中考数学专题复习——四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题

中考数学专题复习——四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题

C D EB A 图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点 最值问题 一、折叠、剪切类问题 1、折叠后求度数 （1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A．600 B．750 C．900 D．950 （2）如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D、C 分别落在 D′、C′的位置，若∠EFB＝65°， 则∠AED′等于（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° （3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以 得到如图②所示的正五边形 ABCDE，其中∠BAC＝____________度. 2、折叠后求长度 （1）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕， ∠BAE＝30°，AB＝ 3 ，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且 点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）． A、 3 B、2 C、3 D、 32 （2）如图，已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边上 的点 D 的位置，且 ED BC ，则 CE 的长是（ ） （A）10 3 15 （B）10 5 3 （C）5 3 5 （D） 20 10 3 图① A B CD E F （3）如图，将边长为 8 ㎝的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则 线段 CN 的长是（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm （4）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个 无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则 边AD的长是___________厘米. （5）如图，是一张矩形纸片 ABCD，AD=10cm，若将纸片沿 DE 折叠，使 DC 落在 DA 上， 点 C 的对应点为点 F，若 BE=6cm，则 CD= （6）如图（1），把一个长为 m 、宽为 n 的长方形（ m n ） 沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方 形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A． 2 m n B． m n C． 2 m D． 2 n 3、折叠后求面积 （1）如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将△AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则△CEF 的面积为 （ ） A．4 B．6 C．8 D．10 （2）如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图 N M F E D CB A m n n n（2）（1） 中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．10 （3）如图 a，ABCD 是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E 是 AD 上一点，且 AE＝6cm。 操作：①将 AB 向 AE 折过去，使 AB 与 AE 重合，得折痕 AF，如图 b；②将△AFB 以 BF 为折痕向右折过去，得图 c。则△GFC 的面积是（ ） A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2 （4）点 E、F 分别在一张长方形纸条 ABCD 的边 AD、BC 上， 将这张纸条沿着直线 EF 对折后如图，BF 与 DE 交于点 G， 如果∠BGD=30°，长方形纸条的宽 AB=2cm，那么这张纸条 对折后的重叠部分△GEF 的面积=______ cm2 （5）如图，红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝 带交叉成 60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为_______ 2.cm （6）如图，一个四边形花坛 ABCD，被两条线段 MN、EF 分成 四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是 S1、S2、S3、S4，若 MN∥AB∥DC、EF∥DA∥CB，请你写出 一 个 关 于 S1 、 S2 、 S3 、 S4 的 等 量 关 系 ________________________________. 4、折叠、剪切后得图形 （1）将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分， 将①展开后得到的平面图形是（ ） A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 EA A A B B B C C C G D D D FFF 图 a 图 b 图 c （2）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形 又能拼成三角形和梯形的是（ ） A. B. C. D. （3）小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3）， 然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( ) （4）将一圆形纸片对折后再对折，得到图 1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其 中一部分展开后的平面图形是（ ） （5）如图 1 所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ） （6）如图，已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的 底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片 沿 AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个 三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不 全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A B C D 图3 图1 （7）如图 7 所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展开后是 （ ） 5、折叠后得结论 （1）亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图， 折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著 名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等 于_______°.” （2）从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小 正方形(如图 1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如 图 2)，上述操作所能验证的等式是（ ） A.a2–b2 =(a+b)(a-b) B.(a–b)2 = a2–2ab+b2 C.(a+b)2 = a2 +2ab+ b2 D.a2 + ab = a (a+b) （3）如图，一张矩形报纸 ABCD 的长 AB＝a cm，宽 BC＝b cm，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将这张报纸沿着直线 EF 对折后，矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则 a∶b 等于（ ）． A． 1:2 B． 2:1 C． 1:3 D． 3:1 6、折叠和剪切的应用 （1）如图，有一个边长为 5 的正方形纸片 ABCD ，要将其剪拼 成边长分别为 a b， 的两个小正方形，使得 2 2 25a b  ．① a b， 的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般 性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同 时说明该裁剪方法具有一般性： ________________________________________________________ _____ ________________________________________________________ （1） （2） A． B． C． D． D C BA _____ _____________________________________________________________ （2）如图，已四边形纸片 ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸 片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：__________（用“能” 或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方 法；若填“不能”，请简要说明理由。 ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ （3）如图，已知五边形 ABCDE 中，AB//ED，∠A＝∠B＝90°， 则可以将该五边形 ABCDE 分成面积相等的两部分的直线 有__________条，满足条件的直线可以这样趋确定： ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ （4）如图，有一个边长为 a 的正六边形纸片 ABCDEF.①六边形 ABCDEF 的外接圆半径与 内切圆半径之比为_____________；②请你设计一种用剪刀只剪两刀将其拼为一个矩形（在 图中画出裁剪线），叙述裁剪过程并简要说明得到的矩形是否是正方 形: __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ （5）如图，有一个长：宽=2：1 的长方形纸片 ABCD.①含有 30°、60°的直角三角形最短边 与最长边之比为___________；②请你设计一种折叠一次使这张纸片出现 30°和 60°（在图中 画出折叠线和折叠后图线），叙述折叠过程并简要说明理由: __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ （6）如图，有一个长方体的底面边长分别是 1cm 和 3cm，高为 6cm.① 现用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么细线 最短需要________cm；②若从点 A 经过开始经过 3 个侧面缠绕 n 圈到 达点 B，此时细线最短需要____________________cm.③若有一个长方 体的边长为 a 的正方形，高为 b，那么细线从点 A 到点 C 的最短距离： __________________________________________________________ A B E D C __________________________________________________________ __________________________________________________________. （7）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 落在 MN 上， 落点记为 A′，折痕交 AD 于点 E,若 M、N 分别是 AD、BC 边的中 点，则 A′N= ; 若 M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点（ 2n  ,且 n 为整数），则 A′N= （用含有 n 的式子表示） （8）如图，现有两个边长之比为1：2的正方形ABCD与 A′B′C′D′，点B、C、B′、C′在同一直线上，且点C与点B′ 重合，能否利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方 法，拼出两个相似比为1：3的三角形？ （填能 或否），若你认为能，请在原图上画出裁剪线和拼接线说明 你的操作方法： __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________. （9）用剪刀将形状如图 1 所示的矩形纸片 ABCD 沿着直线 CM 剪成两部分,其中 M 为 AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图 2 中的 Rt△BCE 就是拼成的一个图形. ①用这两部分纸片除了可以拼成图 2 中的 Rt△BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一 试,把拼好的四边形分别画在图 3、图 4 的虚框内. ②若利用这两部分纸片拼成的 Rt△BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边 AB 和 BC 的长分别为 a 厘米、b 厘米,且 a、b 恰好是关于 x 的方程 01)1(2  mxmx 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积. （10）在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.甲同学按照取两组对边中点 的方法折出菱形 EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE=∠DAC， ∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二），请你通过计算，比较甲同学和乙同 学的折法中，哪种菱形面积较大？ E B A CB A M C DM 图 3 图 4图 1 图 2 A D E H FB C G （方案一） A D E F B C （方案二） A' N M B C A D E D' C'(B') A' D CB A （11）有一张矩形形状的纸 ABCD 如图所示，只用折叠的方法将直角三等分，步骤如下： 第一步：先把矩形对折，设折痕为 MN； 第二步：再把点 B 折叠到折痕 MN 上，折痕为 AE，点 B 在 MN 上的对应点为 H，沿 AH 折叠. 此时，AE、AH 是否就是直角 BAD 的三等分线？并说明理由. （12）如图，若把边长为 1 的正方形 ABCD 的四个角(阴影部 分)剪掉，得一四边形 A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图 形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的 9 5 ，请 说明理由(写出证明及计算过程). 二、旋转类问题 （1）如图，由“基本图案”正方形 ABCO 绕 O 点顺时针旋转 90°后的图形是 ( )． 图 A． B． C． D． （2）如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另 一个绕顶点 A 顺时针旋转 45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． （3）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方 向旋转 90°能 与△CBP'重合，若 PB=3，则 PP'=________________. A A B BC D C D M N E H A D C B C D B E A D P A B C D N M A B C D M N （4）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 上一点，DE=1， 以点 A 为中心，把△ADE 顺时针旋转 90°得△ABE'，连接 EE'，则 EE'=________________. （5）已知在正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别 交 CB，DC（或延长线）于点 M，N. （Ⅰ）如图①所示，当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM  DN 时，求证：BM+DN=MN. 思路点拨：考虑证明 BM+DN=MN 需将线段 BM、DN 转化到同一条直线上，再证明 BM+DN=MN．可将△ADM 顺时针旋转 90° 请你完成证明过程： （Ⅱ）当∠MAN 绕点 A 旋转到如图②所示时，线段 BM，DN 和 MN 之间又有怎样的数量 关系？写出猜想，并加以证明. （6）在图 1 至图 2 中，点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点．四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形．AE 的中点是 M． （Ⅰ）如图 1，点 E 在 AC 的延长线上，点 N 与点 G 重合时，点 M 与点 C 重合，求证： FM = MH，FM⊥MH； （Ⅱ）将图 1 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 2，求证：△FMH 是等腰直角三 角形； B C P' A B C DM N P A B CD P E F 三、动点类问题 1、动点距离和最小值问题 （1）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的 最小值是 ． （2）如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，M、N 分别为 AD、 BC 中点，P 为 MN 上一动点，那么 PC+PD 的最小值为_________________. （3）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，AE=3，CF=1，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE+PF 的最小值________. （4）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， 3OA  ， 4OB  ，D 为边 OB 的中点. （Ⅰ）若 E 为边OA 上的一个动点，当△ CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； 第（25）题 y B O D C A xE D y B O D C A x 温馨提示：如图，可以作点 D 关于 x 轴 的对称点 D，连接 CD 与 x 轴交于点 E， 此时△ CDE 的周长是最小的.这样，你只需 求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了. A B CD Q P （Ⅱ）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且 2EF  ，当四边形 CDEF 的周长最小时， 求点 E 、 F 的坐标. 2、动点运动问题 （1）如图，在矩形 ABCD 中，AB﹦16 ㎝，AD﹦6 ㎝,动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发， 点 P 以每秒 3 ㎝的速度向 B 移动，一直达到 B 止，点 Q 以每秒 2 ㎝的速度向 D 移动.⑴P、 Q 两点出发后多少秒时，为四边形 PBCQ 的面积为 36 ㎝ 2 ？⑵是否存在某一时刻，使 PBCQ 为正方形，若存在，求出该时刻，若不存在说明理由. （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P，Q 同时出发， 用 t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）. (1)当 t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？(2)求四边形 QAPC 的面积，并提供一个与计 算结果有关的结论. A B C DM N M N B C D A E FO （3）如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠B=90°，AB=14 ㎝，AD=15 ㎝，BC=21 ㎝.点 M 从 A 点开始，沿 AD 边向 D 运动，速度为 1 ㎝/s，点 N 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 运动， 速度为 2 ㎝/s.如果点 M、N 分别从 A，C 同时出发，设时间为 t s.(1)当 t 为何值时，四边形 MNCD 是平行四边形？(2)当 t 为何值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？ （4）如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN//BC，交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F. (1)求证：OE=OF； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论； (3)在(2)的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？请你说明你的理由.