数学理卷·2018届广东省汕头市高三第一次模拟考试（2018

数学理卷·2018届广东省汕头市高三第一次模拟考试（2018

绝密★启用前 试卷类型：A ‎2018年汕头市普通高考第一次模拟考试试题 理科数学 本试题卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ 1、 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ 2、 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 4、 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合，，则（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎2、若实数满足（为虚数单位），则（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎3、甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎4、若，则的值为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎5、上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎6、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是（ ）‎ ‎.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 ‎. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 ‎ ‎. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 ‎ ‎. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎7、平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎8、函数在区间内是增函数，则（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎9、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎10、已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）‎ ‎. . ‎ ‎. .‎ ‎11、如图3，画出的是某四棱锥的三视图，格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎12、已知都是定义域为的连续函数。已知：‎ 满足：①当时，恒成立；‎ ‎②都有.‎ 满足：①都有；‎ ‎②当时，.‎ 若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎. . . .‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13、的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 . ‎ ‎14、已知椭圆的左右焦点是，设是椭圆上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为 . ‎ ‎15、若平面区域夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是 . ‎ ‎16、在中，且，边上的中线长为，则的面积是 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，且，.‎ （1） 求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ （2） 设，求数列的前项和.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图4，多面体中，平面为正方形，，，，二面角的余弦值为，且.‎ （1） 证明：‎ （2） 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品. 现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：‎ 尺寸 ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 质量 ‎16.8‎ ‎18.8‎ ‎20.7‎ ‎22.4‎ ‎24‎ ‎25.5‎ 质量与尺寸的比 ‎0.442‎ ‎0.392‎ ‎0.357‎ ‎0.329‎ ‎0.308‎ ‎0.290‎ （1） 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；‎ （2） 根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：‎ ‎75.3‎ ‎24.6‎ ‎18.3‎ ‎101.4‎ ‎（i）根据所给统计量，求关于的回归方程；‎ ‎（ii）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大？‎ 附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，直线交于两点.‎ （1） 若直线过焦点，过点作轴的垂线，交直线于点，求证：点的轨迹为的准线；‎ （2） 若直线的斜率为1，是否存在抛物线，使得的斜率之积，且的面积为16，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ （1） 设是的导函数，讨论的单调性；‎ （2） 证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答。作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）。‎ ‎22、（本小题满分10分）‎ 选修：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ （1） 求曲线的极坐标方程；‎ （2） 射线与曲线，分别交于，两点（异于原点），定点，求的面积.‎ ‎23、（本小题满分10分）‎ 选修：不等式选讲 已知函数 （1） 若，求不等式的解集；‎ （2） 关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎2018年汕头市普通高考第一次模拟考试 理科数学 参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D ‎ B ‎ B D A C D B C D 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 或 说明：15题只答一个数不给分（即得0分）‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（1）法一：∵ ， ‎ ‎ ∴ -----------------2分 ‎ 又 ‎ ‎ ∴ 数列是首项为2，公差为1的等差数列 ------------------------3分 ‎ ∴，即： ---------------4分 ‎ 当时，， ‎ 当时，‎ ‎ ∴ ， ------------------6分 法二： ‎ ‎ ，‎ 即 ①‎ 故 ②‎ ‎②-①得：‎ 化简得： -----------------2分 又由①可知，即 是首项为2，公差为2的等差数列， -----------------3分 ‎ -----------------4分 ‎， -----------------5分 是首项为2，公差为1的等差数列. -----------------6分 ‎（2）法一：解：由（Ⅰ）得：‎ ‎ 设数列的前项和分别为，则 -----------7分 ‎ 记，数列的前项和为 ‎ 当时，，则 ‎ 当时，‎ ‎ ∴ ---------------------11分 ‎ ∴ ----------------------12分 法二：由（1）知 设 ， ①‎ 则 ②‎ ① ‎- ②得 ------------8分 ‎ -----------------10分 又， -----------------11分 ‎， -----------------12分 法三：由（1）知：由（1）知 ‎ -----------------8分 ‎ -----------------10分 又，-----------------11分 ‎ -----------------12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：∵，，，由勾股定理得： --------1分 ‎ 又正方形中，……2分 且， ∴面 ----3分 ‎ ∵面，∴平面平面 ----4分 ‎（注：第（1）只有一种证明方法，必须前面两个线线垂直和都出现，下面的3、4分才能给分，只写一个，本题只给1分。 上面一个垂直各占1分。）‎ ‎（2）解：由（Ⅰ）知是二面角的平面角 ……5分 ‎ 作于，则， ‎ ‎ 由平面平面，平面平面，面得：‎ ‎ 面 ------6分 ‎ ‎（第6分给在OE=2上，如果后面E的坐标写对，也可给这1分）‎ ‎ 如图，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则、、、 ∴‎ 的一个方向向量 ---7分 ‎ 设面的一个法向量，‎ ‎ 则， ……8分 ‎ 取，得： -----9分 ‎（注：其他法向量坐标可按比例正确给，比如之类，也是正确的）‎ 又面一个法向量为： ---10分 ‎ ∴ ----11分 设面与面所成二面角为，由为锐角得： ----12分 ‎（注：最后需要根据条件作答案为“正值”的说明，只算法向量答案，不做文字说明，扣1分。）‎ ‎（第（2）问解法2）‎ ‎ ∵ ∴ （）……7分 ‎ 设面的一个法向量，‎ ‎ 则……8分 ‎ 令，得， ……9分 （后面步骤相同）‎ ‎（第（2）问解法3）‎ 以D点建系的解法，求出来的法向量与以上建系的坐标一样。‎ ‎（第（2）问解法4：几何法）‎ 连结BD，‎ 延长CB至G，使得GB=BC=2 ， 连结GA并延长交CD的延长线于H，连结EH 过C作的延长线于点K，连结BK ……5分 ‎∵B为CG中点，AB//CD ∴A为GH中点， ∴HD=CD=4‎ ‎ ∴BD//GH ∴GH//EF， ∴H、A、G、E、F共面 ……6分 由（1）知 ∴ 又∵ ∴‎ ‎ ∴为所求二面角的一个平面角 …… 8分 ‎ ∵ 而 ‎ ∴ ……9分 ∴……10分 ‎ ∴ ……11分 G H K ‎ ∵为锐角 ∴面与面 所成二面角的锐角余弦值为……12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即 ‎ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 -----------1分 ‎ 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数--------2分 ‎ ， ， (算对两个给1分)‎ ‎ ， ----------------------------3分 ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎----------------------------4分 ‎ ----------------------------5分 ‎（2）解：对（）两边取自然对数得，‎ ‎ 令，得，且， ----------------------------6分 ‎ （ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，‎ ‎ ----------------------------7分 ‎ ，得，故 ----------------------8分 ‎ 所求y关于x的回归方程为 ----------------------------9分 ‎ （ⅱ）由（ⅰ）可知，，则 ‎ 由优等品质量与尺寸的比，即----10分 ‎ 令，‎ ‎ 当时，取最大值 ----------------------------12分 ‎ 即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大.‎ ‎20．（1）证明：依题意得，直线的斜率存在，过焦点，故设其方程为：，‎ 设点,，‎ 由得：，则 ---------------------------2分 直线，直线----------------------------3分 由得：，----------------------------4分 又由直线的斜率存在，可得， ‎ 故点的轨迹在的准线上(). ----------------------------5分 证法二：依题意得，直线的斜率存在，过焦点，故设其方程为：，‎ 设点,，‎ 由得：，则 ---------------------------2分 过点作轴的垂线，与的准线的交点为，而直线，---------3分 将代入直线方程得，即直线也过点，---------4分 又由直线的斜率存在，可得， ‎ 故点的轨迹在的准线上(). ----------------------------5分 ‎（注：因为题目是证明，故没有说明不扣分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：由已知，函数的定义域为， ------1分 ‎ 所以 ----------------------------2分 ‎ 当时，，单调递减 ----------------------------3分 ‎ 当时，，单调递增 ----------------------------4分 ‎（2）证明：由，解得 ---------------------5分 ‎ 令 -------6分 ‎ 则 ‎ 于是，存在，使得 ----------------------------7分 ‎ 令 ----------------------------8分 ‎ 由（Ⅰ）知：，即 ------------------9分 ‎ 当时，有 ‎ 由（Ⅰ）知，在区间上单调递增 ‎ 故：当时，，‎ ‎ 当时，， ----------------------------10分 ‎ 又当时，．‎ ‎ 所以，当时，. ----------------------------11分 ‎ 综上述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解 --12分 ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（1）解：曲线的直角坐标方程为：‎ ‎ ----------------------------------------2分 ‎(有转化正确，但最终写错，可给1分)‎ ‎ 由，得：‎ 曲线的极坐标方程为． -------------------------------4分 ‎（没有给出转化公式扣1分，没有给出转化公式但有在做题中体现转化过程，可不扣分）‎ 法一：‎ （2） 解：点到射线的距离为 ‎ -----------------------------------------6分 ‎ ----------------------9分 ‎（两个极径每求一个可得1分，两个2分，算对极径差值得1分）‎ 则 -------------------------------10分 ‎（如，则距离d这步得分可算在这里.）‎ 法二：‎ ‎（2）解：将 ‎ 曲线的极坐标方程为 ‎ 由，得：‎ 由得 ‎ 由得 ‎ ‎-------------------------------6分 ‎(每求对一个交点坐标得1分，两个都对得2分)‎ ‎ -------------------------------7分 点M到直线 ‎ ‎-------------------------------8分 ‎ -------------------------------10分 ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）解：当a=1时，原不等式等价于：． ----------------------------1分 ‎ 当 ----------------------------2分 ‎ 当 ----------------------------3分 ‎ 当 ----------------------------4分 ‎ ∴原不等式的解集为： ----------------------------5分 ‎（2）解： ----------------------------6分 ‎ 令，依题意： ----------------------------7分 ‎ ∵，∴ ----------------------------8分 ‎ ∴，解得或 ----------------------------9分 ‎ 故：的取值范围为 ----------------------------10分