辽宁省大连市第二十四中学2020届高三4月模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

辽宁省大连市第二十四中学2020届高三4月模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合和集合，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知得，，所以有，故选A.‎ ‎2.设复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝4，z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数模的几何意义以及椭圆的定义即可求解.‎ ‎【详解】设，则，所以 同理可得，‎ 即|z﹣i|+|z+i|＝4，‎ 即到两点的距离之和为，‎ 所以z在复平面内对应的点（x，y）的轨迹为 ‎ 故选：D - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了复数模的几何意义以及椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.‎ ‎【详解】在上投影为，即 ‎ ‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.‎ ‎4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）‎ 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.‎ A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%‎ - 26 -‎ C. 互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%‎ D. 互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．‎ ‎【详解】A选项，由图可知90后占了56%，故正确；‎ B选项，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；‎ C选项，互联网行业中从事产品岗位的90后人数所占比例为，故不正确；‎ D选项，互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例为，故正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较容易．‎ ‎5.设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝x的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由极值与导数的关系确定，确定当0x﹣1以及x0时，的符号；当x＝﹣1时，‎ - 26 -‎ ‎＝0；当x﹣1时，符号．由此观察四个选项能够得到正确结果．‎ ‎【详解】∵函数f（x）在R上可导，其导函数，‎ 且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，‎ ‎∴当x﹣1时，0；‎ 当x＝﹣1时，＝0；‎ 当x﹣1时，0．‎ ‎∴当0x﹣1时，0；x0时，0；‎ 当x＝﹣1时，＝0；‎ 当x﹣1时，＜0．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．‎ ‎6.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的图象变换，求得函数，求得增区间，令，可得函数的单调递增区间为，进而根据函数在区间上无极值点，即可求解.‎ - 26 -‎ ‎【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位，‎ 可得函数，‎ 令，解得 即函数的单调递增区间为，‎ 令，可得函数的单调递增区间为，‎ 又由函数在区间上无极值点，则的最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.‎ ‎7.记表示不超过的最大整数.若在上随机取1个实数，则使得为偶数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到.所以，再由几何概型的长度模型得到结果.‎ ‎【详解】若，则.要使得为偶数，则.所以，故所求概率.‎ 故答案为A.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了对数不等式的解法，以及几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．‎ ‎8.如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（　　）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，，从而，，取中点，连结，，从而平面，延长至点，使，连结，，，则四边形为正方形，即有，从而（或其补角）即为异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小．‎ ‎【详解】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，‎ ‎∴BD＝，∴∠BAD＝90°，‎ 取BD中点O，连结AO，CO，‎ ‎∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，‎ ‎∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，‎ 又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，‎ ‎∴AO⊥平面BCD，‎ 延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，‎ 则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，‎ ‎∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，‎ 由题意得AE＝a，ED＝a，‎ - 26 -‎ ‎∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，‎ ‎∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．‎ ‎9.已知函数对满足：，，且，若，则（）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解.‎ ‎【详解】因为，‎ ‎∴，又 故，即 所以函数的周期为6，‎ 由已知可得 当时，，，又，‎ 所以，并且，‎ 所以，‎ 故选A.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.‎ ‎10.若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 展开式的通项为 ‎，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．‎ 所以.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎11.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，则的取值范围是（ ）‎ A. （2，+∞） B. （2，4） C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cos2A＝cosB，结合角的范围可求2A＝B，利用三角形内角和定理及已知可求范围A∈(，)，可得sinA∈(，‎ - 26 -‎ ‎)，而根据正弦定理，比例的性质即可求解．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴cos2A+cosCcosA＝sin2A+sinAsinC，,,可得：cos2A＝cosB，‎ ‎∴在锐角△ABC中，2A＝B，‎ ‎∵A+B+C＝π，可得：3A+C＝π，C∈(0，)，‎ ‎∴A∈(，)，可得：sinA∈(，)，‎ ‎∵a＝2，‎ ‎∴∈(2，4)．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，比例的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切．过A作直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂线，垂足为B，则|MA|+|MB|的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设M（x，y），求出点轨迹方程y2＝4x，即可得M的轨迹是抛物线，其焦点为A（1，0），准线为x＝﹣1，过点M作MD与准线垂直，且交准线于点D，分析可得直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0经过定点（3，﹣2），设P（3，－2），由点性质可得B在以AP为直径的圆上，由抛物线的定义可得又由|MA|＝|MD|，则|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，通过（为中点，圆心）结合图形分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，设M（x，y），以MA为直径的圆的圆心为（，），‎ 又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有（）2＝（1）2+（）2，‎ 变形可得：y2＝4x，‎ - 26 -‎ 则M的轨迹是抛物线，其焦点为A（1，0），准线为x＝﹣1，‎ 过点M作MD与准线垂直，且交准线于点D，‎ 设直线l为x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0，变形可得m（y+2）＝y﹣x+5，‎ ‎∴可得直线l经过定点（3，﹣2），‎ 设P（3，－2），设AP的中点为C，则C的坐标为（2，﹣1），|CP|，‎ 若AB⊥l，则B在以AP为直径的圆上，该圆的方程为，‎ 又由|MA|＝|MD|，则|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，‎ 则当C、M、D三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值为圆上的点到D的最小值，‎ 此时|MA|+|MB|min＝|CD|﹣r＝3，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出M的轨迹方程，属于综合题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应题号后的横线上．‎ ‎13.若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得，计算求得结果.‎ ‎【详解】，‎ 则 ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎14.已知是的外心，,,则的最小值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，平方得到，变换 利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故 - 26 -‎ 当即时等号成立 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎15.已知双曲线的右顶点为,且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：过点作于，，点到渐进线的距离为 即得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：过点作于，则 ‎ 一条渐近线方程为：，点到直线的距离为 ‎ 即 ‎ 故答案为：‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率，计算得到是解题的关键.‎ ‎16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.‎ ‎【详解】(1)每个三角形面积是 - 26 -‎ ‎，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，‎ 可求出该四面体高为，故四面体体积为，‎ 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；‎ ‎(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，‎ 连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，‎ 所以， 所以球的体积.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．‎ ‎17.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．‎ ‎（1）证明：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（2）设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，求cosθ的取值范围．‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明BC⊥AC．通过平面ACFE⊥平面ABCD，推出BC⊥平面ACFE．‎ ‎（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，平面FCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．‎ ‎【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°‎ 所以AB＝2，所以AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3，‎ 所以AB2＝AC2+BC2，所以BC⊥AC．‎ 因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，‎ 因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．‎ ‎（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，‎ 令，则C（0，0，0），，B（0，1，0），M（λ，0，1）．‎ ‎∴，．‎ 设（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，‎ 由得，取x＝1，则(1，，)，‎ ‎∵(1，0，0)是平面FCB的一个法向量 ‎∴cosθ ‎∵，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．‎ ‎∴．‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．‎ ‎18.已知数列的前项和为，且满足 ‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设 ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）依题意，当时，，，‎ ‎，再检验 时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列的通项公式； （Ⅱ）由可得，分组求和即可．‎ 试题解析：(1)当时，，，‎ 当时，由得，‎ 显然当时上式也适合，∴‎ - 26 -‎ ‎(2)∵，‎ ‎∴‎ ‎ .‎ ‎19.近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：‎ 根据以上数据，绘制了散点图.‎ ‎（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立与的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；‎ ‎（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：‎ - 26 -‎ 西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要（）年才能开始盈利，求的值.‎ 参考数据：‎ 其中其中，，‎ 参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.‎ ‎【答案】（1）（2），3470（3）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由散点图可知，更接近指数增长，所以适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型.‎ - 26 -‎ ‎（2）根据（1）的判断结果两边取对数得，则两者线性相关，根据已知条件求出得回归方程，进而得到y关于x的回归方程，再令，求预测值 ‎（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，根据题意得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2，求出分布列，进而求得期望，然后再建立不等式求解.‎ ‎【详解】（1）根据散点图判断，在推广期内， （均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型.‎ ‎（2）根据（1）的判断结果，‎ 两边取对数得，‎ 其中，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以。‎ 所以。‎ 当时， 。‎ 所以活动推出第8天使用扫码支付的人次3470人.‎ ‎（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，‎ 根据题意得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2‎ ‎，‎ ‎，‎ - 26 -‎ ‎。‎ 假设这批车需要（）年才能开始盈利，‎ 则，‎ 解得 所以需要7年才能开始盈利.。‎ ‎【点睛】本题主要考查用样本估计总体，变量得相关性以及离散型随机变量得期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，若，，且.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中曲线的左、右顶点分别为、，过点的直线与曲线交于两点，（不与，重合）.若直线与直线相交于点，试判断点，，是否共线，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第（Ⅰ）问由且可得点到两定点的距离之和为常数，可得动点轨迹为椭圆；‎ 第（Ⅱ）问分类讨论直线的方程，斜率不存在时可直接求出所需点的坐标；斜率存在时则先设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程求出交点关系，再求出点，利用的关系判断即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设，，则 ‎ .‎ ‎∴动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，‎ 设其方程为，则，，即，，‎ - 26 -‎ ‎∴.∴动点的轨迹的方程为.‎ ‎（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，：，不妨设，，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 令得.‎ ‎∴.∴点，，共线.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设：，设，.‎ 由消得，‎ 由题意知恒成立，故，，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 令得.‎ ‎∴ ，‎ 上式中的分子 ‎.‎ ‎∴，∴点，，共线.‎ 综上可知，点，，共线.‎ ‎【点睛】圆锥曲线综合题是高考常考题型，难度较大，一般解题思路是：‎ - 26 -‎ ‎（1）先设出未知的点与直线方程；‎ ‎（2）联立直线与圆锥曲线方程，并进行消元化简，得到关于x或y的一元二次方程形式；‎ ‎（3）利用韦达定理求出两横坐标（或纵坐标）的关系；‎ ‎（4）再探讨所求问题与上述所得x或y的关系式的关系，进而解决所求问题．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若时，取得极小值，求实数及的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当，时，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）根据时，取得极小值，可得，解方程得，将代入进一步求出的范围；‎ ‎（Ⅱ）证明成立，即证明成立，构造函数，，利用导数求得的最小值，结合即可证得该不等式成立．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由函数，，得 ‎，‎ ‎∵当时，取得极小值，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 即的取值范围为：．‎ - 26 -‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 要证成立，‎ 即证成立，‎ 令，，则 ‎，，‎ 令，则，‎ ‎∴当时， ，此时递减；‎ 当时，，此时递增，‎ ‎∴，‎ 显然，，‎ ‎∴时，成立．‎ 即时，‎ ‎【点睛】本题主要考查了极值与导数的关系及方程思想，还考查了利用导数求函数的最值，考查转化能力及计算能力，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足，点B的轨迹为．‎ ‎(1)求，的极坐标方程；‎ ‎(2)设点C的极坐标为(2，0)，求△ABC面积的最小值．‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为ρ=2sinθ；的极坐标方程为ρsinθ=3．（2）△ABC面积的最小值为1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据公式，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行相互转换．‎ ‎(2) 利用（1）的结论，结合三角形的面积公式、三角函数的值域即可求出结果．‎ ‎【详解】(1) 曲线的参数方程为(为参数)‎ 转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1．‎ 展开后得x2+y 2-2y=0‎ 根据ρ2= x2+y 2， y=ρsinθ 代入化简得的极坐标方程为ρ=2sinθ 设点B的极坐标方程为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），‎ 则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，‎ 由于满足|OA|•|OB|=6，‎ 则，整理得的极坐标方程为ρsinθ=3‎ ‎(2) 点C的极坐标为(2，0)，则OC=2‎ ‎ ‎ 所以当时取得最小值1‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转换，三角形面积公式的综合应用，考查对知识的运用和计算能力，属于中档题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合a取不同范围，去绝对值，计算a的范围，即可．（2）结合函数性质,计算的最大值,结合题意,建立关于a的不等式，计算a的范围，即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 若，则，得，即时恒成立；‎ 若，则，得，即；‎ 若，则，得，此时不等式无解. ‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，‎ 只需.‎ 当时，，.‎ 因为，‎ 所以当时， .‎ 于是，解得.‎ 结合，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，难度较大．‎ - 26 -‎ - 26 -‎