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文档介绍
北京市通州区2020届高三高考数学一模试卷
2020年高考数学一模试卷 一、选择题（共10小题） 1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（ ） A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（ ） A．1 B．2 C．5 D．3 3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（ ） A．π2 B．π C．2π D．4π 4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（ ） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，1） 5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（ ） A．﹣1 B．-12 C．12 D．1 6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x23-y2=1的右焦点重合，则p＝（ ） A．2 B．2 C．22 D．4 7．在（2x-1x）6的展开式中，常数项是（ ） A．﹣l60 B．﹣20 C．20 D．160 8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），B(cos(α+π3)，sin(α+π3))．则|OA→+OB→|=（ ） A．1 B．3 C．2 D．与α有关 9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表： N＝2n（n＞0） lgN N的位数 21 lg2 一位数 22 lg4 一位数 23 lg8 一位数 24 1+lg1.6 两位数 25 1+lg3.2 两位数 26 1+lg6.4 两位数 27 2+lg1.28 三位数 28 2+lg2.56 三位数 29 2+lg5.12 三位数 210 3+lg1.024 四位数 …… …… …… 试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（ ） A．101 B．50 C．31 D．30 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知向量a→=(1，-2)，b→=(-3，m)，其中m∈R．若a→，b→共线，则m等于 ． 12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为 ． 13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 ． 14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝ ；an＝ ．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”） 15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cosx，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．已知△ABC，满足a=7，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由． 从①A=π3，②cosB=217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表： 专项 员工人数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 （Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望． 18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°． （Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG； （Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值； （Ⅲ）若点F满足AF→=λAB→，当EF∥平面AGH时，求λ的值． 19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，点A（0，1）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由． 20．已知函数f（x）＝（x﹣a）ex+x+a，设g（x）＝f'（x）． （Ⅰ）求g（x）的极小值； （Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足ai+1＝[ai]•（ai﹣[ai]），其中a0是任意一个非零实数． （Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3； （Ⅱ）若a0＞0，求数列{[ai]}的最小值； （Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，ai＝ai+2． 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（ ） A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x≤2} 【分析】利用交集定义能求出A∩B． 解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}， ∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 故选：D． 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（ ） A．1 B．2 C．5 D．3 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可 解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|=(-1)2+22=5， 故选：C． 3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（ ） A．π2 B．π C．2π D．4π 【分析】函数y解析式提取2变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期． 解：函数y＝sin2x+cos2x=2sin（2x+22）， ∵ω＝2，∴T＝π． 故选：B． 4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（ ） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，1） 【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上． 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2， ∴f（﹣1）＝﹣2， ∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上． 故选：B． 5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（ ） A．﹣1 B．-12 C．12 D．1 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出． 解：a，3，b，9，c成等比数列， 则bc＝81，b2＝27， ∴b2bc=bc=13， ∴log3b﹣log3c＝log313=-1， 故选：A． 6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x23-y2=1的右焦点重合，则p＝（ ） A．2 B．2 C．22 D．4 【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（p2，0），可得p2=2，得p＝4． 解：∵双曲线x23-y2=1中a2＝3，b2＝1 ∴c=a2+b2=2，得双曲线的右焦点为F（2，0） 因此抛物线y2＝2px的焦点（p2，0）即F（2，0） ∴p2=2，即p＝4 故选：D． 7．在（2x-1x）6的展开式中，常数项是（ ） A．﹣l60 B．﹣20 C．20 D．160 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项． 解：(2x-1x)6展开式的通项公式为 Tr+1=C6r•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r•C6r•x6﹣2r， 令6﹣2r＝0，可得r＝3，故(2x-1x)6展开式的常数项为﹣8•C63=-160， 故选：A． 8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），B(cos(α+π3)，sin(α+π3))．则|OA→+OB→|=（ ） A．1 B．3 C．2 D．与α有关 【分析】根据题意，求出向量OA→、OB→的坐标，进而可得OA→+OB→的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案． 解：根据题意，A（cosα，sinα），B(cos(α+π3)，sin(α+π3))． 则OA→=（cosα，sinα），OB→=（cos（α+π3），sin（α+π3））， 则有OA→+OB→=（cosα+cos（α+π3），sinα+sin（α+π3））， 故|OA→+OB→|2＝[cosα+cos（α+π3）]2+[sinα+sin（α+π3）]2＝2+2cosαcos（α+π3）+2sinαsin（α+π3）＝2+2cosπ3=3， 则|OA→+OB→|=3； 故选：B． 9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2ab，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立． 解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab， 若ab≥1，则a+b≥2． 反之不成立，例如取a＝5，b=110． ∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件． 故选：A． 10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表： N＝2n（n＞0） lgN N的位数 21 lg2 一位数 22 lg4 一位数 23 lg8 一位数 24 1+lg1.6 两位数 25 1+lg3.2 两位数 26 1+lg6.4 两位数 27 2+lg1.28 三位数 28 2+lg2.56 三位数 29 2+lg5.12 三位数 210 3+lg1.024 四位数 …… …… …… 试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（ ） A．101 B．50 C．31 D．30 【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数． 解：∵450＝2100，∴N＝2100， 则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26， 由表中数据规律可知，N的位数是31位数， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知向量a→=(1，-2)，b→=(-3，m)，其中m∈R．若a→，b→共线，则m等于 6 ． 【分析】因为a→，b→共线，即a→∥b→，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可． 解：若a→，b→共线，即a→∥b→， ∵a→=(1，-2)，b→=(-3，m)， ∴1×m＝﹣2×（﹣3）， ∴m＝6． 故答案为：6． 12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为 1 ． 【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果． 解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0）， 所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离d=|1+1|12+(3)2=1， 故答案为：1． 13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 1633 ． 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体． 如图所示： 所以：V=13×12×4×23×4=1633． 故答案为：1633． 14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝ 8 ；an＝ 15n﹣7 ．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”） 【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{an}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出． 解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{an}的公差为15，首项为8． ∴a1＝8，an＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7． 故答案为：8，15n﹣7． 15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cosx，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是 ①②④ ． 【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cosx的奇偶性及单调性即可得出结论． 解：①∵x2≥0， ∴x2+1≥1， 故值域为[1，+∞），符合题意； ②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意； ③∵2x＞0， ∴2x+1＞1， 故值域为（1，+∞），不合题意； ④函数f（x）＝x2+cosx为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sinx，f''（x）＝2﹣cosx＞0，故f′（x）在R上单调递增， 又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减， 又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意． 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．已知△ABC，满足a=7，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由． 从①A=π3，②cosB=217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为332，由此作出判断； 选②，先利用余弦定理可得c=3，结合已知条件可知△ABC是A 为直角的三角形，进而求得面积为3，此时S＞2不成立． 解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下： 当A=π3时，cosA=12=4+c2-72⋅2c， 所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3， 则△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×sinπ3=323， 因为323=274＞4=2， 所以S＞2成立． 选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下： 当cosB=217时，cosB=a2+c2-b22ac=217， 即7+c2-427c=217，整理得，c2-23c+3=0，所以c=3， 因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7， 所以△ABC是A为直角的三角形， 所以△ABC的面积S=12bc=12×2×3=3＜2， 所以不成立． 17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表： 子女教育 继续教育 大病医疗 住房租金 赡养老人 专项 员工人数 住房贷款利息 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 （Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可． （Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人， 抽取的老年员工140×20400=7人， 中年员工180×20400=9人， 青年员工80×20400=4人． （Ⅱ）X的可取值为0，1，2， P(X=0)=C32C82=328，P(X=1)=C31⋅C51C82=1528，P(X=0)=C52C82=1028． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 328 1528 1028 数学期望E（X）=0×328+1×1528+2×1028=54． 18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°． （Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG； （Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值； （Ⅲ）若点F满足AF→=λAB→，当EF∥平面AGH时，求λ的值． 【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明； （Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值； （Ⅲ） 由AF→=λAB→，则F(1-λ，3λ，0)，由n→⋅EF→=0．计算可得所求值． 解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点 所以BE⊥AD，所以BE⊥AE． 因为∠AEG＝90°， 所以GE⊥AE． 因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E 所以AE⊥平面EBHG． （Ⅱ） 设菱形ABCD的边长为2， 由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE． 所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图空间坐标系 可得A（1，0，0），B(0，3，0)，G（0，0，1），H(0，3，2)．AG→=(-1，0，1)，AH→=(-1，3，2) 设平面AGH的法向量为n→=(x，y，z)， 所以n→⋅AG→=0n→⋅AH→=0，即-x+z=0-x+3y+2z=0． 令x＝1，则n→=(1，-33，1)． 平面EBHG的法向量为EA→=(1，0，0)． 设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）cosθ=|cos＜n→，EA→＞=217． （Ⅲ） 由AF→=λAB→，则F(1-λ，3λ，0)， 所以EF→=(1-λ，3λ，0)． 因为EF∥平面AGH，则n→⋅EF→=0． 即1﹣2λ＝0． 所以λ=12． 19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，点A（0，1）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程． （Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到|OE||OG|=|OG||OF|，求出n，即可．说明存在点G坐标为(0，±2)满足条件． 解：（Ⅰ）由题意得e=ca=22， b＝1， 又a2＝b2+c2 解得a=2，c=1， 所以椭圆方程为x22+y2=1． （Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1）， 则直线AM的方程为y=y0-1x0x+1， 直线AN的方程为y=y0+1x0x+1， 则E点坐标为(x01-y0，0)，F点坐标为(-x01+y0，0)． 假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG， 即tan∠OGE＝tan∠OFG （也可以转化为斜率来求）， 即|OE||OG|=|OG||OF| 即|OG|2＝|OE||OF|， 即n2=x021-y02=2 所以n=±2， 所以存在点G坐标为(0，±2)满足条件． 20．已知函数f（x）＝（x﹣a）ex+x+a，设g（x）＝f'（x）． （Ⅰ）求g（x）的极小值； （Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）ex+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣ea﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可． 解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）ex+1， 由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）ex+1， 所以g'（x）＝（x﹣a+2）ex， 当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增； 当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减， 所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣ea﹣2+1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣ea﹣2+1 当a≤2时f'（x）≥﹣ea﹣2+1＞0， 所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0， 即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立． 当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0， 又f'（a）＝g（a）＝ea+1＞0， 又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减； 所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0， 所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增， 所以f（x0）＜f（0）＝0， 所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0， 所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立 所以a的取值范围为（﹣∞，2]． 21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足ai+1＝[ai]•（ai﹣[ai]），其中a0是任意一个非零实数． （Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3； （Ⅱ）若a0＞0，求数列{[ai]}的最小值； （Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，ai＝ai+2． 【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3． （Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[ai]≥0，i≥1，可得ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≥0，因此[ai]≥0，∀i≥0．又因0≤ai﹣[ai]＜1，则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≤[ai]，可得[ai+1]≤[ai]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[ai]＞0成立，可得：[ai+1]≤[ai]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[an]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[an]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[ak]＝0．从而{[ai]}的最小值为0． （Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[ak]＝0，可得ak+1＝0，[ak+1]＝0，可得ai＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，ak＝0，则ai＝0，∀i≥k，得证；若ai＜0，∀i≥0，则[ai]≤﹣1，则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）＞[ai]，可得[ai+1]≥[ai]，∀i≥0，可得数列{[ai]}单调不减．由于[ai]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[ai]＝c．所以，当i≥m时，ai+1＝c（ai﹣c），转化为ai+1-c2c-1=c(ai-c2c-1)，令bi=ai-c2c-1，即bi+1＝cbi，i≥m．经过讨论：当bm＝0时，得证．当bm≠0时，bi≠0，i≥m，bi=ci-mbm，i≥m，当i≥m时，[ai]＝c，则ai∈[c，c+1），则{bi}有界，进而证明结论． 解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6， ∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2， 同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．……………… （Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0， 所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0， 设[ai]≥0，i≥1，则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≥0， 所以[ai]≥0，∀i≥0． 又因0≤ai﹣[ai]＜1， 则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）≤[ai]，则[ai+1]≤[ai]，∀i≥0．……………… 假设∀i≥0，都有[ai]＞0成立， 则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）＜[ai]， 则[ai+1]＜[ai]，∀i≥0，即[ai+1]≤[ai]﹣1，∀i≥0，……………… 则[an]≤[a0]﹣n，∀n≥1， 则当n≥[a0]时，[an]≤0， 这与假设矛盾，所以[ai]＞0，∀i≥0不成立，……………… 即存在k∈N，[ak]＝0． 从而{[ai]}的最小值为0．……………… （Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[ak]＝0， 所以ak+1＝0，所以[ak+1]＝0， 所以ai＝0，∀i≥k，成立．……………… 当a0＜0时，若存在k∈N，ak＝0，则ai＝0，∀i≥k，得证；……………… 若ai＜0，∀i≥0，则[ai]≤﹣1， 则ai+1＝[ai]（ai﹣[ai]）＞[ai]， 则[ai+1]≥[ai]，∀i≥0， 所以数列{[ai]}单调不减． 由于[ai]是负整数， 所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[ai]＝c． 所以，当i≥m时，ai+1＝c（ai﹣c）， 则ai+1-c2c-1=c(ai-c2c-1)，令bi=ai-c2c-1， 即bi+1＝cbi，i≥m． 当bm＝0时，则bi＝0，i≥m，则ai=c2c-1，i≥m，得证．……………… 当bm≠0时，bi≠0，i≥m，bi=ci-mbm，i≥m， 因当i≥m时，[ai]＝c，则ai∈[c，c+1），则{bi}有界， 所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．……………… ∴ai=-12+(-1)i-mbm=-12+(-1)i-m(am+12)(i≥m)， 则ai=am，i=m，m+2，m+4，⋯-1-am，i=m+1，m+3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 令k＝m，满足当i≥k时，ai＝ai+2． 综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，ai＝ai+2．……………… 查看更多