人教九年级数学中考模拟试卷含答案

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人教九年级数学中考模拟试卷含答案

浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷含解析答案 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一.选择题(共12小题,12*3=36)‎ ‎1.的值是(  )‎ A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3‎ ‎2.已知x2﹣3x+1=0,则的值是(  )‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎3.如图,在数轴上表示实数的可能是(  )‎ A.点P B.点Q C.点M D.点N ‎4.从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛,经过三轮初赛,他们的平均成绩都是86.5分,方差分别是S甲2=1.5,S乙2=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68,你认为派谁去参赛更合适(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎5.一个几何体由大小相同的小正方体搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数.从左面看到的这个几何体的形状图的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.计算﹣•的结果是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.某种长途电话的收费方式如下:接通电话的第一分钟收费a元,之后的每分钟收费b元,如果某人打一次该长途电话被收费m元,则这次长途电话的时间是(  )‎ A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟 ‎8.如图所示,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动,下列说法错误的是(  )‎ A.四边形ACDF是平行四边形 ‎ B.当点E为BC中点时,四边形ACDF是矩形 ‎ C.当点B与点E重合时,四边形ACDF是菱形 ‎ D.四边形ACDF不可能是正方形 ‎9.若不等式组的解集为x>3,则a的取值是(  )‎ A.a≤6 B.a≥6 C.a<6 D.a≤0‎ ‎10.如图,点A、B的坐标分别为(0,2)、(2,0),⊙‎ C的圆心坐标为(﹣1,0),半径为1,若点D为⊙O上的一个动点,线段DB与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值为(  )‎ A.1 B.2 C.2﹣ D.4﹣‎ ‎11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①抛物线的对称轴为x=﹣1;②abc=0;③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根;④无论x取何值,ax2+bx≤a﹣b.其中,正确的个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎12.如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连结AE,作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F,设BE=x,△ECF的面积为y,下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.填空题(共6小题,4*6=24)‎ ‎13.分解因式(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)=   .‎ ‎14.如图是按以下步骤作图:(1)在△ABC中,分别以点B,C为圆心,大于BC长为半径作弧,两弧相交于点M,N;(2)作直线MN交AB于点D;(3)连接CD,若∠BCA=90°,AB=4,则CD的长为   .‎ ‎15.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是   .‎ ‎16.如图,△AOB,AB∥x轴,OB=2,点B在反比例函数y=上,将△AOB绕点B逆时针旋转,当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时,AB的对应边A′B恰好经过点O,则k的值为   .‎ ‎17.如图,动点P从(0,2)出发,沿所示的方向在矩形网格中运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,若第一次碰到矩形的边时坐标为P1‎ ‎(2,0),则P2017的坐标为   .‎ ‎18.如图,MN为⊙O的直径,四边形ABCD,CEFG均为正方形,若OM=2,则EF的长为   .‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题(共7小题,60分)‎ ‎19.(6分)解方程组:.‎ ‎20.(8分)有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克,其中各种糖果的单价和数量如下表所示,商家用加权平均数来确定什锦糖的单价.‎ 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价(元/千克)‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ 千克(千克)‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎(1)该什锦糖的单价为   元/千克.‎ ‎(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元,商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克,则最少需要加入甲种糖果多少千克?‎ ‎21.(8分)‎ 某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件,资助某贫困山区希望小学,已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元,用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同.‎ ‎(1)求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元?‎ ‎(2)若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍,按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元?‎ ‎22.(8分)如图①,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上的点,连结AC并延长AC至点D,使CD=CA,连结ED交⊙O于点B.‎ ‎(1)求证:点C是劣弧的中点;‎ ‎(2)如图②,连结EC,若AE=2AC=4,求阴影部分的面积.‎ ‎23.(10分)问题探究 ‎(1)如图①,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别是边BC、CD上两点,且BM=CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值;‎ 问题解决 ‎(3)如图③,AC为边长为2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值.‎ ‎24.(10分)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).‎ ‎(1)求灯杆CD的高度;‎ ‎(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)‎ ‎25.(10分)已知,矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,点B的坐标为(8,10),抛物线y=ax2+bx+c经过点O,点C,与AB交于点D,将矩形OABC沿CD折叠,点B的对应点E刚好落在OA上.‎ ‎(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式;‎ ‎(2)若点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,是否存在这样的点P、Q,使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.的值是(  )‎ A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3‎ ‎【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案.‎ ‎【解答】解:=﹣1.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了立方根,正确把握立方根的定义是解题关键.‎ ‎2.已知x2﹣3x+1=0,则的值是(  )‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎【分析】先根据x2﹣3x+1=0得出x2=3x﹣1,再代入分式进行计算即可.‎ ‎【解答】解:∵x2﹣3x+1=0,‎ ‎∴x2=3x﹣1,‎ ‎∴原式==.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.‎ ‎3.如图,在数轴上表示实数的可能是(  )‎ A.点P B.点Q C.点M D.点N ‎【分析】根据数的平方估出介于哪两个整数之间,从而找到其对应的点.‎ ‎【解答】解:∵<<,‎ ‎∴2<<3,‎ 点Q在这两个数之间,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查了无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系,解题的关键是求出介于哪两个整数之间.‎ ‎4.从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛,经过三轮初赛,他们的平均成绩都是86.5分,方差分别是S甲2=1.5,S乙2=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68,你认为派谁去参赛更合适(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好可得答案.‎ ‎【解答】解:∵1.5<2.6<3.5<3.68,‎ ‎∴甲的成绩最稳定,‎ ‎∴派甲去参赛更好,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了方差,关键是掌握方差越小,稳定性越大.‎ ‎5.一个几何体由大小相同的小正方体搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数.从左面看到的这个几何体的形状图的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由已知条件可知,从正面看有3列,每列小正方数形数目分别为4,3,2;从左面看有3列,每列小正方形数目分别为1,4,3.据此可画出图形.‎ ‎【解答】解:由俯视图及其小正方体的分布情况知,‎ 该几何体的主视图为:‎ 该几何体的左视图为:‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了几何体的三视图画法.由几何体的俯视图及小正方形内的数字,可知主视图的列数与俯视图的列数相同,且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图的列数与俯视图的行数相同,且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.‎ ‎6.计算﹣•的结果是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】先进行二次根式的乘法法则运算,然后化简后合并即可.‎ ‎【解答】解:原式=3﹣‎ ‎=3﹣‎ ‎=.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化简为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.‎ ‎7.某种长途电话的收费方式如下:接通电话的第一分钟收费a元,之后的每分钟收费b元,如果某人打一次该长途电话被收费m元,则这次长途电话的时间是(  )‎ A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟 ‎【分析】打电话的时间=(m﹣超过a元的钱数+b)÷b,把相关数值代入即可.‎ ‎【解答】解:这次长途电话的时间是分钟,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】考查列代数式;得到打电话所用两个时间段的和的关系式是解决本题的关键.‎ ‎8.如图所示,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动,下列说法错误的是(  )‎ A.四边形ACDF是平行四边形 ‎ B.当点E为BC中点时,四边形ACDF是矩形 ‎ C.当点B与点E重合时,四边形ACDF是菱形 ‎ D.四边形ACDF不可能是正方形 ‎【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可.‎ ‎【解答】解:A、正确.∵∠ACB=∠EFD=30°,‎ ‎∴AC∥DF,‎ ‎∵AC=DF,‎ ‎∴四边形AFDC是平行四边形.故正确.‎ B、错误.当E是BC中点时,无法证明∠ACD=90°,故错误.‎ C、正确.B、E重合时,易证FA=FD,∵四边形AFDC是平行四边形,‎ ‎∴四边形AFDC是菱形,‎ D、正确.当四边相等时,∠AFD=60°,∠FAC=120°,∴四边形AFDC不可能是正方形.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定.正方形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法,属于中考常考题型.‎ ‎9.若不等式组的解集为x>3,则a的取值是(  )‎ A.a≤6 B.a≥6 C.a<6 D.a≤0‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大,结合不等式组的解集即可确定a的范围.‎ ‎【解答】解:解不等式2x+a<3(x+1)得:x>a﹣3,‎ 解不等式>,得:x>3,‎ ‎∵不等式组的解集为x>3,‎ ‎∴a﹣3≤3,‎ 解得:a≤6,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 ‎10.如图,点A、B的坐标分别为(0,2)、(2,0),⊙C的圆心坐标为(﹣1,0),半径为1,若点D为⊙O上的一个动点,线段DB与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值为(  )‎ A.1 B.2 C.2﹣ D.4﹣‎ ‎【分析】由于OA的长为定值,若△ABE的面积最小,则BE的长最短,此时AD与⊙O相切;可连接CD,在Rt△ADC中,由勾股定理求得AD的长,由△AEO∽△ACD,求出OE的长即可解决问题;‎ ‎【解答】解:若△ABE的面积最小,则AD与⊙C相切,连接CD,则CD⊥AD;‎ Rt△ACD中,CD=1,AC=OC+OA=3;‎ 由勾股定理,得:AD=2;‎ ‎∵∠AOE=∠ADC,∠OAE=∠DAC,‎ ‎∴△AOE∽△ADC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ OE=,‎ ‎∴BE=2﹣,‎ ‎∴△ABE的面积的最小值=•BE•AO=2﹣,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识;能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键.‎ ‎11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①抛物线的对称轴为x=﹣1;②abc=0;③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根;④无论x取何值,ax2+bx≤a﹣b.其中,正确的个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.‎ ‎【解答】解:∵抛物线与x轴的交点坐标为(﹣2,0),(0,0),‎ ‎∴对称轴为x==﹣1,故①正确;‎ ‎∵抛物线开口向下,a<0,抛物线与原点相交,c=0,‎ ‎∴abc=0,故②正确;‎ ‎∵c=0,‎ ‎∴b2﹣4a(c+1)=b2﹣4a>0,故③正确;‎ 当x=﹣1时,抛物线有最大值,‎ ‎∴无论x取何值,ax2+bx+c≤a﹣b+c,‎ 即ax2+bx≤a﹣b,故④正确.‎ 正确的为①②③④,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键.‎ ‎12.如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连结AE,作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F,设BE=x,△ECF的面积为y,下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】过F作FG⊥BC于G,求出FG=CG,求出△BAE∽△GEF,得出=,求出FG=x,代入y=×CE×FG求出解析式,根据解析式确定图象即可.‎ ‎【解答】解:过F作FG⊥BC于G,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DCG=90°,‎ ‎∵CF平分∠DCG,‎ ‎∴∠FCG=∠DCG=45°,‎ ‎∵∠G=90°,‎ ‎∴∠GCF=∠CFG=45°,‎ ‎∴FG=CG,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,EF⊥AE,‎ ‎∴∠B=∠G=∠AEF=90°,‎ ‎∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEG=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠FEG,‎ ‎∵∠B=∠G=90°,‎ ‎∴△BAE∽△GEF,‎ ‎∴=,‎ ‎∵BE=x,‎ ‎∴EG=BC﹣BE+CG=4﹣x+FG,‎ ‎∴=,‎ 解得:FG=x,‎ ‎∴y=×CE×FG=×(4﹣x)•x,‎ 即:y=2x﹣x2,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】‎ 本题考查了动点问题的函数图象、正方形性质、角平分线定义、三角形面积的计算、相似三角形的性质和判定的应用等知识,能用x的代数式把CE和FG的值表示出来是解决问题的关键.‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎13.分解因式(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)= (y﹣1)2(x﹣1)2 .‎ ‎【分析】式中x+y;xy多次出现,可引入两个新字母,突出式子特点,设x+y=a,xy=b,将a、b代入原式,进行因式分解,然后再将x+y、xy代入进行因式分解.‎ ‎【解答】解:令x+y=a,xy=b,‎ 则(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)‎ ‎=(b﹣1)2﹣(a﹣2b)(2﹣a)‎ ‎=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b ‎=(a2﹣2ab+b2)+2b﹣2a+1‎ ‎=(b﹣a)2+2(b﹣a)+1‎ ‎=(b﹣a+1)2;‎ 即原式=(xy﹣x﹣y+1)2=[x(y﹣1)﹣(y﹣1)]2=[(y﹣1)(x﹣1)]2=(y﹣1)2(x﹣1)2.‎ 故答案为:(y﹣1)2(x﹣1)2.‎ ‎【点评】本题考查了多项式的因式分解,因式分解要根据所给多项式的特点,选择适当的方法,对所给多项式进行变形,套用公式,最后看结果是否符合要求.‎ ‎14.如图是按以下步骤作图:(1)在△ABC中,分别以点B,C为圆心,大于BC长为半径作弧,两弧相交于点M,N;(2)作直线MN交AB于点D;(3)连接CD,若∠BCA=90°,AB=4,则CD的长为 2 .‎ ‎【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,再证明DA=DC,从而得到CD=AB=2.‎ ‎【解答】解:由作法得MN垂直平分BC,‎ ‎∴DB=DC,‎ ‎∴∠B=∠BCD,‎ ‎∵∠B+∠A=90°,∠BCD+∠ACD=90°,‎ ‎∴∠ACD=∠A,‎ ‎∴DA=DC,‎ ‎∴CD=AB=×4=2.‎ 故答案为2.‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).‎ ‎15.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是 4 .‎ ‎【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k的值,再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围,从而可确定k的值.‎ ‎【解答】解:∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,‎ ‎∴x1+x2=2k,x1•x2=k2﹣k,‎ ‎∵x12+x22=4,‎ ‎∴=4,‎ ‎(2k)2﹣2(k2﹣k)=4,‎ ‎2k2+2k﹣4=0,‎ k2+k﹣2=0,‎ k=﹣2或1,‎ ‎∵△=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣k)≥0,‎ k≥0,‎ ‎∴k=1,‎ ‎∴x1•x2=k2﹣k=0,‎ ‎∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,熟练掌握“当一元二次方程有实数根时,根的判别式△≥0”是解题的关键.‎ ‎16.如图,△AOB,AB∥x轴,OB=2,点B在反比例函数y=上,将△AOB绕点B逆时针旋转,当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时,AB的对应边A′B恰好经过点O,则k的值为  .‎ ‎【分析】先求得△BOO′是等边三角形,即可求得B的坐标,然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式;‎ ‎【解答】解:(1)∵AB∥x轴,‎ ‎∴∠ABO=∠BOO′,‎ ‎∵∠ABO=∠A′BO′,‎ ‎∴∠BOO′=∠OBO′,‎ ‎∴OO′=O′B,‎ ‎∵OB=BO′,‎ ‎∴△BOO′是等边三角形,‎ ‎∴∠BOO′=60°,‎ ‎∵OB=2,‎ ‎∴B(1,);‎ ‎∵双曲线y=经过点B,‎ ‎∴k=1×=,‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,旋转的性质,等边三角形的判定和性质,待定系数法求反比例函数的解析式等,求得△BOO′是等边三角形是解题的关键.‎ ‎17.如图,动点P从(0,2)出发,沿所示的方向在矩形网格中运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,若第一次碰到矩形的边时坐标为P1(2,0),则P2017的坐标为 (2,0) .‎ ‎【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2017除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 经过6次反弹后动点回到出发点(0,2),‎ ‎∵2017÷6=336…1,‎ ‎∴当点P第2017次碰到矩形的边时为第336个循环组的第1次反弹,‎ 点P的坐标为(2,0).‎ 故答案为:(2,0).‎ ‎【点评】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识,作出图形,观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键.‎ ‎18.如图,MN为⊙O的直径,四边形ABCD,CEFG均为正方形,若OM=2,则EF的长为 2 .‎ ‎【分析】连接OD、OF,作OH⊥AD于H,如图,利用垂径定理得到AH=DH,再证明OC=AD,设正方形ABCD的边长为x,利用勾股定理x2+x2=(2)2,解得x=4(x=﹣4舍去),然后设正方形CEFG的边长为a,在Rt△OFG中利用勾股定理得到a2+(2+a)2=(2)2,于是解关于a的方程即可.‎ ‎【解答】解:连接OD、OF,作OH⊥AD于H,如图,则AH=DH,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴四边形OCDH为矩形,‎ ‎∴OC=AD,‎ 设正方形ABCD的边长为x,‎ 在Rt△OCD中,∵OD=2,OC=x,CD=x,‎ ‎∴x2+x2=(2)2,解得x=4(x=﹣4舍去),‎ 设正方形CEFG的边长为a,则FG=a,OG=2+a,‎ 在Rt△OFG中,a2+(2+a)2=(2)2,解得a=2,‎ 即EF=2.‎ 故答案为2.‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了正方形的性质和勾股定理.‎ 三.解答题(共7小题)‎ ‎19.解方程组:.‎ ‎【分析】方程组整理后,利用加减消元法求出解即可.‎ ‎【解答】解:方程组整理得:,‎ ‎①+②得:8x=24,‎ 解得:x=3,‎ 把x=3代入②得:y=﹣5,‎ 则方程组的解为.‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎20.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克,其中各种糖果的单价和数量如下表所示,商家用加权平均数来确定什锦糖的单价.‎ 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价(元/千克)‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ 千克(千克)‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎(1)该什锦糖的单价为 20 元/千克.‎ ‎(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元,商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克,则最少需要加入甲种糖果多少千克?‎ ‎【分析】(1)根据单价=三种糖果的总价÷三种糖果的总质量,由此即可得出结论;‎ ‎(2)设需加入甲种糖果x千克,则加入乙种糖果(100﹣x)千克,根据单价=总价÷数量结合单价不超过18元/千克,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,取其内的最小值即可.‎ ‎【解答】解:(1)(15×30+20×40+25×30)÷(30+40+30)=20(元/千克).‎ 故答案为:20.‎ ‎(2)设需加入甲种糖果x千克,则加入乙种糖果(100﹣x)千克,‎ 根据题意得:≤20﹣2,‎ 解得:x≥80.‎ 答:最少需要加入甲种糖果80千克.‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及加权平均数,解题的关键是:(1)根据单价=三种糖果的总价÷三种糖果的总质量列式计算;(2)根据单价=总价÷数量结合单价不超过18元/千克,列出关于x的一元一次不等式.‎ ‎21.某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件,资助某贫困山区希望小学,已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元,用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同.‎ ‎(1)求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元?‎ ‎(2)若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍,按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元?‎ ‎【分析】(1)设甲种学习用品的价格是x元,则乙种学习用品的价格是(x﹣10)元,根据数量=总价÷单价结合用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;‎ ‎(2)根据总价=单价×数量列式计算,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)设甲种学习用品的价格是x元,则乙种学习用品的价格是(x﹣10)元,‎ 根据题意得:=,‎ 解得:x=50,‎ 经检验,x=50是原分式方程的解,‎ ‎∴x﹣10=40.‎ 答:甲种学习用品的价格是50元,乙种学习用品的价格是40元.‎ ‎(2)50××800+40××800=34000(元).‎ 答:按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为34000元.‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用,解题的关键是:(1)根据数量=总价÷单价,列出关于x的分式方程;(2)根据总价=单价×数量列式计算.‎ ‎22.如图①,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上的点,连结AC并延长AC至点D,使CD=CA,连结ED交⊙O于点B.‎ ‎(1)求证:点C是劣弧的中点;‎ ‎(2)如图②,连结EC,若AE=2AC=4,求阴影部分的面积.‎ ‎【分析】(1)连接CE,由AE是⊙O的直径,得到CE⊥AD,根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC,于是得到结论;‎ ‎(2)连接BC,OB,OC,由已知条件得到△AED是等边三角形,得到∠A=60°,推出AE∥BC,∠BOC=60°,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)连接CE,‎ ‎∵AE是⊙O的直径,‎ ‎∴CE⊥AD,‎ ‎∵AC=CD,‎ ‎∴AE=ED,‎ ‎∴∠AEC=∠DEC,‎ ‎∴;‎ ‎∴点C是劣弧的中点;‎ ‎(2)连接BC,OB,OC,‎ ‎∵AE=2AC=4,‎ ‎∴∠AEC=30°,AE=AD,‎ ‎∴∠AED=60°,‎ ‎∴△AED是等边三角形,‎ ‎∴∠A=60°,‎ ‎∵=,‎ ‎∴==,‎ ‎∴AE∥BC,∠BOC=60°,‎ ‎∴S△OBC=S△EBC,‎ ‎∴S阴影=S扇形==π.‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质,圆周角定理,平行线的判定,扇形的面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎23.问题探究 ‎(1)如图①,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别是边BC、CD上两点,且BM=CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值;‎ 问题解决 ‎(3)如图③,AC为边长为2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值.‎ ‎【分析】(1)结论:AM⊥BN.只要证明△ABM≌△BCN即可解决问题;‎ ‎(2)如图②中,以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,连接EP.首先证明PA+PB=2EF,求出EF的最大值即可解决问题;‎ ‎(3)如图③中,延长DA到K,使得AK=AB,则△ABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB.首先证明PA+PB=PK,求出PK的最大值即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)结论:AM⊥BN.‎ 理由:如图①中,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°,‎ ‎∵BM=CN,‎ ‎∴△ABM≌△BCN,‎ ‎∴∠BAM=∠CBN,‎ ‎∵∠CBN+∠ABN=90°,‎ ‎∴∠ABN+∠BAM=90°,‎ ‎∴∠APB=90°,‎ ‎∴AM⊥BN.‎ ‎(2)如图②中,以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,连接EP.‎ ‎∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°,‎ ‎∴四边形EFPG是矩形,‎ ‎∴∠FEG=∠AEB=90°,‎ ‎∴∠AEF=∠BEG,‎ ‎∵EA=EB,∠EFA=∠G=90°,‎ ‎∴△AEF≌△BEG,‎ ‎∴EF=EG,AF=BG,‎ ‎∴四边形EFPG是正方形,‎ ‎∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF,‎ ‎∵EF≤AE,‎ ‎∴EF的最大值=AE=2,‎ ‎∴△APB周长的最大值=4+4.‎ ‎(3)如图③中,延长DA到K,使得AK=AB,则△‎ ABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB.‎ ‎∵AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,‎ ‎∴△ABM≌△BCN,‎ ‎∴∠BAM=∠CBN,‎ ‎∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°,‎ ‎∴∠APB=120°,‎ ‎∵∠AKB=60°,‎ ‎∴∠AKB+∠APB=180°,‎ ‎∴A、K、B、P四点共圆,‎ ‎∴∠BPH=∠KAB=60°,‎ ‎∵PH=PB,‎ ‎∴△PBH是等边三角形,‎ ‎∴∠KBA=∠HBP,BH=BP,‎ ‎∴∠KBH=∠ABP,∵BK=BA,‎ ‎∴△KBH≌△ABP,‎ ‎∴HK=AP,‎ ‎∴PA+PB=KH+PH=PK,‎ ‎∴PK的值最大时,△APB的周长最大,‎ ‎∴当PK是△ABK外接圆的直径时,PK的值最大,最大值为4,‎ ‎∴△PAB的周长最大值=2+4.‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质,四点共圆等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.‎ ‎24.如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).‎ ‎(1)求灯杆CD的高度;‎ ‎(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)‎ ‎【分析】(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可;‎ ‎(2)在Rt△BCH中,求出BH、CH,在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)延长DC交AN于H.‎ ‎∵∠DBH=60°,∠DHB=90°,‎ ‎∴∠BDH=30°,‎ ‎∵∠CBH=30°,‎ ‎∴∠CBD=∠BDC=30°,‎ ‎∴BC=CD=10(米).‎ ‎(2)在Rt△BCH中,CH=BC=5,BH=5≈8.65,‎ ‎∴DH=15,‎ 在Rt△ADH中,AH===20,‎ ‎∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4(米).‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎25.已知,矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,点B的坐标为(8,10),抛物线y=ax2+bx+c经过点O,点C,与AB交于点D,将矩形OABC沿CD折叠,点B的对应点E刚好落在OA上.‎ ‎(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式;‎ ‎(2)若点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,是否存在这样的点P、Q,使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据翻折的性质,可得DE,CE的长,根据勾股定理,可得AD的长,根据待定系数法,可得答案;‎ ‎(2)①根据平行四边形的对角线互相平分,可得xQ=xP,根据自变量与函数式的对应关系,可得答案;‎ ‎②根据平行四边形对边的横坐标的距离相等可得|xQ﹣xP|,根据自变量与函数式的对应关系,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)由矩形OCBA,B点坐标为(8,10),‎ 得C(8,0),AB=8,AC=BC=10.‎ 设AD的长为x,BD=8﹣x,‎ 由翻折的性质,得 DE=DB=8﹣x,CE=BC=10,‎ 由勾股定理,得OE===6,AE=AO﹣OE=10﹣6=4,‎ 在Rt△ADE中,由勾股定理,得 AD2+AE2=DE2,即42+x2=(8﹣x)2,‎ 解得x=3,即D(3,10),C(8,0),‎ 将D、C、O点坐标代入函数解析式,得,‎ 解得,‎ 抛物线的解析式为y=﹣x2+x;‎ ‎(2)C点坐标为(8,0),E(0,6)‎ ‎①当CE为平行四边形的对角线时,对角线的交点坐标为(4,3),‎ ‎∵Q在对称轴上,‎ ‎∴点P的横坐标等于Q的横坐标4,‎ 当x=4时,y=,‎ 点P为抛物线的顶点∴P(4,);‎ ‎②当CE为平行四边形的边时,C、E两点之间的水平距离等于P、Q两点间的横坐标,‎ 对称轴是x=4,C、E两点之间的水平距离等于8,‎ P在Q的左边时,4﹣8=﹣4,当x=﹣4时,y=﹣32,即P(﹣4,﹣32);‎ P在Q的右边时,4+8=12,当x=12时,y=﹣32,即P(12,﹣32);‎ 综上所述:存在这样的点P、Q,使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标(4,),(﹣4,﹣32),(12,﹣32).‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是利用翻折的性质得出DE,CE的长,又利用了勾股定理,待定系数法;解(2)的关键是利用平行四边形的性质xQ=xP,|xQ﹣xP|;又利用了自变量与函数值的对应关系.‎
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