2018届二轮复习研创新——以函数为背景的创新题型课件（江苏专用）

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专题 3 　函数与导数 第 11 练　研创新 —— 以函数为 背 景 的创新题型 在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现 . 主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题 . 这种题难度一般为中档，多出现在填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高 . 通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 1 2 3 ① 对于任意不相等的实数 x 1 ， x 2 ，都有 m ＞ 0 ； ② 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x 1 ， x 2 ，都有 n ＞ 0 ； ③ 对于任意的 a ，存在不相等的实数 x 1 ， x 2 ，使得 m ＝ n ； ④ 对于任意的 a ，存在不相等的实数 x 1 ， x 2 ，使得 m ＝－ n . 其中的真命题有 ________.( 写出所有真命题的序号 ) 解析 √ √ 1 2 3 解析　 设 A ( x 1 ， f ( x 1 )) ， B ( x 2 ， f ( x 2 )) ， C ( x 1 ， g ( x 1 )) ， D ( x 2 ， g ( x 2 )). 对于 ① ，从 y ＝ 2 x 的图象可看出， m ＝ k AB ＞ 0 恒成立，故 ① 正确； 对于 ② ，直线 CD 的斜率可为负，即存在 n ＜ 0 的情形，故 ② 不正确； 对于 ③ ，由 m ＝ n 得 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ g ( x 1 ) － g ( x 2 ) ， 即 f ( x 1 ) － g ( x 1 ) ＝ f ( x 2 ) － g ( x 2 ) ， 令 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ＝ 2 x － x 2 － ax ， 则 h ′ ( x ) ＝ 2 x ·ln 2 － 2 x － a . 由 h ′ ( x ) ＝ 0 ，得 2 x ·ln 2 ＝ 2 x ＋ a ， (*) 结合图象知 ， 当 a 很小时，方程 (*) 无解 ， ∴ 函数 h ( x ) 不一定有极值点，就不一定存在 x 1 ， x 2 使 f ( x 1 ) － g ( x 1 ) ＝ f ( x 2 ) － g ( x 2 ) ，不一定存在 x 1 ， x 2 使得 m ＝ n ，故 ③ 不正确 ； 解析 1 2 3 对于 ④ ，由 m ＝－ n ，得 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ g ( x 2 ) － g ( x 1 ) ， 即 f ( x 1 ) ＋ g ( x 1 ) ＝ f ( x 2 ) ＋ g ( x 2 ) ， 令 F ( x ) ＝ f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ 2 x ＋ x 2 ＋ ax ，则 F ′ ( x ) ＝ 2 x ln 2 ＋ 2 x ＋ a . 由 F ′ ( x ) ＝ 0 ，得 2 x ln 2 ＝－ 2 x － a ， 结合如图所示图象可知，该方程有解 ， 即 F ( x ) 必有极值点， ∴ 存在 x 1 ， x 2 ，使 F ( x 1 ) ＝ F ( x 2 ) ，使 m ＝－ n ， 故 ④ 正确 . 故 ①④ 正确 . 1 2 3 2.(2015· 福建 ) 一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x 1 x 2 … x n ( n ∈ N * ) ，其中 x k ( k ＝ 1,2 ， … ， n ) 称为第 k 位码元 . 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误 ( 即码元由 0 变为 1 ，或者由 1 变为 0). 已知 某种二元码 x 1 x 2 … x 7 的码元满足如下校验方程组： 其中运算  定义为 0  0 ＝ 0,0  1 ＝ 1,1  0 ＝ 1,1  1 ＝ 0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101 ，那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 ________. 解析 答案 5 1 2 3 解析　 (1) x 4  x 5  x 6  x 7 ＝ 1  1  0  1 ＝ 1 ， ( 2) x 2  x 3  x 6  x 7 ＝ 1  0  0  1 ＝ 0 ； ( 3) x 1  x 3  x 5  x 7 ＝ 1  0  1  1 ＝ 1 . 由 (1)(3) 知 x 5 ， x 7 有一个错误， (2) 中没有错误， ∴ x 5 错误，故 k 等于 5. 1 2 3 ① 若点 A 的 “ 伴随点 ” 是点 A ′ ，则点 A ′ 的 “ 伴随点 ” 是点 A ； ② 单位圆的 “ 伴随曲线 ” 是它自身； ③ 若曲线 C 关于 x 轴对称，则其 “ 伴随曲线 ” C ′ 关于 y 轴对称； ④ 一条直线的 “ 伴随曲线 ” 是一条直线 . 其中的真命题是 ________.( 写出所有真命题的序号 ) 解析 √ √ 返回 1 2 3 同理可得纵坐标为－ y ，故 A ″ ( － x ，－ y ) ， ① 错误； 解析 ② 设单位圆上的点 P 的坐标为 (cos θ ， sin θ ) ， 则 P 的 “ 伴随点 ” 的坐标为 P ′ (sin θ ，－ cos θ ) ， 1 2 3 则有 sin 2 θ ＋ ( － cos θ ) 2 ＝ 1 ， 所以 P ′ 也在单位圆上，即单位圆的 “ 伴随曲线 ” 是它自身， ② 正确； 解析 1 2 3 ④ 反例：例如 y ＝ 1 这条直线，则 A (0,1) ， B (1,1) ， C (2,1) ， 设点 P ( x ， y ) 在直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 上， P 点的 “ 伴随点 ” 为 P ′ ( x 0 ， y 0 ) ， 解析 1 2 3 所以一条直线的 “ 伴随曲线 ” 不一定是一条直线， ④ 错误 . 综上，真命题是 ②③ . 返回 高考 必会题型 题型一　与新定义有关的创新题型 解析 答案 点评 点评 点评 解答这类题目的关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法 . 变式训练 1 　若函数 y ＝ f ( x ) 在定义域内给定区间 [ a ， b ] 上存在 x 0 ( a ＜ x 0 ＜ b ) ，满足 f ( x 0 ) ＝ ， 则称函数 y ＝ f ( x ) 是 [ a ， b ] 上的 “ 平均值 函数 ” ， x 0 是它的一个均值点 . 例如 y ＝ | x | 是 [ － 2 ， 2] 上的 “ 平均值函数 ” ， 0 就是它的均值点 . 若函数 f ( x ) ＝ x 2 － mx － 1 是 [ － 1,1] 上的 “ 平均值函数 ” ，则实数 m 的取值范围是 ________. 解析 答案 (0,2) 解析　 因为函数 f ( x ) ＝ x 2 － mx － 1 是 [ － 1,1] 上的 “ 平均值函数 ” ， 所以 关于 x 的方程 x 2 － mx － 1 ＝ 在 区间 ( － 1,1) 内有实数根 ， 即 x 2 － mx － 1 ＝－ m 在区间 ( － 1,1) 内有实数根 ， 即 x 2 － mx ＋ m － 1 ＝ 0 ，解得 x ＝ m － 1 或 x ＝ 1 . 又 1 不属于 ( － 1,1) ，所以 x ＝ m － 1 必为均值点 ， 即 － 1 ＜ m － 1 ＜ 1 ，即 0 ＜ m ＜ 2 ， 所以 实数 m 的取值范围是 (0,2). 题型二　综合型函数创新题 例 2 　 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数 φ ( x ) 组成的集合：对于函数 φ ( x ) ，存在一个正数 M ，使得函数 φ ( x ) 的值域包含于区间 [ － M ， M ]. 例如，当 φ 1 ( x ) ＝ x 3 ， φ 2 ( x ) ＝ sin x 时， φ 1 ( x ) ∈ A ， φ 2 ( x ) ∈ B . 现有如下命题： ① 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ，则 “ f ( x ) ∈ A ” 的充要条件是 “ ∀ b ∈ R ， ∃ a ∈ D ， f ( a ) ＝ b ” ； ② 函数 f ( x ) ∈ B 的充要条件是 f ( x ) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f ( x ) ， g ( x ) 的定义域相同，且 f ( x ) ∈ A ， g ( x ) ∈ B ，则 f ( x ) ＋ g ( x ) ∉ B ； 其中的真命题是 ________.( 写出所有真命题的序号 ) 点评 解析 √ √ √ 解析　 因为 f ( x ) ∈ A ，所以函数 f ( x ) 的值域是 R ， 所以 满足 ∀ b ∈ R ， ∃ a ∈ D ， f ( a ) ＝ b ， 同时 若 ∀ b ∈ R ， ∃ a ∈ D ， f ( a ) ＝ b ， 则 说明函数 f ( x ) 的值域是 R ，则 f ( x ) ∈ A ，所以 ① 正确； 取 M ＝ 1 ，则 f ( x ) ⊆ [ － 1,1] ， 但是 f ( x ) 没有最大值，所以 ② 错误； 因为 f ( x ) ∈ A ， g ( x ) ∈ B 且它们的定义域相同 ( 设为 [ m ， n ]) ， 所以 存在区间 [ a ， b ] ⊆ [ m ， n ] ， 点评 解析 点评 使得 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的值域与 g ( x ) 的值域相同 ， 所以 存在 x 0 ∉ [ a ， b ] ，使得 f ( x 0 ) 的值接近无穷 ， 所以 f ( x ) ＋ g ( x ) ∉ B ，所以 ③ 正确； 因为当 x > － 2 时，函数 y ＝ ln( x ＋ 2) 的值域是 R ， 所以 函数 f ( x ) 若有最大值，则 a ＝ 0 ， 此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法 . 解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等 . 点评 变式训练 2 　如果 y ＝ f ( x ) 的定义域为 R ，对于定义域内的任意 x ，存在实数 a 使得 f ( x ＋ a ) ＝ f ( － x ) 成立，则称此函数具有 “ P ( a ) 性质 ”. 给出下列命题： ① 函数 y ＝ sin x 具有 “ P ( a ) 性质 ” ； ② 若奇函数 y ＝ f ( x ) 具有 “ P (2) 性质 ” ，且 f (1) ＝ 1 ，则 f (2 015) ＝ 1 ； ③ 若函数 y ＝ f ( x ) 具有 “ P (4) 性质 ” ，图象关于点 (1,0) 成中心对称，且在 ( － 1,0) 上单调递减，则 y ＝ f ( x ) 在 ( － 2 ，－ 1) 上单调递减，在 (1,2) 上单调递增； ④ 若不恒为零的函数 y ＝ f ( x ) 同时具有 “ P (0) 性质 ” 和 “ P (3) 性质 ” ，则函数 y ＝ f ( x ) 是周期函数 . 其中正确的是 ________.( 写出所有正确命题的编号 ) 解析 √ √ √ 返回 解析　 ① 因为 sin ( x ＋ π) ＝－ sin x ＝ sin ( － x ) ， 所以函数 y ＝ sin x 具有 “ P ( a ) 性质 ” ， 所以 ① 正确； ② 因为奇函数 y ＝ f ( x ) 具有 “ P (2) 性质 ” ， 所以 f ( x ＋ 2) ＝ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， 所以 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ，周期为 4 ， 因为 f (1) ＝ 1 ，所以 f (2 015) ＝ f (3) ＝－ f (1) ＝－ 1. 所以 ② 不正确； ③ 因为函数 y ＝ f ( x ) 具有 “ P (4) 性质 ” ， 所以 f ( x ＋ 4) ＝ f ( － x ) ， 解析 所以 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 2 对称 ，即 f (2 － x ) ＝ f (2 ＋ x ). 因为图象关于点 (1,0) 成中心对称， 所以 f (2 － x ) ＝－ f ( x ) ，即 f (2 ＋ x ) ＝－ f ( － x ) ， 所以得出 f ( x ) ＝ f ( － x ) ， f ( x ) 为偶函数 . 因为 f ( x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称，且在 ( － 1,0) 上单调递减， 所以 f ( x ) 的图象也关于点 ( － 1,0) 成中心对称，且在 ( － 2 ，－ 1) 上单调递减， 根据偶函数的对称性得出 f ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，故 ③ 正确； ④ 因为具有 “ P (0) 性质 ” 和 “ P (3) 性质 ” ， 所以 f ( x ) ＝ f ( － x ) ， f ( x ＋ 3) ＝ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 所以 f ( x ) 为偶函数，且周期为 3 ，故 ④ 正确 . 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 若集合 A ＝ {1,2,3 ， k } ， B ＝ {4,7 ， a 4 ， a 2 ＋ 3 a } ，其中 a ∈ N * ， k ∈ N * ， f ： x → y ＝ 3 x ＋ 1 ， x ∈ A ， y ∈ B 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数，则 a ＋ k ＝ ________. 解析 　 由对应法则知 1 → 4,2 → 7,3 → 10 ， k → 3 k ＋ 1 ， 又 a ∈ N * ， ∴ a 4 ≠ 10 ， ∴ a 2 ＋ 3 a ＝ 10 ， 解 得 a ＝ 2( 舍去 a ＝－ 5) ， 所以 a 4 ＝ 16 ，于是 3 k ＋ 1 ＝ 16 ， ∴ k ＝ 5. ∴ a ＋ k ＝ 7. 7 13 14 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　 因为函数 f ( x ) ＝ ln(e x ＋ t ) 为 “ 倍缩函数 ” ，所以存在 [ a ， b ] ⊆ D ， 因为函数 f ( x ) ＝ ln(e x ＋ t ) 为增函数， 所以 a ， b 是方程 的 两个根， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令 则 k 2 － k ＋ t ＝ 0 ， 即方程 k 2 － k ＋ t ＝ 0 有两个不等的正根 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 答案 － 8 062 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 两式相加得 2 S ＝－ 4 × 4 031 ，所以 S ＝－ 8 062. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ① f ( x ) 在 [1,3] 上的图象是连续不断的； ③ 若 f ( x ) 在 x ＝ 2 处取得最大值 1 ，则 f ( x ) ＝ 1 ， x ∈ [1,3] ； 其中真命题的序号是 ________. 解析 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 但 f ( x ) 在 [1,3] 上的图象不连续，故 ① 不正确； 令 f ( x ) ＝－ x ，则 f ( x ) 在 [1,3] 上具有性质 P ， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于 ③ ，假设存在 x 0 ∈ [1,3] ，使得 f ( x 0 ) ≠ 1 ， 因为 f ( x ) max ＝ f (2) ＝ 1 ， x ∈ [1,3] ，所以 f ( x 0 )<1. 又当 1 ≤ x 0 ≤ 3 时，有 1 ≤ 4 － x 0 ≤ 3 ， 由 f ( x ) 在 [1,3] 上具有性质 P ， 由于 f ( x 0 )<1 ， f (4 － x 0 ) ≤ 1 ，与上式矛盾 . 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 即对 ∀ x ∈ [1,3] ，有 f ( x ) ＝ 1 ，故 ③ 正确 . 综上，真命题的序号是 ③④ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 已知函数 f ( x ) ＝ 1 － |2 x － 1| ， x ∈ [0,1]. 定义： f 1 ( x ) ＝ f ( x ) ， f 2 ( x ) ＝ f [ f 1 ( x )] ， … ， f n ( x ) ＝ f [ f n － 1 ( x )] ， n ＝ 2,3,4 ， … ，满足 f n ( x ) ＝ x 的点 x ∈ [0,1] 称为 f ( x ) 的 n 阶不动点 . 则 f ( x ) 的 n 阶不动点的个数是 ________. 解析 答案 2 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴ f 1 ( x ) 的 1 阶不动点的个数为 2. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴ f 2 ( x ) 的 2 阶不动点的个数为 2 2 ， 以此类推， f ( x ) 的 n 阶不动点的个数是 2 n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x ， y 有下列四种说法： ① [ － x ] ＝－ [ x ] ；② [2 x ] ＝ 2[ x ] ；③ [ x ＋ y ] ≤ [ x ] ＋ [ y ] ；④ [ x － y ] ≤ [ x ] － [ y ]. 其中正确的是 ________. 解析 　 特殊值法 . 令 x ＝ 1.5 ， ∵ [ － 1.5] ＝－ 2 ，－ [1.5] ＝－ 1 ，故 ① 错 ； [ 2 × 1.5] ＝ 3,2 [1.5] ＝ 2 ，故 ② 错 ； 令 x ＝ 1.5 ， y ＝ 0.5 ， [ x ＋ y ] ＝ 2 ， [ x ] ＋ [ y ] ＝ 1 ＋ 0 ＝ 1 ，故 ③ 错 . 故 正确的是 ④ . 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　 由已知 x 1 f ( x 1 ) ＋ x 2 f ( x 2 ) ＞ x 1 f ( x 2 ) ＋ x 2 f ( x 1 ) 得 ( x 1 － x 2 )· [ f ( x 1 ) － f ( x 2 )] ＞ 0 ， 所以 函数 f ( x ) 在 R 上是增函数 . 对于 ① ， y ＝ x 2 在 ( － ∞ ， 0) 上为减函数，在 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数 ， 其 不是 “ H 函数 ” ； 对于 ② ， y ＝ e x ＋ 1 在 R 上为增函数，所以其为 “ H 函数 ” ； 对于 ③ ，由于 y ′ ＝ 2 － cos x ＞ 0 恒成立 ， 所以 y ＝ 2 x － sin x 是增函数，所以其为 “ H 函数 ” ； 对于 ④ ，由于其为偶函数，所以其不可能在 R 上是增函数 ， 所以 不是 “ H 函数 ”. 综 上知，是 “ H 函数 ” 的序号为 ②③ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 作出函数 f ( x ) 的图象，如图所示 . f ( x ) ＝ m ( m ∈ R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1 ， x 2 ， x 3 . 不妨设 x 1 < x 2 < x 3 ，易 知 x 2 >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 答案 (1,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 即 3 a － 3< b ≤ 4 a － 4 ，又 0< b < a ＋ 1 ，所以 3 a － 3< b < a ＋ 1 ，得 1< a <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 10. 设 f ( x ) 是定义在 (0 ，＋ ∞ ) 上的函数，且 f ( x ) ＞ 0 ，对任意 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，若经过点 ( a ， f ( a )) ， ( b ，－ f ( b )) 的直线与 x 轴的交点为 ( c, 0) ，则称 c 为 a ， b 关于函数 f ( x ) 的平均数，记为 M f ( a ， b ). 例如，当 f ( x ) ＝ 1( x ＞ 0) 时，可得 M f ( a ， b ) ＝ c ＝ ， 即 M f ( a ， b ) 为 a ， b 的算术平均数 . (1) 当 f ( x ) ＝ ________( x ＞ 0) 时， M f ( a ， b ) 为 a ， b 的几何平均数； 解析　 设 A ( a ， f ( a )) ， B ( b ，－ f ( b )) ， C ( c, 0) ，则三点共线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故可以选择 f ( x ) ＝ x ( x ＞ 0). 解析答案 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　 据已知定义，所谓的 “ 稳定区间 ” 即函数在区间 [ a ， b ] 内的定义域与值域相等 . 问题可转化为已知函数 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 y ＝ x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的 “ 稳定区间 ”. 数 形结合依次判断， ①②③ 均符合条件，而 ④ 不符合条件 . 综上可知， ①②③ 均为存在 “ 稳定区间 ” 的函数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为 x ∈ (0,1] ，所以 ln x ≤ 0 ，即 F ′ ( x ) ＞ 0 在 (0,1] 上恒成立， f ( x ) 在 (0,1] 上不是 “ 非完美增函数 ”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 (2) 若 g ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上是 “ 非完美增函数 ” ，求实数 a 的取值范围 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 所以 h ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， h ( x ) max ＝ h (1) ＝ 0 ，所以 a ≥ 0. ② 若 G ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递减 ， 即－ 4 ＋ ax － ax ln x ≤ 0 在 [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立 . 令 t ( x ) ＝－ 4 ＋ ax － ax ln x ， x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， 因为 t ′ ( x ) ＝－ a ln x ，由 ① 知 a ≥ 0 ，所以 t ′ ( x ) ≤ 0 恒成立 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以 t ( x ) ＝－ 4 ＋ ax － ax ln x 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递减 ， 则 t ( x ) max ＝ t (1) ＝ a － 4 . 要 使 t ( x ) ＝－ 4 ＋ ax － ax ln x ≤ 0 在 [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 综合 ①② 知，实数 a 的取值范围为 [0,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 (1) 判断 y ＝ f ( x ) 的图象是否关于点 ( a ，－ 1) 成中心对称； 由定义可知 y ＝ f ( x ) 的图象关于点 ( a ，－ 1) 成中心对称 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 所以 f ( x ) 在 ( － ∞ ， a ) 上是增函数 . 可知 f ( x ) 在 [ a － 2 ， a － 1] 上是增函数， 当 x ∈ [ a － 2 ， a － 1] 时， f ( x ) ∈ [ f ( a － 2) ， f ( a － 1)] ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 (3) 对于给定的 x i ∈ A ，设计构造过程： x 2 ＝ f ( x 1 ) ， x 3 ＝ f ( x 2 ) ， … ， x n ＋ 1 ＝ f ( x n ). 如果 x i ∈ A ( i ＝ 2,3,4 ， … ) ，构造过程将继续下去；如果 x i ∉ A ，构造过程将停止 . 若对任意 x i ∈ A ，构造过程可以无限进行下去，求 a 的值 . 解　 因为构造过程可以无限进行下去， 即方程 ( a ＋ 1) x ＝ a 2 ＋ a － 1 无解或有唯一解 x ＝ a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 14. 已知函数 f ( x ) ＝ ax ＋ ln x ， g ( x ) ＝ e x . (1) 当 a ≤ 0 时，求 f ( x ) 的单调区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解　 f ( x ) 的定义域是 (0 ，＋ ∞ ) ， ① 当 a ＝ 0 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ， ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； 综上，当 a ＝ 0 时， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故 h ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . ∴ h ( x ) ＜ h (0) ＝ 0 ，故 m ＜ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 (3) 定义：对于函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ g ( x ) 在其公共定义域内的任意实数 x 0 ，称 | f ( x 0 ) － g ( x 0 )| 的值为两函数在 x 0 处的差值 . 证明：当 a ＝ 0 时，函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ g ( x ) 在其公共定义域内的所有差值都大于 2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 证明　 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ ln x ， f ( x ) 与 g ( x ) 的公共定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， | f ( x ) － g ( x )| ＝ |ln x － e x | ＝ e x － ln x ＝ e x － x － (ln x － x ). 设 m ( x ) ＝ e x － x ＞ 0 ，则 m ′ ( x ) ＝ e x － 1 ＞ 0 ， x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， m ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， m ( x ) ＞ m (0) ＝ 1. 当 x ∈ (0,1) 时， n ′ ( x ) ＞ 0 ， n ( x ) 单调递增， 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， n ′ ( x ) ＜ 0 ， n ( x ) 单调递减 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以 x ＝ 1 为 n ( x ) 的极大值点，即 n ( x ) ≤ n (1) ＝－ 1 ， 故 | f ( x ) － g ( x )| ＝ m ( x ) － n ( x ) ＞ 1 － ( － 1) ＝ 2. 即公共定义域内任一点差值都大于 2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14