江苏省徐州市睢宁县古邳中学2020届高三上学期10月月考数学试卷

江苏省徐州市睢宁县古邳中学2020届高三上学期10月月考数学试卷

数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．已知集合，若，则实数的值为____________．‎ ‎2．函数的定义城为____________．‎ ‎3．“实数”是“向量与向量平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．‎ ‎4．已知幂函数在区间上是单调递减函数,则整数的取值为_______．‎ ‎5．已知= ，则的值是____________．‎ ‎6．设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．‎ ‎7．若函数（）的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，‎ 则=_______．‎ ‎8．已知函数，则的值为____________．‎ ‎9．在中，设分别为角的对边，记的面积为，且，,则的值为____________．‎ ‎10．设函数，则不等式的解集为____________．‎ ‎11．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___．‎ ‎12．已知，，且，则的最大值为________．‎ ‎13．如图，在平面四边形中，，，，点为线段的中点．若()，则的值为________．‎ ‎14．已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围___．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）在中，，A．‎ ‎（1）求的值； （2）若，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）已知定义域为R的函数是奇函数．‎ ‎（1）求实数m的值； （2）解不等式．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．‎ 求证：（1）直线PA∥平面BDE； （2）平面BDE⊥平面PCD．‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 已知向量，，函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求函数，的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时对应的值；‎ ‎（3）若，求的值．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎ 为了迎接国庆节，某公司欲生产一款节日礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰(如图1)．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成(如图2)．已知圆O的半径为20cm，设∠BAO=θ，，圆锥的侧面积为S cm2．‎ ‎（1）求S关于θ的函数关系式；‎ ‎（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．当腰AB的长度是多少时，S取得最大值，并求出S的最大值．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数（是自然对数的底数）.‎ ‎（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；‎ ‎（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．【选做题】‎ B．[选修4- 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系 ‎【必做题】每题10分，20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）在正三棱柱中，已知，，，，分别是，和的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．⑴求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎⑵求二面角的余弦值．‎ ‎23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．⑴求曲线的方程；‎ ‎⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．‎ B．因为， ………………………………………5分 所以． ………………………………………………………10分 C.把直线方程化为普通方程为． ……………………………3分 将圆化为普通方程为，‎ 即． ………………………………………………………………6分 圆心到直线的距离，‎ 所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分 ‎22．（1）因为，则，‎ 所以，， ………………………………………2分 记直线和所成角为，‎ 则，‎ 所以直线和所成角的余弦值为． ………………………………………4分 ‎（2）设平面的法向量为 ， ‎ 因为，，‎ 则，取得： ……………………………6分 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，‎ 则，取得： ………………………8分 ‎ ‎ 根据图形可知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为； ……………………………………10分 ‎23．（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，‎ 设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，‎ 所以圆的半径为，点，‎ 则直线的方程为，即，………………………2分 所以，又，‎ 所以，即，‎ 所以的方程为 ………………………………………………4分 ‎（2）设， ，，‎ 由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，‎ 由，所以，，‎ 所以，， ……………………………………………………6分 所以．……………………………………8分 ‎ 令，，‎ 则，‎ 由得，由得，‎ 所以在区间单调递减，在单调递增，‎ 所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值 此时．…………………………………………………10分 ‎【证明】（1）连结，因为为平行四边形对 角线的交点，所以为中点．‎ 又因为为的中点，‎ 所以∥． ……………………4分 又因为平面，平面，‎ 所以直线∥平面． …………………………………………6分 ‎（2）因为∥，，所以． ……………………8分 因为，为的中点，所以． …………………10分 又因为平面，平面，，‎ 所以平面． ………………………………………………12分 又因为平面，所以平面平面． ……………14分 ‎17．（1）设交于点，过作，垂足为， ‎ 在中，，，……………2分 在中，，……………………………4分 所以 ……6分 D θ A B C O E ‎（2）要使侧面积最大，由（1）得：‎ ‎…………8分 设 ‎ 则，由得：‎ 当时，，当时，‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以在时取得极大值，也是最大值；‎ 所以当时，侧面积取得最大值， …………………………11分 此时等腰三角形的腰长 答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分 ‎20.解：（1），‎ 所以在处的切线为 即： ……………………2分 与联立，消去得，‎ 由知，或. ………………………………4分 ‎（2）‎ ‎①当时，在上单调递增，且当时，，‎ ‎，故不恒成立，所以不合题意 ；………………6分 ‎②当时，对恒成立，所以符合题意；‎ ‎③当时令，得， 当时，，‎ 当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，‎ 综上：. ………………………………10分 ‎(3)当时，由（2）知，‎ 设，则，‎ 假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………………13分 令得：，因为， 所以.‎ 令，则 ，‎ 当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，‎ 所以存在符合条件的，且仅有一个. ………………………16分