【数学】辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高二下学期6月月考试题

【数学】辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高二下学期6月月考试题

辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高二下学期6月月考试题 一、 选择题（共60分，每小题5分）‎ ‎1．设为虚数单位，复数满足，则　　‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎2．设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A．75万 B．85万元 C．99万元 D．105万元 ‎4．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的大致图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）‎ A．96 B．84 C．60 D．48‎ ‎7．的展开式中的系数是（ ）‎ A．1288 B．1280 C．-1288 D．-1280‎ ‎8．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ 　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、 填空题（共20分，每小题5分）‎ ‎13．如果随机变量，且，则__________.‎ ‎14．已知函数在上不是单调函数，则的取值范围是________．‎ ‎15．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．‎ ‎16．已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.‎ 三、解答题 ‎17．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？‎ ‎（1）男运动员3名，女运动员2名；‎ ‎（2）至少有1名女运动员；‎ ‎（3）队长中至少有1人参加；‎ ‎（4）既要有队长，又要有女运动员.‎ ‎18．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；‎ ‎（3）求展开式中含的项的系数及有理项.‎ ‎19．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；‎ ‎（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的人数为，求 的分布列及数学期望.‎ ‎20．某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：‎ 同意 不同意 合计 男生 a ‎5‎ 女生 ‎40‎ d 合计 ‎100‎ ‎（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；‎ ‎（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎21．已知函数，，其中.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.‎ ‎22. 1.已知函数（是自然对数的底数）,.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）对任意都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎（3）对任意证明：； ‎ 参考答案 ‎1．B2．C3．B4．B5．B6．B7．C8．D9．A10．D11．D12．D ‎13．‎ ‎14．‎ 解：因为，则，‎ 若函数在上是单调递增的函数，则在上恒成立，即在上恒成立，因此；‎ 若函数在上是单调递减的函数，则在上恒成立，即在上恒成立，因此；‎ 因为函数在上不是单调函数，‎ 所以.‎ ‎15．‎ 解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有 种；‎ 若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；‎ 若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.‎ ‎16．‎ 解：问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围．‎ 作出函数的图象如下图所示：‎ 先考虑直线与曲线相切时，的取值，‎ 设切点为，对函数求导得，切线方程为，‎ 即，则有，解得.‎ 由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎17．‎ 解：（1）分两步完成，首先选3名男运动员，有种选法，‎ 再选2名女运动员，有种选法，‎ 共有种选法.‎ ‎（2）“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”，‎ 从10人中任选5人，有种选法，全是男运动员有种选法，‎ 所以“至少有1名女运动员”的选法有种选法.‎ ‎（3）“只有男队长”的选法有种，“只有女队长”的选法有种，“男女队长都入选”的选法有种，‎ 所以队长中至少有1人参加的选法共有种；‎ ‎（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有种，‎ 不选女队长，必选男队长，共有种，其中不含女运动员的选法有种，此时共有种，‎ 所以既要有队长，又要有女运动员的选法共有种.‎ ‎18． 解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，‎ 所以，即，‎ 所以（舍去）或.‎ ‎（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，‎ 即.‎ ‎（3）通项公式：‎ 由，，‎ 可得含的项的系数为.‎ ‎19． ‎ 解：(Ⅰ)平均值的估计值 中位数的估计值：‎ 因为，‎ 所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.‎ ‎ (Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于年龄段内，14人位于年龄段外。‎ 依题意，的可能值为0,1,2‎ ‎,,‎ ‎ ‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎20．解：（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，‎ 所以，‎ 文（2）由列联表可得 而 所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 ‎（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，‎ 即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，‎ 故X服从二项分布，‎ 即从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ X的数学期望为 ‎21．解：（1）函数的定义域为，‎ ‎.‎ 当时，令，可得或.‎ ‎①当时，即当时，对任意的，，‎ 此时，函数的单调递增区间为；‎ ‎②当时，即当时，‎ 令，得或；令，得.‎ 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ ‎③当时，即当时，‎ 令，得或；令，得.‎ 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ ‎（2）由题意，可得，可得，其中.‎ 构造函数，，则.‎ ‎，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在或处取得最小值，‎ ‎，，则，，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎22. （1）设 当，，当，‎ 所以当时，单调递减，当时，单调递增 从而当时，取得的极小值 ‎（2）‎ 令，‎ ‎，令解得 ‎（i）当时，所以对所有，；在上是增函数.‎ 所以有 即当时，对于所有，都有.‎ ‎（ii）当时，对于，所以在上是减函数，从而对于有，即，所以当时，不是对所有的都有成立.‎ 综上，的取值范围是 ‎（3）证明：令，，当，‎ 所以当时单调递增；；‎ 所以，‎ 所以