，
所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2 2)．
考向 2 利用导数研究函数的极值和最值
1．判断函数极值的方法
一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，
(1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值；
(2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．
“极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，则 x1 即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2 处取
得极小值，则 x2 为极小值点，极小值为 f(x2)．
2．求可导函数 f(x)的极值的步骤
(1)求导函数 f ′(x)；
(2)求方程 f ′(x)＝0 的根；
(3)检验 f ′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数 y＝f(x)在这
个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数 y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成．
f′(x0)＝0 是 x0 为 f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值
点．
3．函数的最值
在闭区间[a，b]上的连续函数 y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间[a，b]上的连续函数
y＝f(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．
极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未
必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
(2014·安徽，18，12 分)设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a>0.
(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当 x∈[0，1]时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值．
【思路导引】 (1)利用导数运算公式求出函数 f(x)的导数，求出导数为 0 时对应方程的根及由导数
值的符号判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性及分类讨论思想求最值．
【解析】 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令 f′(x)＝0，得 x1＝－1－ 4＋3a
3
，x2＝－1＋ 4＋3a
3
，x1x2 时，f′(x)<0；当 x10.
故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．
(2)因为 a>0，所以 x1<0，x2>0.
①当 a≥4 时，x2≥1.
由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增．
所以 f(x)在 x＝0 和 x＝1 处分别取得最小值和最大值．
②当 00)，
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1.
∴y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.
(2)由 f ′(x)＝1－a
x＝x－a
x (x>0)可知：
①当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值．
②当 a>0 时，由 f′(x)＝0 解得 x＝a.
∵x∈(0，a)时，f′(x)<0；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极
大值．
考向 3 利用导数解决实际问题
利用导数解决实际应用问题的种类及方法
(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可；
(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质；
(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．
(2011·山东，21，12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其
中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π
3 立方米，且 l≥2r.假设
该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方
米建造费用为 c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为 y 千元．
(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的 r.
【思路导引】 构建 y 与 r 的关系 ― ― →利用导数
确定 y 的极值―→y 的最值―→回归实际问题得解．
【解析】 (1)设容器的容积为 V，由题意知 V＝πr2l＋4
3πr3，又 V＝80π
3 ，故 l＝
V－4
3πr3
πr2 ＝ 80
3r2－4
3
r＝4
3(20
r2－r).
由于 l≥2r，因此4
3(20
r2 －r)≥2r，
整理得40
r2≥5r，故 0＜r≤2.
所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×4
3(20
r2－r)×3＋4πr2c.
因此 y＝4π(c－2)r2＋160π
r
，0＜r≤2.
(2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－160π
r2
＝8π（c－2）
r2 (r3－ 20
c－2)，0＜r＜2.
由于 c＞3，所以 c－2＞0，
当 r3－ 20
c－2
＝0 时，r＝3 20
c－2.
令3 20
c－2
＝m，则 m＞0，
所以 y′＝8π（c－2）
r2 (r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当 0＜m＜2，即 c＞9
2时，
当 r＝m 时，y′＝0；
当 r∈(0，m)时，y′＜0；
当 r∈(m，2)时，y′＞0.
所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
②当 m≥2，即 3＜c≤9
2时，
当 r∈(0，2)时，y′＜0，函数单调递减，
所以 r＝2 是函数 y 的最小值点．
综合所述，当 3＜c≤9
2时，建造费用最小时 r＝2；
当 c＞9
2时，建造费用最小时 r＝3 20
c－2.
【点拨】 解答本题的关键是设出未知量，列出函数关系式，然后分类讨论，利用导数求最值，还
要注意函数定义域的范围．
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关
系 y＝f(x)，根据实际意义确定定义域；
(2)求函数 y＝f(x)的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0 得出定义域内的实根，确定极值点；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；
(4)还原到原实际问题中作答．
(2011·福建，18，13 分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：
千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a
x－3
＋10(x－6)2，其中 30，函数 f(x)在(3，4)上递增；
当 40 时，x2ln 2 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当 x＝ln 2 时，f(x)取得极小值，且极小值为 f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．
(2)证明：令 g(x)＝ex－x2，则 g′(x)＝ex－2x，
由(1)得 g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，
故 g(x)在 R 上单调递增．又 g(0)＝1>0，
因此，当 x>0 时，g(x)>g(0)>0，即 x20 时，x20 时，x21，要使不等式 x2kx2 成立．
而要使 ex>kx2 成立，则只要 x>ln(kx2)，只要 x>2ln x＋ln k 成立．
令 h(x)＝x－2ln x－ln k，则 h′(x)＝1－2
x＝x－2
x .
所以当 x>2 时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．
取 x0＝16k>16，所以 h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，
又 h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k
＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，
易知 k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以 h(x0)>0.
即存在 x0＝16
c ，当 x∈(x0，＋∞)时，恒有 x20 时，ex>x2，
所以 ex＝e
x
2
·e
x
2
>(x
2 ) 2
(x
2 ) 2
，
当 x>x0 时，ex>(x
2 ) 2
(x
2 ) 2
>
4
c(x
2 ) 2
＝1
cx2，
因此，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x∈(x0，＋∞)时，恒有 x20 时，x2x0 时，有 1
cx2<
1
3x31.
解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexln x＋a
x·ex－ b
x2ex－1＋b
xex－1.
由题意可得 f(1)＝2，f′(1)＝e.
故 a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋2
xex－1，从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe－x－2
e.
设函数 g(x)＝xln x，则 g′(x)＝1＋ln x.
所以当 x∈(0，
1
e)时，g′(x)<0；当 x∈(1
e，＋∞)时，g′(x)>0.
故 g(x)在(0，
1
e)上单调递减，在(1
e，＋∞)上单调递增，从而 g(x)在(0，＋∞)上的最小值为 g(1
e )＝－
1
e.
设函数 h(x)＝xe－x－2
e，
即 h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当 x∈(0，1)时，h′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，故 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋
∞)上单调递减，从而 h(x)在(0，＋∞)的最大值为 h(1)＝－1
e.
综上，当 x>0 时，g(x)>h(x)，
即 f(x)>1.
考向 5 利用导数研究函数的零点
导数在研究函数零点中的作用
(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值
等．
(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，
也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
(2014·四川，21，14 分)已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718 28…
为自然对数的底数．
(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若 f(1)＝0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，求 a 的取值范围．
【思路导引】 (1)求出 f(x)的导数得 g(x)，再求出 g(x)的导数，对它进行讨论，从而判断 g(x)的单调
性，求出 g(x)的最小值；(2)利用等价转换，将函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，转化为 g(x)在(0，1)上至
少有两个零点．
【解析】 (1)因为 f(x)＝ex－ax2－bx－1，
所以 g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以 g′(x)＝ex－2a.
因此，当 x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当 a≤1
2时，g′(x)≥0，所以 g(x)在[0，1]上单调递增．
因此 g(x)在[0，1]上的最小值是 g(0)＝1－b；
当 a≥e
2时，g′(x)≤0，所以 g(x)在[0，1]上单调递减，
因此 g(x)在[0，1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b；
当1
20，g(1)＝e－2a－b>0.
由 f(1)＝0 有 a＋b＝e－1<2，有 g(0)＝1－b＝a－e＋2>0，g(1)＝e－2a－b＝1－a>0.
解得 e－20，g(1)＝1－a>0，
故此时 g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点 x1 和 x2.
由此可知 f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以 f(x1)>f(0)＝0，f(x2)0；
当 1 0，
g(1
e )＝m－2－ 1
e2 ≤ 0，
解得 10)的图象在(0，2π)上恰有一个极大值和一个极
小值，则 ω 的取值范围是( )
A.(3
4，1] B.(1，
5
4]
C.(3
4，
4
5] D.(3
4，
5
4]
【答案】 D ∵函数 f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象在(0，2π)上恰有一个极大值和一个极小值，∴3π
2
<2πω≤5π
2 ，∴3
4<ω≤5
4.
3．(2015·云南昆明模拟，11)已知函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)．若 f(x)满足：(x－1)[f′(x)－
f(x)]>0，f(2－x)＝e2－2xf(x)，则下列判断一定正确的是( )
A．f(1)ef(0)
C．f(3)>e3f(0) D．f(4)F(－1)>F(0)，即 e 2f(－2)>ef(－1)>f(0)．又 f(4)＝e 6f(－2)，f(3)＝
e4f(－1)，所以 f(4)>e4f(0)，f(3)>e3f(0)，故选 C.
4．(2015·河北衡水中学调研，11)已知函数 f(x)＝ x3
3 ＋mx2＋（m＋n）x＋1
2
的两个极值点分别为 x1，
x2，且 x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)，点 P(m，n)表示的平面区域为 D，若函数 y＝loga(x＋4)(a>1)的图象上
存在区域 D 内的点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】 A f ′(x)＝x2＋mx＋m＋n
2
＝0 的两根为 x1，x2，且 x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)，
则{f′（0） > 0，
f′（1） < 0 ⇔{m＋n
2 > 0，
1＋m＋m＋n
2 < 0，
即{m＋n > 0，
3m＋n＋2 < 0，
作出区域 D，如图阴影部分，
可得 loga(－1＋4)>1，所以 10，则函数 F(x)＝xf(x)＋1
x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B ∵x≠0 时，f′(x)＋f（x）
x >0，
∴xf′（x）＋f（x）
x >0，即（xf（x））′
x >0.①
当 x>0 时，由①式知(xf(x))′>0，
∴U(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 U(0)＝0·f(0)＝0，
∴U(x)＝xf(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立．
又1
x>0，∴F(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，
∴F(x)在(0，＋∞)上无零点．
当 x<0 时，(xf(x))′<0，
∴U(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，
且 U(0)＝0·f(0)＝0，
∴U(x)＝xf(x)>0 在(－∞，0)上恒成立，
∴F(x)＝xf(x)＋1
x在(－∞，0)上为减函数．
当 x→0 时，xf(x)→0，∴F(x)≈1
x<0，
当 x→－∞时，1
x→0，∴F(x)≈xf(x)>0，
∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点．
综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选 B.
6．(2014·山东青岛模拟，14)已知函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，则 a 的取值范围是____________．
【解析】 由原函数有零点，可转化为方程 ex－2x＋a＝0 有解，即方程 a＝2x－ex 有解．
令函数 g(x)＝2x－ex，则 g′(x)＝2－ex.令 g′(x)＞0，得 x＜ln 2，令 g(x)′<0，得 x>ln 2.所以 g(x)在(－
∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln 2)＝2ln 2－2.因为 a 的取值
范围就是函数 g(x)的值域，所以 a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．
【答案】 (－∞，2ln 2－2]
7．(2014·陕西西安模拟，20，12 分)已知函数 f(x)＝ x＋a
x2＋3a2(a≠0，a∈R)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)当 a＝1 时，若对任意 x1，x2∈[－3，＋∞)，有 f(x1)－f(x2)≤m 成立，求实数 m 的最小值．
解：f′(x)＝－（x－a）（x＋3a）
（x2＋3a2）2 .
令 f′(x)＝0，解得 x＝a 或 x＝－3a.
(1)当 a＞0 时，f′(x)，f(x)随着 x 的变化如下表：
x (－∞，－3a) －3a (－3a，a) a (a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 极小值 极大值
函数 f(x)的单调递增区间是(－3a，a)，函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，－3a)，(a，＋∞)．
当 a＜0 时，f′(x)，f(x)随着 x 的变化如下表：
x (－∞，a) a (a，－3a) －3a (－3a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 极小值 极大值
函数 f(x)的单调递增区间是(a，－3a)，函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，a)，(－3a，＋∞)．
(2)当 a＝1 时，由(1)得 f(x)是(－3，1)上的增函数，是(1，＋∞)上的减函数．
又当 x＞1 时，f(x)＝x＋1
x2＋3
＞0，
所以 f(x)在[－3，＋∞)上的最小值为 f(－3)＝－1
6，最大值为 f(1)＝1
2.
所以对任意 x1，x2∈[－3，＋∞)，f(x1)－f(x2)≤f(1)－f(－3)＝2
3.
所以对任意 x1，x2∈[－3，＋∞)，使 f(x1)－f(x2)≤m 恒成立的实数 m 的最小值为2
3.
方法点拨：由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，当参数不宜进
行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数
范围的关键就是找到这样的不等式．
8．(2015·广东梅州质检，21，14 分)已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4(a∈R)，f′(x)是 f(x)的导函数．
(1)当 a＝2 时，对于任意的 m∈[－1，1]，n∈[－1，1]，求 f(m)＋f′(n)的最小值；
(2)若存在 x0∈(0，＋∞)，使 f(x0)>0，求 a 的取值范围．
解：(1)由题意得 f(x)＝－x3＋2x2－4，f′(x)＝－3x2＋4x.
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或4
3.
当 x 在[－1，1]上变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：
x －1 (－1，0) 0 (0，1) 1
f′(x) －7 － 0 ＋ 1
f(x) －1 －4 －3
∴对于 m∈[－1，1]，f(m)的最小值为 f(0)＝－4.
∵f′(x)＝－3x2＋4x 的对称轴为直线 x＝2
3，且抛物线开口向下，
∴对于 n∈[－1，1]，f′(n)的最小值为 f′(－1)＝－7.
∴f(m)＋f ′(n)的最小值为－11.
(2)∵f ′(x)＝－3x(x－2a
3 ).
①若 a≤0，当 x>0 时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又 f(0)＝－4，则当 x>0 时，f(x)<－4.
∴当 a≤0 时，不存在 x0>0，使 f(x0)>0.
②若 a>0，则当 00；
当 x>
2a
3 时，f′(x)<0.
从而 f(x)在(0，
2a
3 ]上单调递增，在[2a
3 ，＋∞)上单调递减，
∴当 x∈(0，＋∞)时，
f(x)max＝f (2a
3 )＝－8a3
27 ＋4a3
9 －4＝ 4
27a3－4.
根据题意，得4a3
27 －4>0，即 a3>27，解得 a>3.
综上，a 的取值范围是(3，＋∞)．
9．(2015·山东潍坊四县一区联考，21，12 分)已知函数 f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x，其中 a∈R.
(1)当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当 a>0 时，若 f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求 a 的取值范围；
(3)若∀x1，x2∈(0，＋∞)，且 x10)，f′(x)＝2x－3＋1
x＝2x2－3x＋1
x
，则 f(1)＝－2，f(1)＝0.
所以切线方程是 y＝－2.
(2)函数 f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．
当 a>0 时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋1
x＝2ax2－（a＋2）x＋1
x
＝（2x－1）（ax－1）
x (x>0)．
令 f′(x)＝0，得 x＝1
2或 x＝1
a.
①当 0<
1
a≤1，即 a≥1 时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以 f(x)在[1，e]上的最小值是 f(1)＝－2；
②当 1<
1
a0)．
①当 a＝0 时，g′(x)＝1
x>0，此时 g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当 a≠0 时，因为 x>0，依题意知，只要 2ax2－ax＋1≥0 在(0，＋∞)上恒成立．记 h(x)＝2ax2－ax
＋1，则抛物线过定点(0，1)，对称轴 x＝1
4.
故必须{a > 0，
Δ＝a2－8a ≤ 0，即 01)，则 a 的值是________．
【解析】 (1)S1＝Error!
2
1＝7
3，S2＝ln xError!
2
1＝ln 2，S3＝ex|21＝e2－e.由 ln 2＜1＜7
3，e2－e＝e(e
－1)＞e＞7
3，故 S2＜S1＜S3，选 B.
(2)令 ∫1
0
f(x)dx＝m，则 f(x)＝x2＋2m，所以 ∫1
0
f(x)dx＝∫1
0
(x2＋2m)dx＝Error!
1
0＝1
3＋2m＝m，解得 m＝
－1
3，故选 B.
(3)∫a
1(2x＋1
x)dx＝∫a
1
2xdx＋∫a
1
1
xdx＝x2Error!
a
1＋ln xError!
a
1＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
所以{a2－1＝3，
a＝2. 解得 a＝2.
【答案】 (1)B (2)B (3)2
【点拨】 解题(1)的关键是准确求出 S1，S2，S3 的值；解题(2)时要明确 ∫1
0
f(x)dx 是一个常数，故可
设 ∫1
0
f(x)dx＝m 后再求定积分；解题(3)时注意建立关于 a 的方程组求解．
1.求定积分的三种方法
(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．
(2)利用微积分基本定理求定积分．
(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积
分．例如，定积分 ∫1
0
1－x2dx 的几何意义是求单位圆面积的1
4，所以 ∫1
0
1－x2dx＝π
4 .
2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；
(4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；
(5)计算原始定积分的值．
(2015·陕西西安检测，17，12 分)已知 ∫a
b(2x＋1
x)dx＝3＋ln 2(a>b≥1)，求实数 a，b 的
值．
解：∵∫a
b(2x＋1
x)dx
＝(x2＋ln x)|a
b
＝a2＋ln a－b2－ln b
＝(a2－b2)＋ln
a
b＝3＋ln 2.
∴{a2－b2＝3，
a
b＝2， 解得{a＝2，
b＝1.
考向 2 利用定积分求平面图形的面积
求曲边梯形的面积的几种类型
在直角坐标系中，由曲线 f(x)，直线 x＝a，x＝b(a0，若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图形的面积为 a 2，则 a＝
________．
【解析】 (1)由{y＝4x，
y＝x3 得 x＝±2 或 x＝0，
所以两图象的交点坐标为(0，0)，(2，8)，(－2，－8)．
所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积 S＝∫2
0
(4x－x3)dx＝Error!＝4×1
2×4－1
4×16＝
8－4＝4，故选 D.
(2)由题意得 ∫a
0
xdx＝a2.又(2
3x
3
2
)′＝ x，∴Error!
a
0＝a2，即 2
3a
3
2
＝a2，∴a＝4
9.
【答案】 (1)D (2)
4
9
【点拨】 解题(1)(2)时要注意围成曲边图形的曲线的上下位置关系．
利用定积分求平面图形面积的步骤
(1)根据题意画出图形；
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；
(4)计算定积分得出答案．
(2015·北京东城区检测，13)如图，已知点 A(0，
1
4)，点 P(x0，y0)(x0>0)在曲线 y＝x2 上，若
阴影部分的面积与△OAP 的面积相等，则 x0＝________．
【解析】 S 阴影＝∫x00x2dx＝Error!
x0
0＝1
3x30，
又 S 阴影＝S△AOP，∴1
3x30＝1
2×1
4·x0，
∴x0＝
6
4 .
【答案】
6
4
1．(2015·福建宁德质检，5)定积分∫2
－2
|x2－2x|dx＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】 D ∫2
－2
|x2－2x|dx＝∫0
－2
(x2－2x)dx＋
∫2
0
(2x－x2)dx＝Error!0
－2＋
Error!
2
0＝8
3＋4＋4－8
3＝8.
2．(2015·河南开封诊断考试，5)若∫1
0
(x2＋mx)dx＝0，则实数 m 的值为( )
A．－1
3 B．－2
3 C．－1 D．－2
【答案】 B 由题意知，∫1
0
(x2＋mx)dx
＝Error!
1
0
＝1
3＋m
2＝0，得 m＝－2
3.
3．(2015·山西太原八校联考，7)已知(xln x)′＝ln x＋1，则
∫e
1
ln xdx＝( )
A．1 B．e C．e－1 D．e＋1
【答案】 A 由(xln x)′＝ln x＋1，联想到(xln x－x)′＝(ln x＋1)－1＝ln x，于是 ∫e
1
ln xd x＝(xln x－x)
|e
1 ＝(eln e－e)－(1×ln 1－1)＝1.
4．(2015·山东淄博一模，6)如图所示，曲线 y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0 围成的阴影部分的面积为
( )
A.∫2
0
|x2－1|dx
B.|∫2
0 （x2－1）dx|
C.∫2
0
(x2－1)dx
D.∫1
0
(x2－1)dx＋∫2
1
(1－x2)dx
【答案】 A 由曲线 y＝|x2－1|的性质，可得所求阴影部分的面积为∫2
0
|x2－1|dx，选 A.
5．(2015·湖南长沙模拟，7)如图，矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线 x
＝a(a∈(0，π))与 x 轴围成，向矩形 OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为1
4
，则 a 的值是( )
A.
7π
12 B.
2π
3 C.
3π
4 D.
5π
6
【答案】 B 由题意知，构成试验的全部区域是矩形 OACB，面积为 ax·
6
a＝6.记“向矩形 OABC 内
随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件 A，则构成事件 A 的区域即为阴影部分面积，
S＝Error!
a
0＝1－cos a，
由几何概型的概率计算公式得 P(A)＝1－cos a
6 ＝1
4
，所以 cos a＝－1
2.
又 a∈(0，π)，所以 a＝2π
3 .
6．(2015·河南郑州质检，15)∫1
0
－x2＋2xdx＝________．
【解析】 ∫1
0
－x2＋2xdx 表示
y＝ －x2＋2x与 x＝0，x＝1 及 y＝0 所围成的图形的面积．
由 y＝ －x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)．
又∵0≤x≤1，
∴y＝ －x2＋2x与 x＝0，x＝1 及 y＝0 所围成的图形为1
4个圆，其面积为π
4 .
∴∫1
0
－x2＋2xdx＝π
4 .
【答案】 π
4
7．(2014·广东汕头质检，12)设 a＝∫π
0
sin xdx，则曲线 y＝f(x)＝xax＋ax－2 在点(1，f(1))处的切线的
斜率为________．
【解析】 ∵a＝Error!
π
0＝2，
∴f(x)＝x·2x＋2x－2.
∴f′(x)＝2x＋x·2xln 2＋2.
∴曲线在点(1，f(1))处的切线的斜率
k＝f′(1)＝4＋2ln 2.
【答案】 4＋2ln 2
(时间：120 分钟__分数：150 分)
一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．(2015·广西柳州二模，5)函数 f(x)＝ln x
x 在点(x0，f(x0))处的切线平行于 x 轴，则 f(x0)等于( )
A．－1
e B.
1
e C.
1
e2 D．e2
【答案】 B 与 x 轴平行的切线，其斜率为 0，所以 f′(x0)＝
1
x0·x0－ln x0
x ＝1－ln x0
x ＝0，故 x0
＝e，∴f(x0)＝1
e.
2．(2015·河北衡水质检，7)已知实数 a，b，c，d 成等比数列，函数 y＝ln(x＋2)－x，当 x＝b 时，取
到极大值 c，则 ad 等于( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
【答案】 C y′＝ 1
x＋2
－1＝－x－1
x＋2
，由 y′＝0 得 x＝－1.又 f(－1)＝ln 1＋1＝1，所以 b＝－1，c＝
1，所以 ad＝bc＝－1.
3．(2013·北京，7)直线 l 过抛物线 C：x 2＝4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积
等于( )
A.
4
3 B．2 C.
8
3 D.
16 2
3
【答案】 C 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0，1)，故直线 l 的方程为 y＝1，该直线与抛物线在
第一象限的交点坐标为(2，1)．根据图形的对称性和定积分的几何意义可得，所求图形的面积是 2∫2
0(1－x2
4)
dx＝2Error!
2
0＝8
3.
4．(2015·山东临沂质检，8)若函数 f(x)＝2x2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单
调函数，则实数 k 的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.[1，
3
2)
C．[1，2) D.[3
2，2)
【答案】 B f′(x)＝4x－1
x＝（2x＋1）（2x－1）
x (x>0)，
令 f′(x)＝0，得 x＝1
2.又函数 f(x)在区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，故1
2∈(k－1，k＋1)且 k－1≥0，
解得 k∈[1，
3
2)，故选 B.
思路点拨：解答本题的关键是求出极值点 x0，根据 x0 与(k－1，k＋1)的关系求解．
5．(2015·安徽淮南二模，6)已知函数 y＝x3－3x＋c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c＝( )
A．－2 或 2 B．－9 或 3
C．－1 或 1 D．－3 或 1
【答案】 A ∵y′＝3x2－3，∴当 y′＝0 时，x＝±1.
则 x，y′，y 的变化情况如下表；
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y c＋2 c－2
因此，当函数图象与 x 轴恰有两个公共点时，必有 c＋2＝0 或 c－2＝0，∴c＝－2 或 c＝2.
6．(2015·河南洛阳质检，8)对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 1－x
f′（x）≤0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
【答案】 A 当 x<1 时，f′(x)<0，此时函数 f(x)递减；当 x>1 时，f′(x)>0，此时函数 f(x)递增，
即当 x＝1 时，函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值 f(1)，所以 f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则 f(0)＋f(2)>2f(1)，
故选 A.
7．(2014·河北石家庄模拟，8)若不等式 2xln x≥－x2＋ax－3 对 x∈(0，＋∞)恒成立，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
【答案】 B 2xln x≥－x 2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋ 3
x.设 h(x)＝2ln x＋x＋ 3
x(x＞0)，则 h′(x)＝
（x＋3）（x－1）
x2 .当 x∈(0，1)时，h′(x)＜0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数
h(x)单调递增，所以 h(x)min＝h(1)＝4.所以 a≤h(x)min＝4.
故 a 的取值范围是(－∞，4]．
8．(2015·陕西汉中质检，9)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数是 f′(x)，且函数 f(x)在 x＝－2 处取得
极小值，则函数 y＝xf′(x)的图象可能是( )
【答案】 C f(x)在 x＝－2 处取得极小值，即 x<－2，f′(x)<0；x>－2，f′(x)>0，那么 y＝xf′(x)过
点(0，0)及(－2，0)．当 x<－2 时，x<0，f′(x)<0，则 y>0；当－20，y<0；当 x>0
时，f′(x)>0，y>0，故 C 正确．
9．(2015·福建厦门质检，10)若函数 f(x)＝x3－3x 在(a，6－a2)上有最小值，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－ 5，1) B．[－ 5，1)
C．[－2，1) D．(－ 5，－2]
【答案】 C f ′(x)＝3x 2－3＝0，得 x＝±1，且 x＝1 为函数的极小值点，x＝－1 为函数的极大值
点．函数 f(x)在区间(a，6－a2)上，则函数 f(x)极小值点必在区间(a，6－a2)内，即实数 a 满足 a<1<6－a2
且 f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.
解 a<1<6－a2，得－ 50；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】 C ∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．由 f′(x)<0，得 10，得 x<1 或
x>3，
∴f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又 a0，y 极小值＝f(3)＝－abc<0，∴00.
又 x＝1，x＝3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的序号是②③.
11.(2015·山西大同模拟，9)已知函数 f(x)的定义域为[－3，＋∞)，且 f(6)＝2.f′(x)为 f(x)
的导函数，f′(x)的图象如图所示．若正数 a，b 满足 f(2a＋3b)<2，则b＋3
a－2
的取值范围是
( )
A.(－∞，－3
2)∪(3，＋∞)
B.(－9
2，3)
C.(－∞，－9
2)∪(3，＋∞)
D.(－3
2，3)
【答案】 A 由导函数的图象可以看出 f(x)在(－3，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，由 f(2a
＋3b)<2 可得 f(2a＋3b) 0，
b > 0，
2a＋3b < 6，
将此不等式组看作关于 a，b 的约束条件，
画出可行域如图所示，
结合图形，b＋3
a－2
表示连接点(2，－3)和可行域内一点(x，y)的直线的斜率，结合图形可得其取值范围
是(－∞，－3
2)∪(3，＋∞)．
思路点拨：本题根据已知条件找出 a，b 所满足的条件，画出区域，数形结合求解．
12．(2015·辽宁五校联考，12)设函数 f(x)＝ex(sin x－cos x)(0≤x≤2 012π)，则函数 f(x)的各极小值之
和为( )
A．－e2π（1－e2 012π）
1－e2π B．－e2π（1－e1 006π）
1－eπ
C．－e2π（1－e1 006π）
1－e2π D．－e2π（1－e2 010π）
1－e2π
【答案】 D f′(x)＝(ex)′(sin x－cos x)＋ex(sin x－cos x)′＝2exsin x，若 f′(x)<0，则 x∈(π＋2kπ，2π
＋2kπ)，k∈Z；若 f′(x)>0，则 x∈(2π＋2kπ，3π＋2kπ)，k∈Z.
所以当 x＝2π＋2kπ，k∈Z 时，f(x)取得极小值，其极小值为 f(2π＋2kπ)＝e 2kπ＋2π·[sin(2π＋2k
π)－cos(2π＋2kπ)]＝e2kπ＋2π×(0－1)＝－e2kπ＋2π，k∈Z.因为 0≤x≤2 012π，又在两个端点的函数值
不是极小值，所以 k∈[0，1 004]，所以函数 f(x)的各极小值构成以－e2π为首项，以 e2π为公比的等比数
列 ， 共 有 1 005 项 ， 故 函 数 f(x) 的 各 极 小 值 之 和 为 S1 005 ＝ － e2 π － e4 π － … － e2 010 π ＝ －
e2π（1－e2 010π）
1－e2π .
二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13．(2013·广东，10)若曲线 y＝kx＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于 x 轴，则 k＝________．
【解析】 y′＝k＋1
x，则 y′|x＝1＝0，即当 x＝1 时，k＋1
x＝k＋1＝0，解得 k＝－1.
【答案】 －1
14．(2012·辽宁，15)已知 P，Q 为抛物线 x2＝2y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，－2，过 P，Q
分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为________．
【解析】 y＝f(x)＝x2
2 ，f′(x)＝x，∴过 P 处的切线斜率为 f′(4)＝4，过 Q 处的切线斜率为 f′(－2)＝－
2，点 P 的坐标为(4，8)，点 Q 的坐标为(－2，2)，
∴在点 P 处的切线方程为 y－8＝4(x－4)，即 y＝4x－8.
在点 Q 处的切线方程为 y－2＝－2(x＋2)，即 y＝－2x－2，解{y＝4x－8，
y＝－2x－2得
A(1，－4)，则点 A 的纵坐标为－4.
【答案】 －4
15．(2015·河南郑州二模，15)已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，若 m，n∈[－1，1]，
则 f(m)＋f′(n)的最小值是________．
【解析】 ∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，∴－12＋4a＝0，解
得 a＝3，即 f(x)＝－x3＋3x2－4.当 m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m.令 f′(m)＝
0 得 m＝0，m＝2，∴m＝0 时，f(m)min＝－4.f′(n)＝－3n2＋6n 在[－1，1]上单调递增，∴f′(n)的最小值
为 f′(－1)＝－9.故[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
【答案】 －13
16．(2014·湖北武汉模拟，14)某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，
销量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________
元时利润最大，利润的最大值为________元．
【解析】 设商场销售该商品所获利润为 y 元，则 y＝(p－20)(8 300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，
则 y′＝－3p2－300p＋11 700.
令 y′＝0 得 p2＋100p－3 900＝0，
解得 p＝30 或 p＝－130(舍去)．
则 p，y，y′变化关系如下表：
p (20，30) 30 (30，＋∞)
y′ ＋ 0 －
y 极大值
故当 p＝30 时，y 取极大值为 23 000 元．
又 y＝－p3－150p2＋11 700p－166 000 在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．
所以该商品零售价定为每件 30 元，所获利润最大为 23 000 元．
【答案】 30 23 000
三、解答题(共 6 小题，共 74 分)
17．(12 分)(2015·宁夏银川质检，17)已知函数 f(x)＝1
2x2－aln x(a∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象在 x＝2 处的切线方程为 y＝x＋b，求 a，b 的值；
(2)若函数 f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求 a 的取值范围．
解：(1)因为 f′(x)＝x－a
x(x>0)，
且 f(x)在 x＝2 处的切线方程为 y＝x＋b，
所以{2－aln 2＝2＋b，
2－a
2
＝1，
解得 a＝2，b＝－2ln 2.
(2)若函数 f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则 f′(x)＝x－a
x≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 a≤x2 在(1，＋∞)
上恒成立．所以 a≤1.
18．(12 分)(2015·四川眉山质检，21)已知函数 f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t∈[1，2]，函数 g(x)＝
x3＋x2·[f′（x）＋m
2]在区间(t，3)内总不是单调函数，求 m 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝a（1－x）
x (x>0)，
当 a>0 时，f(x)的单调增区间为(0，1)，减区间为[1，＋∞)；
当 a<0 时，f(x)的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1)；
当 a＝0 时，f(x)不是单调函数．
(2)由(1)得 f′(2)＝－a
2＝1，即 a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，
∴g(x)＝x3＋(m
2＋2)x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t，3)内总不是单调函数，
即 g′(x)＝0 在区间(t，3)内有变号零点．
由于 g′(0)＝－2，
∴{g′（t） < 0，
g′（3） > 0.
当 g′(t)<0 时，即 3t2＋(m＋4)t－2<0 对任意 t∈[1，2]恒成立，
由于 g′(0)<0，故只要 g′(1)<0 且 g′(2)<0，
即 m<－5 且 m<－9，即 m<－9；
由 g′(3)>0，得 m>－37
3 .
所以－37
3 0⇔35≤x<31＋a，
L′(x)<0⇔31＋a0，即 0e 时，函数 f(x)单调递减．
故函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)因为 e<3<π，所以 eln 3π3；
由ln 3
3 <
ln e
e ，得 ln 3e2－e
π.①
由①得，eln π>e(2－e
π)>2.7×(2－2.72
3.1 )>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，
即 eln π>3，亦即 ln πe>ln e3，所以 e3<πe.
又由①得，3ln π>6－3e
π>6－e>π，
即 3ln π>π，所以 eπ<π3.
综上可得，3e0)，则 t>1，
所以 m≤－ t－1
t2－t＋1
＝－ 1
t－1＋ 1
t－1
＋1
对任意 t>1 成立．
因为 t－1＋ 1
t－1
＋1≥2 （t－1）·
1
t－1
＋1＝3，
所以－ 1
t－1＋ 1
t－1
＋1
≥－1
3，
当且仅当 t＝2，即 x＝ln 2 时等号成立．
因此实数 m 的取值范围是(－∞，－1
3].
(3)令函数 g(x)＝ex＋ 1
ex－a(－x3＋3x)，
则 g′(x)＝ex－ 1
ex＋3a(x2－1)．
当 x≥1 时，ex－ 1
ex>0，x2－1≥0，又 a>0，故 g′(x)>0，所以 g(x)是[1，＋∞)上的单调增函数，因此 g(x)
在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝e＋e－1－2a.
由于存在 x0∈[1，＋∞)，使 ex0＋e－x0－a(－x30＋3x0)<0 成立，当且仅当最小值 g(1)<0，故 e＋e－1－
2a<0，即 a>
e＋e－1
2 .令函数 h(x)＝x－(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－e－1
x .令 h′(x)＝0，得 x＝e－1.当 x∈(0，
e－1)时，h′(x)<0，故 h(x)是(0，e－1)上的单调减函数；
当 x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故 h(x)是(e－1，＋∞)上的单调增函数．
所以 h(x)在(0，＋∞)上的最小值是 h(e－1)．
注意到 h(1)＝h(e)＝0，所以当 x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即 a－1>(e－1)ln a，故 ea－1>ae－1.
综上所述，当 a∈(e＋e－1
2 ，e)时，ea－1ae
－1.
