数学卷·2018届江西省景德镇一中高二上学期期中数学试卷（16班）（理科）（解析版）

数学卷·2018届江西省景德镇一中高二上学期期中数学试卷（16班）（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（解析版）（16班）‎ ‎　‎ 一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（　　）‎ A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤‎ ‎3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎5．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]‎ ‎6．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R满足f（ab）﹣af（b）=bf（a），．有下列结论：‎ ‎①f（1）=f（0）=0；‎ ‎②f（x）为偶函数；‎ ‎③数列{an}为等差数列；‎ ‎④数列{bn}为等比数列．其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④‎ ‎8．已知P是直线l：3x﹣4y+11=0上的动点，PA、PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，圆心为C，那么四边形PACB面积的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎9．已知点P是双曲线C：﹣=1上的动点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点O为坐标原点，则的取值范围是（　　）‎ A．[0，6] B．（2，] C．（，] D．[0，]‎ ‎10．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+‎ 的最小值为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为　　．‎ ‎12．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　　（用数字作答）．‎ ‎13．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， •=2，则•的值是　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎15．设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6大题，第16、17、18题12分，19、20、21题13分，共75分）‎ ‎16．（12分）已知m≠0，向量=（m，3m），向量=（m+1，6），集合A={x|（x﹣m2）（x+m﹣2）=0}．‎ ‎（1）判断“∥”是“||=”的什么条件 ‎（2）设命题p：若⊥，则m=﹣19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．‎ ‎17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，且b=atanB．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求sinB+2sinC的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知数列{an}的前n项和，且a1，a4是等比数列{bn}的前两项，记bn与bn+1之间包含的数列{an}的项数为cn，如b1与b2之间包含{an}中的项为a2，a3，则c1=2．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{ancn}的前n项和．‎ ‎19．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，PA=BD=，AB=AD，E为PC的中点．‎ ‎（1）求AB；‎ ‎（2）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．‎ ‎20．（13分）已知点P是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知A，B是椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值，并说明理由．‎ ‎21．（13分）记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，﹣x2+（a2﹣）x+2a2+4a}．‎ ‎（1）设，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数a∈（﹣2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（解析版）（16班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．‎ ‎【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．‎ 设抽到的最小编号x，‎ 则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，‎ 所以x=3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（　　）‎ A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，‎ 因此S=（此时k=6），‎ 因此可填：S．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，‎ ‎∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，‎ ‎∴剩余部分体积为1﹣=，‎ ‎∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．‎ ‎　‎ ‎4．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．‎ ‎【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），‎ 因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：‎ S=．故选C．‎ ‎【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．‎ ‎　‎ ‎5．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]‎ ‎【考点】偶函数；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】在解答时，应先分析好函数的单调性，然后结合条件f（ax+1）≤f（x﹣2）在[，1]上恒成立，将问题转化为有关 x的不等式在[，1]上恒成立的问题，在进行解答即可获得问题的解答．‎ ‎【解答】解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x 对恒成立，‎ 从而且对恒成立，‎ ‎∴a≥﹣2且a≤0，‎ 即a∈[﹣2，0]，‎ 故选D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、恒成立的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会与反思，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．‎ ‎【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，‎ 不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，‎ x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．‎ ‎　‎ ‎7．设f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R满足f（ab）﹣af（b）=bf（a），．有下列结论：‎ ‎①f（1）=f（0）=0；‎ ‎②f（x）为偶函数；‎ ‎③数列{an}为等差数列；‎ ‎④数列{bn}为等比数列．其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④‎ ‎【考点】数列与函数的综合；抽象函数及其应用；等差关系的确定；等比关系的确定．‎ ‎【分析】给a、b赋值，使它们都等于0，再使它们都等于1，得到结论①正确；由f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=0，得f（﹣1）=0，f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1）=﹣f（x），所以f（x）是R上的奇函数；根据f（ab）﹣af（b）=bf（a），可得=++…+（共n个）=n，从而f（3n）=n×3n，由此可得③④正确．‎ ‎【解答】解：①∵取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0，∴f（0）=f（1）=0，即①正确；‎ ‎②∵f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=0，∴f（﹣1）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1）=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数．故②不正确；‎ ‎③∵f（ab）﹣af（b）=bf（a），∴，∴，‎ 以此类推=++…+（共n个）=n，‎ ‎∴f（3n）=n×3n，∴an==n，故③正确．‎ ‎④bn==3n，故④正确．‎ ‎∴正确的是①③④．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了数列与函数知识的综合运用，解题时应用了函数的赋值法，函数的奇偶性，等差、等比数列的定义等知识，要细心解答．‎ ‎　‎ ‎8．已知P是直线l：3x﹣4y+11=0上的动点，PA、PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，圆心为C，那么四边形PACB面积的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】S四边形PACB=S△PAC+S△PBC，当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即S△PAC=S△PBC取最小值，由此能够求出四边形PACB面积的最小值．‎ ‎【解答】解：把直线与圆相离如图，S四边形PACB=S△PAC+S△PBC 而S△PAC=|PA|•|CA|=|PA|，‎ S△PBC=|PB|•|CB|=|PB|，‎ 又|PA|=，|PB|=，‎ ‎∴当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，‎ 即S△PAC=S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，|CP|==2，‎ 则S△PAC=S△PBC=×=，‎ 即四边形PACB面积的最小值是．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，在解答过程中要合理地运用数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎9．已知点P是双曲线C：﹣=1上的动点，F1，F2‎ 分别是双曲线C的左、右焦点O为坐标原点，则的取值范围是（　　）‎ A．[0，6] B．（2，] C．（，] D．[0，]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设P（x，y） 则y2=﹣4，e=，由焦半径公式能够得出|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，代入所求的式子并化简得到，再由双曲线中x2≥8，求出范围即可．‎ ‎【解答】解：设P（x，y） x＞0，由焦半径公式|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，‎ 则= （y2=﹣4，e=），‎ 则原式==，又因为双曲线中x2≥8．‎ 所以∈（2，]．‎ 同理当x＜0时，|PF1|=﹣a﹣ex，|PF2|=﹣ex+a，‎ 仍可推出=∈（2，]．‎ 即推出的取值范围为（2，]．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的性质，由焦半径公式得到|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a是解题的关键，要注意分x＞0和x＜0两种情况作答，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意得：，，‎ 得．‎ ‎∴，‎ 令ab﹣1=m，则m＞0，‎ 所以．‎ 则的最小值为4．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为　　．‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】设z=a+bi，（a，b∈R）．由|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），可得=，化为：6a+8b﹣7=0．再利用原点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R）．‎ ‎∵|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），‎ ‎∴=，‎ 化为：6a+8b﹣7=0．‎ ‎∴|z|=的最小值为原点（0，0）到直线l：6a+8b﹣7=0的距离，： =，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　590　（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．‎ ‎【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，‎ ‎1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，‎ ‎1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，‎ ‎2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，‎ ‎1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，‎ ‎2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，‎ 共计20+60+120+90+180+120=590种 间接法：‎ ‎﹣﹣﹣+1=590‎ 故答案为：590．‎ ‎【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， •=2，则•的值是　22　．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由=3，可得=+， =﹣，进而由AB=8，AD=5， =3， •=2，构造方程，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵ =3，‎ ‎∴=+， =﹣，‎ 又∵AB=8，AD=5，‎ ‎∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，‎ 故•=22，‎ 故答案为：22．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+， =﹣，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　（0，1）∪（9，+∞）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，‎ 作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，‎ 当a≤0，f（x）≥0，g（x）≤0，两个函数的图象 不可能有4个交点，不满足条件；‎ 则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，‎ 当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），‎ 当直线和抛物线相切时，有三个零点，‎ 此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），‎ 即x2+（3﹣a）x+a=0，‎ 则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，‎ 解得a=1或a=9，‎ 当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，‎ 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，‎ 若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，‎ 此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，‎ 即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，‎ 则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，‎ 综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）．‎ 故答案为：（0，1）∪（9，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎15．设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　{2}　．‎ ‎【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】由logax+logay=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．‎ ‎【解答】解：∵logax+logay=c，‎ ‎∴=c ‎∴xy=ac 得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，‎ 所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．‎ 故答案为：{2}‎ ‎【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6大题，第16、17、18题12分，19、20、21题13分，共75分）‎ ‎16．（12分）（2016秋•南丰县校级期中）已知m≠0，向量=（m，3m），向量=（m+1，6），集合A={x|（x﹣m2）（x+m﹣2）=0}．‎ ‎（1）判断“∥”是“||=”的什么条件 ‎（2）设命题p：若⊥，则m=﹣19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．‎ ‎【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）由，则6m=3m（m+1解出m即可判断出结论．‎ ‎（2）若，则m（m+1）+18m=0，解出m，即可判断出p真假．由（x﹣m2）（x+m﹣2）=0得x=m2，或x=2﹣m，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素，‎ 则m2=2﹣m，解得m，即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：（1）若，则6m=3m（m+1），∴m=1（m=0舍去），此时，，‎ 若，则m=±1，故“”是“”的充分不必要条件．‎ ‎（2）若，则m（m+1）+18m=0，∴m=﹣19（m=0舍去），∴p为真命题．‎ 由（x﹣m2）（x+m﹣2）=0得x=m2，或x=2﹣m，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素，‎ 则m2=2﹣m，解得m=1或﹣2，∴q为假命题．‎ ‎∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢q为真命题．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2016秋•昌江区校级期中）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，且b=atanB．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求sinB+2sinC的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由条件和诱导公式求出A﹣B的值；‎ ‎（2）由（1）求出B的范围，由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简，利用二次函数的性质求出取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）证明：△ABC中，由b=atanB，‎ 得sinB=sinA×，‎ 则cosB=sinA；‎ 又A为钝角，∴A=+B，‎ ‎∴A﹣B=；‎ ‎（2）由（1）知C=π﹣（A+B）=π﹣（+B+B）=﹣2B＞0，‎ ‎∴B∈（0，），‎ ‎∴sinB+2sinC=sinB+2sin（﹣2B）‎ ‎=sinB+2cos2B=sinB+2（1﹣2sin2B）‎ ‎=﹣4（sinB﹣）2+；‎ 又B∈（0，），‎ ‎∴0＜sinB＜，‎ ‎∴由二次函数的性质可知，‎ ‎＜﹣4（sinB﹣）2+≤，‎ ‎∴sinB+2sinC的取值范围是（，]．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数中恒等变换的应用以及正弦定理和二次函数的性质，熟练掌握公式和定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•抚顺一模）已知数列{an}的前n项和，且a1，a4是等比数列{bn}的前两项，记bn与bn+1之间包含的数列{an}的项数为cn，如b1与b2之间包含{an}中的项为a2，a3，则c1=2．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{ancn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用an=Sn﹣Sn﹣1，求出数列{an}的通项公式，利用且a1，a4是等比数列{bn}的前两项，求出公比即可求解{bn}的通项公式．‎ ‎（2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，，两式作差得an=2n﹣1+an﹣an﹣1，即an﹣1=2n﹣1（n≥2）…（2分）‎ 所以an=2n+1，则a1=3，a4=9，…‎ 所以，所以…（6分）‎ ‎（2），因为数列{an}是由连续的奇数组成的数列，而bn和bn+1都是奇数，所以bn与bn+1之间包含的奇数个数为，所以…（8分）．设{（2n+1）3n}‎ 的前n项和为Tn，，①，②‎ ‎①﹣﹣﹣②，得，则，…（11分）‎ 所以数列{ancn}的前n项和为…（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2016秋•昌江区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，PA=BD=，AB=AD，E为PC的中点．‎ ‎（1）求AB；‎ ‎（2）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（1）由题意可得BC⊥平面PAB，进一步得到BC⊥AB，再由△BCD为等边三角形，且AB=AD，可得△ABC≌△ADC，由已知求解直角三角形可得AB；‎ ‎（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD=O，分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．求出平面BDE与平面ABP的一个法向量，再求两个法向量夹角的余弦值，可得平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）连接AC，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，‎ 又∵BC⊥PB，PB∩PA=P，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AB．‎ ‎∵△BCD为等边三角形，AB=AD，‎ ‎∴△ABC≌△ADC，‎ ‎∴∠ACB=30°，∠CAB=60°，‎ 又BD=，∴AB=；‎ ‎（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD=O，‎ 分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．‎ 则D（0，，0），B（0，﹣，0），E（，0，），A（，0，0），P（﹣，0，）．‎ ‎，，，．‎ 设平面BDE的一个法向量为，‎ 则，得，取，则；‎ 设平面ABP的一个法向量为，‎ 则，得，取，则．‎ ‎∴|cos＜＞|=||=||=．‎ 平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离的计算，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2016秋•昌江区校级期中）已知点P是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知A，B是椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值，并说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）将y=x+2代入椭圆方程，由直线y=x+2与椭圆有公共点，△≥0解得：a≥，又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，故当a=时，|PF1|+|PF2|取得最小值，即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（2）由kQA=kQM，则求得直线方程y0﹣m=，求得m=，同理可知：n=，mn=，由y12=1﹣，y02=1﹣，代入即可求得mn=1．‎ ‎【解答】解：（1）由，整理得：（a2+1）x2+4a2x+3a2=0，‎ ‎∵直线y=x+2与椭圆有公共点，‎ 则△=16a4﹣4（a2+1）×3a2≥0，则a2≥3，解得：a≥，‎ 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，‎ 故当a=时，|PF1|+|PF2|取得最小值，‎ 此时椭圆C的方程椭圆方程为．‎ ‎ （2）设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），Q（x0，y0），且M（0，m），N（0，n），‎ ‎∵kQA=kQM，‎ ‎∴=，‎ 即y0﹣m=，‎ ‎∴m=y0﹣=，‎ 同理，得n=，‎ ‎∴mn=•=，‎ 又A，Q在椭圆上，则，，y12=1﹣，y02=1﹣‎ ‎∴mn=， =1，‎ ‎∴mn为定值1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2016秋•昌江区校级期中）记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+‎ lnx，﹣x2+（a2﹣）x+2a2+4a}．‎ ‎（1）设，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数a∈（﹣2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）利用导数求出的单调区间及最值，结合图象即可判定；‎ ‎（2）构造函数H（x）=g（x）﹣x﹣4a，对该函数在∈（a+2，+∞）的最大值进行分类求解，只需最大值小于0即可．‎ ‎【解答】解：（1）设，…（1分）‎ 令F'（x）＞0，得x＞1，F（x）递增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F（x）递减，…（2分）‎ ‎∴F（x）min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x2﹣1≥2lnx，∴f（x）=x2﹣1…‎ 设，结合f（x）与G（x）在（0，1]上图象可知，这两个函数的图象在（0，1]上有两个交点，即h（x）在（0，1]上零点的个数为2…‎ ‎（或由方程f（x）=G（x）在（0，1]上有两根可得）‎ ‎（2）假设存在实数a∈（﹣2，+∞），使得对x∈（a+2，+∞）恒成立，‎ 则，对x∈（a+2，+∞）恒成立，‎ 即，对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（6分）‎ ‎①设，‎ 令H'（x）＞0，得0＜x＜2，H（x）递增；令H'（x）＜0，得x＞2，H（x）递减，‎ ‎∴H（x）max=h（2）=ln2﹣1，‎ 当0＜a+2＜2即﹣2＜a＜0时，4a＞ln2﹣1，∴，∵a＜0，∴4．‎ 故当时，对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（8分）‎ 当a+2≥2即a≥0时，H（x）在（a+2，+∞）上递减，∴．‎ ‎∵，∴H（a+2）≤H（0）=ln2﹣1＜0，‎ 故当a≥0时，对x∈（a+2，+∞）恒成立…（10分）‎ ‎②若（x+2）（x﹣a2）＞0对x∈（a+2，+∞）恒成立，则a+2≥a2，∴a∈[﹣1，2]…（11分）‎ 由①及②得，．‎ 故存在实数a∈（﹣2，+∞），使得对x∈（a+2，+∞）恒成立，‎ 且a的取值范围为…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了函数的零点的个数判定，及函数不等式恒成立时，参数取值范围的求解方法，属于难题．‎ ‎　‎